Стереометрія – тести ЗНО/НМТ – завдання з математики, починаючи з 200

Математика. Тема «Стереометрія». Всі запитання починаючи з 200

201202203204205206207208209210211212213214215216217218219220221222223224225226227228229230231232233234235236237238239240241242243244245246247248249250251252253254255256257258259260261262263264265266

Завдання 201 з 266

У правильну чотирикутну піраміду вписано сферу, площа якої дорівнює $36\pi$ см$^2$. Бічна грань піраміди нахилена до площини її основи під кутом $60^\circ$. Знайдіть об’єм піраміди (у см$^3$).

Впишіть відповідь:

324

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6418

Завдання 202 з 266

На рисунках (1–4) зображено куб і три точки, що розміщені у вершинах куба або є серединами його ребер. Установіть відповідність між кожним рисунком (1–4) та назвою фігури (А – Д), яка є перерізом куба площиною, що проходить через три задані точки.

Атрикутник

Бпрямокутник

Втрапеція

Гп’ятикутник

Дромб

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4
5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6409

Завдання 203 з 266

Об’єм циліндра дорівнює $48$ см$^3$. Знайдіть об’єм конуса, радіус основи якого дорівнює радіусу основи циліндра, а висота вдвічі менша за висоту циліндра.

А$6$ см$^3$

Б$8$ см$^3$

В$16$ см$^3$

Г$24$ см$^3$

Д$36$ см$^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6403

Завдання 204 з 266

Які з наведених тверджень правильні?

І. Якщо коло має з площиною дві спільні точки, то всі точки кола належать цій площині.
ІІ. Якщо три вершини паралелограма належать площині, то всі точки паралелограма належать цій площині.
ІІІ. Якщо круг і площина мають три спільні точки, то всі точки круга належать цій площині.

Алише II

Блише III

Влише I i II

Глише I i III

Длише II i III

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6401

Завдання 205 з 266

Периметр бічної грані правильної трикутної призми дорівнює $20$ см. Знайдіть площу бічної поверхні призми, якщо сторона її основи дорівнює $4$ см.

А$96$ см$^2$

Б$80$ см$^2$

В$72$ см$^2$

Г$32$ см$^2$

Д$24$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6395

Завдання 206 з 266

При яких значеннях $m$ і $n$ вектори $\vec a(m;2;3)$ і $\vec b(-12;6;n)$ колінеарні?

А$m=-36$ i $n=9$

Б$m=-4$ i $n=1$

В$m=-36$ i $n=1$

Г$m=3$ i $n=9$

Д$m=-4$ i $n=9$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6393

Завдання 207 з 266

Знайдіть довжину діагоналі прямокутного паралелепіпеда, виміри якого дорівнюють $2$ см, $3$ см, $4$ см.

А$\sqrt{29}$ см

Б$9$ см

В$\sqrt{13}$ см

Г$5$ см

Д$2\sqrt5$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6385

Завдання 208 з 266

В основі піраміди лежить прямокутний трикутник із кутом $15^\circ$. Усі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом $60^\circ$. Радіус кулі, описаної навколо піраміди, дорівнює $6$ см. Обчисліть об’єм піраміди (у см$^3$).

Впишіть відповідь:

40.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 128. Запитання: 6379

Завдання 209 з 266

Висота конуса вдвічі менша за діаметр його основи. Знайдіть градусну міру кута між твірною конуса та площиною його основи.

А$15^\circ$

Б$30^\circ$

В$45^\circ$

Г$60^\circ$

Д$75^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 128. Запитання: 6367

Завдання 210 з 266

Периметр осьового перерізу циліндра дорівнює $32$ см. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, якщо його висота дорівнює $10$ см.

А$30\pi$ см$^2$

Б$60\pi$ см$^2$

В$90\pi$ см$^2$

Г$120\pi$ см$^2$

Д$360\pi$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 128. Запитання: 6365

Завдання 211 з 266

Знайдіть точку, симетричну точці $A(2;– 3;7)$ відносно координатної площини $yz$.

А$(2;-3;-7)$

Б$(-2;-3;7)$

В$(2;3;7)$

Г$(-2;3;-7)$

Д$(-2;-3;-7)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 128. Запитання: 6363

Завдання 212 з 266

На рисунку зображено три фігури з номерами $1$, $2$, $3$. Серед цих фігур укажіть розгортки куба.

Алише фігура $3$

Блише фігури $1$ і $2$

Влише фігури $1$ і $3$

Глише фігури $2$ і $3$

Дфігури $1$, $2$ і $3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 128. Запитання: 6353

Завдання 213 з 266

Навколо правильної трикутної призми описано сферу радіуса $6$ см. Радіус сфери, проведений до вершини призми, утворює з бічним ребром кут $30^\circ.$ Визначте об'єм призми (у см$^3$).

Впишіть відповідь:

121.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники та тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей призми та кулі, формули об'єму призми, вміння застосовувати властивості геометричних фігур до розв'язування стереометричних задач.

Дана призма $ABCA_1B_1C_1$ – правильна призма, вписана у сферу. Отже, основи призми – правильні трикутники $ABC$, $A_1B_1C_1$ вписані у кола.

Точка $O$ – центр сфери. Проведемо $OO_1\!\perp\!(ABC)$, $ON\!\perp\!BB_1.$

Точка $O_1$ – центр кола, описаного навколо $\Delta ABC.$

$ONBO_1$ – прямокутник.

За умовою $\angle OBN=30^\circ.$ Отже, $\angle OBO_1=60^\circ.$ Точка $N$ – середина ребра $BB_1.$ $OB=6$ см.

У $\Delta OBO_1\ (\angle O_1=90^\circ)$,

\begin{gather*} O_1B=OB\cos 60^\circ=6\cdot \frac 12=3\ \text{см};\\[6pt] OO_1=OB\sin 60^\circ =6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

У $\Delta ABC\ O_1B=3$ см – радіус описаного кола, отже,

\begin{gather*} AB=R\sqrt{3}=3\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

\begin{gather*} S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}, \end{gather*} де $a=AB$ – сторона правильного трикутника.

\begin{gather*} S_{ABC}=\frac{(3\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4}=\frac{27\sqrt{3}}{4}\ \text{см}^2;\\[6pt] BB_1=2OO_1=6\sqrt{3}\ \text{см};\\[6pt] V=S_\text{осн}\cdot H,\ \text{де}\\[6pt] S_\text{осн}=S_{ABC}=\frac{27\sqrt{3}}{4}\ \text{см}^2;\\[6pt] H=BB_1=6\sqrt{3}\ \text{см};\\[6pt] V=\frac{27\sqrt{3}\cdot 6\sqrt{3}}{4}=\frac{243}{2}=121{,}5\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $121{,}5.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 127. Запитання: 6344

Завдання 214 з 266

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ – прямокутний паралелепіпед. Кожній площині (1–4), що виділена кольором, поставте у відповідність паралельну їй пряму (А – Д).

