Планіметрія – тести ЗНО/НМТ – завдання з математики

Математика. Тема «Планіметрія». Всі запитання починаючи з 0

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120121122123124125126127128129130131132133134135136137138139140141142143144145146147148149150151152153154155156157158159160161162163164165166167168169170171172173174175176177178179180181182183184185186187188189190191192193194195196197198199200 ▶

Завдання 1 з 365

На рисунку зображено прямокутну трапецію $ABCD$, у якої $AB=BC$, $AC=80$ см, $CD=48$ см. До відрізка (1–3) доберіть його довжину (А – Д), якщо $O$ – середина діагоналі $AC$ трапеції $ABCD.$

Відрізок

1$AO$

2$AD$

3$AB$

Довжина відрізка

А$64$ см

Б$40$ см

В$54$ см

Г$50$ см

Д$32$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції, прямокутних трикутників.

1. $AO.$

За умовою точка $O$ – середина діагоналі $AC$, тому маємо:

\begin{gather*} AO=AC:2=80:2=40\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

2. $AD.$

Розгляньмо прямокутний трикутник $ACD\ (\angle A=90^\circ).$ За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AC^2=AD^2+DC^2;\\[7pt] AD^2=AC^2-DC^2=80^2-48^2=6400-2304=4096;\\[7pt] AD=\sqrt{4096}=64\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

3. $AB.$

Проведімо висоту $BK$ з вершини $B$ до основи $AD.$ Трапеція прямокутна, тому $BK=CD=48$ см.

Нехай $AB=BC=x.$ Тоді чотирикутник $KBCD$ – прямокутник, отже $KD=BC=x.$ Тоді відрізок $AK=AD-KD=64-x.$

Розгляньмо прямокутний трикутник $ABK.$ За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB^2=AK^2+KB^2;\\[7pt] (64-x)^2+48^2=x^2;\\[7pt] 4096-128x+x^2+2304=x^2;\\[7pt] -128x+6400=0;\\[7pt] 128x=6400;\\[7pt] x=6400:128;\\[7pt] x=50. \end{gather*}

Тож $AB=50$ см.

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Г.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 744. Запитання: 37757

Завдання 2 з 365

На стороні $BC$ квадрата $ABCD$ вибрано точку $K$ так, що $BK:KC=3:1$ (див. рисунок). Обчисліть довжину відрізка $AK$, якщо сторона квадрата дорівнює $12$ см.

А$9$ см

Б$15$ см

В$16$ см

Г$18$ см

Д$20$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей чотирикутників, зокрема квадрата, прямокутного трикутника, уміння застосовувати теорему Піфагора.

$ABCD$ – квадрат, $BC=12$ см. Точка $K$ ділить сторону $BC$ у відношенні $BK:KC=3:1.$ Нехай $BK=3x$ см, $KC=x$ см.

\begin{gather*} BC=BK+KC;\\[7pt] 3x+x=12\ \text{см};\\[7pt] 4x=12\ \text{см};\\[7pt] x=3. \end{gather*}

Отже, $BK=9$ см, $KC=3$ см.

Розгляньмо $\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ).$ Катети $AB=12$ см і $BK=9$ см. За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AK^2=AB^2+BK^2. \end{gather*}

Визначмо довжину гіпотенузи:

\begin{gather*} AK^2=12^2+9^2=144+81=225;\\[7pt] AK=\sqrt{225}=15\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 744. Запитання: 37754

Завдання 3 з 365

Які твердження правильні?

I. Медіана трикутника з'єднує його вершину із серединою протилежної сторони.

II. Точка перетину медіан трикутника – центр вписаного в нього кола.

III. У прямокутному трикутнику одна з його медіан дорівнює половині гіпотенузи.

Алише I

Блише IІI

Влише I та II

Глише І та ІІІ

ДІ, ІI та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Трикутники.

Завдання перевіряє знання видів трикутників і їхніх основних властивостей, властивостей медіани трикутника.

I. Твердження правильне. Згідно з аксіомами геометрії, кожна сторона трикутника має лише одну середину. Відрізок, що сполучає цю точку з протилежною вершиною, за означенням є медіаною.

II. Твердження неправильне. Центр вписаного кола — точка перетину бісектрис (інцентр). Точку перетину медіан називають центроїдом (або центром мас). Центроїд ділить кожну медіану у відношенні $2:1$, рахуючи від вершини.

III. Твердження правильне. Це властивість медіани, проведеної до гіпотенузи. Оскільки центр описаного навколо прямокутного трикутника кола завжди лежить на середині гіпотенузи, то медіана, що з'єднує вершину прямого кута із цією точкою, – радіус $(R).$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 744. Запитання: 37747

Завдання 4 з 365

Сторона $CD$ паралелограма $ABCD$ утворює з прямою $AD$ кут, градусна міра якого дорівнює $55^\circ$ (див. рисунок). Обчисліть градусну міру кута $MAB.$

А$125^\circ$

Б$55^\circ$

В$115^\circ$

Г$145^\circ$

Д$135^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограмів, суміжних кутів.

Розгляньмо прямі $AB$ і $CD$ та січну $MK.$ Кут $BAD$ та кут $CDK$ є відповідними кутами при паралельних прямих $AB\!\parallel\!CD$ та січній $MK.$

\begin{gather*} \angle BAD=\angle CDK=55^\circ. \end{gather*}

За властивістю суміжних кутів:

\begin{gather*} \angle MAB+\angle BAD=180^\circ;\\[7pt] \angle MAB=180^\circ-\angle BAD=180^\circ-55^\circ=125^\circ. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 744. Запитання: 37743

Завдання 5 з 365

Прямокутники $ABCD$ і $DKLM$ рівні (див. рисунок). AD = 6, DM = 8. Доберіть до величини (1–3) її значення (А – Д).

Величина

1$\sin MDL$

2$\mathrm{tg}\ ABD$

3$\cos BDL$

Значення величини

А$0{,}6$

Б$0{,}75$

В$0{,}8$

Г$0$

Д$1$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Прямокутник.Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості прямокутних трикутників до розв'язування планіметричних задач.

Оскільки прямокутники рівні, їхні відповідні сторони однакові. З рисунка видно, що

\begin{gather*} AD=BC=LM=6;\\[7pt] AB=DC=DM=8. \end{gather*}

1. $\sin \angle MDL.$

Розгляньмо прямокутний трикутник $\Delta DML\ (\angle M=90^\circ){:}$

За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} DL^2=DM^2+LM^2;\\[7pt] DL=\sqrt{DM^2+LM^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10;\\[6pt] \sin \angle MDL=\frac{\text{протилежний катет}}{\text{гіпотенуза}}=\frac{ML}{DL}=\frac{6}{10}=0{,}6. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

2. $\mathrm{tg}\ \angle ABD.$

Розгляньмо прямокутний трикутник $\Delta ABD\ (\angle A=90^\circ){:}$

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ \angle ABD=\frac{\text{протилежний катет}}{\text{прилеглий катет}}=\frac{AD}{AB}=\frac 68=\frac 34=0{,}75. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

3. $\cos \angle BDL.$

Оскільки прямокутники рівні, то $\Delta ABD=\Delta LDM.$

У рівних трикутниках проти рівних сторін лежать рівні кути. Отже, $\angle ADB=\angle DLM$ та $\angle ABD=\angle LDM.$

У прямокутному $\Delta ABD{:}$

\begin{gather*} \angle DAB=90^\circ \Rightarrow \angle ADB+\angle ABD=90^\circ. \end{gather*}

Замінивши $\angle ABD$ на рівний йому $\angle LDM$, маємо:

\begin{gather*} \angle ADB+\angle LDM=90^\circ. \end{gather*}

Оскільки $\angle ADM=180^\circ$ – розгорнутий:

\begin{gather*} \angle BDL=180^\circ-(\angle ADB+\angle LDM)=180^\circ-90^\circ=90^\circ;\\[7pt] \cos \angle BDL=\cos 90^\circ=0. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – A, 2 – Б, 3 – Г.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37698

Завдання 6 з 365

У паралелограмі $ABCD$ бісектриса кута $A=60^\circ$ перетинає сторону $BC$ в точці $K$, $BK=8$ см, $KC=6$ см (див. рисунок). Обчисліть площу паралелограма $ABCD.$

А$56\sqrt{3}$ см$^2$

Б$28$ см$^2$

В$48$ см$^2$

Г$28\sqrt{3}$ см$^2$

Д$56$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей паралелограма, уміння визначати площу паралелограма.

Оскільки в паралелограмі протилежні сторони рівні, то $AD=BC.$

\begin{gather*} BC=BK+KC=8+6=14\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, $AD=14$ см.

При перетині паралельних прямих $BC$ і $AD$ січною $AK$ внутрішні різносторонні кути рівні: $\angle KAD=\angle BKA.$ Оскільки $AK$ – бісектриса, то $\angle BAK=\angle KAD.$ Звідси $\angle BAK=\angle BKA.$

У трикутнику $ABK$ два кути рівні, отже, він рівнобедрений з основою $AK.$ Тому бічні сторони рівні: $AB=BK=8$ см.

Площу паралелограма визначмо за формулою:

\begin{gather*} S=ab\sin\gamma.\\[7pt] S=AB\cdot AD\cdot \sin \angle A;\\[7pt] S=8\cdot 14\cdot \sin 60^\circ=8\cdot 14\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=8\cdot 7\cdot \sqrt{3}=56\sqrt{3}\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37694

Завдання 7 з 365

Які з наведених тверджень правильні?

I. Існує трикутник, у якого лише один гострий кут.

II. У рівнобедреному трикутнику $ABC$ серединний перпендикуляр, проведений до основи $AC$, проходить через вершину $B.$

III. У будь-якому прямокутному трикутнику сума градусних мір гострих кутів дорівнює $90^\circ.$

Алише II

Блише IІI

Влише I та II

Глише І та ІІІ

Длише ІI та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трикутників, зокрема прямокутних і рівнобедрених.

I. Сума кутів будь-якого трикутника дорівнює $180^\circ.$ Якщо припустити, що в трикутнику лише один гострий кут (менший за $90^\circ$), то два інші кути мають бути прямими або тупими (дорівнювати $90^\circ$ або бути більшими за $90^\circ$). Наприклад, якщо два кути прямі, то $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$, що не залишає місця для третього кута. У будь-якому трикутнику щонайменш два гострі кути.

Отже, твердження неправильне.

II. За властивістю рівнобедреного трикутника висота, медіана та бісектриса, проведені до основи, збігаються. Серединний перпендикуляр за означенням проходить через середину сторони $AC$ як медіана та перпендикулярний до неї як висота. Отже, ця лінія обов'язково проходить через протилежну вершину $B.$

Отже, твердження правильне.

III. Сума всіх кутів будь-якого трикутника завжди $180^\circ.$ Оскільки в прямокутному трикутнику один кут за означенням дорівнює $90^\circ$, обчислімо суму двох інших (гострих) кутів: \begin{gather*} 180^\circ-90^\circ=90^\circ. \end{gather*}

Сума гострих кутів прямокутного трикутника завжди дорівнює $90^\circ.$

Отже, твердження правильне.

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37691

Завдання 8 з 365

На відрізку $AB$ вибрано точку $M$ (див. рисунок). Обчисліть відстань від середини відрізка $AM$ до точки $B$, якщо $AB=26$ см, $AM=8$ см.

А$17$ см

Б$22$ см

В$18$ см

Г$24$ см

Д$20$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання перевіряє знання аксіом планіметрії, уміння застосовувати властивості найпростіших геометричних фігур у розв'язуванні планіметричних задач.

Оскільки точка $M$ лежить на відрізку $AB$, загальна довжина складається з двох частин:

\begin{gather*} AB=AM+MB;\\[7pt] MB=AB-AM=26-8=18\ \text{см}. \end{gather*}

Нехай точка $K$ – середина відрізка $AM.$ Тоді відстань від $K$ до $M$ дорівнює половині довжини $AM{:}$

\begin{gather*} KM=AM:2=8:2=4\ \text{см}. \end{gather*}

Відстань від середини відрізка $AM$ (точки $K$) до точки $B$ складається з відрізків $KM$ та $MB{:}$

\begin{gather*} KB=KM+MB=4+18=22\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37687

Завдання 9 з 365

На катеті $BC$ прямокутного трикутника $ACB$, у якому $\angle C=90^\circ$, $\angle B=32^\circ$, вибрано точку $K$ так, що $AK=KB$ (див. рисунок). Точка $O$ – центр кола, описаного навколо трикутника $ACB.$ До кожного кута (1–3) доберіть його градусну міру (А – Д).

Кут

1$\angle KAB$

2$\angle KAC$

3$\angle OKB$

Градусна міра кута

А$24^\circ$

Б$26^\circ$

В$32^\circ$

Г$58^\circ$

Д$64^\circ$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. $\angle KAB.$ Оскільки $\Delta AKB$ рівнобедрений $(AK=KB)$, то кути при його основі рівні:

\begin{gather*} \angle KAB=\angle KBA=32^\circ. \end{gather*}

Отже, 1 – B.

2. $\angle KAC.$ Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює $90^\circ.$ $\Delta ACB{:}$

\begin{gather*} \angle CAB=90^\circ-\angle B=90^\circ-32^\circ=58^\circ. \end{gather*}

Оскільки промінь $AK$ проходить між сторонами кута $\angle CAB{:}$

\begin{gather*} \angle KAC=\angle CAB-\angle KAB=58^\circ-32^\circ=26^\circ. \end{gather*}

Отже, 2 – Б.

3. $\angle OKB.$

У прямокутному трикутнику центр описаного кола (точка $O$) – середина гіпотенузи $(AB).$ Отже, $AO=OB.$ Оскільки $\Delta AKB$ – рівнобедрений $(AK=KB)$ за умовою, то медіана $KO$, проведена до його основи $AB$, є також і висотою. $KO\!\perp\!AB\Rightarrow \angle KOB=90^\circ.$ Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює $90^\circ. \Delta KOB{:}$

\begin{gather*} \angle OKB=90^\circ-\angle B=90^\circ-32^\circ=58^\circ. \end{gather*}

Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – Г.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 742. Запитання: 37581

Завдання 10 з 365

Які твердження правильні?

I. Існує лише одна точка на площині трикутника, яка рівновіддалена від його вершин.

II. Медіана трикутника ділить його на два рівновеликі трикутники.

III. Середня лінія трикутника проходить через точку перетину його медіан.

Алише I

Блише IІ

Влише I та II

Глише IІ та ІІІ

ДІ, ІІ та IІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники та їхні елементи.

Завдання перевіряє розуміння означення та ключових властивостей медіани, середньої лінії трикутника й описаного навколо трикутника кола.

І. Точка, рівновіддалена від усіх вершин трикутника, – центр описаного навколо нього кола.

Навколо будь-якого трикутника можна описати коло, і до того ж лише одне. Центр цього кола в точці перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника. Твердження правильне.

II. Медіана сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони, тому утворені трикутники мають рівні основи.

Оскільки вони мають спільну висоту, проведену до прямої, що містить ці основи, то за формулою \begin{gather*} S=\frac 12a\cdot h_a. \end{gather*} їхні площі рівні. Трикутники з однаковою площею рівновеликі. Твердження правильне.

III. Точка перетину медіан (центроїд) ділить кожну медіану у відношенні $2:1$ (рахуємо від вершини трикутника). Це означає, що точка перетину медіан розташована на відстані $\dfrac 13$ довжини медіани від основи трикутника.

Середня лінія трикутника, яка паралельна тій самій основі, за своєю властивістю проходить через середину медіани. Тобто вона розташована на відстані $\dfrac 12$ довжини медіани від тієї ж основи.

Оскільки відстані до основи різні $\dfrac 13\ne \dfrac 12$, середня лінія не проходить через точку перетину медіан. Вона проходить вище від центроїда (ближче до вершини, рахуючи від основи).

Твердження неправильне.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 742. Запитання: 37577

Завдання 11 з 365

Довжини сторін трапеції $ABCD\ (AD\ ||\ BC)$ задовольняють співвідношення $AB:BC:CD:AD=2:3:4:7.$ Точки $K$ i $M$ – середини сторін $AB$ i $CD$ відповідно. Обчисліть периметр чотирикутника $AKMD$, якщо периметр трапеції $ABCD$ дорівнює $80$ см.

А$75$ см

Б$70$ см

В$40$ см

Г$60$ см

Д$55$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції, її середньої лінії.

За умовою, відношення сторін $AB:BC:CD:AD=2:3:4:7.$

Нехай $x$ – коефіцієнт пропорційності.

Периметр усієї трапеції $ABCD$ дорівнює $80$ см:

\begin{gather*} 2x+3x+4x+7x=80;\\[7pt] 16x=80;\\[7pt] x=80:16;\\[7pt] x=5. \end{gather*}

Отже, довжини сторін:

\begin{gather*} AB=2\cdot 5=10\ \text{см};\\[7pt] BC=3\cdot 5=15\ \text{см};\\[7pt] CD=4\cdot 5=20\ \text{см};\\[7pt] AD=7\cdot 5=35\ \text{см}. \end{gather*}

За умовою $K$ і $M$ – середини бічних сторін. Це означає, що відрізок $KM$ – середня лінія трапеції $ABCD.$

\begin{gather*} KM=\frac{BC+AD}{2}=\frac{15+35}{2}=\frac{50}{2}=25\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо периметр чотирикутника $AKMD{:}$

\begin{gather*} P_{AKMD}=AK+KM+MD+AD;\\[7pt] AK=AB:2=10:2=5\ \text{см};\\[7pt] MD=CD:2=20:2=10\ \text{см};\\[7pt] P_{AKMD}=5+25+10+35=75\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 742. Запитання: 37573

Завдання 12 з 365

Визначте сторону ромба, діагоналі якого дорівнюють $12\sqrt{5}$ i $6\sqrt{5}.$

А$6\sqrt{15}$

Б$15$

В$9\sqrt{5}$

Г$30$

Д$3\sqrt{15}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості ромба до розв'язування планіметричних задач, знання теореми Піфагора.

Діагоналі ромба перетинаються під кутом $90^\circ$ і діляться навпіл. Отже, ромб розділено на чотири рівні прямокутні трикутники. Розгляньмо один із них – прямокутний трикутник $\Delta AOB$, де:
$AO=12\sqrt{5}:2=6\sqrt{5}$ (перший катет).
$BO=6\sqrt{5}:2=3\sqrt{5}$ (другий катет)
$AB$ – сторона ромба (гіпотенуза).

За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB^2=(6\sqrt{5})^2+(3\sqrt{5})^2;\\[7pt] AB^2=6^2\cdot (\sqrt{5})^2+3^2\cdot (\sqrt{5})^2;\\[7pt] AB^2=36\cdot 5+9\cdot 5;\\[7pt] AB^2=180+45=225;\\[7pt] AB=\sqrt{225}=15. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 742. Запитання: 37568

Завдання 13 з 365

У прямокутному трикутнику $ACB\ \angle C=90^\circ$, $\angle B=22^\circ.$ На продовженні катета $AC$ вибрано точку $K$ так, що $AK=KB$ (див. рисунок). Точка $O$ – центр кола, описаного навколо трикутника $ACB.$ До кожного кута (1–3) доберіть його градусну міру (А – Д).

Кут

1$\angle BAC$

2$\angle KBC$

3$\angle OKB$

Градусна міра кута

А$22^\circ$

Б$36^\circ$

В$46^\circ$

Г$68^\circ$

Д$74^\circ$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

1. У прямокутному трикутнику $\Delta ACB\ (\angle C=90^\circ)$ сума гострих кутів дорівнює $90^\circ.$

$\angle B+\angle A=90^\circ$, $\angle B=22^\circ$, тому $\angle A=90^\circ-22^\circ=68^\circ.$ $\angle BAC=68^\circ.$

Отже, 1 – Г.

2. За умовою $AK=KB$, тож трикутник $AKB$ – рівнобедрений з основою $AB.$ У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні:

\begin{gather*} \angle KBA=\angle KAB=68^\circ. \end{gather*}

\begin{gather*} \angle KAB=\angle KBC+\angle CBA;\\[7pt] \angle KBC=\angle KAB-\angle CBA=68^\circ-22^\circ=46^\circ. \end{gather*}

Отже, 2 – B.

3. $\Delta AKB$ – рівнобедрений, $KO$ – медіана, $AO=OB$ (як радіуси). За властивістю рівнобедреного трикутника, $KO$ – висота, $KO\!\perp\!AB.$

\begin{gather*} \angle OKB=90^\circ-\angle KBO=90^\circ-68^\circ=22^\circ. \end{gather*}

$\Delta ACB$ – прямокутний, тому центр кола, описаного навколо нього, лежить на середині гіпотенузи $AB.$

Отже, 3 – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – A.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 741. Запитання: 37523

Завдання 14 з 365

На колі вибрано точки $A$, $B$ i $C$ так, що $\angle ACB=30^\circ$ (див. рисунок). Визначте довжину цього кола, якщо довжина меншої дуги $AB$ дорівнює $30$ см.

А$600$ см

Б$180$ см

В$300$ см

Г$240$ см

Д$360$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання властивостей вписаного та центрального кутів, уміння визначати довжину дуги кола.

Точка $O$ – центр кола. За властивістю вписаного кута \begin{gather*} \angle ACB=\frac 12\angle AOB, \end{gather*} $O$ – центр кола. Вписаний кут у колі дорівнює половині дуги, на яку він спирається, або половині відповідного центрального кута.

\begin{gather*} \angle AOB=2\cdot \angle ACB=2\cdot 30^\circ=60^\circ. \end{gather*}

Градусна міра дуги $AB$ дорівнює $60^\circ.$ За формулою довжини дуги:

\begin{gather*} l=\frac{L}{360^\circ}\cdot n, \end{gather*}

де $L$ – довжина кола, $n$ – градусна міра центрального кута (градусна міра дуги).

Тобто

\begin{gather*} 30=\frac{L\cdot 60^\circ}{360^\circ},\\[6pt] 30=\frac L6,\\[6pt] L=30\cdot 6=180\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 741. Запитання: 37520

Завдання 15 з 365

Кути гострокутного трикутника $ABC$ задовольняють умову $\angle A\lt \angle B\lt \angle C.$ Які з наведених тверджень правильні?

I. $AB$ – найдовша сторона трикутника $ABC.$

II. Трикутник $ABC$ – рівнобедрений.

III. Висота, проведена з вершини $A$, менша за сторону $AC.$

Алише I

Блише IІІ

Влише I та IIІ

Глише IІ та ІІІ

ДІ, ІІ та IІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання співвідношення між сторонами й кутами трикутника.

I. У трикутнику навпроти найбільшого кута $(\angle C)$ завжди лежить найдовша сторона $(AB).$ $AB$ – найдовша сторона трикутника $ABC.$ Твердження правильне.

II. За умовою $\angle A\lt \angle B\lt \angle C$, тобто всі кути мають різну градусну міру. Це означає, що трикутник різносторонній. Твердження неправильне.

ІII.

Проведімо висоту $(AH)$ із вершини $A$ до сторони $BC.$ Розгляньмо прямокутний трикутник $AHC$ (де $\angle H=90^\circ$). У цьому трикутнику сторона $AC$ – гіпотенуза, а висота $AH$ – катет. Оскільки гіпотенуза завжди довша за будь-який катет $(AC\gt AH)$, то висота дійсно менша за сторону $AC.$ Висота, проведена з вершини $A$, менша за сторону $AC.$ Твердження правильне.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 741. Запитання: 37512

Завдання 16 з 365

З вершини зображеного на рисунку розгорнутого кута $AOB$ проведено два промені $OK$ i $OM$ так, що $\angle KOB=110^\circ$, $\angle MOB=30^\circ.$ Обчисліть градусну міру кута $KOM.$

А$140^\circ$

Б$80^\circ$

В$60^\circ$

Г$70^\circ$

Д$90^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання перевіряє знання аксіом планіметрії.

$\angle KOB=\angle KOM+\angle MOB.$

Підставмо відомі значення:

\begin{gather*} 110^\circ=\angle KOM+30^\circ;\\[7pt] \angle KOM=110^\circ-30^\circ;\\[7pt] \angle KOM=80^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 741. Запитання: 37506

Завдання 17 з 365

Площа квадрата становить $96\ \text{см}^2$. Визначте площу зафарбованої частини квадрата (див. рисунок).

А$24\ \text{см}^2$

Б$12\ \text{см}^2$

В$9\ \text{см}^2$

Г$8\ \text{см}^2$

Д$14\ \text{см}^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Квадрат.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості квадрата до розв'язування планіметричних задач.

Діагоналі квадрата ділять його на $4$ рівновеликі трикутники. Медіана, проведена до основи одного із цих трикутників, ділить його ще на $2$ рівновеликі частини.

Отже, площа зафарбованої частини становить $\dfrac 12\cdot \dfrac 14=\dfrac 18$ від усієї площі квадрата.

Якщо $S=96\ \text{см}^2$, то

\begin{gather*} S_\text{заф. част.}=96\cdot \frac 18=96:8=12\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 741. Запитання: 37503

Завдання 18 з 365

У паралелограмі $ABCD$ на середині сторони $BC$ вибрано точку $K$ так, що $AK\!\perp\!KD$, $KP$ – висота паралелограма (див. рисунок). До кожного відрізка (1–3) доберіть його довжину (А – Д), якщо $AP=18$ см, $PD=8$ см.

Відрізок

1$KC$

2середня лінія трапеції $KCDP$

3$KP$

Довжина відрізка

А$10{,}5$ см

Б$11$ см

В$12$ см

Г$12{,}5$ см

Д$13$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей паралелограма, прямокутного трикутника і середньої лінії трапеції.

1. $KC.$ У паралелограмі протилежні сторони рівні:

$AD=BC;$

\begin{gather*} AD=AP+PD=18+8=26\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, $BC=26$ см.

Оскільки точка $K$ – середина $BC{:}$

\begin{gather*} KC=\frac{BC}{2}=\frac{26}{2}=13\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 1 – Д.

2. Середня лінія трапеції $KCDP.$

Розгляньмо чотирикутник $KCDP.$ Сторони $KC\!\parallel\!PD$ (як частини основ паралелограма), а $KP\!\nparallel\!PD.$ Це прямокутна трапеція. Середня лінія трапеції дорівнює півсумі її основ:

\begin{gather*} L=\frac{KC+PD}{2};\\[6pt] L=\frac{13+8}{2}=\frac{21}{2}=10{,}5\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 2 – А.

3. $KP.$ Розгляньмо трикутник $AKD.$ За умовою він прямокутний $(\angle AKD=90^\circ)$, а $KP$ – його висота, проведена до гіпотенузи $AD.$ За метричними співвідношеннями в прямокутному трикутнику:

\begin{gather*} KP^2=AP\cdot PD;\\[7pt] KP^2=18\cdot 8=144;\\[7pt] KP=\sqrt{144}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – В.

Відповідь: 1 – Д, 2 – А, 3 – В.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 740. Запитання: 37472

Завдання 19 з 365

Рівнобедрений трикутник $ABC\ (AB=BC)$ вписано в коло (див. рисунок). Визначте градусну міру меншої дуги $AB$, якщо $\angle ABC=20^\circ.$

А$170^\circ$

Б$80^\circ$

В$70^\circ$

Г$160^\circ$

Д$140^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло. Трикутники.

Завдання перевіряє знання про вписані кути в колі та вміння застосовувати властивості рівнобедреного трикутника.

За умовою $AB=BC$, тож трикутник $\Delta ABC$ – рівнобедрений. Кути при основі рівнобедреного трикутника рівні: $\angle BAC=\angle BCA.$

Сума кутів трикутника – $180^\circ.$ Отже,

\begin{gather*} \angle BCA=\frac{180^\circ-20^\circ}{2}=80^\circ. \end{gather*}

Вписаний кут дорівнює половині градусної міри дуги, на яку він спирається.

Оскільки $\angle BCA=80^\circ$ і він спирається на дугу $\overset{\smile}{AB}$, то сама дуга вдвічі більша:

\begin{gather*} \overset{\smile}{AB}=80^\circ \cdot 2=160^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 740. Запитання: 37467

Завдання 20 з 365

У довільний трикутник $ABC$ вписано коло із центром у точці $O$; точки $K$, $L$, $M$ – точки дотику (див. рисунок). Які з наведених тверджень правильні?

I. Трикутник $AOK$ прямокутний.

II. Трикутник $BKL$ рівнобедрений.

III. Трикутники $MOK$ і $LOC$ рівні.

Алише IІ

Блише IІІ

Влише I та II

Глише IІ та ІІІ

ДІ, ІІ та IІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники та їхні елементи.

Завдання перевіряє знання властивостей вписаного в трикутник кола й проведених до кола з однієї точки відрізків дотичних.

I. Трикутник $AOK$ прямокутний.

Точка $K$ – це точка дотику кола до сторони $AB.$ За властивістю дотичної радіус $OK$, проведений у точку дотику, завжди перпендикулярний до цієї дотичної $(OK\!\perp\!AB).$ Оскільки $\angle OKA=90^\circ$, трикутник $AOK$ прямокутний. Твердження правильне.

II. Трикутник $BKL$ рівнобедрений.

Відрізки $BK$ та $BL$ – відрізки дотичних, проведених до кола з однієї точки $B$. За властивістю дотичних ці відрізки рівні між собою $(BK=BL).$ Оскільки дві сторони трикутника рівні, то $\Delta BKL$ рівнобедрений. Твердження правильне.

III. Трикутники $MOK$ і $LOC$ рівні.

У трикутнику $MOK$ сторони $OM$ та $OK$ – це радіуси кола $(OM=OK).$ У трикутнику $LOC$ одна зі сторін – радіус $OL$, а сторона $OC$ з'єднує центр із вершиною трикутника.

$\Delta MOK$ завжди рівнобедрений (бо сторони – радіуси), а $\Delta LOC$ – прямокутний $(\angle OLC=90^\circ).$ Вони мають різну форму та розміри. Твердження неправильне.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 740. Запитання: 37463

Завдання 21 з 365

Обчисліть довжину середньої лінії трапеції, основи якої дорівнюють $7$ м і $12$ м.

А$9{,}5$ м

Б$8{,}5$ м

В$5$ м

Г$19$ м

Д$6$ м

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання формули середньої лінії трапеції.

Середня лінія трапеції – це відрізок, який сполучає середини її бічних сторін.

За властивістю середньої лінії трапеції:

\begin{gather*} KM\ ||\ BC\ ||\ AD;\\[6pt] KM=\frac 12(BC+AD);\\[6pt] KM=\frac 12(7+12)=\frac 12\cdot 19=\frac{19}{2}=9{,}5\ \text{м}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 740. Запитання: 37459

Завдання 22 з 365

На рисунку зображено коло із центром у точці $O$, $AB$ – діаметр кола. Пряма $a$ – дотична до кола й перетинає продовження діаметра $AB$ в точці $K$, а $C$ – точка дотику. Доберіть до величини (1–3) її значення (А – Д), якщо $\overset{\smile}{AC}=130^\circ.$

Величина

1$\overset{\smile}{CB}$

2$\angle CKA$

3$\angle ABC$

Значення величини

А$30^\circ$

Б$40^\circ$

В$50^\circ$

Г$65^\circ$

Д$70^\circ$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання про коло та його елементи, центральні кути, дуги.

1. $\overset{\smile}{CB}.$ Оскільки $AB$ — це діаметр, він ділить коло навпіл. Отже, вся дуга $ACB$ (півколо) дорівнює $180^\circ.$

\begin{gather*} \overset{\smile}{CB}=\overset{\smile}{ACB}-\overset{\smile}{AC}=180^\circ -130^\circ=50^\circ. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь — B.

2. $\angle CKA.$

Радіус $OC$, проведений у точку дотику $C$, завжди перпендикулярний до дотичної $CK.$

Тобто $\angle OCK=90^\circ.$ Кут $\angle COB$ є центральним кутом, що спирається на дугу $\overset{\smile}{CB}.$

Його величина дорівнює градусній мірі дуги: $\angle COB=\overset{\smile}{CB}=50^\circ.$ У прямокутному трикутнику $\Delta OCK$ сума гострих кутів дорівнює $90^\circ.$

\begin{gather*} \angle CKA=90^\circ-\angle COK=90^\circ-50^\circ=40^\circ. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь — Б.

