Геометрія – Стереометрія

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання властивостей призми та вміння розв'язувати стереометричні задачі.

Площу бічної поверхні призми визначмо за формулою:

\begin{gather*} S_\text{біч}=P_\text{осн}\cdot H. \end{gather*}

В основі правильної чотирикутної призми лежить квадрат зі стороною \(a\), тож його периметр:

\begin{gather*} P=4a. \end{gather*}

У правильній призмі бічне ребро – її висота, отже \(H=b.\)

\begin{gather*} S_\text{біч}=4a\cdot b=4ab. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема конуса.

Конус утворений обертанням рівностороннього (рівнобедреного) трикутника \(APB\) навколо його висоти \(PO\), проведеної до основи.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання формул для обчислення об'єму конуса.

Осьовий переріз конуса – рівнобедрений трикутник \(ABC.\) Оскільки за умовою він прямокутний \((\angle A=90^\circ){:}\)
– гіпотенуза збігається з діаметром основи конуса: \(d=12.\)
– радіус основи \((R){:}\ R=\dfrac d2=\dfrac{12}{2}=6.\)

У прямокутному рівнобедреному трикутнику висота \(H\), проведена до гіпотенузи, є медіаною. За властивістю прямокутного трикутника, така медіана дорівнює половині гіпотенузи:

Важливо: Якщо осьовий переріз конуса – прямокутний трикутник, то його висота завжди дорівнює радіусу основи \((H=R).\)

Об'єм конуса:

\begin{gather*} V=\frac 13\pi R^2H. \end{gather*}

Підставмо значення \(R=6\) та \(H=6{:}\)

Відповідь: \(72.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє знання прямокутної системи координат у просторі, координати точки.

Точка, яка лежить у площині \(yz\), має нульову координату \(x.\) Тобто з-поміж наведених точок лише одна \((0; 2; -5)\) лежить у площині \(yz.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання означення циліндра як тіла обертання.

Циліндр – тіло обертання, утворене внаслідок обертання прямокутника навколо прямої, яка містить одну з його сторін.

Оскільки квадрат — окремий випадок прямокутника, то внаслідок обертання квадрата навколо його сторони також утворюється циліндр.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

В основі прямокутного паралелепіпеда лежить прямокутник. Оскільки його діагоналі рівні, за умовою вони становлять \(12\) см, що вдвічі більше за одну зі сторін основи.

У прямокутному \(\Delta ABD\ (\angle A=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Площа прямокутника \(ABCD\) (основи паралелепіпеда):

Діагональний переріз \(BB_1D_1D\) – прямокутник зі сторонами \(BD\) і \(DD_1\) де (\(DD_1=H\) – висота паралелепіпеда).

За умовою:

\begin{gather*} S_{BB_1D_1D}=72\sqrt{3};\\[7pt] S_{BB_1D_1D}=BD\cdot H;\\[7pt] 12\cdot H=72\sqrt{3};\\[7pt] H=72\sqrt{3}:12=6\sqrt{3}. \end{gather*}

Об'єм прямокутного паралелепіпеда обчислімо за формулою:

Відповідь: \(648.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами.

Різниця векторів \(\vec a(x_1; y_1; z_1)\) i \(\vec b(x_2; y_2; z_2)\) – вектор \(\vec c=\vec b-\vec a\)

Щоб визначити координати різниці двох векторів, треба від координат першого вектора (зменшуваного) відняти відповідні координати другого вектора (від'ємника).

\begin{gather*} \vec a(3; 5; 7);\\[7pt] \vec b(2; -4; 8);\\[7pt] \vec c=\vec b-\vec a.\\[7pt] \vec c(2-3; -4-5; 8-7);\\[7pt] \vec c(-1; -9; 1). \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє розуміння означення циліндра як тіла обертання.

Циліндр – тіло обертання, утворене внаслідок обертання прямокутника навколо прямої, що містить одну з його сторін. Цю пряму називають віссю обертання, а сторону, навколо якої відбувається рух, – висотою циліндра.