Площина

Пряма

А$BC$

Б$A_1D$

В$A_1B$

Г$BD$

Д$DD_1$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 127. Запитання: 6335

Завдання 215 з 266

Циліндр, радіус основи якого дорівнює $4$ см, висота – $12$ см, перетнули площиною, паралельною до його основи (див. рисунок 1). Утворилося два циліндри (див. рисунок 2). Визначте суму площ повних поверхонь утворених циліндрів.

А$96\pi$ см$^2$

Б$108\pi$ см$^2$

В$128\pi$ см$^2$

Г$144\pi$ см$^2$

Д$160\pi$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 127. Запитання: 6329

Завдання 216 з 266

Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює $4$ см, а об’єм – $64$ см$^3$. Знайдіть висоту піраміди.

А$\dfrac43$ см

Б$4$ см

В$8$ см

Г$12$ см

Д$16$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 127. Запитання: 6327

Завдання 217 з 266

У прямокутній системі координат у просторі знайдіть відстань від точки $M(0;8;6)$ до осі $Oy$.

А$6$

Б$7$

В$8$

Г$10$

Д$14$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 127. Запитання: 6318

Завдання 218 з 266

Основою прямої призми $ABCDA_1B_1C_1D_1$ є ромб $ABCD$, у якому більша діагональ $AC=17$ см. Об'єм призми дорівнює $1020$ см$^3$. Через діагональ $AC$ та вершину $B_1$ тупого кута верхньої основи призми проведено площину, яка утворює з площиною основи призми кут $\alpha.$ Знайдіть площу утвореного перерізу призми (у см$^2$), якщо $\mathrm{tg}\ \alpha=2{,}4.$

Впишіть відповідь:

110.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення об’ємів многогранників, уміння знаходити зазначені відстані та величини кутів у просторі.

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ – призма, $BB_1$ – висота призми. $AC = 17$ см.

1. $(AB_1C) \cap (AA_1B_1) = AB_1$, $(AB_1C) \cap (BCC_1) = B_1C$. Отже, $\Delta AB_1C$ – даний переріз.

2. $BO\!\perp\!AC$ (властивість діагоналей ромба). $B_1O\!\perp\!AC$ (за теоремою про три перпендикуляри). $(BOB_1)\!\perp\!AC.$ Отже, $\angle B_1OB = \alpha$ – лінійний кут відповідного двогранного кута між площинами $(AB_1C)$ і $(ABC).$

3. $\Delta B_1BO$ $(\angle B = 90^\circ)$,

\begin{gather*} BB_1 = BO \cdot \mathrm{tg}\ \alpha= \frac{1}{2}BD\mathrm{tg}\ \alpha= \frac{1}{2} \cdot 2{,}4 \cdot BD = 1{,}2BD. \end{gather*}

\begin{gather*} V = S_{основи} \cdot H = S_{ABCD} \cdot BB_1,\\[6pt] S_{ABCD} = \frac{1}{2}AC \cdot BD = \frac{17}{2}BD,\\[6pt] BB_1 = 1{,}2BD. \end{gather*}

За умовою, $V = 1020\ \text{см}^3.$ Отже,

\begin{gather*} \frac{17}{2}BD \cdot 1{,}2BD = 1020,\\[6pt] BD^2 = 100,\\[7pt] BD = 10\ \text{см},\\[6pt] BO = \frac{1}{2}BD = 5\ \text{см}. \end{gather*}

5. $BB_1 = 1{,}2BD = 1{,}2 \cdot 10 = 12$ см.

6. $\Delta B_1BO$ $(\angle B = 90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} B_1O^2 = BB_1^2 + BO^2 = 12^2 + 5^2 = 169,\\[7pt] B_1O = 13\ \text{см}. \end{gather*}

7. $S_{перерізу} = S_{AB_1C} = \dfrac{1}{2}AC \cdot B_1O = \dfrac{1}{2} \cdot 17 \cdot 13 = 110{,}5\ \text{см}^2.$

Відповідь: $110{,}5.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 126. Запитання: 6312

Завдання 219 з 266

У прямокутній системі координат у просторі зображено прямокутний паралелепіпед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребра $AB$, $BC$, $BB_1$ якого лежать на координатних осях (див. рисунок). До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Точка $K(0; 0; 12)$

2Точка $M(1; 8; 0)$

3Точка $P(4; 4; 4)$

4Точка $Q(0; 4; 6)$

Закінчення речення

Аналежить грані $AA_1D_1D.$

Бналежить ребру $CD.$

Вналежить діагоналі $AC_1.$

Гналежить діагоналі $BC_1.$

Дзбігається з точкою $B_1.$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Координати у просторі.

Це завдання перевіряє знання координат точки у просторі.

1. $K(0; 0; 12)$ збігається з $B_1.$ Отже, 1 – Д.

2. $M(1; 8; 0)$ належить ребру $CD.$ Отже, 2 – Б.

3. $P(4; 4; 4)$ належить грані $AA_1D_1D.$ Отже, 3 – А.

4. $Q(0; 4; 6)$ належить діагоналі $BC_1,\ CC_1.$

$OQ = \dfrac{1}{2}CC_1 = 6.$ Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – A, 4 – Г.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 126. Запитання: 6303

Завдання 220 з 266

Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює $10$ см, її висота – $8$ см. Знайдіть довжину сторони основи піраміди.

А$12$ см

Б$6\sqrt{3}$ см

В$4$ см

Г$6$ см

Д$6\sqrt{2}$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості многогранників до розв'язування задач, знання теореми Піфагора.

$SABCD$ – правильна піраміда. $ABCD$ – квадрат. $SK\!\perp\!AB$, $SK = 10$ см – апофема. $SO\!\perp\!(ABC)$, $SO = 8$ см висота піраміди.

У $\Delta SOK$ $(\angle O = 90^\circ)$ за теоремою Піфагора

\begin{gather*} SK^2 = SO^2 + OK^2,\\[7pt] OK = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6\ \text{см}. \end{gather*}

$KO = \dfrac{1}{2}AD$, $AD = 12$ см ($KO$ – радіус вписаного кола у квадрат $ABCD$).

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 126. Запитання: 6296

Завдання 221 з 266

Діаметр основи конуса дорівнює $6$ см, а площа його бічної поверхні – $24\pi$ см$^2.$ Знайдіть довжину твірної конуса.

А$2$ см

Б$4$ см

В$6$ см

Г$8$ см

Д$12$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Тіла і поверхні обертання та їх елементи, основні види тіл і поверхонь обертання: циліндр, конус, зрізаний конус, куля, сфера.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості конуса, знання формули площі бічної поверхні конуса.