3. $\angle ABC.$

Кут $\angle ABC$ є вписаним кутом, що спирається на дугу $\overset{\smile}{AC}.$ Вписаний кут дорівнює половині дуги, на яку спирається.

\begin{gather*} \angle ABC=\frac 12\cdot \overset{\smile}{AC}=\frac 12\cdot 130^\circ=\frac{130^\circ}{2}=65^\circ. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь — Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – Б, 3 – Г.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37395

Завдання 23 з 365

Діагоналі прямокутника перетинаються під кутом $60^\circ$ (див. рисунок). Обчисліть площу цього прямокутника, якщо менша з його сторін $4$ см завдовжки.

А$8$ см$^2$

Б$8\sqrt{3}$ см$^2$

В$16$ см$^2$

Г$16\sqrt{3}$ см$^2$

Д$32$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості прямокутника та прямокутного трикутника.

Оскільки діагоналі прямокутника рівні та діляться точкою $O$ навпіл, трикутник $\Delta AOB$ – рівнобедрений. Оскільки кут при вершині $\angle AOB=60^\circ$, то кути при основі також по $60^\circ\ ((180^\circ-60^\circ):2=60^\circ).$ Отже, трикутник $ABO$ – рівносторонній.

\begin{gather*} AB=BO=AO=4\ \text{см}. \end{gather*}

Оскільки $AO$ — це половина діагоналі, то вся діагональ

\begin{gather*} AC=4\cdot 2=8\ \text{см}. \end{gather*}

Розгляньмо прямокутний трикутник $\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ).$ Гіпотенуза $AC=8$ см і катет $AB=4$ см. За теоремою Піфагора визначмо довжину сторони $BC{:}$

\begin{gather*} BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо площу прямокутника $ABCD{:}$

\begin{gather*} S=AB\cdot BC=4\cdot 4\sqrt{3}=16\sqrt{3}\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37392

Завдання 24 з 365

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Пряма, що проходить через центр кола і лежить із цим колом в одній площині, має з ним дві спільні точки.

II. Діаметр кола, перпендикулярний до його хорди, проходить через середину цієї хорди.

III. Можна провести два діаметри кола, що не мають жодної спільної точки.

Алише IІ

Блише I та II

Влише I та III

Глише IІ та ІІІ

ДІ, ІІ та IІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання властивостей кола та його елементів, хорд.

І. Пряма, що проходить через центр кола, містить діаметр кола. Отже, має з ним дві спільні точки. Твердження правильне.

ІІ.

$AB \perp CD.\ \Delta COD$ – рівнобедрений, $OC=OD.$ Отже, висота $OK$, проведена до основи, є медіаною. Отже, $K$ – середина хорди $CD.$ Твердження правильне.

ІІІ.

Діаметри кола проходять через центр кола, тобто завжди мають спільну точку. Твердження неправильне.

Правильні твердження лише І та II.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37387

Завдання 25 з 365

На відрізку $AB$ вибрано точку $M$ (див. рисунок). Визначте відстань між серединами відрізків $AM$ i $MB$, якщо $AM=12$ см, $MB=2AM.$

А$9$ см

Б$24$ см

В$12$ см

Г$18$ см

Д$16$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості.

За умовою $MB=2AM$, отже $MB=2\cdot 12=24$ см.

Нехай точка $K$ – середина $AM$, а точка $C$ – середина $MB.$

\begin{gather*} KC=KM+MC=\frac 12 AM+\frac 12 MB;\\[6pt] KC=\frac 12(AM+MB)=\frac 12(12+24)=\frac 12\cdot 36=18\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37381

Завдання 26 з 365

Периметр рівнобедреного трикутника (див. рисунок) дорівнює $32$ см. $AB=BC=10$ см. До відрізка (1–3) доберіть його довжину (А – Д).

Відрізок

1$AC$

2висота, проведена з вершини $B$

3радіус кола, описаного навколо трикутника $ABC$

Довжина відрізка

А$6{,}25$ см

Б$7{,}5$ см

В$8$ см

Г$12$ см

Д$12{,}5$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутників.

1. Периметр — це сума всіх сторін. Трикутник рівнобедрений, бічні сторони $AB=BC=10$ см.

\begin{gather*} P=AB+BC+AC;\\[7pt] 32=10+10+AC;\\[7pt] AC=32-20=12\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь — Г.

Проведемо висоту $BH$ до основи $AC.$ У рівнобедреному трикутнику висота є також медіаною, тому вона ділить основу навпіл:

\begin{gather*} AH=HC=\frac{12}{2}=6\ \text{см}. \end{gather*}

Розглянемо прямокутний трикутник $ABH\ (\angle H=90^\circ){:}$

За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} BH^2+AH^2=AB^2;\\[7pt] BH^2+6^2=10^2;\\[7pt] BH^2+36=100;\\[7pt] BH^2=64;\\[7pt] BH=8\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь — В.

3. Знайдімо радіус описаного кола для довільного трикутника за формулою через сторони та площу:

\begin{gather*} R=\frac{abc}{4S}. \end{gather*}

Площа трикутника $S{:}$

\begin{gather*} S=\frac 12\cdot AC\cdot BH=\frac 12\cdot 12\cdot 8=48\ \text{см}^2.\\[6pt] R=\frac{10\cdot 10\cdot 12}{4\cdot 48}=\frac{1200}{192}=6{,}25\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь — А.

Відповідь: 1 – Г, 2 – В, 3 – А.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37371

Завдання 27 з 365

У прямокутній системі координат на площині задано трапецію $ABCD$ (див. рисунок). Обчисліть площу цієї трапеції.

А$32{,}5$

Б$63$

В$29{,}5$

Г$27$

Д$31{,}5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трапеція.

Це завдання перевіряє вміння зчитувати дані з графіка й обчислювати площу трапеції.

Верхня основа $BC=3$, нижня основа $AD=6$, висота трапеції $BH=7.$

Обчилімо площу трапеції за формулою:

\begin{gather*} S=\frac{a+b}{2}\cdot h. \end{gather*}

Підставмо у формулу відповідні значення:

\begin{gather*} S=\frac{BC+AD}{2}\cdot BH=\frac{3+6}{2}\cdot 7=\frac 92\cdot \frac 71=\frac{63}{2}=31{,}5. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37368

Завдання 28 з 365

Які з наведених тверджень правильні?

I. Середня лінія трапеції проходить через точку перетину її діагоналей.

II. Діагональ трапеції ділить її на два рівних трикутники.

III. Діагоналі рівнобічної трапеції рівні.

Алише IІІ

Блише I та IIІ

Влише I та II

Глише IІ та ІІІ

ДІ, ІІ та IІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чтирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції.

Правильне лише ІІІ твердженння.

І. Середня лінія трапеції не проходить чирез точку перетину її діагоналей.

ІІ. Діагональ трапеції не ділить її на два рівних трикутники $\Delta ABC\ne \Delta ACD.$

\begin{gather*} \Delta ABD\ne \Delta DBC. \end{gather*}

ІІІ. $AC=BD$ (властивість рівнобічної трапеції). $\Delta ABC=\Delta DCB$ (І ознака).

Відповідь: А.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37363

Завдання 29 з 365

Площа зафарбованої частини квадрата (див. рисунок) дорівнює $12$ см$^2.$ Визначте площу всього квадрата.

А$96$ см$^2$

Б$72$ см$^2$

В$48$ см$^2$

Г$108$ см$^2$

Д$144$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Квадрат.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості квадрата до розв'язування планіметричних задач.

Діагоналі квадрата ділять його на $4$ рівновеликі трикутники. Медіана, проведена до основи одного з цих трикутників, ділить його ще на $2$ рівновеликі частини.

Отже, зафарбована частина $\dfrac 12\cdot \dfrac 14=\dfrac 18$ всієї площі.

Якщо $\dfrac 18\cdot S=12$ см$^2$, то $S=8\cdot 12=96$ см$^2.$

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37360

Завдання 30 з 365

На рисунку зображено прямокутну трапецію $ABCD$, у якої $AC=CD=15$ см, $BC=12$ см. $O$ – середина діагоналі $AC$ трапеції $ABCD.$

До відрізка (1–3) доберіть його довжину (А – Д).

Відрізок

1$OB$

2$AB$

3середня лінія трапеції $ABCD$

Довжина відрізка

А$7{,}5$ см

Б$8$ см

В$9$ см

Г$15$ см

Д$18$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості прямокутних трикутників до розв’язування планіметричних задач, знаходити довжину середньої лінії трапеції, знання теореми Піфагора.

1. У $\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ)$, бо $ABCD$ — прямокутна трапеція. Відрізок $OB$ з'єднує вершину прямого кута з серединою гіпотенузи $AC.$ Отже, $OB$ — медіана, проведена до гіпотенузи.

Медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині.

\begin{gather*} OB=\frac{AC}{2}=\frac{15}{2}=7{,}5\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 1 – Г.

2. У трикутнику $\Delta ABC\ (AC=15$ см і $BC=12$ см) за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB^2+BC^2=AC^2;\\[7pt] AB^2+12^2=15^2;\\[7pt] AB^2+144=225;\\[7pt] AB^2=225-144=81;\\[7pt] AB=\sqrt{81}=9\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 2 – В.

3. Довжина середньої лінії трапеції дорівнює: $L=\dfrac{BC+AD}{2}.$ Проведемо висоту $CH$ з вершини $C$ на основу $AD.$ Оскільки трапеція прямокутна, $ABCH$ — прямокутник. $CH=AB=9$ см, $AH=BC=12$ см. Розглянемо прямокутний трикутник $\Delta CHD.$ $CD=15$ см (за умовою) і $CH=9$ см за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} CD^2=CH^2+HD^2;\\[7pt] 15^2=9^2+HD^2;\\[7pt] 225=81+HD^2;\\[7pt] HD^2=225-81=144;\\[7pt] HD=\sqrt{144}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Знайдемо основу $AD{:}$

\begin{gather*} AD=AH+HD=12+12=24\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо середню лінію:

\begin{gather*} L=\frac{12+24}{2}=\frac{36}{2}=18\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – А, 2 – В, 3 – Д.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37178

Завдання 31 з 365

У прямокутній системі координат на площині задано паралелограм $ABCD$ (див. рисунок). Обчисліть площу цього паралелограма.

А$10{,}5$

Б$1{,}5\sqrt{85}$

В$21$

Г$18$

Д$3\sqrt{85}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Паралелограм.

Це завдання перевіряє вміння зчитувати дані з графіка й обчислювати площу паралелограма.

Площа паралелограма обчислюється за формулою: \begin{gather*} S=a\cdot h_a, \end{gather*} де $a$ — сторона паралелограма, а $h_a$ — висота, проведена до цієї сторони.

Сторона $(a){:}\ CD = 3.$

Висота $(h_a){:}\ BH=7$ (висота паралелограма — це перпендикуляр між вертикальними прямими, на яких лежать сторони $AB$ та $CD$).

Підставляємо значення у формулу:

\begin{gather*} S=3\cdot 7=21. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37175

Завдання 32 з 365

Які з наведених тверджень правильні?

I. Точкою перетину довільних хорд одного кола є його центр.

II. Паралельні хорди одного кола мають однакову довжину.

III. Рівні хорди одного кола рівновіддалені від його центра.

Алише IІ

Б лише IІІ

Влише I та II

Глише I та III

Длише IІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання властивостей кола та його елементів, хорд.

І. Хорда — це відрізок, що сполучає дві будь-які точки кола. Хорди можуть перетинатися в будь-якій точці всередині кола.

Тільки якщо обидві хорди є діаметрами, вони обов'язково перетнуться в центрі. Твердження неправильне.

ІI. Паралельність не гарантує рівність довжин.

Паралельні хорди будуть рівними тільки тоді, коли вони розташовані на однаковій відстані від центра. У загальному випадку це не так. Твердження неправильне.

ІII. Якщо довжини хорд рівні, то перпендикуляри, проведені з центра кола до цих хорд (відстані), також будуть рівними.

Це випливає з рівності трикутників, утворених радіусами та хордами. Твердження правильне.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37166

Завдання 33 з 365

На відрізку $AB$ вибрано точку $C$ так, що $AC:CB=2:3.$ Визначте довжину відрізка $AC$, якщо $CB=12$ см.

А$4$ см

Б$18$ см

В$6$ см

Г$12$ см

Д$8$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їх властивості. Аксіоми планіметрії.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості найпростіших геометричних фігур до розв’язування планіметричних задач.

Відрізок $AC$ складається з $2$ частин, отже: $AC=2x.$

Відрізок $CB$ складається з $3$ частин, отже: $CB=3x.$

За умовою $CB=12$ см. Тоді

\begin{gather*} 3x=12;\\[7pt] x=4\ \text{см}. \end{gather*}

Підставимо це значення у вираз для $AC{:}$

\begin{gather*} AC=2x=2\cdot 4=8\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37161

Завдання 34 з 365

На більшій основі $AD$ рівнобічної трапеції $ABCD$ вибрано точку $O$ так, що $BO\ ||\ CD$ (див. рисунок). $CO$ – висота трапеції, $BC=6$ см, $CD=10$ см. До кожного відрізка (1–3) доберіть його довжину (А – Д).

Відрізок

1$OD$

2$CO$

3середня лінія трапеції $ABCD$

Довжина відрізка

А$6$ см

Б$8$ см

В$9$ см

Г$12$ см

Д$18$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей паралелограма, подібних трикутників і середньої лінії трапеції.

1. $BC\ ||\ AD$ (за означенням трапеції), а за умовою $BO\ ||\ CD.$ Чотирикутник $BODC$ – це паралелограм (оскільки протилежні сторони попарно паралельні).

\begin{gather*} OD=BC=6\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

2. Розгляньмо прямокутний трикутник $\Delta COD$ ($\angle COD=90^\circ$, оскільки $CO$ – висота).

За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} CO^2+OD^2=CD^2;\\[7pt] CO^2+6^2=10^2;\\[7pt] CO^2=100-36=64;\\[7pt] CO=\sqrt{64}=8\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

3. Оскільки трапеція рівнобічна, то висоти, проведені з вершин $B$ і $C$, відтинають на нижній основі рівні відрізки. Якщо провести висоту $BK$ з точки $B$, то $AK=OD=6$ см.

Також $KO=BC=6$ см. Отже, довжина основи

\begin{gather*} AD=AK+KO+OD=6\ \text{см} + 6\ \text{см} + 6\ \text{см} = 18\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо довжину середньої лінії трапеції:

\begin{gather*} L=\frac{BC+AD}{2}=\frac{6\ \text{см}+18\ \text{см}}{2}=\frac{24\ \text{см}}{2}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – А, 2 – Б, 3 – Г.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37115

Завдання 35 з 365

Які твердження правильні?

I. У прямокутному трикутнику найбільший кут дорівнює половині розгорнутого кута.

II. У рівносторонньому трикутнику сума градусних мір двох кутів дорівнює $120^\circ.$

III. Існує гострокутний трикутник, у якого всі гострі кути більші за $60^\circ.$

А лише I та III

Блише IІ

В лише I та ІІ

Глише IІ та ІІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трикутників, зокрема прямокутних і рівносторонніх.

I. Градусна міра розгорнутого кута $180^\circ.$ Його половина – це $90^\circ.$ У прямокутному трикутнику один кут прямий $(90^\circ)$, а сума двох гострих кутів також дорівнює $90^\circ.$ Отже, прямий кут дійсно найбільший. Твердження правильне.

II. У рівносторонньому трикутнику всі кути рівні. Оскільки сума градусних мір кутів трикутника $180^\circ$, то градусна міра кожного кута дорівнює: $180^\circ : 3 = 60^\circ.$ Сума будь-яких двох кутів: $60^\circ + 60^\circ = 120^\circ.$ Твердження правильне.

III. Припустімо, що таке існує. Якщо кожен із трьох кутів більший за $60^\circ$, то їхня сума більша за $180^\circ$ (наприклад, $61^\circ+ 61^\circ + 61^\circ = 183^\circ$). Це суперечить теоремі про суму кутів трикутника, яка завжди дорівнює $180^\circ.$ Твердження неправильне.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37106

Завдання 36 з 365

Два кола із центрами в точках $O$ i $O_1$ мають зовнішній дотик (див. рисунок). Обчисліть відстань $OO_1$, якщо радіуси кіл дорівнюють $2$ см і $10$ см.

А$6$ см

Б$4$ см

В$12$ см

Г$9$ см

Д$8$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання властивостей кола та його елементів.

За умовою:

\begin{gather*} r=2\ \text{см};\\[7pt] R=10\ \text{см}. \end{gather*}

Відстань між центрами кіл дорівнює сумі радіусів цих кіл:

\begin{gather*} OO_1=r+R=2\ \text{см}+10\ \text{см}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37102

Завдання 37 з 365

На рисунку зображено прямі, що перетинаються. Визначте градусну міру кута $\beta$, якщо $\alpha=25^\circ.$

А$145^\circ$

Б$155^\circ$

В$115^\circ$

Г$65^\circ$

Д$165^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші фігури на площині. Суміжні кути.

Завдання перевіряє вміння визначати невідомий кут, використовуючи означення і властивість суміжних кутів.

Кути $\alpha$ та $\beta$ суміжні, оскільки мають спільну сторону, а інші їхні сторони є доповняльними променями. Сума суміжних кутів завжди дорівнює $180^\circ.$ Тому

\begin{gather*} \beta=180^\circ-\alpha=180^\circ-25^\circ=155^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37099

Завдання 38 з 365

У рівнобічній трапеції $ABCD$ $AB=BC=CD=6$ см, діагональ $AC$ утворює з основою $AD$ кут $30^\circ$ (див. рисунок). До кожного відрізка (1–3) доберіть його довжину (А – Д).

Відрізок

1основа $AD$

2висота трапеції $ABCD$

3діагональ $AC$

Довжина відрізка

А$6\sqrt{3}\ \text{см}$

Б$6\ \text{см}$

В$3\sqrt{3}\ \text{см}$

Г$12\ \text{см}$

Д$3\ \text{см}$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції, прямокутних трикутників.

1. Основа $AD{:}$ оскільки $BC\ ||\ AD$, то внутрішні різносторонні кути рівні: $\angle BCA=\angle CAD=30^\circ.$ $\Delta ABC$ — рівнобедрений $(AB=BC=6)$, тому $\angle BAC=\angle BCA=30^\circ.$

Отже, у трапеції

\begin{gather*} \angle A=\angle BAC+\angle CAD=30^\circ+30^\circ=60^\circ. \end{gather*}

У рівнобічній трапеції кути при основі рівні, тож $\angle D=60^\circ.$

Розгляньмо $\Delta ACD{:}$

\begin{gather*} \angle CAD=30^\circ;\\[7pt] \angle D=60^\circ \Rightarrow \angle ACD=90^\circ. \end{gather*}

У прямокутному $\Delta ACD$ катет $CD=6$ і лежить навпроти кута $30^\circ$, тому гіпотенуза

\begin{gather*} AD=2\cdot CD=2\cdot 6\ \text{см}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 1 – Г.

2. Висота трапеції:

Проведімо висоту $CH.$ У $\Delta CHD\ (\angle H=90^\circ$, $\angle D=60^\circ){:}$

\begin{gather*} CH=CD\cdot \sin 60^\circ=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 2 – B.

3. Діагональ $AC{:}$ у прямокутному $\Delta ACD$

\begin{gather*} AC=AD\cdot \cos 30^\circ=12\ \text{см}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – В, 3 – А.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36919

Завдання 39 з 365

Які з наведених тверджень правильні?

I. Існує ромб, у якого менша діагональ дорівнює стороні.

II. Висота будь-якого ромба більша за його сторону.

III. Діагональ будь-якого ромба ділить ромб на два рівні трикутники.

Алише I

Блише IІІ

Влише II та ІІІ

Глише I та III

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей чотирикутників, зокрема ромба.

I. Якщо градусна міра гострого кута ромба дорівнює $60^\circ$, то менша діагональ ділить його на два рівносторонні трикутники. У такому разі діагональ дорівнює стороні. Твердження правильне.

II. Висота – це перпендикуляр, а сторона — похила. Похила завжди довша за перпендикуляр (або рівна йому, якщо ромб є квадратом). Твердження неправильне.

III. За трьома сторонами (двома сторонами ромба та спільною діагоналлю) ці трикутники рівні. Твердження правильне.

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36912

Завдання 40 з 365

У прямокутній системі координат на площині задано точки $A$ та $B$ (див. рисунок). Визначте відстань між цими точками.

А$\sqrt{5}$

Б$25$

В$\sqrt{13}$

Г$5$

Д$\sqrt{17}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє знання координат точки на площині.

Визначмо координати точок за рисунком: $A(-1; -1)$ і $B(3; 2).$

Обчислімо відстань між цими точками за формулою:

\begin{gather*} \left |AB\right |=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2},\\[7pt] \left |AB\right |=\sqrt{(3-(-1))^2+(2-(-1))^2}=\sqrt{(3+1)^2+(2+1)^2}=\\[7pt] =\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36909

Завдання 41 з 365

З точки $O$, яка лежить на прямій $AB$, проведено промені $OM$ і $OK$ (див. рисунок). Відомо, що $\angle BOM=30^\circ$, $\angle MOK=80^\circ$. Визначте градусну міру кута $AOK$. Уважайте, що промені $OK$, $OM$ і пряма $AB$ лежать в одній площині.

А$50^\circ$

Б$60^\circ$

В$80^\circ$

Г$70^\circ$

Д$110^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їх властивості.

Завдання перевіряє знання аксіом планіметрії.

\begin{gather*} \angle AOK+\angle KOM+\angle MOB=180^\circ;\\[7pt] \angle AOK=180^\circ-(30^\circ+80^\circ)=70^\circ. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36904

Завдання 42 з 365

У рівнобічній трапеції $ABCD$ діагоналі $AC$ i $BD$ взаємно перпендикулярні і перетинаються в точці $O$, $KM$ – середня лінія трикутника $AOD$, $BO=6\sqrt{2}$ см, $KM=12$ см (див. рисунок). До кожного відрізка (1–3) доберіть його довжину (А – Д).

Відрізок

1$BC$

2$AD$

3висота трапеції $ABCD$

Довжина відрізка

А$12$ см

Б$15$ см

В$18$ см

Г$21$ см

Д$24$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції, середньої лінії трапеції, прямокутного трикутника.

1. У рівнобічній трапеції трикутники $AOD$ та $BOC$, утворені діагоналями, є рівнобедреними прямокутними трикутниками (оскільки $AC=BD$, діагоналі перпендикулярні та діляться точкою перетину на рівні частини: $AO=OD$ та $BO=OC$). Отже, $BO=OC=6\sqrt{2}\ \text{см}.$

У прямокутному трикутнику $BOC$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} BC^2=BO^2+OC^2;\\[7pt] BC^2=(6\sqrt{2})^2+(6\sqrt{2})^2=36\cdot 2+36\cdot 2=72+72=144;\\[7pt] BC=\sqrt{144}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 1 – А.

2. За умовою, $KM$ – середня лінія трикутника $AOD$, $KM=12$ см.

Середня лінія трикутника паралельна основі та дорівнює її половині.

Отже,

\begin{gather*} AD=2\cdot KM=2\cdot 12\ \text{см}=24\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 2 – Д.

3. Висота $h$ трапеції з перпендикулярними діагоналями дорівнює середній лінії всієї трапеції (або сумі проведених до основ висот трикутників $AOD$ та $BOC$).

Оскільки ці трикутники прямокутні та рівнобедрені, їхні висоти до основ дорівнюють половині самих основ:

Висота $\Delta BOC{:}$

\begin{gather*} h_1=\frac{BC}{2}=\frac{12\ \text{см}}{2}=6\ \text{см}. \end{gather*}

Висота $\Delta AOD{:}$

\begin{gather*} h_2=\frac{AD}{2}=\frac{24\ \text{см}}{2}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Висота трапеції:

\begin{gather*} h=h_1+h_2=6\ \text{см}+12\ \text{см}=18\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – В.

Відповідь: 1 – А, 2 – Д, 3 – В.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36607

Завдання 43 з 365

У прямокутнику $ABCD$ бісектриса кута $A$ перетинає сторону $BC$ в точці $M$, $BM:MC=4:5$ (див. рисунок). Обчисліть площу прямокутника $ABCD$, якщо $BC=18$ см.

А$144$ см$^2$

Б$162$ см$^2$

В$90$ см$^2$

Г$120$ см$^2$

Д$72$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості прямокутника та прямокутного трикутника.

Сторона $BC=18$ см, точка $M$ поділила її у відношенні $4:5.$ Тому загальна кількість частин дорівнює $9{:}$

\begin{gather*} 4x+5x=9x\ \text{частин};\\[7pt] x=18\ \text{см}:9=2\ \text{см (довжина однієї частини)}. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} BM=4\cdot 2\ \text{см}=8\ \text{см}. \end{gather*}

Оскільки $AM$ – бісектриса прямого кута $A$, то

\begin{gather*} \angle BAM=\angle MAD=45^\circ. \end{gather*}

У прямокутнику сторони $BC$ та $AD$ паралельні, тому \begin{gather*} \angle BMA=\angle MAD=45^\circ \end{gather*} (як внутрішні різносторонні кути).

Розгляньмо трикутник $ABM{:}$ у ньому два кути по $45^\circ{:}$ \begin{gather*} \angle BAM=\angle BMA=45^\circ, \end{gather*} отже цей трикутник – рівнобедрений.

Це означає, що бічні сторони $AB$ та $BM$ рівні:

\begin{gather*} AB=BM=8\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо площу прямокутника:

\begin{gather*} S_{ABCD}=AB\cdot BC=8\ \text{см}\cdot 18\ \text{см}=144\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36600

Завдання 44 з 365

До кола із центром у точці $O$ проведено дотичну $AB$, яка дотикається кола в точці $A.$ Пряма $OB$ перетинає коло в точках $D$ i $C$, $\angle AOB=60^\circ.$

Які з наведених тверджень правильні?

I. $OA\ \perp\ AB.$

II. $OB=2OA.$

III. $OD=AC.$

Алише I та II

БІ, ІІ та ІІІ

Влише I та III

Глише III

Длише II та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання властивостей кола та його елементів, хорд.

I. $OA\ \perp\ AB$ – правильно. Радіус кола, проведений у точку дотику, завжди перпендикулярний до дотичної.

II. $OB=2OA$ – правильно.

Розгляньмо трикутник $\Delta OAB\ (\angle A=90^\circ).$

Сума його гострих кутів дорівнює $90^\circ$, отже $\angle OBA=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$

Катет $OA$ лежить навпроти кута $30^\circ$, тому він дорівнює половині гіпотенузи $OB.$ Тобто $OB=2OA.$

III. $OD=AC$ – правильно.

$OD$ та $OC$ – це радіуси кола, тому $OD=OC.$

Розгляньмо $\Delta OAC.$ Він рівнобедрений ($OA=OC$ як радіуси).

Оскільки кут при вершині $\angle AOC=60^\circ$, то градусна міра кутів при основі також $(180^\circ-60^\circ) : 2 = 60^\circ.$

Отже, $\Delta OAC$ – рівносторонній, тому $AC=OC.$

Оскільки $OD=OC$ й $AC=OC$, то $OD=AC.$

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36597

Завдання 45 з 365

Обчисліть довжину основи рівнобедреного трикутника, якщо його бічна сторона дорівнює $12$ см, а периметр – $40$ см.

А$14$ см

Б$12$ см

В$8$ см

Г$28$ см

Д$16$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей рівнобедреного трикутника.

У рівнобедреному трикутнику дві бічні сторони рівні.

Бічні сторони: $AB=BC=12$ см. Основа: $AC.$

Периметр $(P)$ – це сума всіх сторін трикутника.

Для рівнобедреного трикутника: \begin{gather*} P=2a+b, \end{gather*} де $a$ – бічна сторона, а $b$ – основа.

\begin{gather*} 40=2\cdot 12+b;\\[7pt] 40=24+b;\\[7pt] b=40-24;\\[6pt] b=16. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36590

Завдання 46 з 365

Діагональ $BD$ паралелограма $ABCD$ перпендикулярна до сторони $AB$ (див. рисунок). $\angle A=60^\circ$, $BD=12$ см. До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Довжина сторони $AB$

2Довжина сторони $AD$

3Довжина діагоналі $AC$

Закінчення речення

Адорівнює $4\sqrt{3}$ см.

Бдорівнює $8\sqrt{3}$ см.

Вдорівнює $2\sqrt{21}$ см.

Гдорівнює $4\sqrt{21}$ см.

Ддорівнює $24$ см.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники. Геометричні перетворення.

Це завдання перевіряє знання співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника, ознаки та властивості подібних фігур; уміння застосовувати властивості трикутників та чотирикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. Довжина сторони $AB.$ У прямокутному трикутнику $ABD$ за означенням тангенса:

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ 60^\circ=\frac{BD}{AB};\\[6pt] AB=\frac{BD}{\mathrm{tg}\ 60^\circ}=\frac{12}{\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}\ (\text{см}). \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – А.

2. Довжина сторони $AD.$ У прямокутному трикутнику $ABD$ за означенням синуса:

\begin{gather*} \sin 60^\circ=\frac{BD}{AD};\\[6pt] \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{12}{AD};\\[6pt] AD=\frac{2\cdot 12}{\sqrt{3}}=\frac{24\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{24\cdot \sqrt{3}}{3}=8\sqrt{3}\ (\text{см}). \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

3. Довжина діагоналі $AC.$ Для обчислення довжини другої діагоналі паралелограма скористаймося теоремою косинусів для трикутника $ABC.$

У паралелограма сума сусідніх кутів становить $180^\circ$, тому

\begin{gather*} \angle ABC=180^\circ-60^\circ=120^\circ;\\[7pt] AB=4\sqrt{3};\\[7pt] BC=AD=8\sqrt{3}. \end{gather*}

За теоремою косинусів:

\begin{gather*} AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos 120^\circ. \end{gather*}

Оскільки $\cos 120^\circ=-\frac 12$,

\begin{gather*} AC^2=(4\sqrt{3})^2+(8\sqrt{3})^2-2\cdot 4\sqrt{3}\cdot 8\sqrt{3}\cdot \left(-\frac 12\right);\\[6pt] AC^2=48+192+4\sqrt{3}\cdot 8\sqrt{3};\\[6pt] AC^2=240+96=336;\\[7pt] AC=\sqrt{336}=\sqrt{16\cdot 21}=4\sqrt{21}\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – А, 2 – Б, 3 – Г.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36402

Завдання 47 з 365

Діагоналі прямокутника $ABCD$ перетинаються в точці $O$, $AB=6$, $\angle AOD=110^\circ$ (див. рисунок). Який периметр цього прямокутника?

А$6+6\mathrm{tg}\ 55^\circ$

Б$12+12\sin 55^\circ$

В$12+\frac{12}{\mathrm{tg}\ 55^\circ}$

Г$12+12\mathrm{tg}\ 55^\circ$

Д$12+12\cos 55^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості прямокутника та прямокутного трикутника.

Оскільки діагоналі прямокутника рівні та діляться точкою $O$ навпіл, трикутник $\Delta AOD$ – рівнобедрений. Проведімо висоту $OH$ до основи $AD.$ Вона буде також бісектрисою і медіаною.