$BC = 6$ см, $BO = \dfrac{1}{2}BC = 3$ см.

\begin{gather*} S_{бічної} = \pi Rl, \end{gather*}

де $R = BO = 3$ см, $l = AB.$

\begin{gather*} \pi\cdot 3 \cdot AB = 24\pi,\\[7pt] 3AB = 24,\\[7pt] AB = 8\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 126. Запитання: 6294

Завдання 222 з 266

Точки $B$ i $C$ лежать на прямій, що паралельна прямій $a.$ Скільки існує площин, які паралельні прямій $a$ і проходять через точки $B$ i $C$?

Ажодної

Блише одна

Влише дві

Глише три

Дбезліч

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Аксіоми і теореми стереометрії. Взаємне розміщення прямих у просторі, прямої та площини у просторі, площин у просторі.

Це завдання перевіряє знання взаємного розміщення прямих та площин у просторі, ознаки паралельності прямої та площини.

Через дві точки $B$ і $C$ можна провести пряму, і до того ж тільки одну.

Через одну пряму можна провести безліч площин.

$a\ ||\ BC.$ За ознакою паралельності прямої та площини, кожна з площин, яка містить пряму $BC$, буде паралельна прямій $a.$

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 126. Запитання: 6283

Завдання 223 з 266

Основою піраміди $SABCD$ є трапеція $ABCD\ (BC\ ||\ AD).$ Бічна грань $SBC$, площа якої дорівнює $24{,}4$ см$^2$, перпендикулярна до площини основи піраміди. Точка $M$ – середина ребра $SB.$ Площина $(MAD)$ перетинає ребро $SC$ в точці $N.$ Визначте довжину відрізка $MN$ (у см), якщо об'єм піраміди дорівнює $152$ см$^3$, а площа її основи – $57$ см$^2$.

Впишіть відповідь:

3.05

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати ознаки та властивості паралельних прямих і площин до розв'язування стереометричних задач, означення та властивості піраміди.

$(SBC)\ \perp\ (ABC)$, тому висота піраміди $SO$ належить цій грані.

$AD\ ||\ BC$ (основи трапеції) $(SBC)$ проходить через пряму $BC\ ||\ DA.$

За ознакою паралельності прямої і площини $AD\ ||\ (SBC).$

Площина $(AMD)$ проходить через $AD\ ||\ (SBC)$, тому $(AMD)\cap (SBC)=MN\ ||\ AD.$

$AD\ ||\ BC$, $AD\ ||\ MN\rightarrow MN\ ||\ BC$,
$(SAB)\cap (MAD)=AM$, $(SCD)\cap (MAD)=ND.$

$AMND$ – переріз піраміди (трапеція).

\begin{gather*} V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}\cdot H=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SO,\\[6pt] S_{ABCD}=57\ \text{см}^2,\\[6pt] V=152\ \text{см}^3,\\[6pt] 152=\frac{1}{3}\cdot 57\cdot SO,\\[6pt] 152=19\cdot SO,\\[6pt] SO=8\ \text{см},\\[6pt] S_{SBC}=\frac{1}{2}BC\cdot CO,\\[6pt] 24{,}4=\frac{1}{2}BC\cdot 8,\\[6pt] BC=24{,}4:4=6{,}1\ \text{см}. \end{gather*}

У $\Delta SBC$ $MN$ – середня лінія (за умовою $SM=MB$), $MN\ ||\ BC.$ За властивістю середньої лінії трикутника:

$$ MN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot6{,}1=3{,}05\ \text{см}. $$

Відповідь: $3{,}05.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 125. Запитання: 6279

Завдання 224 з 266

Об'єм конуса дорівнює $64$ см$^3.$ Через середину висоти цього конуса паралельно його основі проведено площину. Утворений переріз є основою меншого конуса, вершина якого збігається з вершиною заданого. Знайдіть об'єм меншого конуса.

А$32$ см$^3$

Б$16$ см$^3$

В$12$ см$^3$

Г$8$ см$^3$

Д$4$ см$^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла та поверхні обертання.

Це завдання перевіряє знання формули об'єму конуса, вміння застосовувати властивості конуса.

$V_{K1} = 64\ \text{см}^3$, $SO_1 = O_1O.$

Круги з центрами $O$ та $O_1$ подібні.

Конуси з радіусами основ $r$ та $R$ подібні.

Отже, $$ \frac{r}{R} = \frac{1}{2} = k, $$ де $k$ – коефіцієнт подібності.

\begin{gather*} \frac{V_{K2}}{V_{K1}} = k^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8},\\[6pt] V_{K2} = \frac{64}{8} = 8\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 125. Запитання: 6265

Завдання 225 з 266

Точка $M$ не належить площині $\alpha.$ Які з наведених тверджень є правильними?

I. Через точку $M$ можна провести лише одну площину, паралельну площині $\alpha.$

II. Через точку $M$ можна провести лише одну площину, перпендикулярну до площини $\alpha.$

III. Через точку $M$ можна провести лише одну площину, що перетинає площину $\alpha$ під кутом $45^\circ.$

Алише І

Блише ІI

Влише І i ІІI

Глише ІI i ІІI

ДI, II i III

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання про взаємне розміщення площин у просторі.

I. Це твердження правильне.

II. Через точку $M$ можна провести пряму, перпендикулярну $\alpha$, та тільки одну. Через дану пряму можна провести безліч площин, перпендикулярних даній. Отже, твердження – неправильне.

III. Через точку $M$ можна провести безліч похилих до площини $\alpha.$ Через кожну похилу можна провести площину, яка утворює з площиною $\alpha$ кут $45^\circ$. Отже, твердження – неправильне.

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 125. Запитання: 6263

Завдання 226 з 266

Довжина кола основи циліндра дорівнює $18\pi$ см. Визначте площу бічної поверхні цього циліндра, якщо його висота дорівнює $7$ см.

А$126\pi$ см$^2$

Б$207\pi$ см$^2$

В$252\pi$ см$^2$

Г$288\pi$ см$^2$

Д$567\pi$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла та поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

$H = 7$ см, $C = 18\pi$ см – довжина кола.

За формулою $$ S_{б} = 2\pi RH, $$ де $C = 2\pi R$. Отже,

$$ S_{б} = CH = 18\pi\cdot 7 = 126\pi\ \text{см}^2. $$

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 125. Запитання: 6261

Завдання 227 з 266

На рисунку зображено куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро якого дорівнює $1$ см. Обчисліть відстань від точки $A$ до прямої $B_1C_1.$

А$1$ см

Б$2$ см

В$\sqrt{2}$ см

Г$3$ см

Д$1{,}5$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє вміння знаходити відстань від точки до прямої, знання теореми про три перпендикуляри.

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ – куб, ребро якого $1$ см.