У прямокутному трикутнику $\Delta AOH{:}$

\begin{gather*} OH=AB:2=6:2=3;\\[7pt] \angle AOH=110^\circ:2=55^\circ.\\[6pt] \mathrm{tg}\ \angle AOH=\frac{AH}{OH};\\[6pt] \mathrm{tg}\ 55^\circ=\frac{AH}{OH};\\[6pt] AH=OH\cdot \mathrm{tg}\ 55^\circ=3\mathrm{tg}\ 55^\circ;\\[7pt] AD=2\cdot AH=6\cdot \mathrm{tg}\ 55^\circ. \end{gather*}

Обчислімо периметр прямокутник $ABCD{:}$

\begin{gather*} P=2(AB+AD)=2(6+6\cdot\mathrm{tg}\ 55^\circ)=12+12\cdot \mathrm{tg}\ 55^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36399

Завдання 48 з 365

Визначте координати вектора $\overrightarrow{KL}$, якщо $K(4; 3; 6)$, $L(-2; 3; 0).$

А$(6; 0; 6)$

Б$(-6; 0; -6)$

В$(-3; 0; -3)$

Г$(2; 3; 3)$

Д$(3; 6; 6)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Вектори і координати на площині.

Це завдання перевіряє вміння визначати координати вектора на площині.

Якщо $K(x_1; y_1; z_1)$, $L(x_2; y_2; z_2)$, то координати вектора $\overrightarrow{KL}(x_2-x_1; y_2-y_1; z_2-z_1).$

\begin{gather*} K(4; 3; 6),\\[7pt] L(-2; 3; 0),\\[7pt] \overrightarrow{KL}(-2-4; 3-3; 0-6),\\[7pt] \overrightarrow{KL}(-6; 0; -6). \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36397

Завдання 49 з 365

У рівнобедреному трикутнику $ABC\ (AB=BC)$ $BK$ – бісектриса кута $B$, точка $K$ належить стороні $AC.$ Які з наведених тверджень є правильними?

I. $AB+BC=AC.$

II. $BK\ \perp\ AC.$

III. $AK=KC.$

Алише I

Блише I та II

Влише I та III

Глише II та ІІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей рівнобедрених трикутників.

У рівнобедреному трикутнику бісектриса, проведена до основи, водночас є медіаною і висотою.

I. $AB+BC=AC$ – неправильно (сума двох сторін завжди більша за третю).

II. $BK\ \perp\ AC$ – правильно (бісектриса є висотою).

III. $AK=KC$ – правильно (бісектриса є медіаною).

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36393

Завдання 50 з 365

Коло радіуса $6$ уписано у квадрат (див. рисунок). Визначте периметр квадрата.

А$24$

Б$12$

В$36$

Г$48$

Д$60$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Коло.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей квадрата, уміння обчислювати його периметр.

Діаметр кола дорівнює стороні квадрата, у яке воно вписане.

Оскільки діаметр дорівнює двом радіусам $(d=2r)$, то сторона квадрата

\begin{gather*} a=2\cdot 6=12. \end{gather*}

Периметр квадрата дорівнює сумі всіх його чотирьох сторін:

\begin{gather*} P=4a=4\cdot 12=48. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36387

Завдання 51 з 365

У прямокутник $ABCD$ вписано коло із центром у точці $O$, яке дотикається сторін $AB$, $BC$, i $AD$, і півколо діаметра $CD$ (див. рисунок). Коло й півколо мають лише одну спільну точку. $AB=8$ см. До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Довжина сторони $BC$

2Довжина відрізка $OC$

3Відстань від середини відрізка $AO$ до прямої $CD$

Закінчення речення

Адорівнює $10$ см

Бдорівнює $12$ см

Вдорівнює $16$ см

Гдорівнює $4\sqrt{5}$ см

Ддорівнює $4\sqrt{3}$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Коло та круг.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей кола, круга та їхніх елементів, властивостей прямокутника.

Оскільки діаметри кола та півкола дорівнюють стороні $AB=8$ см, маємо дві фігури однакового радіуса:
радіус кола $(R){:}$ \begin{gather*} R=\frac{AB}{2}=\frac{8\ \text{см}}{2}=4\ \text{см}; \end{gather*} радіус півкола $(r){:}$ \begin{gather*} r=\frac{CD}{2}=\frac{8\ \text{см}}{2}=4\ \text{см}. \end{gather*}

Коло та півколо мають лише одну спільну точку (дотикаються зовні).

Відстань між центром кола $O$ та центром півкола $O_1$ (середина $CD$) дорівнює $OO_1=R+r=4\ \text{см}+4\ \text{см}=8\ \text{см}.$ Відстань від сторони $AB$ до центра $O$ дорівнює $R=4\ \text{cм}.$

Тобто загальна довжина $BC=R+OO_1=4\ \text{см}+8\ \text{см}=12\ \text{см}.$

Отже, правильна відповідь – Б.

Розгляньмо прямокутний трикутник $\Delta OCO_1\ (\angle O_1=90^\circ){:}$

\begin{gather*} OO_1=8\ \text{см};\\[7pt] O_1C=r=4\ \text{см}. \end{gather*}

За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} OC=\sqrt{OO_1^2+CO_1^2}=\sqrt{(4\ \text{см})^2+(8\ \text{см})^2}=\sqrt{16\ \text{см}^2+64\ \text{см}^2}=\\[7pt] =\sqrt{80\ \text{см}^2}=\sqrt{(16\cdot 5)\ \text{см}^2}=4\sqrt{5}\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

Розгляньмо чотирикутник $AOO_1D$ – прямокутну трапецію $(AD\ ||\ OO_1$, $O_1D\ \perp\ AD).$ Відстань від середини $AB$ до сторони $O_1D$ є середньою лінією трапеції $AOO_1D{:}$

\begin{gather*} MN=\frac{OO_1+AD}{2}=\frac{8\ \text{см}+12\ \text{см}}{2}=\frac{20\ \text{см}}{2}=10\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Г, 3 – А.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36369

Завдання 52 з 365

У паралелограмі $ABCD$ на стороні $AD$ вибрано точку $K.$ Діагональ $AC$ і відрізок $BK$ перетинаються в точці $O$ (див. рисунок). Визначте довжину сторони $BC$, якщо $AK=12$ см, $OK=2$ см, $OB=3$ см.

А$24$ см

Б$16$ см

В$8$ см

Г$15$ см

Д$18$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Геометричні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення паралелограма, ознак подібності трикутників для розв'язання планіметричних задач.

Розгляньмо трикутники $\Delta AOK$ та $\Delta COB{:}$
$\angle KAO=\angle BCO$ як внутрішні різносторонні при паралельних прямих $BC\ ||\ AD$ та січній $AC$;
$\angle BOC=\angle KOA$ як вертикальні кути.

Отже, $\Delta BOC$ подібний $\Delta KOA$ за двома кутами. У подібних трикутниках відповідні сторони пропорційні:

\begin{gather*} \frac{BC}{AK}=\frac{OB}{OK};\\[6pt] \frac{BC}{12\ \text{см}}=\frac{3\ \text{см}}{2\ \text{см}};\\[6pt] BC=\frac{3\ \text{см}\cdot 12\ \text{см}}{2\ \text{см}}=18\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36360

Завдання 53 з 365

А$27$

Б$45$

В$24$

Г$25$

Д$54$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трапеція.

Це завдання перевіряє вміння зчитувати дані з графіка й обчислювати площу трапеції.

Верхня основа $BC=3$, нижня основа $AD=6$, висота трапеції $BH=6.$

Обчислімо площу трапеції за формулою: \begin{gather*} S=\frac{a+b}{2}\cdot h. \end{gather*}

Підставмо у формулу відповідні значення:

\begin{gather*} S=\frac{BC+AD}{2}\cdot BH=\frac{3+6}{2}\cdot 6=\frac 92\cdot 6=9\cdot 3=27. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36357

Завдання 54 з 365

Задано довільний трикутник $ABC$, у якому $AM$ – медіана. Які з наведених тверджень правильні?

I. $BM=MC.$

II. $\angle BAM=\angle MAC.$

III. Площа трикутника $ABM$ дорівнює площі трикутника $MCA.$

Алише I

Блише IІІ

Влише IІ та IIІ

Глише I та ІІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники та їхні елементи.

Завдання перевіряє розуміння означення та ключових властивостей медіани трикутника.

I. Твердження правильне. $BM = MC.$ За означенням, медіана трикутника – це відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони. Оскільки $AM$ – медіана, то точка $M$ є серединою сторони $BC.$ Отже, $BM = MC.$

II. Твердження неправильне. $\angle BAM=\angle MAC.$ Ця рівність означала б, що $AM$ є бісектрисою. У довільному трикутнику медіана не обов'язково ділить кут навпіл. Вони збігаються лише в рівнобедреному трикутнику, якщо проведені до основи, або в рівносторонньому трикутнику.

III. Твердження правильне. Площа трикутника $ABM$ дорівнює площі трикутника $MCA.$ Це важлива властивість: медіана ділить трикутник на два рівновеликі (однакові за площею) трикутники.

Основи цих трикутників рівні $(BM = MC)$, а проведена з вершини $A$ висота спільна. Тож, за формулою \begin{gather*} S=\frac 12a\cdot h_a, \end{gather*} їхні площі рівні.

Отже, правильними є твердження I та III.

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36353

Завдання 55 з 365

На рисунку зображено прямокутник $ABCD.$ Точки $K$ i $M$ – відповідно середини сторін $AB$ i $BC$, $AB = 12$ см, $MC = 8$ см. До кожного відрізка (1–3) доберіть його довжину (А – Д).

Відрізок

1$BC$

2діаметр кола, описаного навколо прямокутника $ABCD$

3відстань від точки $D$ до середини $KM$

Довжина відрізка

А$10$ см

Б$15$ см

В$16$ см

Г$18$ см

Д$20$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Коло та круг. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей чотирикутників, зокрема прямокутника, кола, прямокутного трикутника, уміння застосовувати теорему Піфагора для розв’язування прямокутного трикутника.

1. За умовою точка $M$ – середина сторони $BC.$ Оскільки $MC=8$ см, то $BC=2MC=2\cdot 8=16$ см.

Правильна відповідь B.

2. Діаметр кола, описаного навколо прямокутника дорівнює його діагоналі $AC$ або $BD.$

Обчислімо довжину діагоналі $AC$ за теоремою Піфагора з трикутника $ABC\ (\angle B=90^\circ){:}$

\begin{gather*} AB=12\ \text{см};\\[7pt] BC=16\ \text{см};\\[7pt] AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(12\ \text{см})^2+(16\ \text{см})^2}=\\[6pt] =\sqrt{144\ \text{см}^2+256\ \text{см}^2}=\sqrt{400\ \text{см}^2}=20\ \text{см}. \end{gather*}

Правильна відповідь Д.

3. Визначмо відстань від точки $D$ до середини $KM.$

Розгляньмо трикутник $ABC.$ Відрізок $KM$ – це його середня лінія. За властивістю середньої лінії, трикутник BKM подібний до трикутника $BAC$ з коефіцієнтом подібності $k=\frac 12.$

Це означає, що будь-який лінійний елемент трикутника $BKM$ (медіана, висота, бісектриса) увдвічі менший за відповідний елемент трикутника $BAC$ і лежить на тій самій лінії.

У прямокутнику діагоналі $AC=BD$ і перетинаються в точці $O.$ Відрізок $BO$ – це медіана трикутника $BAC.$ Оскільки $P$ – середина $KM$, то відрізок $BP$ – це медіана трикутника $BKM{:}$

\begin{gather*} BO=\frac 12BD,\ \text{то}\ BP=\frac 14BD;\\[6pt] BP=\frac 14\cdot 20\ \text{см}=5\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, відстань від точки $D$ до середини $KM{:}$

\begin{gather*} PD=BD-BP=20\ \text{см}-5\ \text{см}=15\ \text{см}. \end{gather*}

Правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – В, 2 – Д, 3 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36342

Завдання 56 з 365

У паралелограмі $ABCD$ діагональ $BD$ утворює зі сторонами $AB$ i $AD$ кути $60^\circ$ i $45^\circ$ відповідно (див. рисунок). Обчисліть довжину сторони $BC$, якщо $AB=2$ см.

А$2\sqrt{2}$ см

Б$\sqrt{6}$ см

В$3$ см

Г$\frac{2\sqrt{6}}{3}$ см

Д$\sqrt{2}$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей паралелограма й теореми синусів.

У паралелограмі протилежні сторони рівні, тому $BC=AD.$ Тобто достатньо визначити довжину сторони $AD$ в трикутнику $ABD.$

За теоремою синусів у $\Delta ABD{:}$

\begin{gather*} \frac{AD}{\sin B}=\frac{AB}{\sin D};\\[6pt] AD=\frac{AB\cdot \sin B}{\sin D}=\frac{2\cdot \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ}=\frac{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\\[6pt] =\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{2}=\sqrt{6}\ \text{(см).} \end{gather*}

Оскільки $BC=AD$, то $BC=\sqrt{6}$ см.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36339

Завдання 57 з 365

Які з наведених тверджень правильні?

I. Існує ромб, навколо якого можна описати коло.

II. Середини сторін будь-якого ромба лежать на вписаному в нього колі.

III. Радіус кола, вписаного в ромб, удвічі менший за його висоту.

Алише I

Блише I та II

Влише I та IIІ

Глише IІ та ІІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей чотирикутників, зокрема ромба.

I. Ромб, у якого всі кути дорівнюють $90^\circ$, є квадратом. Оскільки сума його протилежних кутів $180^\circ$, то навколо нього можна описати коло. Твердження правильне.

II. Вписане коло дотикається сторін ромба, але не обов'язково в їхніх серединах. Точка дотику збігається із серединою сторони лише якщо цей ромб – квадрат. Твердження неправильне.

III. Висота ромба $BH$ удвічі більша за радіус $OK$ вписаного в нього кола. Твердження правильне.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36334

Завдання 58 з 365

Визначте радіанну міру кута $\beta$, якщо суміжний із ним кут $\alpha=\frac{\pi}{5}.$

А$\frac{\pi}{5}$

Б$\frac{7\pi}{10}$

В$\frac{4\pi}{5}$

Г$\frac{9\pi}{5}$

Д$\frac{3\pi}{10}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші фігури на площині. Вертикальні кути. Суміжні кути.

Завдання спрямовано на перевірку знань про суміжні та вертикальні кути як основні геометричні фігури на площині.

Суміжними називають два кути, у яких одна сторона спільна, а інші є доповняльними променями. На рис. 1 кути $AOC$ та $COB$ суміжні.

Рис. 1

Сума суміжних кутів дорівнює $180^\circ.$ Оскільки в умові міру кута наведено в радіанах, скористаймось еквівалентом: \begin{gather*} \alpha+\beta=\pi. \end{gather*}

Відомо, що кут \begin{gather*} \alpha=\frac{\pi}{5}. \end{gather*}

Щоб визначити міру кута $\beta$, віднімімо від $\pi$ відомий кут: \begin{gather*} \beta=\pi-\frac{\pi}{5}. \end{gather*}

Зведімо до спільного знаменника:

\begin{gather*} \beta=\frac{5\pi}{5}-\frac{\pi}{5}=\frac{5\pi-\pi}{5}=\frac{4\pi}{5}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36326

Завдання 59 з 365

На рисунку зображено два рівні рівнобедрені трикутники $ABC$ $(AB=BC)$ і $CMN$ $(CM=MN)$, що лежать в одній площині. $AN=8$ см, $AB=2\sqrt{17}$ см. Узгодьте відрізок (1–3) із його довжиною (А – Д).

1Відстань від $B$ до сторони $AC$

2$BM$

3Відстань між серединами сторін $AB$ і $MN$

А$4$ см

Б$6$ см

В$7$ см

Г$8$ см

Д$10$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Трикутники. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, рівнобедреного трикутника.

$AN=8$, $\Delta ABC=\Delta CMN$, $AC=CN=\frac 12AN=4$ см, $AB=BC=CM=MN=2\sqrt{17}$ см.

1. Відстань від $B$ до $BC$ – це довжина висоти $BK\ \Delta ABC.$ За властивістю рівнобедреного трикутника: $BK$ – висота та медіана. $KC=\frac 12 AC=2$ см.

За теоремою Піфагора в $\Delta BKC\ (\angle K=90^\circ)\mathord{:}$

\begin{gather*} BC^2=BK^2+KC^2,\\[7pt] BK^2=BC^2-KC^2=(2\sqrt{17})^2-2^2=4\cdot 17-4=64,\\[7pt] BK=8\ (\text{см}). \end{gather*}

Правильна відповідь – Г.

2. Побудуємо $MP\ \perp\ CN$ у $\Delta CMN.$

$KBMP$ – прямокутник.

$$ BM=KP=KC+CP=2+2=4\ (\text{см}). $$

$KC=CP$ в рівних трикутниках. Правильна відповідь – А.

3. $ABMN$ – рівнобічна трапеція, а $DE$ – її серденя лінія. За властивістю середньої лінії:

\begin{gather*} DE=\frac{BM+AN}{2}=\frac{4+8}{2}=6\ (\text{см}). \end{gather*}

Правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – А, 3 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35808

Завдання 60 з 365

Які з наведених тверджень є правильними для довільного трикутника?

I. Сума будь-яких двох сторін трикутника менша за третю його сторону.

II. Сума будь-яких двох кутів трикутника більша за $90^\circ.$

III. Навпроти найбільшої сторони трикутника лежить найбільший його кут.

Алише I

Блише II

Влише III

Глише І i ІІI

ДI, II та ІІI

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання видів трикутників і їхніх основних властивостей, нерівності трикутника, суми кутів трикутника.

I. Твердження неправильне. Сума будь-яких двох сторін більша за третю. Це нерівність трикутника.

II. Твердження неправильне. Сума двох кутів трикутника може бути меншою або дорівювати $90^\circ.$ Наприклад, у тупокутному трикутнику один кут більший за $90^\circ$ (тупий), а сума двох інших кутів менша за $90^\circ.$

III. Твердження правильне. За наслідком із теореми синусів навпроти найбільшої сторони лежить найбільший кут, навпроти найменшої сторони – найменший кут.

Відповідь: В.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35801

Завдання 61 з 365

Діагональ квадрата $ABCD$ дорівнює $12$ см. На стороні $BC$ квадрата вибрано точку $K$ так, що $\angle KAB=30^\circ.$ Визначте площу трикутника $ABK.$

А$12\sqrt{3}$ см$^2$

Б$18$ см$^2$

В$24\sqrt{3}$ см$^2$

Г$36\sqrt{3}$ см$^2$

Д$36$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей квадрата, уміння обчислювати площі трикутників.

$ABCD$ – квадрат, $AC=12$ см.

Сторону квадрата визначмо з $\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ)$ за теоремою Піфагора: $$ AC^2=AB^2+BC^2. $$ За умови, що $AB=BC\mathord{:}$

\begin{gather*} AC^2=2AB^2,\\[7pt] 2AB^2=12^2,\\[7pt] AB^2=72,\\[7pt] AB=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}\ (\text{см}). \end{gather*}

У $\Delta ABK\ (\angle B=90^\circ){:}$

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ A=\frac{BK}{AB},\\[6pt] BK=AB\cdot \mathrm{tg}\ A=6\sqrt{2}\cdot \mathrm{tg}\ 30^\circ=6\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{6\sqrt{6}}{3}=2\sqrt{6}\ (\text{см}),\\[6pt] S_{ABK}=\frac 12 AB\cdot BK=\frac 12\cdot 6\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{6}=6\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}=12\sqrt{3}\ (\text{см}^2). \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35799

Завдання 62 з 365

На рисунку зображено ромб $ABCD$ й рівносторонній трикутник $DCK$ зі стороною $8.$ Точка $D$ належить відрізку $AK$, точка $M$ i $N$ є серединами сторін $AB$ i $CK$ відповідно. Доберіть до відрізка (1–3) його довжину (А – Д).

1висота ромба $ABCD$

2менша діагональ ромба $ABCD$

3$MN$

А$8\sqrt{3}$

Б$8$

В$12$

Г$4\sqrt{3}$

Д$4$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей ромба, середньої лінії трапеції, рівностороннього трикутника.

$ABCD$ – ромб, $\Delta DCK$ – рівносторонній, $CD=DK=CK=8.$ $MN$ – середня лінія.

1. Висота $CH$ трикутника $CDK$ – це висота ромба $ABCD.$

\begin{gather*} CK=8,\\[6pt] HK=\frac 12DK=4. \end{gather*}

У $\Delta CHK\ (\angle H=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} CH^2=CK^2-HK^2=8^2-4^2=64-16=48,\\[7pt] CH=\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}. \end{gather*}

Правильна відповідь – Г.

2. $\Delta DCK$ – рівносторонній, $CK=CD=DK=8$, $\angle C=\angle D=\angle K=60^\circ.$

$BC\ ||\ DK$, $CD$ – січна. $\angle KDC=\angle DCB=60^\circ$ як внутрішні різносторонні.

У ромбі $ABCD$ гострий кут $C$ дорівнює $60^\circ.$ $\Delta CBD$ – рівносторонній, тому $BC=CD=BD=8.$ Менша діагональ ромба $BD=8.$

Правильна відповідь – Б.

3.$BC=8$, $AK=AD+DK=8+8=16.$

Середнія лінія

\begin{gather*} MN=\frac{BC+AK}{2}=\frac{8+16}{2}=12. \end{gather*}

Правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – B.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35786

Завдання 63 з 365

Які з наведених тверджень є правильними для будь-якого трикутника?

I. Медіана трикутника ділить його кут навпіл.

II. Бісектриса трикутника ділить його протилежну сторону навпіл.

III. Бісектриса трикутника проходить через центр уписаного в нього кола.

Алише I

Блише І та II

Влише І та III

Глише ІІI

Длише ІІ та III

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання видів трикутників та їхніх основних властивостей, властивостей медіани, висоти та бісектриси трикутника.

I. Твердження неправильне. Медіана збігається з бісектрисою, яку проведено до основи, тільки в рівнобедреному трикутнику. В умові трикутник довільний.

II. Твердження неправильне. Бісектриса довільного трикутника не збігається з медіаною.

III. Твердження правильне. Центр уписаного кола – точка перетину бісектрис у будь-якому трикутнику.

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35779

Завдання 64 з 365

Довжина сторони ромба $ABCD$ – ціле число. Якому числу може дорівнювати периметр ромба?

А$38$

Б$42$

В$56$

Г$65$

Д$82$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей ромба та його елементів.

Ромб – це чотирикутник, у якого всі сторони рівні.

Периметр ромба – це сума довжин усіх його сторін:

\begin{gather*} P=4a. \end{gather*}

За умовою, довжина сторони $(a)$ є цілим числом (наприклад $1$, $2$, $3$, $4\ \text{...}$). Тому, периметр $(P)$ буде завжди добутком цілого числа на $4$, що дає числа, які кратні $4{:}$

\begin{gather*} 4\cdot 1=4,\\[7pt] 4\cdot 2=8,\\[7pt] 4\cdot 3=12\ \text{і так далі}. \end{gather*}

З запропонованих чисел лише $56$ – кратне $4.$

Відповідь: В.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35771

Завдання 65 з 365

На рисунку зображено ескіз емблеми. Емблема має форму кола із центром у точці $O.$ Визначте градусну міру кута $AOB$, якщо точки $A$, $B$, $C$ поділяють коло на три рівні частини.

А$180^\circ$

Б$100^\circ$

В$60^\circ$

Г$120^\circ$

Д$135^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Коло та круг.

Завдання скеровано на перевірку знань про коло та його елементи.

Якщо точки $A$, $B$, $C$ поділяють коло на три рівні частини, то

\begin{gather*} \angle AOC+\angle COB+\angle AOB=360^\circ. \end{gather*}

Звідси

$$ \angle AOB=360^\circ : 3=120^\circ. $$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35770

Завдання 66 з 365

На рисунку зображено прямокутну трапецію $ABCD.$ Точка $O$ – середина діагоналі $AC$, $AB=BC$, $AC=40$ см, $CD=24$ см. Узгодьте відрізок (1–3) із його довжиною (А – Д).

Відрізок

1$AO$

2$AD$

3$AB$

Довжина (см) відрізка

А$20$

Б$16$

В$25$

Г$27$

Д$32$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, трикутників, уміння застосовувати теорему косинусів.

1. Оскільки точка $O$ – середина діагоналі $AC$, то

\begin{gather*} AO=\frac 12AC,\\[7pt] AO=40:2=20\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 1 – А.

2. Розгляньмо прямокутний трикутник $\Delta ACD\ (\angle D=90^\circ).$ За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AD^2+CD^2=AC^2,\\[7pt] AD^2=40^2-24^2=1600-576=1024,\\[7pt] AD=\sqrt{1024}=32\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 2 – Д.

Нехай $BC=x.$

Оскільки $AB=BC$, то $AB=x.$

Проведімо висоту з точки $B$ на основу $AD.$ Нехай це буде $BK$. У прямокутній трапеції висота $BK=CD=24$ см. Відрізок $AK=AD-KD.$

Оскільки $BCDK$ – прямокутник, то $KD=BC=x.$ Отже, $AK=32-x.$

У прямокутному трикутнику $\Delta ABK$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB^2=AK^2+BK^2,\\[7pt] x^2=(32-x)^2+24^2,\\[7pt] x^2=1024-64x+x^2+576,\\[7pt] 64x=1600,\\[7pt] x=25\ \text{см},\\[7pt] AB=25\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – B.

Відповідь: 1 – A, 2 – Д, 3 – В.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35442

Завдання 67 з 365

На колі вибрано точки $A$, $B$ і $C$ так, що $\angle ACB=30^\circ$ (див. рисунок). Визначте довжину (см) цього кола, якщо довжина меншої дуги $AB$ дорівнює $25$ см.

А$150$

Б$300$

В$250$

Г$200$

Д$360$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей вписаного та центрального кутів, уміння визначати довжину дуги кола.

\begin{gather*} \angle AOB=2\cdot \angle ACB=2\cdot 30^\circ=60^\circ. \end{gather*}

Градусна міра дуги $AB$ дорівнює $60^\circ.$ За формулою довжини дуги

\begin{gather*} l=\frac{L}{360^\circ}\cdot n, \end{gather*}

де $L$ – довжина кола, $n$ – градусна міра центрального кута (градусна міра дуги).

Тобто

\begin{gather*} 25=\frac{L\cdot 60^\circ}{360^\circ},\\[6pt] 25=\frac L6,\\[6pt] L=25\cdot 6=150\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35439

Завдання 68 з 365

У довільному трикутнику $ABC$ проведено медіану $AM$ (див. рисунок). Які з наведених тверджень є правильними?

I. $BM=MC.$

II. Промінь $AM$ ділить кут $A$ навпіл.

III. Площі трикутників $ABM$ і $ACM$ рівні.

Алише I

Блише І та ІІ

Влише І та ІІІ

Глише ІІ та ІІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати означення, ознаки та властивості трикутників різних видів, знання властивостей медіани й бісектриси трикутника.

I. За означенням, медіана – це відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Оскільки $AM$ – медіана, точка $M$ ділить сторону $CB$ навпіл. Отже, $BM=MC.$ Твердження правильне.

II. Промінь, що ділить кут навпіл, називають бісектрисою.

У довільному трикутнику (як зазначено в умові) медіана не збігається з бісектрисою. Твердження неправильне.

III. Медіана поділяє трикутник на два трикутники з рівними площами (рівновеликі). Площі трикутників $\Delta ABM$ і $\Delta ACM$ рівні.

Площу трикутника можна обчислити за формулою: $S=ah_a.$

У трикутників $ABM$ та $ACM$ основи рівні $(BM = MC)$, а висота $AH$, проведена з вершини $A$ до прямої $CB$, у них спільна.

Отже, $S_{\Delta ABM}=S_{\Delta ACM}.$ Твердження правильне.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35433

Завдання 69 з 365

Драбина $BC$ приставлена до вертикальної стіни $AB$ й спирається на горизонтальну поверхню $AC$ (див. рисунок). За наведеними на рисунку даними визначте градусну міру кута $BCA$ нахилу драбини до поверхні $AC.$

А$18^\circ$

Б$82^\circ$

В$72^\circ$

Г$12^\circ$

Д$78^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.

Завдання скеровано на перевірку знання властивості зовнішнього кута трикутника.

За властивістю зовнішнього кута трикутника: \begin{gather*} \angle KBC=\angle A+\angle C,\\[7pt] \angle C=\angle KBC-\angle A,\\[7pt] \angle C=162^\circ-90^\circ,\\[7pt] \angle C=72^\circ. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35424

Завдання 70 з 365

На рисунку зображено прямокутник $ABCD$ та два кола. Перше коло з центром у точці $O_1$ описано навколо цього прямокутника. Площа круга, обмеженого колом з центром у точці $O_1$, дорівнює $625\mathbf{\pi}$ см$^2.$ Друге коло з центром у точці $O_2$ дотикається до сторін $AB$, $BC$ та $AD.$ $AB=30$ см. Узгодьте початок речення (1–3) із його закінченням (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

1Відстань від $O_2$ до сторони $BC$

2Довжина сторони $AD$ дорівнює

3Довжина відрізка $O_1O_2$ дорівнює

А$5$ см

Б$10$ см

В$15$ см

Г$25$ см

Д$40$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Коло та круг.

Площа круга із центром у точці $O_1$ дорівнює $625\mathbf{\pi}$ см$^2.$

\begin{gather*} S=\mathbf{\pi}R^2=625\mathbf{\pi},\\[7pt] R^2=625,\\[7pt] R=25\ \text{см},\\[7pt] O_1A=O_1B=O_1C=O_1D=25\ \text{см}. \end{gather*}

1. Відстань від $O_2$ до сторони $BC{:}$ $$ O_2K=\frac 12BA=\frac 12\cdot 30=15\ \text{см}. $$

$O_2K\ \perp\ BC$, а $KP$ – діаметр кола.

Правильна відповідь – B.

2. Центр кола $O_1$, описаного навколо прямокутника $ABCD$, лежить на середині діагоналі $BD.$

\begin{gather*} O_1B=O_1D=25\ \text{см},\\[7pt] BD=50\ \text{см}. \end{gather*}

У $\Delta ABD$ $(\angle A=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} BD^2=AB^2+AD^2,\\[7pt] AD^2=BD^2-AB^2=(50\ \text{см})^2-(30\ \text{см})^2=1600\ \text{см}^2,\\[7pt] AD=40\ \text{см}. \end{gather*}

Правильна відповідь – Д.

3. Відстань $$ O_1O_2=FO_1-FO_2, $$ де $FO_2$ – радіус кола із центром у точці $O_2.$

\begin{gather*} FO_2=15\ \text{см}.\\[7pt] OO_1=20\ \text{см}-15\ \text{см}=5\ \text{см}. \end{gather*}

Правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – B, 2 – Д, 3 – A.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35382

Завдання 71 з 365

На рисунку зображено рівнобічну трапецію $ABCD$ $(AB=CD)$, точки $K$ і $M$ – середини бічних сторін трапеції, діагональ $AC$ трапеції перетинає відрізок $KM$ у точці $O$ так, що $KO=5$ см, $OM=7$ см, $\angle CAD=30^\circ.$ Знайдіть площу цієї трапеції.

А$144$ см$^2$

Б$144\sqrt{3}$ см$^2$

В$288$ см$^2$

Г$48\sqrt{3}$ см$^2$

Д$72$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, її середньої лінії, співвідношення між сторонами й кутами прямокутного трикутника.

За властивістю середньої лінії трапеції: $$ KM\ ||\ BC\ ||\ AD, $$

\begin{gather*} KM=\frac 12(BC+AD). \end{gather*}

У $\Delta ABC\ KO$ – середня лінія. За властивістю середньої лінії: $$ KO=\frac 12BC. $$ Oтже, $BC=10$ см.

У $\Delta ACD\ OM$ – середня лінія, тому

\begin{gather*} OM=\frac 12AD,\\[6pt] AD=14\ \text{см}. \end{gather*}

Побудуймо $CH\ \perp\ AD.$

\begin{gather*} HD=(AD-BC):2=(14-10):2=2\ \text{см}.\\[7pt] AH=AD-HD=14-2=12\ \text{см}. \end{gather*}

У $\Delta ACH\ (\angle H=90^\circ)$

\begin{gather*} \operatorname{tg}\ A=\frac{CH}{AH},\\[6pt] CH=AH\cdot \operatorname{tg}\ A=12\cdot \operatorname{tg}\ 30^\circ=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Площа трапеції

$$ S=\frac{BC+AD}{2}\cdot CH=KM\cdot CH=12\cdot 4\sqrt{3}=48\sqrt{3}\ \text{см}^2. $$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35376

Завдання 72 з 365

Задано довільний трикутник $ABC$, у якому $AM$ – медіана. Які з наведених тверджень є правильними?

I. Довжина $AM$ дорівнює довжині сторони $BC.$

II. Довжина $AM$ дорівнює відстані від точки $A$ до сторони $BC.$

III. Точка $M$ рівновіддалена від точок $B$ і $C.$

Алише I

Блише II

Влише III

Глише І та ІІ

Длише ІI та ІІI

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати означення, ознаки та властивості трикутників різних видів, знання властивостей медіани й висоти трикутника.

I. $AM$ – медіана. Вона може дорівнювати довжині сторони $BC$, але не обов'язково. Твердження неправильне.

II. Відстанню від точки $A$ до прямої $BC$ є довжина перпенидкуляра з точки $A$ до $BC.$

У довільному трикутнику медіана не є висотою, а тому твердження неправильне. Таку властивість має медіана рівнобедреного трикутника, яку проведено до основи.

III. Точка $M$ – середина сторони $BC$, тож вона рівновіддалена від точок $B$ i $C.$ Твердження правильне.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35373

Завдання 73 з 365

На рисунку зображено елемент декору паркану, що складається з п’яти довгих і чотирьох коротких стрілок, які виходять з вершини розгорнутого кута та поділяють його на рівні частини. Знайдіть градусну міру кута між двома довгими сусідніми стрілками.

А$18^\circ$

Б$20^\circ$

В$30^\circ$

Г$36^\circ$

Д$40^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей і видів кутів.

Розгорнутий кут поділено на $10$ рівних частин. Градусна міра кожного з-поміж цих кутів $$ 180^\circ: 10=18^\circ. $$

Градусна міра кута між довгими стрілками складається з двох градусних мір кутів між довгою і короткою стрілкою.

Отже,

$$ 18^\circ\cdot 2=36^\circ. $$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35369

Завдання 74 з 365

У ромбі $ABCD$ проведено діагональ $AC.$ $\angle CAD=23^\circ.$ Знайдіть градусну міру більшого кута ромба.

А$67^\circ$

Б$136^\circ$

В$134^\circ$

Г$124^\circ$

Д$144^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей ромба та рівнобедреного трикутника.

$ABCD$ – ромб, тому $AB=BC=CD=DA.$

Отже, $\Delta ADC$ – рівнобедрений з основою $AC.$ За властивістю рівнобедреного трикутника:

\begin{gather*} \angle A=\angle C=23^\circ,\\[7pt] \angle D=180^\circ-2\cdot 23^\circ=180^\circ-46^\circ=134^\circ. \end{gather*}

Або можна обчислити більший кут ромба іншим способом. За властивістю ромба, $AC$ – бісектриса кута $A{:}$ $$ \angle BAD=2\cdot 23^\circ=46^\circ. $$

Сума сусідніх кутів будь-якого паралелограма (ромб – паралелограм) дорівнює $180^\circ.$ Отже, $$ 180^\circ-46^\circ=134^\circ. $$

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35366

Завдання 75 з 365

На рисунку зображено прямокутник $ABCD$, $O$ – точка перетину його діагоналей. $AB=6$ см, $AD=8$ см, $OM$ – перпендикуляр, проведений з точки $O$ до сторони $AD$. Доберіть до геометричної фігури (1–3) її площу (А – Д).

1трикутник $ABD$

2трикутник $AOD$

3п’ятикутник $ABCOM$

А$12$ см$^2$

Б$18$ см$^2$

В$24$ см$^2$

Г$30$ см$^2$

Д$36$ см$^2$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей прямокутника, властивості середньої лінії трикутника, уміння обчислювати площі трикутників, многокутників.

1. $\Delta ABD$ – прямокутний із катетами $AB=6$ см і $AD=8$ см.

$$ S_{ABD}=\frac 12 AB\cdot AD=\frac 12\cdot 6\ \text{см}\cdot 8\ \text{см}=24\ \text{см}^2. $$

Правильна відповідь – B.

2. $OM\ \perp\ AD.$ За властивістю прямокутника: \begin{gather*} AC=BD,\\[7pt] BO=OD=AO=OC. \end{gather*}

У $\Delta ABD$ $OM$ – середня лінія, тому

\begin{gather*} OM=\frac 12\cdot AB=3\ \text{см},\\[6pt] S_{AOD}=\frac 12 \cdot AD\cdot OM=\frac 12\cdot 8\cdot 3=12\ \text{см}^2. \end{gather*}

Правильна відповідь – A.

\begin{gather*} S_{ABCOM}=S_{ABC}+S_{AOM},\\[7pt] S_{ABC}=S_{ABD}=24\ \text{см}^2,\\[6pt] S_{AOM}=\frac 12S_{AOD}=\frac 12\cdot 12\ \text{см}^2=6\ \text{см}^2,\\[6pt] S_{ABCOM}=24\ \text{см}^2+6\ \text{см}^2=30\ \text{см}^2. \end{gather*}

Правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – A, 3 – Г.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35360

Завдання 76 з 365

Задано довільний трикутник $ABC$, у якому $AM$ – медіана. Які з наведених тверджень є правильними?

I. Точка $M$ є серединою $BC.$

II. Промінь $AM$ є бісектрисою $\angle A.$

III. Площа трикутника $ABM$ дорівнює площі трикутника $AMC.$

Алише I

Блише I та II

Влише I та III

Глише ІІ та ІІІ

ДI, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання видів і основних властивостей трикутників, властивостей та означення медіани трикутника.

I. Твердження правильне. За означенням, медіана – відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Отже, $M$ – середина $BC.$

II. Твердження неправильне. $AM$ – медіана. Щоб медіана збіглася з бісектрисою кута, трикутник повинен бути рівнобедреним з основою $BC.$ Але в умові $\Delta ABC$ – довільний.

III. Твердження правильне. $S_{ABM}=S_{AMC}.$ За властивістю медіани: будь-яка медіана трикутника ділить його на два рівновеликі (рівні за площею) трикутники.

Відповідь: В.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35352

Завдання 77 з 365

У паралелограмі $ABCD$ діагоналі перетинаються в точці $O.$ Знайдіть довжину сторони $AD$ паралелограма, якщо $AC=8$ см, $BD=6$ см, $\cos \angle AOD=–\frac{1}{4}.$

А$\sqrt{31}$ см

Б$2\sqrt{7}$ см

В$\sqrt{22}$ см

Г$5$ см

Д$\sqrt{19}$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей паралелограмів, теореми косинусів, уміння розв’язувати трикутники.

$AC=8$ см, $BD=6$ см, $\cos \angle AOD=-\frac 14.$

За властивістю паралелограма

\begin{gather*} AO=OC=\frac 12AC=4\ \text{см},\\[6pt] BO=OD=\frac 12BD=3\ \text{см}. \end{gather*}

У $\Delta AOD$ за теоремою косинусів:

\begin{gather*} AD^2=AO^2+OD^2-2\cdot AO\cdot OD\cdot \cos \angle AOD,\\[6pt] AD^2=4^2+3^2-2\cdot 4\cdot 3\cdot \left(-\frac 14\right)=16+9+6=31\ \text{см}^2,\\[6pt] AD=\sqrt{31}\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35351

Завдання 78 з 365

Пряма $l$ перетинає паралельні прямі $m$ і $n.$ Визначте градусну міру кута $\mathbf{\beta}$, якщо $\mathbf{\alpha}=35^\circ.$

А$135^\circ$

Б$125^\circ$

В$155^\circ$

Г$55^\circ$

Д$145^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей суміжних і вертикальних кутів, паралельних прямих.

Кути $\mathbf{\gamma}$ i $\mathbf{\beta}$ – вертикальні. За властивістю вертикальних кутів $\mathbf{\beta} = \mathbf{\gamma}.$

Кути $\mathbf{\alpha}$ i $\mathbf{\gamma}$ – внутрішні односторонні. За їхньою властивістю:

\begin{gather*} \mathbf{\alpha}+ \mathbf{\gamma}=180^\circ,\\[7pt] \mathbf{\alpha}=35^\circ,\\[7pt] \mathbf{\gamma}=180^\circ - 35^\circ=145^\circ. \end{gather*}

Отже, $\mathbf{\beta}=145^\circ.$

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35346

Завдання 79 з 365

Коло із центром у точці $O$ дотикається трьох сторін прямокутника $ABCD.$ Вершина $K$ прямокутного рівнобедреного трикутника $AKB$ належить колу. $AB=12$ см. Доберіть до кожного початку речення (1–3) його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

1Довжина радіуса $OK$ кола дорівнює

2Довжина відрізка $BK$ дорівнює

3Відстань від точки $O$ до вершини $A$ дорівнює

А$6$ см

Б$8$ см

В$6\sqrt{2}$ см

Г$6\sqrt{5}$ см

Д$18$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Коло та круг. Чотирикутники. Трикутники.

1. Коло дотикається до сторін $BC$ i $AD$, тому діаметр кола дорівнює стороні $AB.$ Отже, довжина радіуса $OK=\frac 12AB=6$ см.

Правильна відповідь – А.

2. У $\Delta ABK\ (\angle K=90^\circ)$, $BK=AK.$ За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB^2=BK^2+KA^2=2BK^2,\\[7pt] 2BK^2=12^2\ \textit{см},\\[7pt] BK^2=144\ \textit{см}:2=72\ \textit{см},\\[7pt] BK=\sqrt{72}\ \textit{см}=\sqrt{2\cdot 36}\ \textit{см}=6\sqrt{2}\ \textit{см}. \end{gather*}

Правильна відповідь – B.

3. У $\Delta ABK\ KH\ \perp\ AB$ і є медіаною. За властивістю медіани проведеної до гіпотенузи:

\begin{gather*} KH=\frac 12AB=6\ \textit{см},\\[7pt] OH=OK+KH=6\ \textit{см}+6\ \textit{см}=12\ \textit{см}. \end{gather*}

У $\Delta AOM\ (\angle M=90^\circ)$, $OM=6$ см, $AM=OH=12$ см. За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AO^2=AM^2+OM^2,\\[7pt] AO=\sqrt{12^2+6^2}=\sqrt{144+36}=\sqrt{180}=\\[7pt] =\sqrt{36\cdot 5}=6\sqrt{5}\ \textit{см}. \end{gather*}

Правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – A, 2 – B, 3 – Г.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35338

Завдання 80 з 365

У рівнобічній трапеції $ABCD$ $(AB=CD)$ на більшій основі $AD$ вибрано точку $O$ так, що $AO=OD$, $\angle AOB=45^\circ.$ $AD:BC=5:2$, $AD=b.$ Знайдіть площу цієї трапеції.

А$\frac{7b^2}{25}$

Б$\frac{7b^2\sqrt{2}}{50}$

В$\frac{21b^2}{100}$

Г$\frac{7b^2}{50}$

Д$\frac{7b^2}{45}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, прямокутного трикутника, уміння визначати площу трапеції.

Нехай $x$ – коефіцієнт пропорційності.

$BC=2x$, $AD=5x=b$, $x=\frac b5.$

Побудуймо висоти $BH$ i $CK.$ $HBCK$ – прямокутник, тому

\begin{gather*} BC=HK=2x,\\[7pt] AH=KD=(5x-2x):2=1\mathord{,}5x. \end{gather*}

Точка $O$ – середина $AD$, а тому $HO=OK=x.$

У $\Delta BHO\ (\angle H=90^\circ)$, $O=45^\circ.$ Отже, $\Delta BHO$ – рівнобедрений. $HO=BH=x.$

Площу трапеції визначмо за формулою: $$ S=\frac{a+b}{2}\cdot h, $$ де $a$, $b$ – основи, $h$ – висота

\begin{gather*} S=\frac{BC+AD}{2}\cdot BH=\frac{2x+5x}{2}\cdot x=\frac 72 x^2. \end{gather*}

Якщо $$ x=\frac b5, $$ то

$$ S=\frac 72\cdot \left(\frac b5\right)^2=\frac{7b^2}{2\cdot 25}=\frac{7b^2}{50}. $$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35332

Завдання 81 з 365

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Якщо паралелограми мають рівні сторони, то вони мають рівні периметри.

II. Якщо паралелограми мають рівні сторони, то вони мають рівну площу.

III. Якщо прямокутники мають рівні діагоналі, то вони мають рівні сторони.

Алише I

Блише II

Влише III

Глише I та IIІ

Длише ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей паралелограмів, зокрема прямокутника.

I. Периметром паралелограма називають суму довжин всіх його сторін. $$ P=2(a+b). $$ Якщо паралелограми мають рівні сторони, то вони мають рівні периметри.

Отже, твердження правильне.

II. Площу паралелограма визначають за формулою: $$ S=ab\cdot \sin \mathbf{\alpha}. $$ Отже, якщо паралелограми мають рівні сторони, але різні кути між ними, то й площі будуть різні. Тому, твердження про рівність площ паралелограмів із однаковими сторонами в разі різних кутів між ними неправильне.

III. Рівні діагоналі прямокутника не означають рівності сторін. Тільки за умови, що протилежні сторони також рівні, інші сторони прямокутників також будуть рівними між собою.

Отже, твердження неправильне.

Відповідь: А.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35330

Завдання 82 з 365

Визначте модуль (довжину) вектора $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ якщо $\ \overrightarrow{a}(2; 1; -5)\ \text{i}\ \overrightarrow{b}(-7; 0; 3).$

А$\sqrt{86}$

Б$\sqrt{146}$

В$\sqrt{90}$

Г$\sqrt{30}$

Д$20$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Координати і вектори в просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння додавати і віднімати вектори, визначати модуль вектора.

Визначмо різницю векторів за формулами:

\begin{gather*} \overrightarrow{a}(x_1; y_1; z_1),\\[7pt] \overrightarrow{b}(x_2; y_2; z_2),\\[7pt] \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(\overrightarrow{x_1-x_2; y_1-y_2; z_1-z_2}),\\[7pt] \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(\overrightarrow{2-(-7); 1-0; -5-3})=(\overrightarrow{9; 1; -8}). \end{gather*}

Визначимо модуль вектора $\overrightarrow{c}$ за формулою:

\begin{gather*} \overrightarrow{c}(x, y, z),\ |\overrightarrow{c}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2},\\[7pt] |\overrightarrow{c}|=\sqrt{9^2+1^2+(-8)^2}=\sqrt{81+1+64}=\sqrt{146}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35328

Завдання 83 з 365

На рисунку зображено дві прямі, що перетинаються.

Визначте градусну міру кута $\mathbf{\alpha}$, якщо $\mathbf{\beta}+\mathbf{\varphi}=70^\circ.$

А$145^\circ$

Б$135^\circ$

В$125^\circ$

Г$110^\circ$

Д$290^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей суміжних і вертикальних кутів.

Кути $\mathbf{\beta}$ i $\mathbf{\varphi}$ – вертикальні. За їхньою властивістю $\mathbf{\beta}=\mathbf{\varphi}.$

За умовою $\mathbf{\beta}+\mathbf{\varphi}=70^\circ$, тому $$ \mathbf{\beta}=\mathbf{\varphi}=70^\circ:2=35^\circ. $$

Кути $\mathbf{\alpha}$ i $\mathbf{\beta}$ – суміжні. За властивістю суміжних кутів:

\begin{gather*} \mathbf{\alpha}+\mathbf{\beta}=180^\circ,\\[7pt] \mathbf{\alpha}=180^\circ - \mathbf{\beta}=180^\circ-35^\circ=145^\circ. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35325

Завдання 84 з 365

Знайдіть найменше ціле значення $a$, за якого коло $(x-11-3a)^2+(y+2)^2=49$ двічі перетинає вісь ординат.

Впишіть відповідь:

-5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Координати і вектори на площині.

Завдання скеровано на перевірку знання рівняння кола, властивостей прямокутної системи координат на площині, уміння застосовувати координати для розв’язання планіметричних задач.

За умовою:

\begin{gather*} (x-11-3a)^2+(y+2)^2=49,\\[7pt] (x-(11+3a))^2+(y-(-2))^2=7^2. \end{gather*}

Рівняння кола: $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2.$

Дано коло із центром у точці $(11+3a; -2)$ i радіусом $7.$

Унаслідок зміни параметра $a$ коло переміщується вздовж прямої $y=-2.$

Для того, щоб коло дотикалося до осі $Oy$, центр кола повинен бути в точці $(7; -2)$ або $(-7; -2).$

Щоб коло перетинало двічі вісь ординат, абсциса $a$ центра кола повинна бути цілим числом – розв'язком нерівності:

\begin{gather*} -7\lt 11+3a\lt 7,\\[7pt] -7-11\lt 3a\lt 7-11,\\[7pt] -18\lt 3a\lt -4,\\[6pt] -6\lt a\lt -1\frac 13. \end{gather*}

Найменше ціле значення $a=-5.$

Відповідь: $-5.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 698. Запитання: 35319

Завдання 85 з 365

Діагональ $AC$ рівнобічної трапеції $ABCD$ утворює зі стороною $CD$ кут $120^\circ.$ Довжини основ трапеції дорівнюють $12$ см і $30$ см. До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

1Довжина середньої лінії трапеції дорівнює

2Довжина проєкції сторони $AB$ на пряму $AD$ дорівнює

3Довжина радіуса кола, описаного навколо трапеції, дорівнює

А$9$ см

Б$20\sqrt{3}$ см

В$21$ см

Г$10\sqrt{3}$ см

Д$18$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, її середньої лінії, трикутників, уміння застосовувати теорему синусів.

1. Середню лінію трапеції визначають за формулою $$ \frac{a+b}{2}, $$ де $a$, $b$ – основи. Отже, $$ \frac{BC+AD}{2}=\frac{12\ \textit{см}+30\ \textit{см}}{2}=21\ \textit{см}. $$

Правильна відповідь – В.

2. $BK\ \perp\ AD.$ Проєкція $AB$ на пряму $AD$ – відрізок $AK.$ $ABCD$ – рівнобічна трапеція, тому $AB=CD.$

Рівні похилі $BA$ i $CD$ мають рівні проєкції $AK=HD.$

$$ AK=(AD-BC):2=(30\ \textit{см}-12\ \textit{см}):2=9\ \textit{см}. $$

Правильна відповідь – А.

3. Коло, описане навколо трапеції $ABCD$, це коло описане навколо $\Delta ACD.$

За наслідком з теореми синусів:

\begin{gather*} \frac{a}{\sin \mathbf{\alpha}}=2R,\\[6pt] \frac{AD}{\sin \angle ACD}=2R,\\[6pt] \frac{30}{\sin 120^\circ}=2R,\\[6pt] \sin 120^\circ=\sin (180^\circ-60^\circ)=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\\[6pt] \frac{30\cdot 2}{\sqrt{3}}=2R,\\[6pt] R=\frac{30\sqrt{3}}{3}=10\sqrt{3}\ \textit{см} \end{gather*}.

Правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – А, 3 – Г.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 698. Запитання: 35315

Завдання 86 з 365

Які з наведених тверджень є правильними?

I. У будь-якому ромбі діагоналі точкою перетину діляться навпіл.

II. Периметр ромба дорівнює сумі його діагоналей.

III. Висота ромба вдвічі більша за радіус уписаного в нього кола.

Алише I

Блише III

Влише I та II

Глише I та IIІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей чотирикутників, зокрема ромба.

I. Ромб – паралелограм, тому всі властивості паралелограма є властивостями ромба.

Отже, у будь-якому ромбі діагоналі точкою перетину діляться навпіл.

II. Периметр ромба не дорівнює сумі його діагоналей. Якби це твердження було правильним, то в $\Delta ABC$ сума довжин двох сторін $(AB+BC)$ дорівнювала б довжині третьої сторони $AC.$ А це суперечить нерівності трикутника.

III. Твердження правильне. Висота ромба $BH$ удвічі більша за радіус $OK$ вписаного кола.

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 698. Запитання: 35308

Завдання 87 з 365

На рисунку зображено квадрат $ABCD$ зі стороною $24$ см. На сторонах $BC$ і $AD$ квадрата вибрано відпо відно точки $K$ і $M$ так, що $AM : MD = 1 : 2$, $KC=6$ см. Знайдіть довжину відрізка $KM.$

А$27$ см

Б$25$ см

В$26$ см

Г$32$ см

Д$34$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей чотирикутників, зокрема квадрата, прямокутного трикутника, а також теореми Піфагора.

У квадраті $ABCD$ $AB=BC=CD=DA=24$ см.

$AM:MD=1:2$, $KC=6$ см.

Нехай $AM=x$ см, $MD=2x$ см. $AD=AM+MD$, $x+2x=24$ см, $x=8$ см.

Отже, $AM=8$ см, $MD=16$ см.

Побудуймо $KH\ \perp\ AD.$ $KCDH$ – прямокутник, тому $KC=HD=6$ см, $CD=KH=24$ см. $MH=MD-HD=16\ \textit{см}-6\ \textit{см}=10$ см.

Розгляньмо $\Delta KHM\ (\angle H=90^\circ).$ Катети $KH=24$ см і $MH=10$ см. За теоремою Піфагора: $a^2+b^2=c^2.$

Визначмо довжину гіпотенузи:

\begin{gather*} KM^2=(24^2+10^2)\ \textit{см}^2=(576+100)\ \textit{см}^2=676\ \textit{см}^2,\\[7pt] KM=26\ \textit{см}. \end{gather*}

Відповідь: В.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 698. Запитання: 35307

Завдання 88 з 365

Укажіть менший кут між хвилинною та годинниковою стрілками на циферблаті годинника о $5$ годині (див. рисунок).

А$165^\circ$

Б$150^\circ$

В$135^\circ$

Г$120^\circ$

Д$30^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Коло та круг.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості кола для розв’язування планіметричних задач практичного змісту.

Градусна міра повного кута дорівнює $360^\circ.$ Якщо поділити його на $12$ рівних частин, то кожна з них дорівнюватиме $30^\circ.$

Кут між хвилинною і годинниковою стрілками на циферблаті містить $5$ таких кутів $$30^\circ\cdot 5=150^\circ.$$

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 698. Запитання: 35303

Завдання 89 з 365

У прямокутній системі координат у просторі задано точки $A(5; –4; 0)$ і $B(7; 2; –2).$ Визначте координати точки $C$, яка симетрична до точки $A$ відносно точки $B.$

А$(2; 6; -2)$

Б$(12; -6; 2)$

В$(9; 8; 4)$

Г$(6; -1; -1)$

Д$(9; 8; -4)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Координати і вектори в просторі. Геометричні переміщення.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати координати середини відрізка, знання основних видів геометричних переміщень, зокрема симетрії відносно точки.

Точка $C$ симетрична точці $A$ відносно точки $B$, якщо точки лежать на одній прямій і $AB=BC.$

Скористаймося формулою визначення координат середини відрізка:

\begin{gather*} x=\frac{x_1+x_2}{2},\\[6pt] y=\frac{y_1+y_2}{2},\\[6pt] z=\frac{z_1+z_2}{2}, \end{gather*}

де кінці відрізка мають координати: $(x_1; y_1; z_1)$, $(x_2; y_2; z_2).$

$A(5; -4; 0)$, $B(7; 2; -2)$, $C(x_2; y_2; z_2).$

\begin{gather*} 7=\frac{5+x_2}{2},\ \ 5+x_2=14,\ \ x_2=9,\\[6pt] 2=\frac{-4+y_2}{2},\ \ -4+y_2=4,\ \ y_2=8,\\[6pt] -2=\frac{0+z_2}{2},\ \ 0+z_2=-4,\ \ z_2=-4. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – $C(9; 8; -4).$

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 698. Запитання: 35300

Завдання 90 з 365

На рисунку зображено квадрат $ABCD.$ На стороні $C$ вибрано точку $K$ так, що $KC=4$ см. Точка $M$ – середина відрізка $AK.$ Пряма, що проходить через точку $M$ паралельно стороні $BC$, перетинає сторони $AB$ та $CD$ в точках $N$ і $P$ відповідно, $NM=6$ см. Узгодьте відрізок (1-3) та його довжину (А – Д).

Відрізок

1$AB$

2$MP$

3$AK$

Довжина відрізка (см)

А$10$

Б$12$

В$16$

Г$20$

Д$24$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості трапеції та квадрата, розв’язування трикутників.

$NP\ ||\ BC$

1 – В. Точка $M$ – середина $AK.$ За теоремою Фалеса: $NM\ ||\ BC$ і $AN=NB.$

У $\Delta ABK\ NM$ – середня лінія. $BK=2NM=12$ см.

$BC=BK+KC=12+4=16$ см. $AB=BC=16$ см.

2 – A.

У трапеції $AKCD\ MP$ – середня лінія.

За властивістю середньої лінії: $$ MP=\frac{KC+AD}{2}=\frac{4+16}{2}=10. $$

3 – Г. $\Delta ABK\ (\angle B=90^\circ)$, $AB=16$, $BK=12.$

За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AK^2=AB^2+BK^2=16^2+12^2=256+144=400,\\[7pt] AK=20. \end{gather*}

Відповідь: 1В, 2А, 3Г.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 672. Запитання: 34412

Завдання 91 з 365

На стороні $AD$ прямокутника $ABCD$ вибрано точку $K$ так, що трикутник $BKC$ є прямокутним (див. рисунок). Визначте периметр прямокутника $ABCD$, якщо $\angle ABK=30^\circ$, $KC=6\sqrt{3}.$

А$24\sqrt{3}+18$

Б$24\sqrt{3}+12$

В$24+6\sqrt{3}$

Г$36$

Д$36\sqrt{3}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості прямокутника та прямокутного трикутника.

$\angle ABC=90^\circ$, $\angle ABK=30^\circ.$ Отже, $\angle KBC=60^\circ.$

У $\Delta BKC\ (\angle K=90^\circ)\ \angle C=30^\circ.$

У прямокутнику $ABCD\ BC\ ||\ AD$, січна $CK.$ $\angle BCK=\angle CKD=30^\circ$ як внутрішні різносторонні.

$\Delta CKD\ (\angle D=90^\circ)$ $$ CD=\frac 12CK=\frac 12\cdot 6\sqrt{3}=3\sqrt{3}. $$

$\Delta BKC\ (\angle K=90^\circ)$ $$ BC=\frac{CK}{\cos C}=\frac{6\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=12. $$

$$ P_{ABCD}=2(BC+CD)=2(12+3\sqrt{3})=24+6\sqrt{3}. $$

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 672. Запитання: 34409

Завдання 92 з 365

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Якщо в трапецію можна вписати коло, то центр цього кола лежить на середній лінії трапеції.

II. Якщо в трапецію можна вписати коло, то центр цього кола збігається з точкою перетину діагоналей трапеції.

III. Якщо навколо трапеції можна описати коло, то центр цього кола обов'язково лежить на більшій основі трапеції.

Алише І та ІІ

Блише І

Влише І та ІІІ

Глише ІІ та ІІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції та трикутника.

I. Якщо в трапецію можна вписати коло, то воно буде дотикатись до всіх її сторін, а отже, до основ. $OE=OF=r.$ Центр кола точка $O$ – лежить на середній лінії $MN.$ Отже, твердження правильне.

II, III твердження не є правильними, бо точка перетину діагоналей не належить середній лінії, та центр описаного кола не обов'язково лежить на більшій основі.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 672. Запитання: 34404

Завдання 93 з 365

У паралелограмі $ABCD$ проведено діагональ $AC$ (див. рисунок). Визначте градусну міру гострого кута паралелограма, якщо $\angle CAD=18^\circ$, $\angle ACD=43^\circ.$

А$61^\circ$

Б$25^\circ$

В$129^\circ$

Г$51^\circ$

Д$29^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Геометричні величини та вимірювання їх.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей паралельних прямих та паралелограмів, умінь розв’язувати планіметричні задачі.

$ABCD$ – паралелограм. $AB\ ||\ CD$, $AC$ – січна, $\angle BAC=\angle DCA=43^\circ$ як внутрішні різносторонні.

$$ \angle BAD=\angle BAC+\angle CAD=43^\circ+18^\circ=61^\circ. $$

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 672. Запитання: 34396

Завдання 94 з 365

Прямокутник $ABKM$ складається з квадрата $ABCD$ та прямокутника $CKMD$ (див. рисунок). Периметр квадрата $ABCD$ дорівнює $40$ см, а довжина відрізка $CM$ – $26$ см. До кожного початку речення (1-3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Сторона квадрата $ABCD$ дорівнює

2Довжина відрізка $CK$ дорівнює

3Відстань між центром квадрата $ABCD$ та точкою перетину діагоналей прямокутника $ABKM$ дорівнює

Закінчення речення

А$16$ см.

Б$12$ см.

В$10$ см.

Г$24$ см.

Д$17$ см.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості прямокутника та квадрата, розв’язування трикутників.

1. $P_{ABCD}=40$ см,

$AB=BC=CD=DA=40: 4=10$ см.

Отже, правильна відповідь – В.

$AB=CD=KM=10$ см. $\Delta CKM\ (\angle K=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} CM^2=CK^2+KM^2,\\[7pt] CK^2=CM^2-KM^2=26^2-10^2=576,\\[7pt] CK=24\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

3. Відстань між точкою $O$ – центр квадрата, $O_1$ – точка перетину діагоналей прямокутника $ABKM$ – відрізок $OO_1.$ $BO_1=O_1M.$

У $\Delta DBM\ OO_1$ – середня лінія. За властивістю середньої лінії $$ OO_1=\frac 12DM=\frac 12\cdot 24=12\ \text{см}. $$

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1В, 2Г, 3Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 671. Запитання: 34390

Завдання 95 з 365

У рівнобічній трапеції $ABCD$ точка $O$ є серединою основи $AD$, $\angle AOB=45^\circ$, $AD:BC=5:2$ (див. рисунок). Визначте площу трапеції $ABCD$, якщо $AD=b.$

А$\frac{7}{50}b^2$

Б$\frac{7}{25}b^2$

В$\frac{7\sqrt{2}}{50}b^2$

Г$\frac{b^2}{14}$

Д$\frac{4b^2}{25}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.

Завдання скеровано на перевірку властивостей трапеції та трикутника, їх властивостей.

1. $AD=b$, точка $O$ – середина $AD$, тому $AO=OD.$ Проведемо перпендикуляр $OH\ \perp BC.$

2. Трапеція $ABCD$ – рівнобічна, тому $BH=HC.$

\begin{gather*} AD:BC=5:2,\\[6pt] BC=\frac{2AD}{5}=\frac{2b}{5},\\[6pt] BH=\frac 12BC=\frac b5. \end{gather*}

3. $\angle AOB=45^\circ$, $\angle AOH=90^\circ.$ Отже, $\angle BOH=45^\circ$ а $\Delta BHO$ – прямокутний рівнобедрений. $BH=HO=\frac b5.$

4. Площу трапеції знаходимо за формулою: $$ S=\frac{a+b}{2}\cdot h, $$ де $a$, $b$ – основи, $h$ – висота.

$$ S=\frac{BC+AD}{2}\cdot OH=\left(\frac{2b}{5}+b\right):2\cdot \frac b5=\frac{7b\cdot b}{5\cdot 2\cdot 5}=\frac{7b^2}{50}. $$

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 671. Запитання: 34387

Завдання 96 з 365

Які з наведених тверджень є правильними для будь-якого трикутника?

I. Сума будь-яких двох сторін трикутника менша за третю його сторону.

II. Сума будь-яких двох кутів трикутника більша за $90^\circ.$

III. Навпроти найбільшої сторони трикутника лежить найбільший його кут....

Алише І

Блише ІІ

Влише III

Глише І та ІІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знань основних властивостей трикутника, нерівності трикутника.