Відстань від точки $A$ до прямої $B_1C_1$ – довжина перпендикуляра з точки $A$ до прямої $B_1C_1.$

$AB\ \perp\ (BB_1C_1)$, $AB_1$ – похила на $(BB_1C_1)$, $BB_1$ – проекція $AB_1$ на $(BB_1C_1).$

За теоремою про три перпендикуляри: якщо проекція $BB_1\ \perp\ B_1C_1$, то й похила $AB_1\ \perp\ B_1C_1$, а отже, $AB_1$ – відстань від $A$ до $B_1C_1.$

У $\triangle ABB_1$ ($\angle B=90^\circ$) $AB=BB_1=1$ см.

За теоремою Піфагора

\begin{gather*} AB_1^2=AB^2+BB_1^2=1^2+1^2=2,\\[7pt] AB_1=\sqrt{2}\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 125. Запитання: 6258

Завдання 228 з 266

Основою піраміди є прямокутний трикутник, гіпотенуза якого дорівнює $4\sqrt3$ см, гострий кут – $30^\circ$. Усі бічні ребра піраміди нахилені до площини її основи під кутом $45^\circ$. Знайдіть об’єм піраміди (у см$^3$).

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 124. Запитання: 6245

Завдання 229 з 266

Установіть відповідність між перерізами геометричних тіл (1–4) та їхніми назвами (А – Д).

Переріз

1діагональний переріз правильної шестикутної призми

2переріз циліндра площиною, що перетинає його твірну і перпендикулярна до неї

3переріз конуса площиною, що проходить через його вершину та хорду основи

4переріз сфери площиною, що проходить через дві різні точки сфери

Назва перерізу

Акруг

Бколо

Вшестикутник

Гпрямокутник

Дтрикутник

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 124. Запитання: 6238

Завдання 230 з 266

Дерев’яний брусок має форму прямокутного паралелепіпеда з вимірами $10$ см, $20$ см, $80$ см. Скільки лаку потрібно для того, щоб один раз покрити ним усю поверхню цього бруска, якщо на $1$ м$^2$ витрачається $100$ г лаку?

А$0{,}52$ г

Б$26$ г

В$52$ г

Г$160$ г

Д$520$ г

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 124. Запитання: 6234

Завдання 231 з 266

Обчисліть скалярний добуток векторів $\vec a(-3;2;-1)$ і $\vec b(-1;-4;5)$.

А$120$

Б$26$

В$0$

Г$-10$

Д$-16$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 124. Запитання: 6227

Завдання 232 з 266

У скільки разів збільшиться об’єм кулі, якщо її радіус збільшити у $2$ рази?

Ау $2$ рази

Бу $4$ рази

Ву $6$ разів

Гу $8$ разів

Ду $16$ разів

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 124. Запитання: 6223

Завдання 233 з 266

Осьовим перерізом циліндра є прямокутник, діагональ якого дорівнює $10$ см. Знайдіть радіус основи циліндра, якщо його висота дорівнює $8$ см.

А$1$ см

Б$2$ см

В$3$ см

Г$6$ см

Д$12$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 124. Запитання: 6218

Завдання 234 з 266

На рисунку зображено розгортку многогранника. Визначте кількість його ребер.

А$6$

Б$8$

В$12$

Г$16$

Д$19$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 124. Запитання: 6216

Завдання 235 з 266

Основою прямої призми $ABCDA_1B_1C_1D_1$ є рівнобічна трапеція $ABCD$. Основа $AD$ трапеції дорівнює висоті трапеції і в шість разів більша за основу $BC.$ Через бічне ребро $CC_1$ призми проведено площину паралельно ребру $AB.$ Знайдіть площу утвореного перерізу (у см$^2$), якщо об'єм призми дорівнює $672$ см$^3$, а її висота – $8$ см.

Впишіть відповідь:

104

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення об'ємів многогранників, уміння будувати перерізи многогранників, ознак паралельності прямої та площини у просторі.

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ – пряма призма, тому $CC_1 \perp (ABC)$, $ABCD$ – трапеція, $AB=CD.$

Додаткова побудова: $CK\ ||\ AB.$

$CC_1\ ||\ BB_1$, $CK\ ||\ AB$, $CK\cap CC_1$, $AB\cap BB_1$, звідси, за ознакою паралельності площин $(CKC_1)\ ||\ (ABB_1).$

Січна площина $(CC_1K)$ перетинає паралельні площини по паралельних прямих. Отже, $KK_1\ ||\ AA_1$, $C_1K_1\ ||\ CK.$

$AB\ ||\ CK$, $CK\in (CC_1K)\Rightarrow AB\ ||\ (CC_1K).$

Прямокутник $KCC_1K_1$ – шуканий переріз.

\begin{gather*} V=S_\text{основи}\cdot H=S_{ABCD}\cdot CC_1;\\[7pt] CC_1=8\ \text{см};\\[7pt] V=672\ \text{см}^3. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} S_\text{основи}=\frac{672}{8}=84\ \text{см}^2. \end{gather*}

Нехай $BC=x$ см, тоді $AD=CE=6x$ см.

\begin{gather*} S_\text{основи}=S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot CE, \end{gather*}

де $CE \perp AD$ – висота трапеції.

\begin{gather*} \frac{x+6x}{2}\cdot 6x=84;\\[6pt] 21x^2=84;\\[7pt] x^2=4;\\[7pt] x=2;\\[7pt] BC=2\ \text{см};\\[7pt] AD=CE=12\ \text{см}. \end{gather*}

\begin{gather*} DE=\frac{AD-BC}{2}=\frac{12-2}{2}=5\ \text{см}. \end{gather*}

$\Delta CED\ (\angle E=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} CD^2=CE^2+ED^2;\\[7pt] CD^2=12^2+5^2=144+25=169;\\[7pt] CD=13\ \text{см}. \end{gather*}

$AB=CD$ (за умовою), $AB=CK$ (протилежні сторони паралелограма).

Отже, $CK=13$ см.

\begin{gather*} S_{CC_1K_1K}=CC_1\cdot CK=8\cdot 13=104\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: $104.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 3. Запитання: 6208

Завдання 236 з 266

На рисунку зображено куб $ABCDA_1B_1C_1D_1.$ До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Пряма $CB$

2Пряма $CD_1$

3Пряма $AC$

4Пряма $A_1B$

Закінчення речення

Апаралельна площині $AA_1B_1B.$

Бперпендикулярна площині $AA_1B_1B.$

Вналежить площині $AA_1B_1B.$

Гмає з площиною $AA_1B_1B$ лише дві спільні точки.

Дутворює з площиною $AA_1B_1B$ кут $45^\circ.$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння знаходити величини кутів у просторі, взаємне розміщення прямих та площин у просторі.

1. \begin{gather*} \left.\begin{array}{l} CB\!\perp\!BA,\\ CB\!\perp\!BB_1, \end{array}\right| \Rightarrow CB\!\perp\!(ABB_1). \end{gather*}

Отже, 1 – Б.