I. Твердження неправильне. За нерівністю трикутника, сума довжин двох сторін трикутника більша за довжину третьої.

II. Твердження неправильне. Сума двох кутів трикутника не завжди більша за $90^\circ.$ До прикладу, у трикутнику кути можуть бути $20^\circ$, $20^\circ$, $140^\circ.$ Тоді сума двох гострих кутів: \begin{gather*} 20^\circ+20^\circ=40^\circ,\\[7pt] 40^\circ\lt 90^\circ. \end{gather*}

III. Твердження правильне. За властивістю трикутника, навпроти більшої строни лежить більший кут, навпроти меншої сторони – менший кут, навпроти рівних сторін – рівні кути.

Відповідь: В.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 671. Запитання: 34382

Завдання 97 з 365

Емблема компанії має вигляд круга, від центра $O$ якого проведено радіуси $OA$, $OB$ і $OC$ (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $AOB$, якщо радіуси поділяють круг на три рівні частини.

А$100^\circ$

Б$90^\circ$

В$180^\circ$

Г$120^\circ$

Д$60^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Геометричні величини та вимірювання їх.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити величини кутів, розв’язувати планіметричні задачі.

Повний кут має градусну міру $360^\circ.$ Радіуси $OA$, $OB$, $OC$ поділяють кут на $3$ рівних частини.

Отже, $\angle AOB=360^\circ :3=120^\circ.$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 671. Запитання: 34373

Завдання 98 з 365

Трапеція $AKCD$ складається з квадрата $ABCD$ та трикутника $BKC$ (див. рисунок). Периметр квадрата $ABCD$ дорівнює $24\ \text{см},$ середня лінія трапеції $AKCD$ дорівнює $10\ \text{см}.$ До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Довжина відрізка $BK$ дорівнює

2Довжина відрізка $KC$ дорівнює

3Відстань між центрами кіл, описаних навколо квадрата $ABCD$ та трикутника $BKC,$ дорівнює

Закінчення речення

А$8\ \text{см}.$

Б$7\ \text{см}.$

В$6\ \text{см}.$

Г$10\ \text{см}.$

Д$12\ \text{см}.$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості трикутників до розв’язування планіметричних задач, знаходити довжину середньої лінії трапеції.

$P_{ABCD}=24\ \text{см}.$ $ABCD$ – квадрат, $$ AB=BC=CD=AD=24:4=6\ \text{см}. $$ Середня лінія трапеції $AKCD\ \ EF=10\ \text{см}.$ $EF=PF+PE,\ 10=6+PE,$ $PE=4\ \text{см}.$

1 – A. $PE$ – середня лінія $\Delta KBC.$ За властивістю середньої лінії $PE=\frac 12 BK,\ BK=8\ \text{см}.$

2 – Г. $\Delta KBC\ (\angle B=90^\circ)$ за теоремою Піфагора: \begin{gather*} KC^2=KB^2+BC^2=8^2+6^2=100,\\[7pt] KC=10\ \text{см}. \end{gather*}

3 – Б. Центр кола, описаного навколо квадрата, – це точка перетину діагоналей – точка $O.$

Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, – середина гіпотенузи – точка $E.$ Отже, відстань між центрами кіл буде $OP+PE=3+4=7\ \text{см}.$

Відповідь: 1A, 2Г, 3Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 606. Запитання: 28393

Завдання 99 з 365

На стороні $AD$ паралелограма $ABCD$ вибрано точку $K$ так, що $AK:KD=3:2,$ $BK=CD$ (див. рисунок). Визначте площу паралелограма $ABCD,$ якщо $\angle AKB=\mathbf{\alpha},$ $BC=20.$

А$\frac{120}{\operatorname{tg}\mathbf{\alpha}}$

Б$120\operatorname{tg}\mathbf{\alpha}$

В$160\sin\mathbf{\alpha}$

Г$60\cos\mathbf{\alpha}$

Д$\frac{60}{\operatorname{tg}\mathbf{\alpha}}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивості трапеції, прямокутного трикутника.

$AK:KD=3:2.$ За властивістю паралелограма $BC=AD.$ $$ KD=\frac 25AD=\frac 25\cdot 20=8\ \text{см}. $$ $BKDC$ – рівнобічна трапеція.

\begin{gather*} KM\perp BC,\ \ DP\perp BC.\\[7pt] KD=MP=8\ \text{см},\ \ BM=PC=(20-8):2=6\ \text{см}. \end{gather*}

$\angle AKB=\angle KBM=\mathbf{\alpha}$ (внутрішні різносторонні при паралельних прямих $BC\ ||\ KD$ і січною $BK$). $\angle KBC=\angle DCP=\mathbf{\alpha}$ як кути при основі рівнобедреної трапеції.

У $\Delta DPC\ (\angle P=90^\circ)\ PC=6\ \text{см}, \angle C=\mathbf{\alpha}.$ $$ CD=\frac{PC}{\cos\mathbf{\alpha}}=\frac{6}{\cos\mathbf{\alpha}}. $$

Площу паралелограма знаходимо за формулою: \begin{gather*} S=a\cdot b\sin\mathbf{\alpha},\\[6pt] S=CD\cdot BC\sin C=\frac{6}{\cos\mathbf{\alpha}}\cdot 20\cdot\sin\mathbf{\alpha}=\\[6pt] =120\frac{\sin\mathbf{\alpha}}{\cos\mathbf{\alpha}}=120\ \operatorname{tg}\mathbf{\alpha}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 606. Запитання: 28390

Завдання 100 з 365

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Cерединний перпендикуляр, проведений до сторони рівностороннього трикутника, ділить його на два рівних трикутники.

II. Точка перетину серединних перпендикулярів, проведених до катетів прямокутного трикутника, є серединою його гіпотенузи.

III. Точка перетину серединних перпендикулярів, проведених до сторін будь-якого тупокутного трикутника, міститься всередині цього трикутника.

Алише І

Блише І та ІІ

Влише І та ІІІ

Глише IІ та ІІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.

Завдання скеровано на перевірку знання властивості медіани трикутника, центра описаного кола трикутника.

I. Серединний перпендикуляр до сторони рівностороннього трикутника ділить його на два рівних трикутники. $\Delta ADB=\Delta CDB$ (за двома катетами). Твердження є правильним.

II. Точка перетину серединних перпендикулярів трикутника є центром описаного кола. У прямокутному трикутнику центр описаного кола – середина гіпотенузи. Отже, твердження є правильним.

III. У тупокутному трикутнику центр описаного кола знаходиться поза трикутником. Отже, твердження є неправильним.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 606. Запитання: 28385

Завдання 101 з 365

Відомо, що вісь $AO$ Пізанської вежі натепер відхилена від вертикалі $BO$ на кут $4^\circ$ (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $AOC,$ який утворює вісь вежі з горизонтальною поверхнею $OC.$

А$176^\circ$

Б$94^\circ$

В$104^\circ$

Г$86^\circ$

Д$96^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей кутів, аксіом планіметрії.

$\angle BOC=90^\circ, \angle BOA=4^\circ.$ Отже,

$$ \angle AOC=\angle BOC-\angle BOA=90^\circ-4^\circ=86^\circ. $$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 606. Запитання: 28379

Завдання 102 з 365

Навколо кола описано рівнобічну трапецію (див. рисунок), периметр якої дорівнює $100\ \text{см}.$ Різниця основ трапеції дорівнює $14\ \text{см}.$ До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Довжина середньої лінії трапеції дорівнює

2Довжина більшої основи трапеції дорівнює

3Довжина висоти трапеції дорівнює

Закінчення речення

А$18\ \text{см}$

Б$24\ \text{см}$

В$25\ \text{см}$

Г$32\ \text{см}$

Д$36\ \text{см}$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості трикутників до розв’язування планіметричних задач, знаходити довжину середньої лінії трапеції, знання теореми Піфагора, описані навколо кола чотирикутники.

Якщо у чотирикутник можна вписати коло, то сума довжин протилежних сторін рівна.

\begin{gather*} AB+CD=BC+AD,\ \ P=100\ \text{см},\\[7pt] AB+CD=50\ \text{см}, AB=CD=25\ \text{см}. \end{gather*}

1 – В. Середня лінія трапеції дорівнює \begin{gather*} \frac{BC+AD}{2}=\frac{50}{2}=25\ \text{см}. \end{gather*}

2 – Г. За умовою \begin{gather*} AB-BC=14\ \text{см}, BC=AD-14,\\[7pt] BC+AD=50,\ \ AD-14+AD=50,\\[7pt] 2AD=64,\ \ AD=32\ \text{см}. \end{gather*}

3 – Б. $BC=50-32=18\ \text{см}.$ $ABCD$ – рівнобічна трапеція, $AB=CD.$

\begin{gather*} AK=(AD-BC):2=(32-18):2=7\ \text{см}.\\[7pt] \Delta ABK\ (\angle K=90^\circ) \end{gather*}

за теоремою Піфагора: \begin{gather*} AB^2=AK^2+BK^2,\\[7pt] BK^2=25^2-7^2=625-49=576,\\[7pt] BK=24\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: 1В, 2Г, 3Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 585. Запитання: 28371

Завдання 103 з 365

На рисунку зображено прямокутник $ABCD.$ Точка $K$ лежить на стороні $AD.$ Визначте довжину сторони $AD,$ якщо $BK=d,$ $\angle AKB=\mathbf{\alpha},\ \angle KCD=\mathbf{\beta}.$

А$d(\sin\mathbf{\alpha}+\cos\mathbf{\alpha}\operatorname{tg}\mathbf{\beta})$

Б$d(\cos\mathbf{\alpha}+\sin\mathbf{\alpha}\operatorname{tg}\mathbf{\beta})$

В$d\left(\sin\mathbf{\alpha}+\frac{\cos\mathbf{\alpha}}{\operatorname{tg}\mathbf{\beta}}\right)$

Г$d\left(\cos\mathbf{\alpha}+\frac{\sin\mathbf{\alpha}}{\operatorname{tg}\mathbf{\beta}}\right)$

Д$d(\cos\mathbf{\alpha}+\sin\mathbf{\alpha}\sin\mathbf{\beta})$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей прямокутного трикутника, співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника.

У $\Delta ABK (\angle A=90^\circ)\ AK=d\cos\mathbf{\alpha},\ AB=d\sin\mathbf{\alpha}.$ $AB=CD=d\sin\mathbf{\alpha}.$

У $\Delta CDK (\angle D=90^\circ)\ KD=CD\operatorname{tg}\mathbf{\beta}=d\sin \mathbf{\alpha}\ \operatorname{tg}\mathbf{\beta}.$

\begin{gather*} AD=AK+KD=d\cos\mathbf{\alpha}+d\sin \mathbf{\alpha}\ \operatorname{tg}\mathbf{\beta}=\\[7pt] =d(\cos\mathbf{\alpha}+\sin \mathbf{\alpha}\ \operatorname{tg}\mathbf{\beta}). \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 585. Запитання: 28368

Завдання 104 з 365

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Існує паралелограм, діагональ якого дорівнює сумі двох його сусідних сторін.

II. Існує паралелограм, один із кутів якого вдвічі більший за інший кут.

III. Існує паралелограм, діагоналі якого перпендикулярні.

Алише ІІ

Блише І та ІІІ

Влише ІІ та ІІІ

Глише І та ІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання про паралелограм, ромб, квадрат та їх властивості.

I. Твердження неправильне. Сума двох сусідніх сторін паралелограма не може дорівнювати його діагоналі, тому що за нерівністю трикутника $AB+AD\gt BD.$

II. Твердження правильне. Існує паралелограм, в якому один з кутів вдвічі більше за інший. Наприклад, з кутами $60^\circ$ i $120^\circ.$

III. Твердження правильне. Існує паралелограм – ромб, у якого діагоналі перпендикулярні.

Відповідь: В.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 585. Запитання: 28363

Завдання 105 з 365

Зовнішній кут при вершині $A$ трикутника $ABC$ дорівнює $100^\circ,$ $\angle C=20^\circ$ (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $B.$

А$100^\circ$

Б$90^\circ$

В$120^\circ$

Г$80^\circ$

Д$70^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.

Завдання скеровано на перевірку знання властивості зовнішнього кута трикутника.

За властивістю зовнішнього кута трикутника:

\begin{gather*} \angle DAB=\angle B+\angle C. \end{gather*}

Отже, $\angle B=100^\circ-20^\circ=80^\circ.$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 585. Запитання: 28355

Завдання 106 з 365

Квадрат $ABCD$ та прямокутна трапеція $BMNC$ лежать в одній площині (див. рисунок). Площа кожної із цих фігур дорівнює $36\ \text{см}^2,$ $AM=15\ \text{см}.$ Установіть відповідність між відрізком (1–3) та його довжиною ( А– Д).

Відрізок

1сторона квадрата $ABCD$

2висота трапеції $BMNC$

3менша основа трапеції $BMNC$

Довжина відрізка, см

А$2$

Б$3$

В$4$

Г$6$

Д$9$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей квадрата та трапеції, площ чотирикутників.

$S_{ABCD}=S_{BMNC}=36\ \text{см}^2,\ AM=15\ \text{см}.$

1 – Г. \begin{gather*} S_{ABCD}=a^2=AB^2=36\ \text{см}^2,\\[7pt] AB=6\ \text{см} - \text{сторона квадрата.} \end{gather*}

2 – Д. \begin{gather*} AM=AB+BM,\\[7pt] BM=15-6=9\ \text{см}. \end{gather*}

$BMNC$ – прямокутна трапеція. Отже, висота трапеції – бічна сторона $MB=9\ \text{см}.$

3 – A. \begin{gather*} S_{BMNC}=\frac{MN+BC}{2}\cdot MB,\\[6pt] \frac{MN+6}{2}\cdot 9=36,\ \ (MN+6)\cdot 9=72,\\[6pt] MN+6=8, MN=2\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: 1Г, 2Д, 3A.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 570. Запитання: 27702

Завдання 107 з 365

У паралелограмі $ABCD: AB=\sqrt{6}\ \text{см},$ $\angle BAD=30^\circ,$ $\angle CBD=45^\circ$ (див. рисунок). Обчисліть довжину діагоналі $BD.$

А$2\sqrt{3}\ \text{см}$

Б$3\ \text{см}$

В$\sqrt{2}\ \text{см}$

Г$2\ \text{см}$

Д$\sqrt{3}\ \text{см}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання теореми синусів, властивостей паралельних прямих.

$AB || CD,\ BD$ січна. $\angle CBD=\angle BDA=45^\circ$ як внутрішні різності.

За теоремою синусів у $\Delta ABD$:

\begin{gather*} \frac{BD}{\sin A}=\frac{AB}{\sin D};\\[6pt] BD=\frac{AB\cdot \sin A}{\sin D}=\frac{\sqrt{6}\cdot \sin 30^\circ}{\sin 45^\circ}=\\[6pt] =\frac{\sqrt{6}\cdot 1\cdot 2}{2\cdot \sqrt{2}}=\sqrt{3}\ (\text{см}). \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 570. Запитання: 27698

Завдання 108 з 365

У трикутнику $ABC$ кут $B$ – тупий. Які з наведених тверджень є правильними?

I. $\angle A+\angle C\lt 90^\circ .$

II. $AB+BC\lt AC.$

III. Центр кола, описаного навколо трикутника $ABC,$ лежить поза його межами.

Алише I та II

Блише І

Влише II та III

ГI, II та III

Длише I та III

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутника.

I. $\angle B$ – тупий, тому $\angle B\gt 90^\circ.$ Сума кутів трикутника дорівнює $180^\circ,$ тому $\angle A+\angle C \lt 90^\circ.$ Твердження правильне.

IІ. За нерівністю трикутника $AB+BC\gt AC.$ Отже, твердження неправильне.

IІІ. У тупокутному трикутнику центр описаного кола лежить поза межами трикутника. Твердження правильне.

Отже, привильні твердження І та ІІІ.

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 570. Запитання: 27693

Завдання 109 з 365

Кола із центрами в точках $O$ і $O_1$ мають внутрішній дотик (див. рисунок). Обчисліть відстань $OO_1,$ якщо радіуси кіл дорівнюють $12\ \text{см}$ і $8\ \text{см}.$

А$1,5\ \text{см}$

Б$2\ \text{см}$

В$3\ \text{см}$

Г$4\ \text{см}$

Д$8\ \text{см}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей кола та його елементів.

$OA=12\ \text{см},\ O_1A=8\ \text{см}.$ $$ OO_1=OA-O_1A=12-8=4\ (\text{см}). $$

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 570. Запитання: 27689

Завдання 110 з 365

Периметр рівнобедреного трикутника $ABC$ (див. рисунок) дорівнює $32\ \text{см.}$ $AB = BC = 10\ \text{см.}$ Узгодьте відрізок (1–3) з його довжиною (А – Д).

Відрізок

1$AC$

2висота, проведена з вершини $B$

3радіус кола, описаного навколо трикутника $ABC$

Довжина відрізка, см

А6,25

Б7,5

В8

Г12

Д12,5

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості трикутників до розв’язування планіметричних задач, знання теореми Піфагора, наслідків з теореми синусів.

$P=32\ \text{см},\ AB=BC=10\ \text{см}.$

1 – Г. $P=AB+BC+AC=10+10+AC=32,\ \ AC=12\ \text{см}.$

2 – B. Висота $BH\perp AC,\ \ BH$ – медіана, $AH=HC=\frac 12AC=6\ \text{см}.$ $\Delta ABH\ (\angle H=90^\circ)$ за теоремою Піфагора $BH=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\ \text{см}.$

3 – A. $\Delta ABH\ (\angle H=90^\circ)$ $\sin A=\frac{BH}{AB}=\frac{8}{10}=0,8.$ За наслідком із теореми синусів:

\begin{gather*} \frac{BC}{\sin\mathbf{\alpha}}=2R,\ \ \frac{10}{0,8}=2R,\\[6pt] R=\frac{10}{1,6}=\frac{100}{16}=\frac{25}{4}=6,25. \end{gather*}

Відповідь: 1Г, 2В, 3А.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 547. Запитання: 26841

Завдання 111 з 365

Менша сторона прямокутника дорівнює $4\ \text{см,}$ а кут між його діагоналями – $60^\circ$ (див. рисунок). Визначте площу $(\text{см}^2)$ прямокутника.

А$8\sqrt{3}$

Б$16$

В$16\sqrt{3}$

Г$32$

Д$32\sqrt{3}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання прямокутника та трикутника, їхніх властивостей.

$AB=4\ \text{см},\ \angle AOB=60^\circ.$

$\Delta AOB$ – рівносторонній. $AB=BO=OA=4\ \text{см}.$ За властивістю прямокутника $AC=BD=2BO=8\ \text{см}.$

Площа прямокутника $$ S=\frac 12\cdot d^2\cdot \sin 60^\circ=\frac 12\cdot 8^2\cdot \sin 60^\circ=\frac 12\cdot 64\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=16\sqrt{3}\ (\text{см}^2). $$

Або іншим способом:

\begin{gather*} \Delta ABC\ (\angle B=90^\circ),\ \angle A=60^\circ,\ AB=4\ \text{см}\\[7pt] BC=AB\cdot \operatorname{tg}60^\circ=4\sqrt{3}\ \text{см}\\[7pt] S=AB\cdot BC=4\cdot 4\sqrt{3}=16\sqrt{3}\ (\text{см}^2). \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 547. Запитання: 26836

Завдання 112 з 365

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Пряма, що проходить через центр кола і лежить із цим колом в одній площині, має з ним дві спільні точки.

II. Діаметр кола, перпендикулярний до його хорди, проходить через середину цієї хорди.

III. Можна провести два діаметри кола, що не мають жодної спільної точки.

Алише II

Блише I та IIІ

Влише II та III

Глише I та IІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання властивостей кола та його елементів, хорд.

I. Пряма, що проходить через центр кола, містить діаметр кола. Отже, має з ним дві спільні точки.

II. $AB\perp CD.$ $\Delta COD$ – рівнобедрений, $OC=OD.$ Отже, висота $OK,$ проведена до основи, є медіаною. $K$ – середина хорди $CD.$

III. Діаметри кола проходять через центр кола, а отже, мають завжди спільну точку – центр кола.

Правильні твердження лише І та ІІ, тому відповідь Г.

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 547. Запитання: 26833

Завдання 113 з 365

Із точки $O,$ яка лежить на прямій $AB,$ проведено промені $OM$ і $OK$ (див. рисунок). Відомо, що $\angle BOM = 30^\circ,$ $\angle MOK = 80^\circ.$ Визначте градусну міру кута $AOK.$ Уважайте, що промені $OK,\ OM$ і пряма $AB$ лежать в одній площині.

А$60^\circ$

Б$70^\circ$

В$80^\circ$

Г$150^\circ$

Д$170^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їх властивості.

Завдання перевіряє знання аксіом планіметрії.

$\angle AOK+\angle KOM+\angle MOB=180^\circ.$

$\angle AOK=180^\circ-(30^\circ+80^\circ)=70^\circ.$

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 547. Запитання: 26824

Завдання 114 з 365

У прямокутному трикутнику $ACB\ \angle C = 90^\circ,\ \angle B = 24^\circ.$ На продовженні катета $AC$ вибрано точку $K$ так, що $AK = KB$ (див. рисунок). Точка $O$ – центр кола, описаного навколо трикутника $ACB.$ Узгодьте кут (1–3) із його градусною мірою (А – Д).

Кут

1$\angle BAC$

2$\angle KBC$

3$\angle OKB$

Градусна міра кута

А$24^\circ$

Б$34^\circ$

В$42^\circ$

Г$66^\circ$

Д$72^\circ$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

1 – Г. У $\Delta ACB\ (\angle C=90^\circ)$ $\angle B+\angle A=90^\circ,$ $\angle B=24^\circ,$ тому $\angle A=90^\circ-24^\circ=66^\circ.$ $\angle BAC=66^\circ.$

2 – B. $\Delta ABK$ – рівнобедрений, $AK=KB$ за умовою. За властивістю рівнобедреного трикутника $\angle A=\angle B=66^\circ.$

$$\angle KBC=\angle KBA-\angle CBA=66^\circ-24^\circ=42^\circ.$$

3 – A. $\Delta AKB$ – рівнобедрений, $KO -$ медіана $AO=OB$ (як радіуси). За властивістю рівнобедереного трикутника $KO -$ висота, $KO\perp AB.$ \begin{gather*} \angle OKB=90^\circ-\angle KBO=90^\circ-66^\circ=24^\circ . \end{gather*} $\Delta ACB -$ прямокутний, тому центр кола описаного навколо нього, лежить на середині гіпотенузи $AB.$

Відповідь: 1Г, 2В, 3А.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 546. Запитання: 26816

Завдання 115 з 365

У паралелограмі $ABCD\ \angle A=30^\circ,$ бічна сторона $AB = 12\ \text{см.}$ Сторона $AD$ втричі більша за висоту, проведену до цієї сторони (див. рисунок). Визначте площу $(\text{см}^2)$ цього паралелограма.

А$54$

Б$54\sqrt{3}$

В$108$

Г$108\sqrt{3}$

Д$216$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості прямокутного трикутника, знаходження площі паралелограма, до розв'язування планіметричних задач.

За умовою $AD=3BK,$ де $BK$ – висота паралелограма.

У $\Delta ABK\ (\angle K=90^\circ)$ за властивістю катета, який лежить напроти кута $30^\circ,$ $AB=2BK,$ $BK=6\ \text{см}.$ $$ AD=3BK=3\cdot 6=18\ (\text{см}). $$

Площа паралелограма $S=ah_a,$ де $a=AD, h_a=BK.$ $$ S=18\cdot 6=108\ (\text{см}^2). $$

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 546. Запитання: 26811

Завдання 116 з 365

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Середня лінія трапеції проходить через точку перетину її діагоналей.

II. Діагональ трапеції ділить її на два рівних трикутники.

III. Діагоналі рівнобічної трапеції рівні.

Алише III

Блише I та IIІ

Влише I та II

Глише II та IIІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції.

Правильне лише ІІІ твердження.

I. Середня лінія трапеції не проходить через точку перетину її діагоналей.

II. Діагональ трапеції не ділить її на два рівних трикутники $\Delta ABC\ne \Delta ACD.$

III. $AC=BD$ (властивість рівнобічної трапеції). $\Delta ABC=\Delta DCB$ (І ознака).

Відповідь: А.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 546. Запитання: 26808

Завдання 117 з 365

Визначте координати вектора, який є сумою векторів $\overrightarrow{a}(2; -2; 3)$ i $\overrightarrow{b}(-7; -3; 4).$

А$(9; 1; -1)$

Б$(-5; -5; 7)$

В$(-9; -1; 1)$

Г$(5; 5; 7)$

Д$(-5; 1; 7)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами.

Застосуємо правильно додавання векторів:

\begin{gather*} \overrightarrow{a}(a_1;\ a_2;\ a_3),\ \overrightarrow{b}(b_1;\ b_2;\ b_3)\\[7pt] \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}(a_1+b_1;\ a_2+b_2;\ a_3+b_3)=\\[7pt] =\overrightarrow{c}\left(2+(-7);\ -2+(-3);\ 3+4\right)=\overrightarrow{c}(-5;\ -5;\ 7). \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 546. Запитання: 26803

Завдання 118 з 365

Точки $A$ і $B$ лежать на колі радіуса $16.$ Укажіть найбільше можливе значення довжини відрізка $AB.$

А4

Б8

В16

Г32

Д64

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання властивостей кола та хорд.

Відрізок, що сполучає дві точки кола, називається хордою. Найбільша за довжиною хорда – діаметр кола.

Отже, $AB=32,$ тому що радіус кола дорівнює $16\ (d=2R).$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 546. Запитання: 26801

Завдання 119 з 365

На рисунку зображено відрізок $d$ на координатній площині. Установіть відповідність між відрізком (1–3) та рисунком (А – Д), на якому він зображений.

Відрізок

1відрізок, симетричний відрізку $d$ відносно oсі $x$

2відрізок, симетричний відрізку $d$ відносно осі $y$

3відрізок, симетричний відрізку $d$ відносно точки $O$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Геометричні перетворення.

Завдання перевіряє знання геометричних перетворень на площині: симетрії відносно прямої та точки.

1 – Б. симетрія відносно осі $x.$

2 – Г. симетрія відносно осі $y.$

3 – Д. симетрія відносно точки $O.$

Відповідь: 1Б, 2Г, 3Д.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 523. Запитання: 26201

Завдання 120 з 365

Діагональ прямокутника утворює з його стороною кут $60^\circ$ (див. рисунок), більша сторона прямокутника дорівнює $5\sqrt{3}.$ Визначте довжину кола, описаного навколо цього прямокутника.

А$10\mathbf{\pi}$

Б$25\mathbf{\pi}$

В$20\mathbf{\pi}$

Г$5\mathbf{\pi}$

Д$10\sqrt{3}\mathbf{\pi}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості трикутників, прямокутника до розв’язування планіметричних задач.

За умовою завдання більша сторона прямокутника дорівнює $5\sqrt{3}.$

У прямокутному трикутнику $\Delta ABC\ (\angle B = 90^\circ)$ гострі кути $60^\circ$ (із умови завдання) і $30^\circ\ (180^\circ – 90^\circ – 60^\circ = 30^\circ).$ Напроти більшої сторони $BC$ лежить більший кут, тому $\angle A = 60^\circ,$ тоді $\angle C = 30^\circ.$

У $\Delta ABC$ \begin{gather*} \frac{BC}{AC}=\sin A,\\[6pt] AC=\frac{BC}{\sin A}=\frac{5\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=10. \end{gather*}

Центр кола, описаного навколо прямокутника, є точка перетину діагоналей – середина діагоналі $AC.\ \ R=\frac 12 AC=5.$

Довжина кола $L=2\mathbf{\pi}R=10\mathbf{\pi}.$

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 523. Запитання: 26195

Завдання 121 з 365

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Діагоналі будь-якого ромба ділять його кути навпіл.

II. Діагоналі будь-якого чотирикутника точка перетину ділить навпіл.

III. Діагоналі будь-якого квадрата взаємно перпендикулярні.

Алише I

БІ, II та ІІІ

Влише III

Глише I та II

Длише I та IIІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання паралелограма, ромба, квадрата та їх властивостей.

I. Діагоналі будь-якого ромба ділять його кути навпіл (властивість ромба).

IІ. Неправильне твердження.

IІІ. Діагоналі будь-якого квадрата взаємно перпендикулярні (це властивість ромба, а квадрат є ромбом із прямими кутами).

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 523. Запитання: 26192

Завдання 122 з 365

У прямокутному трикутнику сума двох кутів дорівнює $115^\circ.$ Визначте градусну міру найменшого кута цього трикутника.

А$5^\circ$

Б$15^\circ$

В$25^\circ$

Г$35^\circ$

Д$65^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.

Завдання перевіряє знання властивості трикутника про суму кутів.

Сума кутів трикутника – $180^\circ .$ Сума гострих кутів – $90^\circ .$

Отже, $115^\circ$ – це сума прямого та гострого кута. Тоді гострий кут $115^\circ -90^\circ =25^\circ .$ Другий гострий кут трикутника.

Гострі кути $65^\circ$ та $25^\circ .$

Найменший кут цього трикутника $25^\circ .$

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 523. Запитання: 26187

Завдання 123 з 365

У прямокутній трапеції $ABCD$ проведено середню лінію $MN$ (див. рисунок). $BC=9\ \text{см},\ MN=13\ \text{см},\ \angle ADC=45^\circ.$ Визначте довжину (см) сторони $AB.$

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Перевіряє знання властивостей трапеції та її середньої лінії, вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. $MB$ – середня лінія трапеції. За властивістю середньої лінії $$ MN=\frac{AD+BC}{2}. $$

2. Отже, \begin{gather*} AD=2MN-BC=\\[7pt] =2\cdot 13-9=26-9=17\ (\text{см}). \end{gather*}

3. Проведемо $CK\perp AD.$ Отримали \begin{gather*} BC=AK=9\ \text{см},\\[7pt] KD=AD-AK=17-9=8\ \text{см}. \end{gather*}

4. $\Delta CKD\ (\angle K=90^\circ$ – прямокутний рівнобедрений $(\angle D=45^\circ).$ Отже, \begin{gather*} KD=CK=8\ \text{см}. \end{gather*}

5. $ABCD$ – прямокутна трапеція, тому $$ AB=CK=8\ \text{см}. $$

Відповідь: 8.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 521. Запитання: 26133

Завдання 124 з 365

Установіть відповідність між твердженням (1–3) та зображеним на рисунку прямокутником (А – Д), для якого це твердження є правильним.

Твердження

1діагональ прямокутника дорівнює $14$

2кут між діагоналями прямокутника дорівнює $60^\circ$

3площа прямокутника дорівнює $48$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Перевіряє знання властивостей прямокутника, вміння знаходити довжини відрізків, градусні міри кутів, площі геометричних фігур.

За теоремою Піфагора: \begin{gather*} AC^2=AB^2+BC^2=(4\sqrt{6})^2+10^2=\\[7pt] =16\cdot 6+100=196.\\[7pt] AC=\sqrt{196}=14. \end{gather*} Отже, 1 – Г.

\begin{gather*} AC^2=AB^2+BC^2=16+16\cdot 3=64\\[7pt] AC=8. \end{gather*} За властивістю прямокутника $$AC=BD,\ \ AO=BD=OC=OD=4.$$ Отже, $\Delta ABO$ – рівносторонній $\angle AOB=60^\circ.$
Отже, 2 – Б.

\begin{gather*} S=6\cdot 8=48. \end{gather*} Отже, 3 – B.

Відповідь: 1Г, 2Б, 3B.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 521. Запитання: 26130

Завдання 125 з 365

Прямі $AB$ і $CK$ паралельні, $CB$ – бісектриса кута $ACK$. Визначте градусну міру кута $ABC$, якщо $\angle BAC = 52^\circ.$

А$38^\circ$

Б$52^\circ$

В$64^\circ$

Г$69^\circ$

Д$128^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури та їхні властивості.

Перевіряє знання властивостей, паралельних прямих, суми кутів трикутника.

$$ \angle BAC+\angle ACK=180^\circ $$ за властивістю паралельних прямих сума внутрішніх односторонніх кутів $180^\circ.$ $$ \angle ACK=180^\circ-52^\circ=128^\circ. $$ $CB$ – бісектриса, тому $$ \angle ACB=\angle BCK=128^\circ:2=64^\circ. $$ Сума кутів трикутника $180^\circ.$ Отже, \begin{gather*} \angle ABC=180^\circ-(\angle BAC +\angle ACB)=\\[7pt] =180^\circ-(52^\circ+64^\circ)=180^\circ-116^\circ=64^\circ. \end{gather*} Або в такий спосіб: $\angle ABC=\angle BCK=64^\circ$ як внутрішні різносторонні при $AB\ ||\ CK$ та січної $BC.$

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 521. Запитання: 26118

Завдання 126 з 365

У прямокутному трикутнику $ABC$ катет $AC=12\ \text{см}$, гіпотенуза $AB=20\ \text{см}$.
Установіть відповідність між відрізком (1–3) та його довжиною (А – Д).

Відрізок

1катет $BC$

2радіус кола, описаного навколо трикутника $ABC$

3висота трикутника $ABC$, проведена до гіпотенузи $AB$

Довжина відрізка

А$19,2\ \text{см}$

Б$9,6\ \text{см}$

В$10\ \text{см}$

Г$8\ \text{см}$

Д$16\ \text{см}$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

1. За теоремою Піфагора: \begin{gather*} AB^2=AC^2+BC^2\\[7pt] BC^2=20^2-12^2=400-144=256.\\[7pt] BC=16\ \text{см}. \end{gather*} Отже, правильна відповідь – Д.

2. Радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, дорівнює половині гіпотенузи. Отже, $R=\frac 12 AB=10\ \text{см}.$ Отже, правильна відповідь – B.

3. $CH\perp AB$

Висоту $CH$ можна знайти, прирівнявши площу трикутника

\begin{gather*} S=\frac 12 a\cdot b\ \text{та}\ S=\frac 12 ch_c, \end{gather*} де $a,\ b$ – катети, $c$ – гіпотенуза.

\begin{gather*} S=\frac 12 AC\cdot CB=\frac 12\cdot 12\cdot 16=96\ (\text{см}^2)\\[6pt] S=\frac 12 AB\cdot CH=\frac 12\cdot 20\cdot CH=10CH\ (\text{см}^2)\\[6pt] 10\cdot CH=96,\ \ CH=9,6\ \text{см}. \end{gather*}

Або знайти висоту за допомогою метричних співвідношень у прямокутному трикутнику:

\begin{gather*} AC^2=AH\cdot AB,\ \ 144=AH\cdot 20,\\[7pt] AH=144:20=7,2\ (\text{см}) \end{gather*}

$\Delta ACH\ (\angle H=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

$$ CH=\sqrt{144-51,84}=\sqrt{92,16}=9,6\ (\text{см}). $$

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1Д, 2В, 3Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 516. Запитання: 26010

Завдання 127 з 365

Які з наведених тверджень щодо довільної трапеції $ABCD\ (BC\ ||\ AD)$ є правильними?

I. $\angle BAD+\angle ABC=180^\circ$

II. $\angle BCA=\angle CAD$

III. $AC=BD$

Алише І

Блише І та ІІ

Влише І та ІІІ

Глише ІІ та ІІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості трапеції, властивостей паралельних прямих.

I. $\angle BAD+\angle ABC=180^\circ$ правильне твердження. За властивістю трапеції сума кутів, прилеглих до бічної сторони, дорівнює $180^\circ.$

II. $\angle BCA=\angle CAD$ правильне твердження. $BC || AD,\ CA$ – січна. $\angle BCA$ та $\angle CAD$ – внутрішні різносторонні.

III. $AC=BD$ неправильне твердження. Діагоналі довільної трапеції не рівні.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 516. Запитання: 26003

Завдання 128 з 365

Вершина $B$ паралелограма $ABCD$ лежить на прямій $MC$ (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $CDA$, якщо $\angle MBA=25^\circ$.

А$65^\circ$

Б$115^\circ$

В$155^\circ$

Г$165^\circ$

Д$175^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання перевіряє знання властивостей суміжних кутів та паралелограма.

$\angle ABM+\angle ABC=180^\circ$ за властивістю суміжних кутів.

$$ \angle ABC=180^\circ-\angle ABM=180^\circ-25^\circ=155^\circ. $$

За властивістю паралелограма $$ \angle B=\angle D=155^\circ. $$

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 516. Запитання: 25996

Завдання 129 з 365

На рисунку зображено прямокутник $ABCD$ й сектор $KAD$, у якому $\angle KAD=90^\circ$. Площа сектора $KAD$ дорівнює 100π см². Дуга $\overset{\smile}{KD}$ перетинає сторону $BC$ в точці $M$, причому $BM=16$ см.

1. Визначте довжину (у см) сторони $AD$.

2. Обчисліть площу (у см²) прямокутника $ABCD$.

Впишіть відповіді:

1.			2.
	20			240

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники. Круг.

Завдання скеровано на перевірку знання основних властивостей геометричних фігур.

$\angle KAD=90^\circ,\ S_{\text{сектора}}=100\mathbf{\pi}\ \text{см}^2,$ $BM=16\ \text{см}.$

1. Площа сектора $KAD$ становить $\frac 14$ площі круга.

Площа круга $S=\mathbf{\pi}R^2$. Отже, $S_{\text{сектора}}=\frac 14\mathbf{\pi}R^2=100\mathbf{\pi}.$

\begin{gather*} \mathbf{\pi}R^2=400\mathbf{\pi},\ \ R^2=400,\\[7pt] R=20\ \text{см},\ AD=R=20\ \text{см}. \end{gather*}

2. $AM=AD=20\ \text{см}$ (як радіуси)
$BM=16\ \text{см}$ (за умовою).

У $\triangle ABM\ (\angle B=90^\circ)$ за теоремою Піфагора \begin{gather*} AM^2=AB^2+BM^2;\\[7pt] AB^2=20^2-16^2=(20-16)(20+16)=\\[7pt] =4\cdot 36\\[7pt] AB=\sqrt{4\cdot 36}=2\cdot 6=12\ \text{см}\\[7pt] S=AB\cdot AD=12\cdot 20=240\ \ \text{см}^2 \end{gather*}

Відповідь: 1. 20. 2. 240.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 489. Запитання: 24703

Завдання 130 з 365

На рисунках (1-5) наведено інформацію про п'ять паралелограмів. До кожного початку речення (1-3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Паралелограм, діагоналі якого перетинаються під прямим кутом, зображено на

2Паралелограм, менший кут якого дорівнює 30°, зображено на

3Паралелограм, площа якого дорівнює 16, зображено на

Закінчення речення

Арис. 1.

Брис. 2.

Врис. 3.

Грис. 4.

Дрис. 5.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей паралелограма, ромба; вміння використовувати формули площ геометричних фігур для розв’язування планіметричних задач.

1. На рис. 1 зображено ромб. За властивістю ромба діагоналі перетинаються під прямим кутом. Отже, 1 – A.

У $\triangle ABK (\angle K=90^\circ )$ катет $BK=4$ менше гіпотенузи вдвічі $AB=8$, тому $\angle A=30^\circ\ \left(\sin 30^\circ=\frac 12=\frac{BK}{AB}\right)$. Правильна відповідь - Б.

За формулою $S=ah_a$, де $a=8,\ \ h_a=2$. Площа паралелограма $S=8\cdot 2=16.$ Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1А, 2Б, 3Д.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 489. Запитання: 24701

Завдання 131 з 365

Заїзна кишеня для висадки пасажирів громадського (маршрутного) транспорту й таксі, облаштована перед входом у супермаркет, має форму рівнобічної трапеції $ABCD$. Довжина більшої основи $AD$ становить 38 м, ширина кишені дорівнює 5 м. Уздовж меншої основи $BC$ й бічних сторін $AB$ й $CD$ планують установити запобіжні стовпчики на відстані 1 м один від одного. Частину з них уже встановили (див. рисунок). Скільки всього стовпчиків має бути за планом уздовж сторін $AB,\ BC$ й $CD$ цієї кишені, якщо вздовж $BC$ вже встановлено 15 стовпчиків?

А39

Б41

В42

Г43

Д45

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутника, трапеції; вміння розв’язувати задачі практичного змісту.

Побудуємо математичну модель задачі:

$ABCD$ – рівнобічна трапеція, $AB=CD$. Уздовж основи $BC$ встановлено $15$ стовпчиків на відстані $1$ м. Отже, довжина сторони $BC=14\ \text{м}$.

Відстань між паралельними сторонами $BC$ та $AD$ дорівнює $5$ м. $$ CE\perp AD,\ \ CE=5\ \text{м}. $$

$$ ED=(AD-BC):2=(38-14):2=12\ (\text{м}). $$

У $\triangle CED\ (\angle E=90^\circ)$ за теоремою Піфагора

\begin{gather*} CD^2=CE^2+ED^2=5^2+12^2=25+144=169\\[7pt] CD=\sqrt{169}=13\ (\text{м}). \end{gather*}

Уздовж сторін $AB$ й $CD$ має бути по $13$ стовпчиків.

Всього стовпчиків має бути $$ 13+15+13=41. $$

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 489. Запитання: 24697

Завдання 132 з 365

У рівнобедреному трикутнику $ABC$ з основою $AC\ \angle B=40^\circ$. Визначте градусну міру кута $A$.

А80°

Б70°

В60°

Г50°

Д40°

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання теореми про суму кутів трикутника.

Сума кутів трикутника $180^\circ$.

$\angle B=40^\circ$, тому $$ \angle A+\angle C=180^\circ-40^\circ=140^\circ. $$

За властивістю рівнобедреного трикутника $\angle A=\angle C$. Отже, $$ \angle A=140^\circ : 2= 70^\circ. $$

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 489. Запитання: 24686

Завдання 133 з 365

На рисунку зображено прямокутник $ABCD$ й коло, яке дотикається до сторони $AB$ й сторін $BC$ й $AD$ в точках $M$ i $K$ відповідно. Периметр чотирикутника $ABMK$ дорівнює 24 см, а довжина відрізка $KC$ – 17 см.

1. Визначте радіус (у см) заданого кола.

2. Обчисліть площу (у см²) прямокутника $ABCD$.

Впишіть відповіді:

1.			2.
	4			152

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутників та їх основних властивостей.

$P_{ABMK}=24\ \text{см}\ \ KC=17\ \text{см}.$

\begin{gather*} P_{ABMK}=2(AB+BM)=2(2BM+BM)=6MB=24;\\[7pt] BM=OM=4\ \text{см}\ -\ \text{радіус кола.} \end{gather*}

2. $2OM=MK=8\ \text{см}, \triangle MKC\ (\angle M=90^\circ)$ - за теоремою Піфагора

\begin{gather*} CK^2=MK^2+MC^2;\\[7pt] MC=\sqrt{CK^2-MK^2}=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{225}=15\ \text{см}\\[7pt] BC=BM+MC=4+15=19\ \text{см}\\[7pt] S_{ABCD}=AB\cdot BC=8\cdot 19=152\ \ \text{см}^2 \end{gather*}

Відповідь: 1. 4. 2. 152.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 469. Запитання: 23681

Завдання 134 з 365

Квадрат $ABCD$ й прямокутна трапеція $BMNC$ лежать в одній площині (див. рисунок). Площа кожної із цих фігур дорівнює $36\ \text{см}^2$, $AM=15\ \text{см}$.

Установіть відповідність між відрізком (1-3) i його довжиною (А – Д).

Відрізок

1сторона квадрата $ABCD$

2висота трапеції $BMNC$

3менша основа трапеції $BMNC$

Довжина відрізка

А$2$ см

Б$3$ см

В$4$ см

Г$6$ см

Д$9$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей квадрата, трапеції; вміння використовувати формули площ геометричних фігур для розв’язування планіметричних задач.

$S_{ABCD}=S_{BMNC}=36\ \text{см}^2,\ \ AM=15\ \text{см}$.

1. $S_{ABCD}=AB^2=36\ \text{см}^2,\ AB=6\ \text{см}$ – сторона квадрата, отже, 1 - Г.

2. У прямокутній трапеції $BM$ – висота.
$BM=AM-AB=15-6 = 9\ \text{см}$, отже, 2 - Д.

3. \begin{gather*} S_{BMNC}=\frac{MN+BC}{2}\cdot BM,\\[6pt] 36=\frac{MN+6}{2}\cdot 9,\\[6pt] 72 = (MN+6)\cdot 9\\[7pt] MN =2\ \text{см}. \end{gather*} отже, 3 - A

Відповідь: 1Г, 2Д, 3A.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 469. Запитання: 23678

Завдання 135 з 365

Прямолінійною дорогою $AB$ рухається тролейбус (див. рисунок). Лінія $CD$ електричного дроту паралельна $AB$ й даху $MN$ тролейбуса. Штанга $KN$, що на рисунку є відрізком, утворює з $MN$ кут $30^\circ$. Відстані між прямими $CD$ й $AB, MN$ й $AB$ дорівнюють 6 м i 3,2 м відповідно. Укажіть проміжок, якому належить довжина (у м) штанги $KN$. Уважайте, що всі зазначені прямі лежать в одній площині.

А$[1; 3)$

Б$[3; 5)$

В$[5; 5{,}5)$

Г$[5{,}5; 6)$

Д$[6; 8)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутника, вміння розв’язувати задачі практичного змісту.

Побудуємо математичну модель задачі:

$$ DB=6\ \text{м},\ AM=3,2\ \text{м}\ KM=AK-AM=6-3,2=2,8\ \text{м}. $$

$$ \triangle KMN (\angle M=90^\circ) \ \ KN=2KM=2,8\cdot 2=5,6\ \text{м}. $$

Катет $KM$ протилеглий куту $30^\circ$ дорівнює половині гіпотенузи $KN$. $$ 5,5 \leq 5,6\lt 6 $$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 469. Запитання: 23675

Завдання 136 з 365

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Навколо будь-якого ромба можна описати коло.

II. Діагоналі будь-якого ромба взаємно перпендикулярні.

III. У будь-якому ромбі всі сторони рівні.

Алише І та ІІ

Блише І і ІІІ

Влише ІІ

Глише ІІ та ІІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей та ознак ромба.

І. Навколо чотирикутника можна описати коло, якщо сума протилежних кутів дорівнює 180°. Ця властивість у будь-якому ромбі не виконується. Отже, твердження неправильне.

ІІ. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні (властивість ромба). Правильне твердження.

ІІІ. У будь-якому ромбі всі сторони рівні (означення ромба). Правильне твердження.

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 469. Запитання: 23668

Завдання 137 з 365

Сума трьох кутів паралелограма дорівнює 280°. Визначте градусну міру більшого кута цього паралелограма.

А100°

Б80°

В140°

Г40°

Д120°

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання формули суми кутів чотирикутника.

Сума кутів будь-якого чотирикутника 360°. Сума трьох кутів – 280°, тому четвертий кут: $$ 360^\circ-280^\circ=80^\circ $$

Якщо гострі кути паралелограма $\angle A=\angle C=80^\circ$, то $\angle B=\angle D=180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.

Сума кутів, прилеглих до будь-якої сторони паралелограма, дорівнює 180° (як внутрішні односторонні при паралельних прямих і січної).

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 469. Запитання: 23665

Завдання 138 з 365

Установіть відповідність між початком речення (1–3) і його закінченням (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Трикутник, у якого центри вписаного й описаного кіл збігаються, зображено на

2Трикутник, один із внутрішніх кутів якого дорівнює 30°, зображено на

3Трикутник, у якого радіус описаного кола більший за 5 см, зображено на

Закінчення речення

Арис. 1.

Брис. 2.

Врис. 3.

Грис. 4.

Дрис. 5.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання видів трикутників та їх основних властивостей, кола, описаного навколо трикутника, теореми синусів.

1. Рис. 1 – рівносторонній трикутник, отже, центри вписаного та описаного кіл збігаються, 1 - А.

2. Рис. 3 – оскільки катет прямокутного трикутника в 2 рази менше гіпотенузи, то він лежить напроти кута 30°. Отже, 2 - В.

3. Рис. 5 – за теоремою синусів: \begin{gather*} \frac{6}{\sin 150^\circ}=2R,\ \frac{6}{\sin 30^\circ}=2R,\\[6pt] R=\frac{6}{2\cdot 1/2}=6\ (\text{см}), \end{gather*} радіус більший за 5 см, отже, 3 - Д.

Відповідь: 1A, 2В, 3Д.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 455. Запитання: 22994

Завдання 139 з 365

У ромб $ABCD$ вписано квадрат $KLMN$, сторона $KL$ якого перетинає діагональ $AC$ в точці $P$ (див. рисунок). $AL=10\ \text{см},\ AP=8\ \text{см}$.

1. Обчисліть довжину сторони квадрата $KLMN$ (у см).

2. Обчисліть довжину діагоналі $BD$ ромба $ABCD$ (у см).

Впишіть відповіді:

1.			2.
	12			21

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей ромба, подібних трикутників, теореми Піфагора.

1. За теоремою Піфагора, $PL^2=AL^2-AP^2=100-64=36.$ $PL=6\ \text{см}$.

$\triangle ALK$ - рівнобедрений, отже, \begin{gather*} PL=\frac 12 LK,\\[6pt] LK=12\ \text{см}. \end{gather*}

2. $\triangle APL\sim \triangle LEB$ (за гострим кутом). $\angle LAP=\angle BLE$ - відповідні при $AP\ ||\ LE$ та січної $AB$. \begin{gather*} \frac{AP}{LE}=\frac{LP}{BE};\ \frac 86=\frac{6}{BE},\\[6pt] BE=\frac{6\cdot 6}{8}=4,5\ \text{см},\\[6pt] BO=BE+EO=4,5+6=10,5\ \text{см},\\[7pt] BD=2\cdot BO=21\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: 1. 12. 2. 21.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 455. Запитання: 22921

Завдання 140 з 365

Бісектриса кута $A$ прямокутника $ABCD$ перетинає сторону $BC$ в точці $K$. Обчисліть площу чотирикутника $AKCD$, якщо $BK=KC=8\ \text{см}$.

А$48\ \text{см}^2$

Б$72\ \text{см}^2$

В$96\ \text{см}^2$

Г$128\ \text{см}^2$

Д$192\ \text{см}^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей прямокутника, трапеції, вміння використовувати формули площ геометричних фігур для розв’язування планіметричних задач.

$BK=KC=8\ \text{см},\ AK -$ бісектриса $\angle A$.

1. $\angle A=90^\circ,\ \angle BAK=\angle KAD=45^\circ$.

2. $\triangle ABK\ (\angle B=90^\circ)\ \angle K= 45^\circ$, отже $AB=BK=8\ \text{см}$.

3. $ABCD$ – прямокутник. За властивістю прямокутника

$$ AD=BC,\ \ BC=BK+KC=8+8=16\ (\text{см}) $$ $AKCD -$ прямокутна трапеція, $CD -$ висота. $$ S_{AKCD}=\frac{KC+AD}{2}\cdot CD=\frac{8+16}{2}\cdot 8=12\cdot 8=96\ (\text{см}^2). $$

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 455. Запитання: 22914

Завдання 141 з 365

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Діагоналі будь-якого паралелограма рівні.

II. Протилежні кути будь-якого паралелограма рівні.

III. Відстані від точки перетину діагоналей будь-якого паралелограма до його протилежних сторін рівні.

Алише ІІ

Блише І і ІІІ

ВІ, ІІ, ІІІ

Глише І і ІІ

Длише ІІ і ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей та ознак паралелограма.

З наведених тверджень привильними є твердження II i III.

Протилежні кути паралелограма рівні (властивість).

Відстані від точки перетину діагоналей до протилежних сторін рівні. $$ \triangle BEO=\triangle DKO $$ за гіпотенузою та гострим кутом.

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 455. Запитання: 22909

Завдання 142 з 365

На рисунку зображено трапецію $ABCD$. Визначте градусну міру кута $BCD$, якщо $\angle ADB=35^\circ, \angle BDC = 20^\circ$.

А125°

Б165°

В155°

Г145°

Д140°

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати означення та властивості трапеції.

І спосіб:
$\angle ADB=\angle CBD=35^\circ$ як внутрішні різносторонні при $BC\ ||\ AD$ та січної $BD$. $$ \triangle BCD\ \angle B+\angle C+\angle D=180^\circ, $$ отже $$ \angle C=180^\circ - (20^\circ+35^\circ)=125^\circ. $$

ІІ спосіб:

За властивістю трапеції

$$ \angle D+\angle C=180^\circ, $$ $$ \angle C=180^\circ - \angle D=180^\circ - (20^\circ+35^\circ)=125^\circ. $$

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 455. Запитання: 22904

Завдання 143 з 365

У прямокутній системі координат $xy$ на площині задано рівнобедрений трикутник $ABC$, у якому $AB=BC.$ Вершина $B$ лежить на прямій $y=2x+9.$ Визначте площу трикутника $ABC$, якщо $A(-6; -8)$, $C(4; -8).$

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Координати та вектори на площині.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості рівнобедреного трикутника, знаходити площу трикутника.

Накреслимо трикутник $ABC. AB=BC.$ Отже, точка $B$ має абсцису $-1.$ $(AC=10).$ Нехай координати точки $B(-1; y).$

Точка $B$ лежить на прямій $y=2x+9,$ тому $y=2(-1)+9=7,$ $B(-1; 7).$ $BK\perp AC.$ $BK=15$ висота та медіана.

\begin{gather*} S_{ABC}=\frac 12AC\cdot BK=\frac 12\cdot 10\cdot 15=75. \end{gather*}

Відповідь: $75.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 425. Запитання: 21238

Завдання 144 з 365

У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро дорівнює $15$ см, а сторона основи – $9\sqrt{2}$ см. Визначте об'єм цієї піраміди (у см$^3$).

Впишіть відповідь:

648

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на обчислення об’ємів піраміди.

$KABCD$ – правильна піраміда. $ABCD$ – квадрат, $AB=9\sqrt{2}$ см, $BK=15$ см.

У квадраті $BD=AB\cdot\sqrt{2}=9\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=18$ см.

$$ BO=\frac 12BD=9\ \textit{см}. $$

У $\Delta KOB\ (\angle O=90^\circ)$ за теоремою Піфагора $BK^2=BO^2+KO^2$,

$KO=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{6\cdot 24}=\sqrt{6\cdot 6\cdot 4}=6\cdot 2=12$ см – висота піраміди.

$S_{ABCD}=AB^2=(9\sqrt{2})^2=81\cdot 2=162$ см$^2.$

Об'єм піраміди знаходимо за формулою:

\begin{gather*} V=\frac 13S_\text{основи}\cdot H,\\[6pt] \text{де}\ S_\text{основи}=S_{ABCD}=162\ \textit{см}^2,\\[7pt] H=KO=12\ \textit{см},\\[6pt] V=\frac 13\cdot 162\cdot 12=54\cdot 12=648\ \textit{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $648.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 425. Запитання: 21236

Завдання 145 з 365

На рисунку зображено прямокутник $ABCD$ та коло із центром у точці $O$, яка є серединою діагоналі $BD.$ Це коло дотикається сторін $BC$ та $AD$ й перетинає діагональ $BD$ у точках $K$ і $M.$ $BK=8$ см, $KM=10$ см.

1. Визначте довжину діагоналі $AC$ (у см).

2. Визначте периметр прямокутника $ABCD$ (у см).

Впишіть відповіді:

1.			2.
	26			68

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Коло та круг.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

$BK=8$ см, $KM=10$ см – діаметр.

1. $BK=MD=8$ см, $KM=10$ см.

За властивістю прямокутника, діагоналі рівні. \begin{gather*} AC=BD=BK+KM+MD=8+10+8=26\ \textit{см}. \end{gather*}

2. $P_{ABCD}=2(AB+BC)$, $AB=KM=10$ см.

$\Delta ABD (\angle A=90^\circ)$ за теоремою Піфагора

\begin{gather*} BD^2=AB^2+AD^2,\\[7pt] AD^2=BD^2-AB^2=26^2-10^2,\\[7pt] AD=\sqrt{(26-10)(26+10)}=\sqrt{16\cdot 36}=4\cdot 6=24\ \textit{см},\\[7pt] P_{ABCD}=2(10+24)=68\ \textit{см}. \end{gather*}

Відповідь: 1. $26.$
2. $68.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 425. Запитання: 21232

Завдання 146 з 365

На більшій основі $AD$ рівнобічної трапеції $ABCD$ вибрано точки $K$ та $M$ так, що $BK\ ||\ CD$, $MC\ || AB$ (див. рисунок). Відрізки $BK$ та $CM$ перетинаються в точці $O$, $BO:OK=2:3.$ Периметр чотирикутника $ABCM$ дорівнює $84$, $BC=12.$ Установіть відповідність між відрізком (1–3) та його довжиною (А – Д).

Відрізок

1$AB$

2$MK$

3середня лінія трапеції $ABCD$

Довжина відрізка

А$21$

Б$30$

В$18$

Г$27$

Д$54$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання про подібні трикутники, властивість середньої лінії трапеції, властивості паралелограма.

$BO:OK=2:3$, $P_{ABCM}=84$, $BC=12.$

1. $AB\ ||\ CM$ за умовою $BC\ ||\ AM$ за властивістю трапеції. $ABCM$ – паралелограм.

$P_{ABCM}=2(AB+BC)=2(AB+12)=84$, $AB=30.$
Отже, 1 – Б.

2. $\Delta BOC$ подібний $\Delta KOM$ (за $2$ кутами). $\angle BOC=\angle MOK$ – вертикальні. $\angle OBC=\angle OKM$ – внутрішні різносторонні.

\begin{gather*} \frac{BC}{MK}=\frac{BO}{OK},\\[6pt] \frac{12}{MK}=\frac 23,\\[6pt] MK=18. \end{gather*}

Отже, 2 – B.

3. $AD=2AM+MK=2\cdot 12+18=24+18=42.$

Середня лінія трапеції дорівнює $$ \frac{BC+AD}{2}=\frac{12+42}{2}=\frac{54}{2}=27. $$ Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – B, 3 – Г.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 425. Запитання: 21229

Завдання 147 з 365

Стріла $CD$ автокрана нахилена до горизонтальної поверхні $AB$ під кутом $60^\circ$, $CD=20$ м (див. рисунок). Основа $C$ стріли розташована на відстані $d=2$ м від $AB.$ Відстань $h_1$, від кінця $D$ стріли до нижньої основи $MN$ вантажу становить $6$ м. Укажіть проміжок, якому належить відстань $h_2$ (у м) від $MN$ до $AB.$ Уважайте, що $MN\ ||\ AB.$

А$(4; 8]$

Б$(8; 10\mathord{,}5]$

В$(10\mathord{,}5; 12\mathord{,}5]$

Г$(12\mathord{,}5; 14\mathord{,}5]$

Д$(14\mathord{,}5; 20]$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач практичного змісту.

\begin{gather*} CD=20\ \text{м},\ \ CC_1=KK_1=d=2\ \text{м},\ \ h_1=DE=6\ \text{м}.\\[6pt] DK=CD\cdot \sin C=20\cdot \sin 60^\circ=20\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}\ \text{м}.\\[6pt] h_2=EK+KK_1.\\[7pt] EK=DK-DE=(10\sqrt{3}-6)\ \text{м}.\\[7pt] h_2=10\sqrt{3}-6+2=10\sqrt{3}-4\approx 10\cdot 1\mathord{,}7-4=13\ \text{м}.\\[7pt] h_2\in (12\mathord{,}5; 14\mathord{,}5]. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 425. Запитання: 21226

Завдання 148 з 365

На рисунку зображено прямокутник i рівнобедрений трикутник, які є гранями прямої призми. Довжини основи та бічної сторони трикутника дорівнюють $10$ см i $13$ см відповідно. Визначте площу повної поверхні призми, якщо площа її найбільшої бічної грані дорівнює $260$ см$^2.$

А$520$ см$^2$

Б$720$ см$^2$

В$780$ см$^2$

Г$840$ см$^2$

Д$960$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання формул для обчислення площ поверхонь призми, площі трикутника.

$\Delta ABC$ – рівнобедрений. $AB=AC=13$ см, $BC=10$ см.

Бічні грані – прямокутники. Найбільша за площею бічна грань $AA_1C_1C$ або $A_1B_1BA.$

\begin{gather*} S_{AA_1C_1C}=260\ \text{см}^2=AC\cdot CC_1,\\[7pt] CC_1=260:13=20\ \text{см}. \end{gather*}

У $\Delta ABC\ AK\perp BC$ – висота та медіана. $KC=5$ см.

У $\Delta AKC\ (\angle K=90^\circ)$ за теоремою Піфагора

\begin{gather*} AC^2=AK^2+KC^2,\\[7pt] AK=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{8\cdot 18}=\sqrt{4\cdot 36}=2\cdot 6=12\ \text{см}.\\[6pt] S_{ABC}=\frac 12BC\cdot AK=\frac 12\cdot 10\cdot 12=60\ \text{см}^2.\\[6pt] S_\text{бічна}=P_\text{основи}\cdot H,\ \ \text{де}\ \ P_\text{основи}=13+13+10=36\ \text{см}.\\[7pt] H=CC_1=20\ \text{см}.\\[7pt] S_\text{бічна}=36\cdot 20=720\ \text{см}^2.\\[7pt] S_\text{поверні}=S_\text{бічна}+2S_\text{основи}=720+2\cdot 60=720+120=840\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 425. Запитання: 21222

Завдання 149 з 365

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Навколо довільного ромба завжди можна описати коло.

II. Навколо довільної трапеції завжди можна описати коло.

III. Навколо довільного прямокутника завжди можна описати коло.

Алише І та ІІI

Блише І

Влише ІIІ

ГI, II та III

Длише ІI та ІІI

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба, трапеції, прямокутника, властивостей чотирикутників, вписаних в коло.

Навколо чотирикутника можна описати коло, якщо сума протилежних кутів дорівнює $180^\circ.$ Отже, навколо ромба та довільної трапеції не можна описати коло, але навколо довільного прямокутника – так.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 425. Запитання: 21216

Завдання 150 з 365

Пряма $l$ перетинає паралельні прямі $m$ та $n$ (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $\mathbf{\alpha}$, якщо $\mathbf{\beta} = 125^\circ.$

А$35^\circ$

Б$45^\circ$

В$55^\circ$

Г$65^\circ$

Д$75^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури та їхні властивості.

Завдання перевіряє знання властивостей вертикальних i суміжних кутів, паралельних прямих.

$\angle\mathbf{\beta}=\angle\mathbf{\gamma}$ як вертикальний. $\mathbf{\alpha}+\mathbf{\gamma}=180^\circ.$ За властивістю паралельних прямих. $\mathbf{\alpha}$, $\mathbf{\gamma}$ – внутрішні односторонні. $$ \mathbf{\alpha}=180^\circ-\mathbf{\gamma}=180^\circ-125^\circ=55^\circ. $$

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 425. Запитання: 21208

Завдання 151 з 365

У прямокутній системі координат $xy$ на площині коло задано рівнянням $x^2-4x+y^2+12y=9.$ Центр $O$ цього кола збігається з точкою перетину діагоналей паралелограма $ABCD.$ Визначте координати вершини $C(x_\text{C}; y_\text{C})$, якщо вектор $\overrightarrow{OA}(-1; 2).$ У відповіді запишіть добуток $x_\text{C}\cdot y_\text{C}.$

Впишіть відповідь:

-24

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Завдання перевіряє знання властивості рівних векторів, координат вектора; уміння складати рівняння кола, знаходити координати середини відрізка.