2. \begin{gather*} \left.\begin{array}{l} CD \in (CC_1D),\\ (CC_1D)\ ||\ (ABB_1), \end{array}\right| \Rightarrow CD_1\ ||\ (ABB_1). \end{gather*}

Отже, 2 – А.

3. \begin{gather*} \left.\begin{array}{l} CB\!\perp\!(ABB_1),\\ CA\ –\ \text{похила},\\ BA\ –\ \text{проекція похилої}\ CA\ \text{на}\ (ABB_1) \end{array}\right| \Rightarrow \angle(CB,(ABB_1)) = \angle CAB = 45^\circ. \end{gather*}

Отже, 3 – Д.

4. $A_1B \in (ABB_1).$

Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Б, 2 – А, 3 – Д, 4 – В.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 3. Запитання: 6201

Завдання 237 з 266

Основою піраміди є ромб, гострий кут якого дорівнює $30^\circ$. Усі бічні грані піраміди нахилені до площини її основи під кутом $60^\circ$. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см$^2$), якщо радіус кола, вписаного в її основу, дорівнює $3$ см.

Впишіть відповідь:

144

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6191

Завдання 238 з 266

На рисунку зображено прямокутну систему координат у просторі, на осях якої позначено точки $K$, $L$, $M$, $N$. Установіть відповідність між точками $K$, $L$, $M$, $N$ (1–4) та їхніми можливими координатами (А – Д).

Точка

1$K$

2$L$

3$M$

4$N$

Координати точки

А$(-3;0;0)$

Б$(0;-3;0)$

В$(0;0;-3)$

Г$(0;0;3)$

Д$(0;3;0)$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6184

Завдання 239 з 266

Цеглина має форму прямокутного паралелепіпеда з вимірами $25$ см, $12$ см, $6{,}5$ см. Знайдіть масу $m$ цеглини. (Для знаходження маси цеглини скористайтеся формулою $m=\rho\,V$, де $V$ – об’єм, $\rho=1{,}8$ г / см$^3$ – густина цегли.)

А$5{,}31$ кг

Б$3{,}51$ кг

В$3{,}5$ кг

Г$3{,}41$ кг

Д$3$ кг

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6180

Завдання 240 з 266

Довжина кола основи конуса дорівнює $8\pi$ см. Знайдіть довжину твірної конуса, якщо його висота дорівнює $3$ см.

А$11$ см

Б$10$ см

В$7$ см

Г$5$ см

Д$4$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6174

Завдання 241 з 266

Обчисліть площу сфери, діаметр якої дорівнює $12$ см.

А$36\pi$ см$^2$

Б$72\pi$ см$^2$

В$144\pi$ см$^2$

Г$288\pi$ см$^2$

Д$576\pi$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6170

Завдання 242 з 266

На рисунку зображено куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Перерізом куба площиною, що проходить через точки $A$, $C$, $C_1$, є

Апрямокутний трикутник

Брівносторонній трикутник

Впрямокутник

Громб

Дтрапеція

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6168

Завдання 243 з 266

На рисунку зображено розгортку многогранника. Визначте кількість його вершин.

А$10$

Б$9$

В$8$

Г$6$

Д$5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6162

Завдання 244 з 266

У чотирикутну піраміду, в основі якої лежить рівнобічна трапеція з бічною стороною $13$ см і основами $18$ см і $8$ см, вписано конус. Знайдіть площу бічної поверхні конуса $S_\text{бічне}$ (у см$^2$), якщо всі бічні грані піраміди нахилені до площини основи під кутом $60^\circ$. У відповіді запишіть значення $\dfrac{S_\text{бічне}}{\pi}$.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6154

Завдання 245 з 266

Діагональним перерізом правильної чотирикутної призми є прямокутник, площа якого дорівнює $40$ см$^2$. Периметр основи призми дорівнює $20\sqrt2$ см. Визначте висоту призми.

А$\sqrt2$ см

Б$2\sqrt2$ см

В$4$ см

Г$1$ см

Д$2$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6146

Завдання 246 з 266

На рисунку зображено розгортку циліндра. Знайдіть його об'єм.

А$9\pi$ см$^3$

Б$15\pi$ см$^3$

В$30\pi$ см$^3$

Г$36\pi$ см$^3$

Д$45\pi$ см$^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6143

Завдання 247 з 266

Об'єм кулі дорівнює $36\pi$ см$^3$. Знайдіть її діаметр.

А$3$ см

Б$24$ см

В$6$ см

Г$18$ см

Д$12$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6133

Завдання 248 з 266

На рисунку зображено куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажіть серед поданих нижче пряму, що утворює з $CD_1$ пару мимобіжних прямих.

А$A_1B$

Б$C_1D$

В$CB_1$

Г$AB$

Д$CD$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6128

Завдання 249 з 266

Основою прямої трикутної призми $ABCA_1B_1C_1$ є рівнобедрений трикутник $ABC$, де $AB=BC=25$ см, $AC=30$ см. Через бічне ребро$AA_1$ призми проведено площину, перпендикулярну до ребра $BC$. Визначте об'єм призми (у см$^3$), якщо площа утвореного перерізу дорівнює $72$ см$^2$.

Впишіть відповідь:

900

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення об'ємів многогранників, уміння будувати перерізи многогранників, ознак перпендикулярності прямої та площини у просторі.

$ABCA_1B_1C_1$ – пряма призма $\Delta ABC$ – рівнобедрений, $AB=BC=25$ см, $AC=30$ см.

Додаткова побудова:
$AK\ \perp\ BC$ (у $\Delta ABC$),
$KK_1\ \perp BC\ (BCC_1).$

За ознакою перпендикулярності прямої та площини $BC\ \perp\ (AKK_1).$

Отже, $AKK_1A_1$ – переріз призми, який проходить через ребро $AA_1$ та перпендикуляра $BC.$ $AKK_1A_1$ – прямокутник.

Розглянемо $\Delta ABC.$ $BE\ \perp\ AC$, $AK\ \perp\ BC.$ $\Delta ABE$ $(\angle E=90^\circ)$, $AB=25$ см.

$AE=\frac 12 AC=15$ см ($BE$ – висота та медіана). За теоремою Піфагора

\begin{gather*} AB^2=AE^2+BE^2;\\[7pt] BE=\sqrt{25^2-15^2}=\sqrt{(25-15)(25+15)}=\sqrt{10\cdot 40}=20\ \text{см};\\[6pt] S_{ABC}=\frac 12AC\cdot BE=\frac 12\cdot 30\cdot 20=300\ \text{см}^2;\\[6pt] S_{ABC}=\frac 12BC\cdot AK;\\[6pt] 300=\frac 12\cdot 25\cdot AK;\\[6pt] AK=24\ \text{см};\\[6pt] S_\text{перерізу}=S_{AKK_1A_1}=AK\cdot KK_1=72\ \text{см}^2;\\[6pt] KK_1=\frac{72}{24}=3\ \text{см};\\[6pt] V=S_\text{основи}\cdot H;\\[7pt] \text{де}\ S_\text{основи}=S_{ABC};\\[7pt] H=KK_1;\\[7pt] V=300\cdot 3=900\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $900.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 121. Запитання: 6120

Завдання 250 з 266

Ha рисунку зображено куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Установіть відповідність між парою прямих тa їхнім взаємним розміщенням.

Пара прямих

1$AC$ i $CC_1$

2$AB_1$ i $CD_1$

3$AC$ i $CD_1$

4$AB_1$ i $C_1D$

Взаємне розміщення

Апрямі паралельні

Бпрямі мимобіжні

Впрямі перетинаються і утворюють прямий кут

Гпрямі перетинаються i утворюють кут $45^\circ$

Дпрямі перетинаються i утворюють кут $60^\circ$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 121. Запитання: 6112

Завдання 251 з 266

Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює $3$ см, а бічне ребро – $5$ см. Визначте косинус кута між бічним ребром і площиною основи.

А$\dfrac{4}{5}$

Б$\dfrac{1}{5}$

В$\dfrac{3}{5}$

Г$\dfrac{4}{3}$

Д$\dfrac{3}{4}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 121. Запитання: 6105

Завдання 252 з 266

Прямокутний трикутник із катетами $9$ см і $12$ см обертається навколо більшого катета (див. рисунок). Визначте площу повної поверхні отриманого тіла обертання.

А$324\pi$ см$^2$

Б$216\pi$ см$^2$

В$180\pi$ см$^2$

Г$135\pi$ см$^2$

Д$81\pi$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості конуса, знання формули площі поверхні конуса.

Прямокутний $\Delta CAB\ (\angle C=90^\circ)$, $AC=12$ см, $BC=9$ см.

\begin{gather*} S_{\text{біч}} = \pi Rl, \end{gather*}

де $R=BC$, $l=AB.$

За теоремою Піфагора

\begin{gather*} AB=AC^2+BC^2=12^2+9^2=144+81=225;\\[7pt] AB = 15\ \text{см};\\[7pt] S_{\text{біч}} = \pi\cdot 9\cdot 15=135\pi\ \text{см}^2;\\[7pt] S_{\text{осн}} = \pi R^2=\pi\cdot 9^2=81\ \text{см}^2;\\[7pt] S_{\text{повн}} = S_{\text{біч}}+S_{\text{осн}} = 135\pi+81\pi=216\pi\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 121. Запитання: 6099

Завдання 253 з 266

Яка з наведених точок лежить у площині $Oxz$ прямокутної системи координат у просторі?

А$(0;-3;0)$

Б$(0;4;-3)$

В$(3;0;-4)$

Г$(-4;3;0)$

Д$(-3;3;3)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 121. Запитання: 6092

Завдання 254 з 266

Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює $4$ см, а її апофема – $5$ см. Визначте косинус кута між площиною бічної грані піраміди і площиною основи.

А$\dfrac 15$

Б$\dfrac 35$

В$\dfrac 34$

Г$\dfrac 45$

Д$\dfrac 43$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати знання про властивості многогранників до розв’язування задач, знання теореми Піфагора, співвідношень між сторонами та кутами прямокутного трикутника.

$SABCD$ – правильна піраміда, $ABCD$ – квадрат.
$SO = 4$ см – висота піраміди, $SK\!\perp\!AD$, $SK = 5$ см – апофема.

$SK\!\perp\!AD$, $SO\!\perp\!(ABC)$, $OK\!\perp\!AD$ (за теоремою про три перпендикуляри), звідси $(SKO)\!\perp\!AD$, $\angle SKO$ – лінійний кут відповідного двогранного.

У $\Delta SOK\ (\angle O = 90^\circ)\ \cos K = \dfrac{OK}{SK}$.

За теоремою Піфагора

\begin{gather*} SK^2 = SO^2 + OK^2,\\[7pt] OK^2 = SK^2 - SO^2 = 25 - 16 = 9,\\[7pt] OK = 3\ \text{см},\\[6pt] \cos K = \frac{3}{5}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 3. Запитання: 6088

Завдання 255 з 266

Прямокутник із сторонами $8$ см і $10$ см обертається навколо меншої сторони (див. рисунок). Знайдіть площу повної поверхні отриманого тіла обертання.

А$360\pi$ см$^2$

Б$160\pi$ см$^2$

В$260\pi$ см$^2$

Г$288\pi$ см$^2$

Д$800\pi$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості циліндра, знання формули площі бічної поверхні циліндра.

При обертанні прямокутника навколо меншої сторони отримаємо циліндр.
$OO_1 = 8$ см – висота циліндра.

\begin{gather*} AB = OO_1 = 8\ \text{см},\\[7pt] OB = 10\ \text{см},\\[7pt] S_{\text{бічн.}} = 2\mathbf{\pi}RH = 2\mathbf{\pi}\cdot OB\cdot OO_1 = 2\mathbf{\pi}\cdot 10\cdot 8 = 160\mathbf{\pi}\ \text{см}^2,\\[7pt] S_{\text{осн.}} = \mathbf{\pi}R^2 = \mathbf{\pi}\cdot OB^2 = \mathbf{\pi}\cdot 100 = 100\mathbf{\pi}\ \text{см}^2,\\[7pt] S_{\text{повн.}} = S_{\text{бічн.}} + 2\cdot S_{\text{осн.}} = 160\mathbf{\pi} + 2\cdot 100\mathbf{\pi} = 360\mathbf{\pi}\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 3. Запитання: 6085

Завдання 256 з 266

Яка з наведених точок належить осі $Oz$ прямокутної системи координат у просторі?

А$M(0; -3; 0)$

Б$N(3; 0; -3)$

В$K(-3; 0; 0)$

Г$L(-3; 3; 0)$

Д$F(0; 0; -3)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати у просторі.

Це завдання перевіряє знання координат точки у просторі.

Точка лежить на осі $Oz$, якщо $x = 0$ та $y = 0.$

Отже, правильна відповідь – $F(0; 0; -3).$

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 3. Запитання: 6077

Завдання 257 з 266

Основою піраміди є ромб, тупий кут якого дорівнює $120^\circ.$ Дві бічні грані піраміди, що містять сторони цього кута, перпендикулярні до площини основи, а дві інші бічні грані нахилені до площини основи під кутом $30^\circ.$ Знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см$^2$), якщо її висота дорівнює $4$ см.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення площ поверхонь, уміння знаходити зазначені відстані та величини кутів у просторі.