Коло задано рівнянням $$ x^2-4x+y^2+12y=9. $$

Запишемо в стандартному вигляді:

\begin{gather*} (x^2-4x+4)-4+(y^2+12y+36)-36=9,\\[7pt] (x-2)^2+(y+6)^2=49. \end{gather*}

Точка $O(2; -6)$ – центр кола, $R=7.$

Нехай точка $A(x_\text{A}; y_\text{A})$, $\overrightarrow{OA}(x_\text{A}-2; y_\text{A}+6)$, $\overrightarrow{OA}(-1; 2).$

Отже,

\begin{gather*} x_\text{A}-2=-1,\ \ x_\text{A}=1,\\[7pt] y_\text{A}+6=2,\ \ y_\text{A}=-4,\\[7pt] A(1; -4). \end{gather*}

Точка $O$ середина відрізка $AC.$

За формулами $$ x=\frac{x_1+x_2}{2},\ \ y=\frac{y_1+y_2}{2} $$ знаходимо координати точки $C:$

\begin{gather*} x_0=\frac{x_\text{A}+x_\text{C}}{2},\ \ x_\text{C}=2x_0-x_A=2\cdot 2-1=3,\\[7pt] y_0=\frac{y_\text{A}+y_\text{C}}{2},\ \ y_\text{C}=2y_0-y_\text{A}=2\cdot (-6)+4=-8,\\[7pt] x_\text{C}\cdot y_\text{C}=3\cdot (-8)=-24. \end{gather*}

Відповідь: $-24.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 400. Запитання: 19976

Завдання 152 з 365

На рисунку зображено прямокутник $ABCD$ та два кола, що мають зовнішній дотик. Коло із центром у точці $O_1$ дотикається сторін $AB$, $BC$ та $AD$, а коло із центром у точці $O_2$ проходить через вершини $C$ та $D.$ Відстані від точки $O_2$ до вершини $C$ та сторони $CD$ дорівнюють $20$ см та $12$ см відповідно.

1. Визначте радіус меншого кола (у см).

2. Обчисліть площу трикутника $DO_1C$ (у см$^2$).

Впишіть відповіді:

1.			2.
	16			768

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло і круг. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання про коло та його елементи, теореми Піфагора, знання формули для обчислення площі трикутника.

1. $O_2C=20$ см, $O_2K\perp CD$, $O_2K=12$ см.

За теоремою Піфагора \begin{gather*} \Delta O_2KC\ (\angle K=90^\circ),\\[7pt] O_2C^2=O_2K^2+CK^2,\\[7pt] CK=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16\ \textit{см},\\[7pt] O_1H=CK=16\ \textit{см}. \end{gather*}

2. $S_{DO_1C}=\frac 12CD\cdot O_1K$,

\begin{gather*} O_1K=O_1O_2+O_2K=O_1M+MO_2+O_2K=16+20+12=48\ \textit{см},\\[6pt] S_{DO_1C}=\frac 12\cdot 32\cdot 48=16\cdot 48=768\ \textit{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: 1. $16.$
2. $768.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 400. Запитання: 19970

Завдання 153 з 365

Бічні сторони $AB$ та $CD$ прямокутної трапеції $ABCD$ дорівнюють $6$ см i $10$ см відповідно. Менша діагональ трапеції лежить на бісектрисі її прямого кута (див. рисунок). Установіть відповідність між відрізком (1–3) та його довжиною
(А – Д).

Відрізок

1основа $BC$

2проекція сторони $CD$ на пряму $AD$

3середня лінія трапеції $ABCD$

Довжина відрізка

А$6$ см

Б$8$ см

В$10\sqrt{2}$ см

Г$10$ см

Д$14$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості трикутників до розв’язування планіметричних задач, знаходити довжину середньої лінії трапеції, знання теореми Піфагора.

$\angle A=90^\circ$, $AC$ бісектриса, $\angle BAC=45^\circ.$

$\Delta ABC$ – рівнобедрений $(\angle B=90^\circ)$, $AB=BC=6$ см.
Отже, 1 – A.

2. $CH\perp AD$, $HD$ – проекція $CD$ на $AD.$

У $\Delta CHD\ (\angle H=90^\circ)$, $CH=6$ см, $HD=8$ см (єгипетський).
Отже, 2 – Б.

3. $ABCH$ – квадрат.

$BC=AH=6$ см, $AD=AH+HD=14$ см.

Cередня лінія трапеції $$ \frac{BC+AD}{2}=\frac{6+14}{2}=10\ \textit{см}. $$ Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – A, 2 – Б, 3 – Г.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 400. Запитання: 19967

Завдання 154 з 365

Каркас колеса огляду складається з двох однакових кіл, до яких прикріплено $18$ кабінок на однаковій відстані одна від одної, та ребер (радіусів кіл), що з'єднують місця прикріплення кабінок та центри кіл (див. рисунок). Довжина кожного ребра дорівнює $27$ м. Визначте довжину дуги $\overset{\smile}{AB}$ кола із центром у точці $O.$ Укажіть відповідь, найближчу до точної.
Товщиною каркасу знехтуйте.

А$12\mathord{,}6$ м

Б$9\mathord{,}5$ м

В$5\mathord{,}4$ м

Г$4\mathord{,}6$ м

Д$3\mathord{,}2$ м

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє вміння знаходити довжину кола та його дуги.

Довжина кола $C=2\mathbf{\pi}R$, $R=27$ м. Отже, довжина всього кола $$ C=2\mathbf{\pi}\cdot 27=54\mathbf{\pi}\ \textit{м}. $$

Оскільки до каркаса прикрілено $18$ кабінок, то довжина дуги $AB$ дорівнює

$$ l_{AB}=\frac{54\mathbf{\pi}}{18}=3\mathbf{\pi}\approx 3\cdot 3\mathord{,}14=9\mathord{,}42\ \textit{м}. $$

Найближча до точної відповідь Б.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 400. Запитання: 19963

Завдання 155 з 365

На рисунку зображено прямокутник i трикутник, що є гранями правильної трикутної призми. Периметр цього прямокутника дорівнює $38$ см. Визначте площу основи цієї призми, якщо довжина висоти призми дорівнює $11$ см.

А$16\sqrt{3}$ см$^2$

Б$32\sqrt{3}$ см$^2$

В$24$ см$^2$

Г$64$ см$^2$

Д$24\sqrt{3}$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Стереометрія. Трикутники. Многогранники.

Завдання перевіряє знання про призму та її елементи, вміння знаходити площу трикутника.

$ACDE$ – прямокутник, $P=38$ см, $AE=CD=11$ см.

$$AC=DE=(38-11\cdot 2):2=8\ \textit{см}.$$

Площа основи призми – площа $\Delta ABC (AB=BC=AC).$

За формулою $$ S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}, $$ де $a$ – довжина сторони, знаходимо площу $$ S=\frac{8^2\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}\ \textit{см}^2. $$

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 400. Запитання: 19962

Завдання 156 з 365

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Діагоналі будь-якого ромба ділять його кути навпіл.

II. Діагоналі будь-якого чотирикутника точкою перетину діляться навпіл.

III. Діагоналі будь-якого квадрата перпендикулярні.

Алише І

БI, II та III

Влише ІIІ

Глише І та ІІ

Длише І та ІІI

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання паралелограма, ромба, квадрата та їх властивостей.

I правильне. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів.

II неправильне. Діагоналі точкою перетину діляться навпіл – властивість паралелограма.

III правильне. Діагоналі перпендикулярні – властивість будь-якого квадрата.

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 400. Запитання: 19953

Завдання 157 з 365

Прямі $l$, $m$ і $n$ лежать в одній площині (див. рисунок). Визначте градусну міру
кута $\mathbf{\alpha}.$

А$110^\circ$

Б$50^\circ$

В$60^\circ$

Г$70^\circ$

Д$80^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання перевіряє знання властивостей суміжних та вертикальних кутів, теореми про суму кутів трикутника.

$\angle BAC=180^\circ-120^\circ=60^\circ$ – суміжний до кута $120^\circ.$

$\angle ACB=\mathbf{\alpha}$ – вертикальні кути.

Сума кутів $\Delta ABC$ дорівнює $180^\circ$, тому $$ \mathbf{\alpha}=180^\circ-(50^\circ+60^\circ)=70^\circ. $$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 400. Запитання: 19946

Завдання 158 з 365

У прямокутній системі координат $xy$ на площині задано рівнобедрений трикутник $ACB$, у якому $AC=BC$, $A(2; -5)$, $B(4; 3).$ Навколо цього трикутника описано коло, задане рівнянням $(x-3)^2+y^2+2y=16.$ Визначте площу трикутника $ABC$.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Трикутники. Координати та вектори на площині.

Завдання перевіряє вміння знаходити координати середини відрізка, складати рівняння кола, застосовувати властивості прямокутного трикутника, використовувати формули площі трикутника.

Коло задане рівнянням $(x-3)^2+y^2+2y=16.$

Запишемо у стандартному вигляді
$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$, де $(a; b)$ – центр кола, $R$ – радіус
$(x-3)^2+y^2+2y+1=16+1$
$(x-3)^2+(y+1)^2=17.$
$(3; -1)$ – центр кола, $R=\sqrt{17}.$

Точка $A(2; -5)$, $B(4; 3).$ Центр кола $O(3; -1)$ є серединою відрізка $AB$ $$ x=\frac{2+4}{2}=3;\ \ y=\frac{-5+3}{2}=-1. $$

Отже, $\Delta ABC$ – рівнобедрений прямокутний з гіпотенузою $AB=2\sqrt{17}.$

Висота, проведена до гіпотенузи, – медіана та радіус описаного кола.

Отже, $S_{ABC}=\frac 12 AB\cdot OC$, $OC=R=\sqrt{17}.$

$S_{ABC}=\frac 12\cdot 2\sqrt{17}\cdot \sqrt{17}=17.$

Відповідь: $17.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 390. Запитання: 19517

Завдання 159 з 365

Визначте довжину твірної конуса (у см), якщо його об’єм дорівнює $800\mathbf{\pi}$ см$^3$, а площа основи – $100\mathbf{\pi}$ см$^2.$

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на обчислення об’ємів і площ поверхонь конуса.

Площа основи конуса – $S_\text{основи}=\mathbf{\pi}R^2=100\mathbf{\pi}$ см$^2$, $R^2=100$, $R=10$ см. $OB=10$ см.

Об'єм конуса знаходимо за формулою:

$V=\frac 13S_\text{основи}H,$ де $S_\text{основи}=100\mathbf{\pi}$ см$^2$, $H=AO.$

$\frac 13\cdot 100\mathbf{\pi}\cdot H=800\mathbf{\pi}$, $H=24$ см.

У $\Delta AOB\ (\angle O=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

$AB^2=AO^2+OB^2=24^2+10^2=576+100=676.$

$AB=26$ см – твірна конуса.

Відповідь: $26.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 390. Запитання: 19515

Завдання 160 з 365

У паралелограмі $ABCD$ з вершини тупого кута $B$ проведено висоти $BK$ та $BM$ (див. рисунок). $BK=16$ см, $AK=12$ см, $BM=24$ см.

1. Визначте довжину сторони $AB$ (у см).

2. Обчисліть площу (у см$^2$) паралелограма $ABCD.$

Впишіть відповіді:

1.			2.
	20			480

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості паралелограма до розв'язування планіметричних задач.

1. У $\Delta ABK\ (\angle K=90^\circ)$ за теоремою Піфагора \begin{gather*} AB^2=AK^2+BK^2=12^2+16^2=144+256=400,\\[7pt] AB=20\ \textit{см}. \end{gather*}

2. За формулою $S=ah$, де $a$ – сторона паралелограма, $h$ – висота, проведена до сторони $a$, знаходимо площу

$$ S=CD\cdot BM=AB\cdot BM=20\cdot 24=480\ \text{см}^2. $$

Відповідь: 1. $20.$
2. $480.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 390. Запитання: 19511

Завдання 161 з 365

Довжина сторони ромба $ABCD$ дорівнює $8$, $\angle B=60^\circ.$ Установіть відповідність між величиною (1–3) та її значенням (А – Д).

Величина

1довжина діагоналі $AC$

2довжина висоти ромба $ABCD$

3відстань від точки $A$ до центра кола, яке вписане в ромб

Значення величини

А$4$

Б$4\sqrt{3}$

В$8$

Г$8\sqrt{3}$

Д$8\sqrt{2}$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба.

$ABCD$ – ромб, $\angle B=60^\circ$, $AB=BC=CD=DA=8.$

1. $\Delta ABC$ – рівносторонній, $AC=8.$ Отже, 1 – B.

2. $\Delta BCH\ (\angle H=90^\circ)\ CH=BC\cdot\sin B=8\cdot \sin 60^\circ=8\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}.$ Отже, 2 – Б.

3. Центр кола, вписаного в ромб – точка перетину діагоналей точка $O.$

За властивістю ромба $AO=OC=\frac 12AC=4.$ Отже, 3 – A.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – A.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 390. Запитання: 19508

Завдання 162 з 365

На рисунку зображено автомобільний тунель, поперечний переріз $ABCD$ якого утворено хордою $BC$, діаметром $AD$ та двома рівними дугами $\overset{\smile}{AB}$ й $\overset{\smile}{DC}$ кола із центром у точці $O$. Хорду $BC$ довжиною $6$ м видно із центра $O$ під кутом $90^\circ.$ У тунелі прокладено дорогу з двома смугами руху транспорту однакової ширини, розділювальною смугою шириною $0\mathord{,}4$ м та двома технічними смугами завширшки $0\mathord{,}8$ м кожна. Визначте ширину однієї смуги руху транспорту. Укажіть відповідь, найближчу до точної.

А$1\mathord{,}8$ м

Б$2$ м

В$3$ м

Г$3\mathord{,}2$ м

Д$3\mathord{,}4$ м

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Геометричні величини та їх вимірювання.

Завдання перевіряє вміння знаходити довжини відрізків, розв'язувати задачі практичного змісту.

У $\Delta BOC\ (\angle O=90^\circ)\ OB=OC$ як радіуси.
$BC=6$ м. За теоремою Піфагора

\begin{gather*} BO^2+OC^2=BC^2,\\[7pt] 2BO^2=36,\ \ BO^2=18,\\[7pt] BO=AO=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\ \textit{м}. \end{gather*}

Ширина смуги

$$ 3\sqrt{2}-0\mathord{,}8-\frac{0\mathord{,}4}{2}=3\sqrt{2}-1\approx 3\cdot 1\mathord{,}4-1=4\mathord{,}2-1=3\mathord{,}2\ \textit{м}. $$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 390. Запитання: 19505

Завдання 163 з 365

Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює $24$, апофема утворює з площиною основи піраміди кут $45^\circ.$ Визначте довжину сторони основи цієї піраміди.

А$24$

Б$16\sqrt{3}$

В$24\sqrt{2}$

Г$48$

Д$48\sqrt{2}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання властивостей піраміди, означення кута між прямою та площиною.

Висота піраміди $AO=24.$ За означенням кута між прямою та площиною,
$AO\perp (DOC)$
$AB$ – похила
$OB$ – проекція похилої на площину.

Отже, $\angle ABO=45^\circ.$ $\Delta AOB\ (\angle O=90^\circ)$ – рівнобедрений.

$OB=OA=24.$
$OB=\frac 12CE$, $CE=48.$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 390. Запитання: 19502

Завдання 164 з 365

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Бічні сторони будь-якої трапеції паралельні.

II. Сума кутів, прилеглих до бічної сторони будь-якої трапеції, дорівнює $180^\circ.$

III. Сума протилежних кутів будь-якої трапеції дорівнює $180^\circ.$

Алише І

Блише ІI

Влише І i ІІ

Глише ІI i ІІI

ДI, II i III

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції.

I – неправильне твердження. Трапеція – це чотирикутник, у якого дві сторони паралельні (основи), а дві інші – ні (бічні).

IІ – правильне твердження. Основи трапеції – паралельні відрізки, бічна сторона – січна. Кути, прилеглі до бічної сторони – внутрішні односторонні кути, і за властивістю паралельних прямих їх сума дорівнює $180^\circ.$

III – неправильне твердження. Наведемо контрприклад. У прямокутній трапеції сума протилежних кутів не дорівнює $180^\circ.$

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 390. Запитання: 19497

Завдання 165 з 365

Довжини сторін $AB$ та $BC$ прямокутника $ABCD$ відносяться як $2:5$, а його периметр дорівнює $28$ см. Визначте довжину більшої сторони цього прямокутника.

А$10$ см

Б$20$ см

В$7$ см

Г $14$ см

Д$8$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей прямокутника, вміння знаходити периметр.

$$AB : BC = 2 : 5.$$ Нехай \begin{gather*} AB=CD=2x\ \text{см},\\[7pt] BC=AD=5x\ \text{см},\\[7pt] P_{ABCD}=2(AB+BC). \end{gather*} Отже, \begin{gather*} 2(2x+5x)=28\\[7pt] 14x=28\\[7pt] x=2. \end{gather*} Більша сторона прямокутника $$BC=5x=5\cdot 2=10\ \text{см}.$$

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 390. Запитання: 19487

Завдання 166 з 365

На колі із центром у точці $O$ вибрано точки $A$, $B$ й $C$ так, що $\angle ACB=15^\circ$ (див. рисунок). Довжина меншої дуги $AB$ кола дорівнює $8\mathbf{\pi}$ см.

1. Визначте градусну міру центрального кута $AOB$, що спирається на меншу дугу $AB.$

2. Визначте радіус цього кола (у см).

Впишіть відповіді:

1.			2.
	30			48

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання властивостей вписаного та центрального кутів, уміння знаходити довжину дуги кола.

1. За властивістю вписаного кута $\angle ACB=\frac 12\angle AOB.$
$\angle AOB=2\cdot \angle ACB=2\cdot 15^\circ=30^\circ.$ Градусна міра дуги $AB$ дорівнює $30^\circ.$

2. $l_{AB}=8\mathbf{\pi}$ см. За формулою довжини дуги $$l=\frac{\mathbf{\pi}R}{180^\circ}\cdot n^\circ,$$ де $R$ – радіус кола, $n$ – градусна міра центрального кута (градусна міра дуги).

$$8\mathbf{\pi}=\frac{\mathbf{\pi}R\cdot 30^\circ}{180^\circ},\ \ 8\mathbf{\pi}=\frac{\mathbf{\pi}R}{6},\ \ R=48\ \textit{см}.$$

Відповідь: 1. $30.$
2. $48.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 384. Запитання: 18996

Завдання 167 з 365

У прямокутник $ABCD$ вписано рівнобедрений трикутник $AKD$ так, як показано на рисунку. $AD=12$ см, $AK=10$ см. До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Довжина сторони $AB$ дорівнює

2Радіус кола, описаного навколо прямокутника $ABCD$, дорівнює

3Довжина середньої лінії трапеції $ABKD$ дорівнює

Закінчення речення

А$2\sqrt{13}$ см.

Б$8$ см.

В$9$ см.

Г$4\sqrt{13}$ см.

Д$4$ см.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей прямокутника, прямокутного та рівнобедреного трикутників, теореми Піфагора.

1. За умовою завдання у прямокутник $ABCD$ ($AD=BC=12$ см) вписано рівнобедрений трикутник $AKD.$ Якщо трикутник рівнобедрений, то $$ BK=KC=\frac 12BC=\frac 12\cdot 12=6\ \textit{см}. $$ $\Delta ABK\ (\angle B=90^\circ)$ – єгипетський, $AB=8$ см. Отже, 1 – Б.

2. Центр кола, описаного навколо прямокутника, лежить на перетині діагоналей. Радіус кола – половина діагоналі $BD.$ У $\Delta ABD\ (\angle A=90^\circ).$ За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} BD^2=AB^2+AD^2=8^2+12^2=64+144=208,\\[7pt] BD=\sqrt{16}\cdot 13=4\sqrt{13}\ \textit{см},\\[7pt] R=2\sqrt{13}. \end{gather*}

Отже, 2 – A.

3. $ABKD$ – трапеція. Довжина середньої лінії $$ \frac{AD+BK}{2}=\frac{12+6}{2}=9\ \textit{см}. $$ Отже, 3 – В.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – В.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 384. Запитання: 18993

Завдання 168 з 365

На рисунку зображено поверхню повітряного змія, що складається з двох рівних прямокутних трикутників $AMB$ й $CNB$ та ромба $ABCD.$ Точки $A$ i $C$ належать відрізкам $DM$ i $DN$ відповідно. Гострий кут ромба дорівнює $60^\circ$, $BD=2$ м. Визначте площу поверхні (чотирикутника $MBND$) цього змія, якщо всі його елементи лежать в одній площині.
Виберіть відповідь, найближчу до точної.

А$1\mathord{,}5$ м$^2$

Б$1\mathord{,}7$ м$^2$

В$2\mathord{,}6$ м$^2$

Г$3\mathord{,}4$ м$^2$

Д$3\mathord{,}9$ м$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей ромба, прямокутного трикутника, вміння розв’язувати прямокутні трикутники.

$ABCD$ – ромб, $BD=2$ м, $\angle D=60^\circ.$

$\Delta BMD\ (\angle M=90^\circ)$, $BD=2$ м, $\angle MDB=30^\circ$ (діагональ ромба $BD$ – бісектриса
кута $D$).

$MB=\frac 12BD=\frac 12\cdot 2=1$ м.

За властивістю катета, протилеглого до кута $30^\circ.$

\begin{gather*} MD=BD\cdot \cos D=2\cdot \cos 30^\circ=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\ \textit{м}.\\[6pt] S_{BMD}=\frac 12MB\cdot MD=\frac 12\sqrt{3}\cdot 1=\frac{\sqrt{3}}{2}\ \textit{м}^2.\\[6pt] S_{MBND}=2\cdot S_{MBD}=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\ \textit{м}^2. \end{gather*}

Відповідь, найближча до точної $\sqrt{3}\approx 1\mathord{,}7\ \textit{м}^2.$

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 384. Запитання: 18990

Завдання 169 з 365

Які з наведених тверджень є правильними?

І. Протилежні сторони будь-якого паралелограма рівні.

ІІ. Довжина сторони будь-якого трикутника менша за суму довжин двох інших його сторін.

ІІІ. Довжина сторони будь-якого квадрата вдвічі менша за його периметр.

Алише І

Блише І та IІІ

Влише І та ІІ

Глише ІІ та ІІI

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограмів, нерівності трикутника.

I. Протилежні сторони будь-якого паралелограма рівні (властивість параллелограма).

II. Довжина сторони будь-якого трикутника менша за суму довжин двох інших сторін (нерівність трикутника).

III. Твердження неправильне. $P=4a$ – периметр квадрата, де $a$ – сторона квадрата.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 384. Запитання: 18984

Завдання 170 з 365

На рисунку зображено паралелограм $ABCD$, точка $B$ лежить на прямій $MC.$
Визначте градусну міру кута $CDA$, якщо $\angle MBA=25^\circ.$

А$115^\circ$

Б$65^\circ$

В$175^\circ$

Г$165^\circ$

Д$155^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограмів, суміжних кутів.

За властивістю суміжних кутів $$ \angle ABM+\angle CBA=180^\circ. $$

$$ \angle CBA=180^\circ-\angle ABM=180^\circ-25^\circ=155^\circ. $$

За властивістю паралелограма $\angle B=\angle D=155^\circ$ як протилежні.

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 384. Запитання: 18979

Завдання 171 з 365

Центр кола, заданого рівнянням $x^2-8x+y^2+7=0$, збігається з точкою перетину діагоналей $AC$ і $BD$ паралелограма $ABCD.$ Обчисліть площу цього паралелограма, якщо $A(-4; -3)$ i $B(0; 3).$

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє вміння знаходити координати середини відрізка, виконувати дії з векторами, знаходити скалярний добуток векторів.

Запишемо рівняння кола у вигляді:

$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$, де $(a; b)$ – центр кола, $R$ – радіус.
$(x^2-8x+16)+y^2-16+7=0$,
$(x-4)^2+y^2=9$, $O(4; 0)$ – центр кола.

За формулою знаходження координат середини відрізка знаходимо координати точки $D:$

\begin{gather*} x_O=\frac{x_B+x_D}{2};\ \ x_D=2x_O-x_B=2\cdot 4-0=8;\\[6pt] y_O=\frac{y_B+y_D}{2};\ \ y_D=2y_O-y_B=2\cdot 0-3=-3;\\[6pt] D(8; -3). \end{gather*}

Знайдемо координати векторів $\overline{AB}$ та $\overline{AD}:$

$\overline{AB}(0-(-4); 3-(-3))$, $\overline{AB}(4; 6)$, $\overline{AD}(12; 0).$

Знайдемо довжини векторів:

\begin{gather*} |\overline{AB}|=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}.\\[7pt] |\overline{AD}|=\sqrt{12^{2}+0^2}=12.\\[6pt] \cos A=\frac{\overline{AB}\cdot \overline{AD}}{|\overline{AB}|\cdot |\overline{AD}|}=\frac{4\cdot 12+6\cdot 0}{2\sqrt{13}\cdot 12}=\frac{48}{24\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{13}}.\\[6pt] \sin A=\sqrt{1-\cos^2A}=\sqrt{1-\frac{4}{13}}=\sqrt{\frac{9}{13}}=\frac{3}{\sqrt{13}}.\\[6pt] S_{ABCD}=AB\cdot AD\cdot \sin A=2\sqrt{13}\cdot 12\cdot \frac{3}{\sqrt{13}}=72. \end{gather*}

Відповідь: $72.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 357. Запитання: 17671

Завдання 172 з 365

На рисунку зображено квадрат $ABCD.$ Точки $K$, $L$, $M$ належать сторонам $BC$, $CD$ та $AD$ відповідно, $BK=8$ см. Трикутники $KCL$ та $LDM$ рівні, $KC=LD=15$ см.

1. Визначте довжину відрізка $KL$ (у см).

2. Обчисліть площу трикутника $KLM$ (у см$^2$).

Впишіть відповіді:

1.			2.
	17			144.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми Піфагора, співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника, формули площі прямокутного трикутника.

$BK=8$ см, $\Delta KCL=\Delta LDM$, $KC=LD=15$ см.

1. $ABCD$ квадрат.

$BC=CD=BK+KC=8+15=23$ см, $CL=8$ см.

У $\Delta KCL\ (\angle C=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

$KL^2=KC^2+CL^2=15^2+8^2=225+64=289$, $KL=17$ см.

2. Нехай $\angle CKL=\angle MLD=\mathbf{\alpha}$, $\angle CLK=\angle LMD=\mathbf{\beta}.$ $\mathbf{\alpha}+\mathbf{\beta}=90^\circ$ (сума гострих кутів прямокутного трикутника).

$\angle CLK+\angle KLM+\angle DLM=180^\circ$, $\angle KLM=180^\circ-(\mathbf{\alpha}+\mathbf{\beta})=90^\circ.$

Отже, $\Delta KLM$ – прямокутний, тому

$$ S_{KLM}=\frac 12KL\cdot LM=\frac 12\cdot 17\cdot 17=\frac 12\cdot 289=144\mathord{,}5\ \textit{см}^2. $$

Відповідь: 1. $17.$
2. $144\mathord{,}5.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 357. Запитання: 17667

Завдання 173 з 365

Основи $BC$ й $AD$ рівнобічної трапеції $ABCD$ дорівнюють $7$ см i $25$ см відповідно. Діагональ трапеції $BD$ перпендикулярна до бічної сторони $AB.$ До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Середня лінія трапеції дорівнює

2Проекція сторони $AB$ на пряму $AD$ дорівнює

3Висота трапеції дорівнює

4Сторона $AB$ трапеції дорівнює

Закінчення речення

А$9$ см.

Б$12$ см.

В$15$ см.

Г$16$ см.

Д$18$ см.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Геометричні величини та їх вимірювання.

Це завдання перевіряє знання про середню лінію трапеції, вміння застосовувати властивості трапеції до розв'язування планіметричних задач.

$BC=7$ см, $AD=25$ см, $BD\ \perp\ AB.$

1. Довжина середньої лінії трапеції дорівнює:

$$ \frac{BC+AD}{2}=\frac{7+25}{2}=\frac{32}{2}=16\ \textit{см}. $$

Отже, 1 – Г.

2. $BK\ \perp\ AD$, $AK$ – проекція $AB$ на пряму $AD.$ Проведемо перпендикуляр з вершини $C$ на пряму $AD.$ $CP\ \perp\ AD$ $BCPK$ – прямокутник, $BC=KP=7$ см.

$AK=PD=(AD-BC):2=(25-7):2=9$ см.

Отже, 2 – А.

3. $KD=25-9=16$ см.

За властивістю висоти прямокутного трикутника, проведеної до гіпотенузи:

$BK=\sqrt{AK\cdot KD}=\sqrt{9\cdot 16}=3\cdot 4=12$ см.

Отже, 3 – Б.

4. У $\Delta ABK\ (\angle K=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

$AB^2=AK^2+BK^2=9^2+12^2=81+144=225.$ $AB=15$ см.

Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Г, 2 – А, 3 – Б, 4 – В.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 357. Запитання: 17664

Завдання 174 з 365

Перед світлофором нa горизонтальній дорозі $AB$ зупиняється автобус. Найбільший кут $MKN$, під яким водієві автобуса видно світлофор повністю, дорівнює $30^\circ$ (див. рисунок). Проекція відрізка $KM$ на пряму $AB$ паралельна напрямку $KN$ руху автобуса, $LP\ \perp\ AB.$ $KL=0\mathord{,}6$ м, $LP$ – $1\mathord{,}6$ м. Світлофор установлено на висоті $h=4\mathord{,}6$ м над дорогою. Укажіть з-поміж наведених найменшу відстань $d$ від точки $A$ до точки $P$ місця зупинки автобуса, за якої світлофор повністю потраплятиме в поле зору водія.

А$3\mathord{,}6$ м

Б$4$ м

В$4\mathord{,}4$ м

Г$4\mathord{,}7$ м

Д$5\mathord{,}2$ м

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язання задач практичного змісту.

\begin{gather*} h=4\mathord{,}6\ \textit{м};\ KL=0\mathord{,}6\ \textit{м}; \ LP=1\mathord{}6\ \textit{м}.\\[7pt] NK=NL+LK=d+0\mathord{,}6;\\[7pt] MN=MA-NA=4\mathord{,}6-1\mathord{,}6=3\ \textit{м}; NA=LP.\\[6pt] \text{У}\ \Delta MNK\ (\angle N=90^\circ)\ \operatorname{tg}\ K=\frac{MN}{NK};\\[6pt] \operatorname{tg}\ 30^\circ=\frac{3}{d+0\mathord{,}6};\ \ \frac{3}{d+0\mathord{,}6}=\frac{1}{\sqrt{3}};\\[6pt] d+0\mathord{,}6=3\sqrt{3};\ \ d=3\sqrt{3}-0\mathord{,}6.\\[7pt] \sqrt{3}\approx 1\mathord{,}71;\ \ d\approx 3\cdot 1\mathord{,}71-0\mathord{,}6=5\mathord{,}13-0\mathord{,}6=4\mathord{,}53\ \textit{м}. \end{gather*}

З-поміж наведених відстаней найменша $4\mathord{,}7$ м.

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 357. Запитання: 17660

Завдання 175 з 365

Периметр основи правильної трикутної призми дорівнює $1$2 см, а периметр її бічної грані – $20$ см. Визначте площу бічної поверхні призми.

А$24$ см$^2$

Б$60$ см$^2$

В$72$ см$^2$

Г$84$ см$^2$

Д$96$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Тіла і поверхні обертання та їх елементи, основні види тіл і поверхонь обертання: циліндр, конус, зрізаний конус, куля, сфера.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості призми, знання формули площі бічної поверхні призми.

$ABCA_1B_1C_1$ – правильна призма. $\Delta ABC$ – рівносторонній.

\begin{gather*} AB=BC=AC=12:3=4\ \textit{см}.\\[7pt] P_{CC_1B_1B}=2(BC+CC_1)=20.\\[7pt] BC+CC_1=10.\\[7pt] CC_1=10-4=6\ \textit{см}.\\[7pt] S_\text{бічної}=P_\text{основи}\cdot H=P_{ABC}\cdot CC_1=12\cdot 6=72\ \textit{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 357. Запитання: 17657

Завдання 176 з 365

Які з наведених тверджень є правильними?

I. У будь-який трикутник можна вписати коло.

II. У будь-який прямокутник можна вписати коло.

III. У будь-який ромб можна вписати коло.

Алише І

Блише ІI i ІІI

Влише І i ІІ

Глише І i ІІI

ДI, II i III

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Многокутники.

Це завдання перевіряє знання про вписані в коло та описані навколо кола многокутники.

У будь-який трикутник можна вписати коло. Отже, I твердження правильне.

У чотирикутник можно вписати коло, якщо суми протилежних сторін рівні. Отже, в прямокутник не можна вписати коло, але у ромб – так.

Отже, ІІ твердження – неправильне, ІІІ – правильне.

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 357. Запитання: 17655

Завдання 177 з 365

Бісектриса кута $A$ прямокутника $ABCD$ перетинає сторону $BC$ і діагональ $BD$ в точках $K$ і $P$ відповідно (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $BPK$, якщо $\angle BDA=30^\circ.$

А$105^\circ$

Б$115^\circ$

В$75^\circ$

Г$95^\circ$

Д$125^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми про суму кутів трикутника, властивостей суміжних та вертикальних кутів, властивості прямокутника.

$AK$ – бісектриса $\angle A$, отже, $\angle BAK=\angle KAD=45^\circ.$

У трикутнику $\Delta APD:\ \angle PAD+\angle APD+\angle PDA=180^\circ.$

Звідси $\angle APD=180^\circ -\angle PAD-\angle PDA=180^\circ-45^\circ-30^\circ=105^\circ.$

$\angle APD=\angle BPK=105^\circ$ як вертикальні.

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 357. Запитання: 17645

Завдання 178 з 365

У прямокутній системі координат на площині $xy$ задано прямокутний трикутник $ACB\ (\angle C=90^\circ).$ Коло з центром у точці $A$, задане рівнянням $(x+3)^2+y^2-4y=21$, проходить через вершину $C.$ Сторона $AC$ паралельна осі $y$, довжина сторони $BC$ втричі більша за довжину сторони $AC.$ Визначте координати вершини $B(x_B; y_B)$, якщо вона лежить у першій координатній чверті. У відповідь запишіть суму $x_B+y_B.$

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє знання про коло, круг та їхні елементи, прямокутну систему координат; уміння застосовувати координати до розв'язування планіметричних задач.

Рівняння кола зведемо до стандартного вигляду: \begin{gather*} (x+3)^2+y^2-4y=21,\\[7pt] (x+3)^2+y^2-4y+4=25,\\[7pt] (x+3)^2+(y-2)^2=25. \end{gather*}

Коло з центром у точці $A(-3; 2)$ та радіусом $5.\ 3AC=BC.$

$AC\ ||\ Oy$, тому $x_c=-3$.
$AC=5$, $y_c=7.$ Отже, $C(-3; 7).$

$\Delta ACB,$ $\angle C=90^\circ$, $BC\ ||\ Ox$, $BC=3AC=15.$
Отже, $x_\text{в}=12$, $y_\text{в}=7.$
$B(12; 7)$, $12+7=19.$

Відповідь: $19.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 346. Запитання: 17090

Завдання 179 з 365

На рисунку зображено ромб $ABCD$, діагоналі якого перетинаються в точці $O.$ Із цієї точки до сторони $AD$ проведено перпендикуляр $OK$ довжиною $3$ см. Площа трикутника $AOD$ дорівнює $15$ см$^2.$

1. Визначте довжину сторони ромба $ABCD$ (у см).

2. Обчисліть тангенс гострого кута ромба $ABCD.$

Впишіть відповіді:

1.			2.
	10			0.75

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості ромба до розв'язування планіметричних задач; знання теореми Піфагора, формули площі трикутника.

$OK=3$ см, $S_{AOD}=15$ см$^2.$

1. $\Delta AOD$ \begin{gather*} S_{AOD}=\frac 12AD\cdot OK,\\[6pt] 15=\frac 12\cdot AD\cdot 3,\\[6pt] AD=10\ \textit{см}. \end{gather*}

2. $BE\ \perp\ AD$ висота ромба $BO=OD$, $KD=EK$ (за теоремою Фалеса).

У $\Delta BED\ OK$ – середня лінія. $BE=2OK=6$ см.

$\Delta ABE\ (\angle E=90^\circ)\ AB=10$ см, $BE=6$ см. За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB^2=BE^2+AE^2,\\[7pt] AE=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\ \textit{см},\\[6pt] \operatorname{tg}\ A=\frac{BE}{AE}=\frac 68=\frac 34=0\mathord{,}75. \end{gather*}

Відповідь: 1. $10.$
2. $0\mathord{,}75.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 346. Запитання: 17086

Завдання 180 з 365

Прямокутну трапецію $ABCD\ (AD\ ||\ BC$, $AD\gt BC)$ з більшою бічною стороною $CD=10$ описано навколо кола радіуса $4.$ Установіть відповідність між величиною (1–4) та її числовим значенням (А – Д).

Величина

1довжина сторони $AB$

2довжина проекції сторони $CD$ на пряму $AD$

3довжина основи $AD$

4довжина середньої лінії трапеції $ABCD$

Числове значення величини

А$6$

Б$8$

В$9$

Г$12$

Д$18$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання про трапецію та її властивості; середню лінію трапеції, вписані в коло та описані навколо кола чотирикутники, теореми Піфагора.

$OK=4$, $CD=10.$

1. Висота трапеції – діаметр кола $AB=8.$
Отже, 1 – Б.

2. $CE\ \perp\ AD$, $ED$ – проекція сторони $CD$ на $AD.$

$\Delta CED\ (\angle E=90^\circ)$ за теоремою Піфагора $$ ED=\sqrt{CD^2-CE^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6. $$ Отже, 2 – A.

3. За властивістю чотирикутника, описаного навколо кола $$ AB+CD=BC+AD=18. $$ Нехай $BC=AE=x$, тоді \begin{gather*} BC+AD=x+x+6=18,\\[7pt] 2x=12,\ \ x=6,\\[7pt] AD=AE+ED=6+6=12. \end{gather*} Отже, 3 – Г.

4. Середня лінія трапеції дорівнює $$ \frac{BC+AD}{2}=\frac{18}{2}=9. $$ Отже, 4 – B.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Г, 4 – B.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 346. Запитання: 17083

Завдання 181 з 365

На кресленні кутової шафи (вид зверху) зображено рівні прямокутники $ABCD$ i $KMEF$ та п'ятикутник $EMOAD$ (див. рисунок). Визначте довжину відрізка $ED$, якщо $OK=OB=1\mathord{,}2$ м, $KM=AB=0\mathord{,}5$ м, $KF=0\mathord{,}3$ м. Укажіть відповідь, найближчу до точної.

А$0\mathord{,}5$ м

Б$0\mathord{,}55$ м

В$0\mathord{,}65$ м

Г$0\mathord{,}6$ м

Д$0\mathord{,}7$ м

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач та задач практичного змісту.

$CP\ ||\ OB$, $NF\ ||\ OK$ (додаткові побудови).

\begin{gather*} OK=1\mathord{,}2\ \textit{м}\\[7pt] OP=BC=0\mathord{,}3\ \textit{м}\\[7pt] OM=1\mathord{,}2-0\mathord{,}5=0\mathord{,}7\ \textit{м}\\[7pt] PM=OM-OP=0\mathord{,}4\ \textit{м}=HE. \end{gather*} Аналогічно, $HD=0\mathord{,}4\ \textit{м}.$

$\Delta HED$ – прямокутний, рівнобедрений, з катетами $HE=DH=0\mathord{,}4\ \textit{м}.$

За теоремою Піфагора

$$ DE=\sqrt{HE^2+HD^2}=\sqrt{0\mathord{,}32}\ \textit{м}. $$

Число $\sqrt{0\mathord{,}32}$ можна оцінити наступним чином: $$ \sqrt{0\mathord{,}25}\lt \sqrt{0\mathord{,}32}\lt \sqrt{0\mathord{,}36}, $$ тобто $0\mathord{,}5\lt \sqrt{0\mathord{,}32}\lt 0\mathord{,}6.$

Серед відповідей цю нерівність задовольняє число $0\mathord{,}55$ м.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 346. Запитання: 17079

Завдання 182 з 365

Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює $6$ см, усі її бічні грані нахилені до площини основи під кутом $60^\circ.$ Визначте площу бічної поверхні цієї піраміди.

А$72$ см$^2$

Б$24\sqrt{3}$ см$^2$

В$48\sqrt{3}$ см$^2$

Г$72\sqrt{3}$ см$^2$

Д$144$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл, знання многогранників та їхніх елементів.

$SABCD$ – правильна піраміда. $ABCD$ – квадрат зі стороною $6$ см. $SK$ – апофема.

$$ \left.\begin{array}{l} SK\ \perp\ CD,\\ OK\ \perp\ CD, \end{array}\right| \rightarrow (SOK)\ \perp\ CD\rightarrow $$ $\angle SKO=60^\circ$ – лінійний кут відповідного двогранного кута між площинами $(SCD)$ та $(ABC).$

\begin{gather*} \Delta SOK\ (\angle O=90^\circ)\\[6pt] OK=\frac 12AD=3\ \textit{см}\\[6pt] SK=\frac{OK}{\cos 60^\circ}=\frac{3}{\frac 12}=6\ \textit{см}\\[6pt] S_\text{біч}=\frac 12P_\text{осн}\cdot SK, \end{gather*} де $P_\text{осн}$ – периметр основи.

\begin{gather*} P_\text{осн}=4\cdot 6=24\ \textit{см}\\[6pt] S_\text{біч}=\frac 12P_\text{осн}\cdot SK=\frac 12\cdot 24\cdot 6=72\ \textit{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 346. Запитання: 17077

Завдання 183 з 365

На рисунку зображено паралелограм $ABCD.$ Які з наведених тверджень є правильними?

I. $\angle ABC+\angle BCD=180^\circ.$

II. $AB=CD.$

III. $AC\ \perp\ BD.$

Алише І

Блише ІI i ІІI

Влише І i ІІ

Глише І i ІІI

Длише ІI

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограма.

I. Сума кутів, прилеглих до будь-якої сторони паралелограма, дорівнює $180^\circ.$ Отже, твердження І правильне.

II. Протилежні сторони паралелограма рівні. Отже, твердження ІІ правильне.

III. $AC$ та $BD$ - діагоналі паралелограма. Якщо діагоналі паралелограма перетинаються під прямим кутом, то такий паралелограм є ромбом. За умовою $ABCD$ паралелограм. Отже, $AC \not\perp BD$, тому твердження III неправильне.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 346. Запитання: 17073

Завдання 184 з 365

Кола із центрами в точках $O$ i $O_1$ мають внутрішній дотик (див. рисунок). Обчисліть відстань $OO_1$, якщо радіуси кіл дорівнюють $12$ см i $8$ см.

А$1\mathord{,}5$ см

Б$2$ см

В$3$ см

Г$4$ см

Д$8$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання кола та його елементів.

\begin{gather*} OA=12\ \textit{см},\\[7pt] O_1A=8\ \textit{см},\\[7pt] OO_1=OA-O_1A=12-8=4\ \textit{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 346. Запитання: 17062

Завдання 185 з 365

На колі із центром $O$, яке задано рівнянням $x^2+y^2=80$, вибрано точку $M(x_0; y_0)$, так, що вектор $\overrightarrow{OM}$ перпендикулярний до вектора $\overrightarrow{a} (–2; 1).$ Визначте абсцису $x_0$ точки $M$, якщо $x_0\lt 0.$

Впишіть відповідь:

-4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Планіметрія. Координати і вектори на площині.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами, знаходити скалярний добуток, координати вектора.

Коло із центром в точці $O$ задано рівнянням $x^2+y^2=80.$

$M(x_0; y_0)$ лежить на колі, тому $x_0^2+y_0^2=80.$

$O(0; 0)$, $M(x_0; y_0)$ отже, $\overline{OM}(x_0; y_0).$

За умовою $\overline{a}\ \perp\ \overline{OM}$, тому $\overline{a}\cdot \overline{OM}=0$, $\overline{a}(-2; 1)$, $-2x_0+1\cdot y_0=0.$

Складемо систему рівнянь:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x_0^2+y_0^2=80,\\ -2x_0+y_0=0, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} 4x_0^2+x_0^2=80,\\ y_0=2x_0, \end{array}\right.\ \ \\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x_0^2=16,\\ y_0=2x_0. \end{array}\right.\\[7pt] x_0^2=16,\ \ x_0=\pm 4. \end{gather*}

За умовою $x_0\lt 0$, а отже, $x_0=-4.$

Відповідь: $-4.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 337. Запитання: 16627

Завдання 186 з 365

На рисунку зображено прямокутник $ABCD$ та півколо з центром $O.$ $AD$ – діаметр півкола. $BK : KM=1 : 3$, $AB=4$ см.

1. Визначте радіус півкола (у см).

2. Обчисліть площу трикутника $KOM$ (у см$^2$).

Впишіть відповіді:

1.			2.
	5			12

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання про центральні та вписані кути, прямокутник, формули для обчислення площі трикутників.

1. $\angle AMD$ – вписаний, який спирається на діаметр. $\angle AMD=90^\circ.$ $ME\ \perp\ AD.$

За властивістю висоти до гіпотенузи:

$ME^2=AE\cdot ED.$

Нехай $BK=MC=x\ \textit{см}$, $KM=3x\ \textit{см}$, $ME=AB=4\ \textit{см}$, $AE=BM=4x\ \textit{см}$, $DE=MC=x\ \textit{см}.$

$16=4x\cdot x$, $x=2\ \textit{см}.$

$AD=5x=5\cdot 2=10\ \textit{см}$ – діаметр.

$R=5\ \textit{см}.$

2. $OF\ \perp\ KM$, $\Delta OFM\ (\angle F=90^\circ)$, $OM=R=5\ \textit{см}$, $OF=AB=4\ \textit{см}$, $FM=3\ \textit{см}$ (єгипетський).

$S_{OKM}=\frac 12KM\cdot OF=FM\cdot OF=3\cdot 4=12\ \textit{см}^2.$

Відповідь: 1. $5.$
2. $12.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 337. Запитання: 16623

Завдання 187 з 365

Установіть відповідність між чотирикутником (1–4) та довжиною його висоти (А – Д).

Чотирикутник

1ромб, гострий кут якого дорівнює $60^\circ$, а менша діагональ – $8\sqrt{3}$ см

2ромб, гострий кут якого дорівнює $30^\circ$, а периметр – $80$ см

3прямокутна трапеція, основи якої дорівнюють $13$ см і $7$ см, а більша бічна сторона – $10$ см

4трапеція, середня лінія якої дорівнює $6$ см, а площа – $84$ см

Довжина висоти

А$7$ см.

Б$8$ см.

В$10$ см.

Г$12$ см.

Д$14$ см.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення, ознаки та властивості різних видів чотирикутників до розв'язування планіметричних задач.

$ABCD$ – ромб, $\angle B=60^\circ$, $AC=8\sqrt{3}\ \textit{см}.$

$\Delta ABC$ – рівносторонній, $\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ.$

$\Delta AKC\ (\angle K=90^\circ).$

$AK=AC\cdot \sin \angle C=8\sqrt{3}\cdot \sin 60^\circ=8\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=12\ \textit{см}.$

Отже, 1 – Г.

$P_{ABCD}=80\ \textit{см}$, $AB=BC=CD=AD=20\ \textit{см}.$

$S_{ABCD}=AB^2\cdot \sin 30^\circ=BC\cdot AK=20^2\cdot \frac 12=20\cdot AK.$

$200=20AK$, $AK=10\ \textit{см}.$

Отже, 2 – В.

$BC=7$ см, $AD=13$ см, $AB\ \perp\ AD$, $CD=10$ см.

Додаткова побудова $CK\ \perp\ AD.$

$ABCK$ – прямокутник, $BC=AK=7$ см, $AD=13$ см, $KD=13-7=6$ см.

$\Delta CKD\ (\angle K=90^\circ)$ – єгипетський, $CK=8$ см.

Отже, 3 – Б.

$ABCD$ – трапеція, $BK$ – висота.

$S=\frac{BC+AD}{2}\cdot BK.$

$MN$ – середня лінія, $MN=\frac{BC+AD}{2}.$

$S=MN\cdot BK$, $BK=\frac{S}{MN}=\frac{84}{16}=14$ см.

Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – Г, 2 – В, 3 – Б, 4 – Д.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 337. Запитання: 16620

Завдання 188 з 365

У коробку у формі прямокутного паралелепіпеда щільно укладено у $2$ ряди $10$ шматочків крейди (див. рисунок 1). Кожний шматочок має форму циліндра висотою $10$ см і діаметром основи $15$ мм (див. рисунок 2).

Визначте площу плівки, якою в один шар щільно з усіх боків без накладань обгорнуто цю коробку. Місцями з’єднання плівки та товщиною стінок коробки знехтуйте.

А$225$ cм$^2$

Б$255$ cм$^2$

В$450$ cм$^2$

Г$600$ cм$^2$

Д$75$ cм$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості прямокутного паралелепіпеда до розв'язування стереометричних задач і задач практичного змісту.

Площа плівки, якою обгорнута коробка – це площа поверхні прямокутного паралелепіпеда.

Основа паралелепіпеда – прямокутник зі сторонами $30$ мм та $75$ мм. Висота паралелепіпеда – $10$ см.

$S_\text{пп}=S_\text{бп}+2S_\text{осн}.$

$S_\text{бп}=P_\text{осн}\cdot H=(3\cdot 7\mathord{,}5)\cdot 2\cdot 10=210$ см$^2.$

$30\ \textit{мм}=3\ \textit{см}$, $75\ \textit{мм}=7\mathord{,}5\ \textit{см}.$ $S_\text{осн}=3\cdot 7\mathord{,}5=22\mathord{,}5\ \textit{см}^2.$

$S_\text{пп}=210+2\cdot 22\mathord{,}5=210+45=255\ \textit{см}^2.$

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 337. Запитання: 16616

Завдання 189 з 365

У трикутнику $ABC$ кут $B$ – тупий. Які з наведених тверджень є правильними?

I. $\angle A+\angle C\lt 90^\circ.$

II. $AB+BC\lt AC.$

III. Центр кола, описаного навколо трикутника $ABC$, лежить поза його межами.

Алише І i ІІ

Блише І

Влише ІI та ІІI

ГI, II i III

Длише І i ІІI

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє вміння класифікувати трикутники за сторонами та кутами, знання теореми про суму кутів трикутника, кола, описаного навколо трикутника.

Якщо $\angle B$ – тупий, а сума кутів трикутника $180^\circ$, то $\angle B\gt 90^\circ$, $\angle A+\angle C\lt 90^\circ.$

За нерівністю трикутника $AC\lt AB+BC.$ Отже, твердження ІІ неправильне.

Центр кола, описаного навколо тупокутного трикутника $ABC$ лежить поза його межами.

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 337. Запитання: 16610

Завдання 190 з 365

Площа основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює $36$ см$^2.$ Визначте об’єм цієї піраміди, якщо її висота вдвічі більша за сторону основи.

А$108$ см$^3$

Б$144$ см$^3$

В$216$ см$^3$

Г $288$ см$^3$

Д$432$ см$^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання про піраміду, формулу об'єму піраміди.

$S_{ABCD}=36$ см$^2$, $SO=2AB.$

Піраміда $SABCD$ – правильна, тому $ABCD$ – квадрат.

\begin{gather*} S_{ABCD}=AB^2=36\ \textit{см}^2,\ \ AB=6\ \textit{см},\\[7pt] SO=2\cdot AB=2\cdot 6=12\ \textit{см},\\[6pt] V=\frac 13 S_{ABCD}\cdot SO=\frac 13\cdot 36\cdot 12=12\cdot 12=144\ \textit{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 337. Запитання: 16608

Завдання 191 з 365

На колі з центром $O$ вибрано точки $A$ та $B$ (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $AOB$, якщо довжина дуги $\overset{\smile}{AB}$ становить $\frac 16$ довжини цього кола.

А$30^\circ$

Б$45^\circ$

В$60^\circ$

Г$75^\circ$

Д$90^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання про коло та його елементи, центральні кути, дуги.

$AB$ становить $\frac 16$ довжини кола, тому центральний кут $AOB$ також становить $\frac 16$ від повного кута $360^\circ.$

$$ \angle AOB=\frac 16\cdot 360^\circ=60^\circ. $$

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 337. Запитання: 16606

Завдання 192 з 365

Радіус основи конуса дорівнює $4$, його висота – $h$, а твірна – $l$. Укажіть серед наведених правильне співвідношення для $h$ і $l.$

А$16+h^2=l^2$

Б$4+h=l$

В$16-h^2=l^2$

Г$h^2-l^2=16$

Д$8+h^2=l^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості конуса до розв'язування стереометричних задач.

$OA=4$ см, $SO=h$ – висота, $SA=l$ – твірна.

У $\Delta SOA\ (\angle O=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} SA^2=SO^2+OA^2,\\[7pt] l^2=h^2+16. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь А.

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 337. Запитання: 16604

Завдання 193 з 365

На рисунку зображено квадрат $ABCD.$ Точки $K$ та $M$ – середини сторін $AB$ та $CD$ відповідно. Визначте периметр чотирикутника $AKMD$, якщо периметр заданого квадрата дорівнює $72$ см.

А$36$ см

Б$42$ см

В$48$ см

Г$54$ см

Д$60$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

\begin{gather*} P_{ABCD}=4AB=72\ \textit{см},\\[7pt] AB=18\ \textit{см},\\[6pt] AK=\frac 12AB=9\ \textit{см},\\[6pt] P_{AKMD}=2(AK+AD)=2(9+18)=54\ \textit{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 337. Запитання: 16599

Завдання 194 з 365

У прямокутній системі координат на площині $xy$ навколо трикутника $ABC$ описано коло, задане рівнянням $x^2+y^2-4x=68.$ Визначте довжину сторони $BC$, якщо $\angle A=45^\circ.$

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Коло. Круг. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє знання кола, круга та їхніх елементів; теореми синусів, рівняння кола.

Запишемо рівняння кола в канонічному вигляді

\begin{gather*} x^2+y^2-4x=68,\\[7pt] x^2-4x+4+y^2=72,\\[7pt] (x-2)^2+y^2=72. \end{gather*}

Центр кола $(2; 0)$ та радіус $\sqrt{72}=6\sqrt{2}.$

За наслідком з теореми синусів

\begin{gather*} \frac{BC}{\sin A}=2R,\\[6pt] BC=2R\sin A=2\cdot 6\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=12. \end{gather*}

Відповідь: $12.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 310. Запитання: 15264

Завдання 195 з 365

У прямокутник $ABCD$ вписано два кола із центрами в точках $O_1$ та $O_2$, кожне з яких дотикається до трьох сторін прямокутника й одне до одного (див. рисунок). Сума довжин уписаних кіл дорівнює $16\mathbf{\pi}.$

1. Визначте довжину відрізка $O_1O_2.$

2. Обчисліть площу чотирикутника $BO_1O_2C.$

Впишіть відповіді:

1.			2.
	8			48

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Чотирикутники. Геометричні величини та їх вимірювання.

Це завдання перевіряє знання дотичної до кола та її властивості, формули довжини кола; уміння застосовувати ознаки та властивості різних видів чотирикутників до розв'язування планіметричних задач.

1.Довжина кола знаходиться за формулою $C=2\mathbf{\pi}R.$

Отже, $C_1+C_2=2\mathbf{\pi}R=2\mathbf{\pi}R=4\mathbf{\pi}R=16\mathbf{\pi}$, $R=4.$

$O_1O_2=2R=8.$

2. У прямокутник $ABCD$ вписано два кола, тому $BC=4R=16.$

$OO_1=2R=8.$

$O_1K\ \perp\ BC$ (за властивістю дотичної)

$O_1K=4.$

$O_2L\ \perp\ BC$ $O_1K=O_2L=R$, тому $O_1O_2\ ||\ BC$, отже $BO_1O_2C$ – трапеція.

$$ S_\text{тр}=\frac{O_1O_2+BC}{2}\cdot O_1K=\frac{8+16}{2}\cdot 4=48. $$

Відповідь: 1. $8.$
2. $48.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 310. Запитання: 15260

Завдання 196 з 365

На рисунку зображено квадрат $ABCD$ і ромб $CKMD$, які лежать в одній площині. Периметр ромба дорівнює $48$ см, а його гострий кут – $60^\circ.$ До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Довжина сторони квадрата $ABCD$ дорівнює

2Довжина більшої діагоналі ромба $CKMD$ дорівнює

3Відстань від точки $M$ до сторони $CD$ дорівнює

4Відстань від точки $K$ до прямої $AD$ дорівнює

Закінчення речення

А$6$ см.

Б$6\sqrt{3}$ см.

В$12$ см.

Г$12\sqrt{3}$ см.

Д$18$ см.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника, теореми косинусів; уміння застосовувати властивості різних видів чотирикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. Периметр ромба $CKMD\ 48$ см, тому сторони $CD=CK=KM=MD=48:4=12$ см. $CD=12$ см – сторона квадрата.

Отже, 1 – В.

2. Більша діагональ ромба лежить напроти більшого кута ромба.

$\angle D=\angle K=60^\circ$, звідси $\angle C=\angle M=120^\circ.$ Більша діагональ – $KD.$

У $\Delta DCK$ за теоремою косинусів

\begin{gather*} KD^2=CD^2+CK^2-2CD\cdot CK\cos \angle C=\\[7pt] =12^2+12^2-2\cdot 12\cdot 12\cdot \cos 120^\circ=\\[6pt] =144+144-2\cdot 144\cdot \left(-\frac 12\right)=\\[6pt] =144+144+144=3\cdot 144\ \textit{см}^3.\\[7pt] KD=\sqrt{3\cdot 144}=12\sqrt{3}\ \textit{см}^3. \end{gather*}

Отже, 2 – Г.

3.Відстань від точки $M$ до сторони $CD$ – це довжина перпендикуляра

$ME\ \perp\ DC$ – висота ромба.

У $\Delta MED\ \angle E=90^\circ$, $\angle D=60^\circ.$

\begin{gather*} ME=MD\cdot \sin \angle D=12\cdot \sin 60^\circ=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\ \textit{см},\\[6pt] ED=MD\cdot \cos \angle D=12\cdot \cos 60^\circ=12\cdot \frac 12=6\ \textit{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – Б.

4. $KP\ \perp\ AD.$ Відстань від точки $K$ до прямої $AD$ – це відрізок $KP.$

$CD\ \perp\ AD$, $KM\ ||\ CD$, тому $KM\ \perp\ AD$, $KP\ \perp\ AD.$

$KP=KM+MP=12+6=18\ \textit{см}.$

Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – В, 2 – Г, 3 – Б, 4 – Д.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 310. Запитання: 15257

Завдання 197 з 365

Автомобіль, задні дверцята якого відкриваються так, як зображено на рисунку, під’їжджає заднім ходом по горизонтальній поверхні $CA$ перпендикулярно до вертикальної стіни $AB.$ Укажіть серед наведених найменшу відстань $d$ від автомобіля до стіни $AB$, за якої задні дверцята автомобіля зможуть із зачиненого стану $KP$ безперешкодно набувати зображеного на рисунку положення $KP'.$ $KP'=KP=0\mathord{,}9$ м, $\cos \mathbf{\beta}=0\mathord{,}3.$ Наявністю заднього бампера автомобіля знехтуйте.

А$0\mathord{,}85$ м

Б$0\mathord{,}8$ м

В$0\mathord{,}75$ м

Г$0\mathord{,}7$ м

Д$0\mathord{,}6$ м

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання властивості дотичної до кола, вміння застосовувати набуті знання до розв'язування планіметричних задач та задач практичного змісту.

Проведемо $K_1E\ ||\ AB$ дотичну до кола.

За властивістю дотичної до кола $KK_1\ \perp\ K_1E.$

$\angle CPK=\angle PKP_1=\mathbf{\beta}$ як внутрішні різносторонні при $KK_1\ ||\ CE$ та січної $KP.$

У $\Delta KP_1P\ (\angle P_1=90^\circ)$, $KP=0\mathord{,}9$ м, $\angle K=\mathbf{\beta}.$

\begin{gather*} \cos \mathbf{\beta}=0\mathord{,}3=\frac{KP_1}{KP}=\frac{KP_1}{0\mathord{,}9},\\[6pt] KP_1=0\mathord{,}27\ \textit{м},\\[6pt] P_1K_1=KK_1-KP_1=0\mathord{,}9-0\mathord{,}27=0\mathord{,}63\ \textit{м}. \end{gather*}

Серед наведених відстаней найменша $0\mathord{,}7$ м.

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 310. Запитання: 15253

Завдання 198 з 365

Обчисліть об’єм правильної трикутної призми, бічні грані якої є квадратами, а площа основи дорівнює $9\sqrt{3}$ см$^2.$

А$54\sqrt{3}$ см$^3$

Б$27\sqrt{3}$ см$^3$

В$27$ см$^3$

Г$\frac{27}{2}\sqrt{3}$ см$^3$

Д$162\sqrt{3}$ см$^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Стереометрія. Многограники.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення об'ємів геометричних тіл, знання формул для обчислення площ трикутників.

Дана трикутна призма $ABCA_1B_1C_1$.

Усі бічні грані – квадрати, тому основа призми – рівносторонній трикутник. Площу рівностороннього трикутника можна знайти за формулою $$ S_{\Delta}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}, $$ де $a$ – сторона трикутника.

За умовою $$ S_{\Delta}=9\sqrt{3}\ \textit{см}^2. $$ Звідси, $a^2\sqrt{3}=36\sqrt{3}$, $a^2=36$, $a=6$ см.

$AA_1C_1C$ – квадрат, тому $AA_1=6$ см.

Об'єм призми

$V=S_\text{осн}\cdot H=S_{ABC}\cdot AA_1=9\sqrt{3}\cdot 6=54\cdot\sqrt{3}\ \ \textit{см}^3.$

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 310. Запитання: 15250

Завдання 199 з 365

У паралелограмі $ABCD$ нa стороні $AD$ вибрано точку $K.$ Діагональ $AC$ i відрізок $BK$ перетинаються в точці $O.$ Визначте довжину сторони $BC$, якщо $AK=12$ см, $OK=2$ см, $OB=3$ см.

А$24$ см

Б$18$ см

В$16$ см

Г$15$ см

Д$8$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Геометричні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення паралелограма, ознак подібності трикутників до розв'язування планіметричних задач.

Розглянемо $\Delta AOK$ та $\Delta COB.$

$\angle KAO=\angle BCO$ як внутрішні різносторонні при $BC\ ||\ AD$ та січної $AC.$

$\angle BOC=\angle KOA$ як вертикальні.

Отже, $\Delta BOC$ подібний $\Delta KOA$ за двома кутами. У подібних трикутниках відповідні сторони пропорційні:

\begin{gather*} \frac{BO}{OK}=\frac{BC}{AK},\\[6pt] \frac 32=\frac{BC}{12},\\[6pt] BC=\frac{3\cdot 12}{2}=18\ \textit{см}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 310. Запитання: 15247

Завдання 200 з 365

Дві дороги розходяться на рівнинній місцевості як промені $OA$ та $OB$, позначені на рисунку. Перша дорога (промінь $OA$) утворює кут $40^\circ$ з напрямком «схід», а друга (промінь $OB$) – кут $20^\circ$ з напрямком «південь». Який кут утворюють ці дороги між собою?

А$90^\circ$

Б$100^\circ$

В$110^\circ$

Г$120^\circ$

Д$130^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення, ознаки та властивості найпростіших геометричних фігур до розв'язування задач практичного змісту.

Кут $COD$ – прямий.

\begin{gather*} \angle COB=\angle COD-\angle BOD=90^\circ-20^\circ=70^\circ,\\[7pt] \angle AOB=\angle AOC+\angle COB=40^\circ+70^\circ=110^\circ. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 310. Запитання: 15236

Facebook

Twitter

Геометрія – Планіметрія