Нехай $SABCD$ – піраміда, $ABCD$ – ромб, $\angle B = 120^\circ.$

\begin{gather*} \left.\begin{array}{l} (SBA)\!\perp\!(ABC),\\ (SBC)\!\perp\!(ABC),\\ (SBC) \cap (SBA) = SB, \end{array}\right| \Rightarrow\ SB\ –\ \text{висота піраміди}=4\ \text{см}. \end{gather*}

Побудуємо $BK\!\perp\!AD$, $BM\!\perp\!CD$ (висоти ромба). За теоремою про три перпендикуляри $SK\!\perp\!AD$, $SM\!\perp\!CD.$

$(SKB)\!\perp\!AD \Rightarrow \angle SKB = 30^\circ$ – лінійний кут відповідного двогранного між площинами $(SAD)$ і $(ABC).$

$(SMB)\!\perp\!CD\ \Rightarrow \angle SMB = 30^\circ$ – лінійний кут відповідного двогранного між площинами $(SDC)$ і $(ABC).$

У $\Delta SBK$ $(\angle B = 90^\circ)$, $\angle K = 30^\circ$,

\begin{gather*} SB = 4\ \text{см},\\[7pt] KB = SB\mathrm{ctg}\ \angle K = 4\mathrm{ctg}\ 30^\circ = 4\sqrt{3}\ \text{см},\\[6pt] SK = \frac{SB}{\sin K} = \frac{4}{\sin 30^\circ} = \frac{4}{0{,}5} = 8\ \text{см}. \end{gather*}

$\Delta ABK$ $(\angle K = 90^\circ)$, $\angle A = 60^\circ$ (за властивістю кутів ромба $\angle A + \angle B = 180^\circ$)

\begin{gather*} AB = \frac{BK}{\sin 60^\circ} = \frac{4\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} = 8\ \text{см}. \end{gather*}

$\Delta ASD = \Delta CSD$ (за трьома сторонами: $AD = DC$ – сторони ромба, $SD$ – спільна, $SA = SC$ як рівні похилі).

\begin{gather*} S_{ASD} = S_{CSD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32\ \text{см}^2. \end{gather*}

$\Delta SBA = \Delta SBC$ (за трьома сторонами),

\begin{gather*} S_{SBA} = S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot SB \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16\ \text{см}^2,\\[6pt] S_{бічна} = 2(S_{ABS} + S_{ASD}) = 2 \cdot (32 + 16) = 2 \cdot 48 = 96\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: $96.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5346

Завдання 258 з 266

Установіть відповідність між тілом обертання (1–4) та формулою (А – Д) для обчислення його об'єму $V.$

А$V=\dfrac{1}{3}\pi a^3$

Б$V=\dfrac{9}{16}\pi a^3$

В$V=\dfrac{2}{3}\pi a^3$

Г$V=\pi a^3$

Д$V=2\pi a^3$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення площ поверхонь, об'ємів многогранників і тіл обертання.

1. Квадрат зі стороною $a$ обертається навколо прямої. Отримаємо циліндр з радіусом основи $a$ та висотою $a.$

\begin{gather*} V = \pi R^2H = \pi a^2 \cdot a = \pi a^3. \end{gather*}

Отже, 1 – Г.

2. Прямокутний рівнобедрений трикутник з катетом $a$ обертається навколо прямої. Отримаємо конус з радіусом основи $a$ та висотою $a.$

\begin{gather*} V = \frac{1}{3}\pi R^2H = \frac{1}{3}\pi a^3. \end{gather*}

Отже, 2 – А.

3. Отримаємо циліндр, в якому вирізано конус з радіусом основи $a$, висотою $a.$

\begin{gather*} V_\text{ф} = V_\text{ц} - V_\text{к},\\[7pt] V_\text{ц} = \pi R^2H = \pi a^2 \cdot a = \pi a^3,\\[6pt] V_\text{к} = \frac{1}{3}\pi R^2H = \frac{1}{3}\pi a^3,\\[6pt] V_\text{ф} = \pi a^3 - \frac{1}{3}\pi a^3 = \frac{2}{3}\pi a^3. \end{gather*}

Отже, 3 – В.

4. $OA = \dfrac{3}{4}a$

Отримаємо кулю з радіусом $OA.$

\begin{gather*} V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi\cdot \left(\frac{3}{4}a\right)^3 = \pi\cdot \frac{4 \cdot 3^3}{3 \cdot 4^3}a^3= \frac{9}{16}\pi a^3. \end{gather*}

Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – A, 3 – B, 4 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5338

Завдання 259 з 266

Для розігрівання в мікрохвильовій печі рідких страв використовують посудину у формі циліндра, радіус основи якого дорівнює $9$ см. Посудина ставиться на горизонтальний диск у формі круга і накривається кришкою, що має форму півсфери (див. рисунок). Радіус півсфери дорівнює $12$ см і є меншим за радіус круга. Укажіть найбільше з наведених значень, якому може дорівнювати висота посудини, якщо посудина не торкається кришки.

А$3$ cм

Б$5$ cм

В$6$ cм

Г$7$ cм

Д$8$ cм

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості тіл та поверхонь обертання до розв’язування стереометричних задач практичного змісту.

$OA = 12$ см, $O_1A = 9$ см.

Розглянемо випадок, коли циліндр дотикається до півсфери:
$\Delta OO_1A\ (\angle O_1 = 90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} OA^2 = OO_1^2 + O_1A^2,\\[7pt] OO_1^2 = 12^2 - 9^2 = 144 - 81 = 63,\\[7pt] OO_1 = \sqrt{63}\ \text{см},\\[7pt] \sqrt{49} \lt \sqrt{63} \lt \sqrt{64},\\[7pt] 7 \lt \sqrt{63} \lt 8,\\[7pt] 7\lt OO_1 \lt 8. \end{gather*}

Найбільше з наведених значень, якому може дорівнювати висота посудини, – $7$ см.

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5334

Завдання 260 з 266

Сторона основи правильної чотирикутної призми дорівнює $3$ см, а периметр її бічної грані – $22$ см. Знайдіть площу бічної поверхні цієї призми.

А$66$ см$^2$

Б$72$ см$^2$

В$96$ см$^2$

Г$114$ см$^2$

Д$264$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Формули для обчислення площ поверхонь, об'ємів многогранників і тіл обертання.

Це завдання перевіряє знання формули бічної поверхні призми.

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ – правильна призма. $ABCD$ – квадрат. $AB = 3$ см.

\begin{gather*} P(AA_1D_1D) = 22\ \text{см}=2(AD + AA_1)=2(3 + AA_1),\\[7pt] 6 + 2AA_1 = 22,\\[7pt] 2AA_1 = 16,\\[7pt] AA_1 = 8\ \text{см},\\[7pt] S_{бічна} = P_{основи} \cdot H = P_{ABCD} \cdot AA_1 = 3 \cdot 4 \cdot 8 = 96\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5326

Завдання 261 з 266

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Через дві прямі, що перетинаються, можна провести лише одну площину.

II. Через точку, що не належить площині, можна провести безліч прямих, паралельних цій площині.

III. Якщо дві різні площини паралельні одній і тій самій прямій, то вони паралельні між собою.

Алише І

Блише І i II

Влише І i ІІI

Глише ІІ і ІІІ

ДI, II i III

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє знання взаємного розміщення прямих та площин у просторі, ознак паралельності прямої та площини, площин у просторі.

Через дві прямі, що перетинаються, можна провести лише одну площину (аксіома). Отже, твердження I правильне.

Через точку, що не належить площині, можна провести безліч прямих, паралельних цій площині.

Отже, твердження II правильне.

Якщо дві різні площини паралельні одній прямій, то вони необов'язково паралельні між собою. Якщо пряма перетину площин паралельна прямій, то ці площини паралельні прямій.

Наприклад, $\alpha \cap \beta = a$, $a\ ||\ b.$

Отже, $\alpha\ ||\ b$, $\beta\ ||\ b.$ Отже, твердження III неправильне.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5320

Завдання 262 з 266

Основою піраміди $SABCD$ є трапеція $ABCD$ $(AD\ ||\ BC)$, довжина середньої лінії якої дорівнює $5$ см. Бічне ребро $SB$ перпендикулярне до площини основи піраміди і вдвічі більше від середньої лінії трапеції $ABCD.$ Знайдіть відстань від середини ребра $SD$ до площини $SBC$ (у см), якщо об'єм піраміди дорівнює $210$ см$^3.$

Впишіть відповідь:

6.3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання властивостей піраміди, ознак паралельності та перпендикулярності прямих та площин у просторі, властивостей подібних фігур; уміння знаходити відстані у просторі.

Нехай $SABCD$ – піраміда. $ABCD$ – трапеція $(AD\ ||\ BC)$, $MN$ – середня лінія.

$SB\!\perp\!(ABC)\rightarrow SB$ – висота піраміди.

$MN=5$ см, $SB=2MN=2\cdot5=10$ см.

Точка $D_1$ – середина $SD$.

$$ \left.\begin{array}{l} (SCD)\ D_1C_1\ ||\ DC\\ (SAD)\ A_1D_1\ ||\ AD \end{array}\right| \rightarrow(A_1D_1C_1)\ ||\ (ADC) $$

за ознакою паралельності площин.

$(SBC)\!\perp\!(ABC)\rightarrow(A_1D_1C_1)\!\perp\!(SBC)$
$(ABC)\ ||\ (A_1D_1C_1).$

Відстань від точки $D_1$ до площини $(SBC)$ – висота трапеції $A_1D_1C_1D_1$, $(D_1E_1\!\perp\!B_1C_1).$

\begin{gather*} V=\frac{1}{3}S_{\text{основи}}\cdot H=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SB,\\[6pt] \frac{1}{3}S_{\text{основи}}\cdot 10=210,\\[6pt] S_{\text{основи}}=63\ \text{см}^2,\\[6pt] S_{\text{основи}}=\frac{AD+BC}{2}\cdot DE=MN\cdot DE=5\cdot DE=63,\\[6pt] DE=12{,}6\ \text{см}. \end{gather*}

$D_1$ – середина $SD.$ $ABCD$ подібна $A_1B_1C_1D_1$ (за пропорційними сторонами)

$k=\dfrac{1}{2}$ – коефіцієнт подібності.

$$ D_1E_1=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}\cdot 12{,}6=6{,}3\ \text{см}. $$

Відповідь: $6{,}3.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 1. Запитання: 4333

Завдання 263 з 266

Установіть відповідність між фігурою (1–4) і тілом обертання (А – Д), яке утворено внаслідок обертання цієї фігури навколо прямої, зображеної пунктиром.

Фігура

Тіло обертання

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати за розгорткою поверхні вид тіла обертання.

Отже, 1 – Г.

Отже, 2 – А.

Отже, 3 – В.

Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – Г, 2 – А, 3 – В, 4 – Д.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 1. Запитання: 4322

Завдання 264 з 266

Переріз кулі площиною має площу $81\pi$ см$^2.$ Знайдіть відстань від центра кулі до площини перерізу, якщо радіус кулі дорівнює $15$ см.

А$6$ см

Б$8$ см

В$9$ см

Г$12$ см

Д$15$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості кулі до розв'язування стереометричних задач, уміння знаходити відстані та кути у просторі.

\begin{gather*} S_{\text{перерізу}} = 81\pi\ \text{см}^2,\\[7pt] S_{\text{перерізу}} = \pi\cdot O_1A^2 = 81\pi,\\[7pt] O_1A^2 = 81,\\[7pt] O_1A = 9\ \text{см},\\[7pt] OA = 15\ \text{см}. \end{gather*}

$OO_1$ – відстань від центра кулі точки $O$ до перерізу, тому $OO_1\ \perp\ O_1A.$

За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} OA^2 = OO_1^2 + O_1A^2,\\[7pt] OO_1^2 = OA^2 - O_1A^2 = 225 - 81 = 144,\\[7pt] OO_1 = 12\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 1. Запитання: 4318

Завдання 265 з 266

Знайдіть площу повної поверхні куба, діагональ якого дорівнює $2\sqrt{3}$ см.

А$8$ см$^2$

Б$16$ см$^2$

В$20$ см$^2$

Г$24$ см$^2$

Д$36\sqrt{2}$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл, знання теореми Піфагора.

$B_1D = 2\sqrt{3}$ см.

Нехай ребро куба дорівнює $a.$

$AB = AD = a$ см, $BD = a\sqrt{2}$ см.

У $\Delta BB_1D$ $(\angle B = 90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} B_1D^2 = BB_1^2 + BD^2,\\[7pt] a^2 + (a\sqrt{2})^2 = (2\sqrt{3})^2,\\[7pt] a^2 + 2a^2 = 12,\\[7pt] 3a^2 = 12,\\[7pt] a^2 = 4. \end{gather*}

Площа повної поверхні куба

$$ S_{\text{поверхні}} = 6a^2 = 6 \cdot 4 = 24\ \text{см}^2. $$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 1. Запитання: 4312

Завдання 266 з 266

Пряма $b$ не має спільних точок з площиною $\alpha.$ Які з наведених тверджень є правильними?

I. Через пряму $b$ можна провести лише одну площину, перпендикулярну до площини $\alpha.$

II. Через пряму $b$ можна провести лише одну площину, паралельну площині $\alpha.$

III. У площині $\alpha$ можна провести лише одну пряму, паралельну прямій $b.$

Алише І

Блише ІI

Влише І i II

Глише ІI i ІІI

ДI, II i III

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання взаємного розміщення прямих і площин у просторі.

Згідно з умовою, пряма $b$ не має спільних точок з площиною $\alpha$, звідси випливає $b\ ||\ \alpha$, отже, твердження I – правильне.

Твердження II – правильне.

У площині $\alpha$ можна провести безліч прямих, паралельних $b.$ Отже, твердження III – неправильне.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 1. Запитання: 4302

Facebook

Twitter

Геометрія – Стереометрія