Оскільки прямокутник обертається навколо прямої \(a\), що містить його сторону, утворюється циліндр. Сторона довжиною \(8\) см паралельна осі обертання \(a\). Отже, висота циліндра, що утворився, дорівнює цій стороні: \(H=8\) см.

Отримане тіло – це циліндр, висота якого дорівнює \(8\) см.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

Обчислімо площу ромба за формулою:

Порівняймо \(20\) та \(8\sqrt{3}.\)

Отже, більша діагональ основи дорівнює \(20.\)

Більша діагональ \(A_1C\) призми утворює прямокутний трикутник \(CAA_1\ (\angle A=90^\circ)\) із більшою діагоналлю основи \((AC=20)\) і висотою призми \((H=AA_1).\)

Оскільки кут нахилу \(30^\circ\ (\angle ACA_1=30^\circ)\), то

Обчислімо об’єм призми:

Відповідь: \(1600.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє знання декартової системи координат у просторі, понять проєкції точки на вісь.

Проєкція точки \(A\ (-2; 4; -3)\) на вісь \(z\) – точка, у якої абсциса (координата за віссю \(Ox\)) та ордината (координата за віссю \(Oy\)) дорівнюють \(0\), а апліката (координата за віссю \(Oz\)) збігається з аплікатою точки \(A.\)

З-поміж запропонованих варіантів лише точка з координатами \(\ (0; 0; -3)\) лежить на осі \(z.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання означення конуса як тіла обертання.

Зрізаний конус – це геометричне тіло, утворене частиною конуса, яку отримують, коли відсікають верхню частину конуса, перетнувши його площиною, що паралельна основі.

На малюнку зображено прямокутну трапецію, що обертається навколо осі, яка проходить через бічну сторону, перпендикулярну до основ.

Під час обертання:

• кожна точка трапеції описує коло;
• радіус змінюється від більшого (внизу) до меншого (вгорі);
• утворюється тіло з двома круговими основами різного радіуса.

Отже, унаслідок обертання прямокутної трапеції навколо цієї сторони утворюється зрізаний конус.

Відповідь: В.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

Обчислімо меншу діагональ \((BD)\) основи.

Діагональний переріз прямої призми – прямокутник, сторонами якого є діагональ основи та висота призми \((H=DD_1=7\sqrt{3}).\) Оскільки переріз менший, він проходить через меншу діагональ ромба \((BD).\)

Формула для обчислення площі перерізу:

Звідси обчислімо меншу діагональ:

\begin{gather*} BD=\frac{ S_{BB_1D_1D}}{DD_1}=\frac{140\sqrt{3}}{7\sqrt{3}}=20. \end{gather*}

У ромбі з гострим кутом \(60^\circ\) менша діагональ ділить його на два рівносторонні трикутники. Отже, сторона ромба дорівнює меншій діагоналі \(AD=BD=20\) см (оскільки \(\Delta ABD\) рівносторонній).

Обчислімо площу основи \((S_\text{осн}){:}\)

Площу ромба обчислімо за формулою через сторону \((a)\) та синус кута між ними:

Об'єм призми обчислімо за формулою:

Відповідь: \(4200.\)

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання формули для обчислення бічної поверхні циліндра й уміння її застосовувати.

Площу бічної поверхні циліндра обчислімо за формулою:

Радіус основи та висота циліндра дорівнюють \(R.\)

Підставмо у формулу замість висоти циліндра \(H\) радіус \(R\) його основи й скористаймося властивістю степеневих виразів:

\begin{gather*} a^m\cdot a^n=a^{m+n};\\[7pt] S_\text{біч}=2\pi R\cdot R=2\pi R^2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Координати у просторі.

Завдання перевіряє знання формули відстані між точками у просторі та властивостей сфери.

Сфера – це множина точок, віддалених від центра на однакову відстань – радіус \((R).\)

Якщо сфера із центром у точці \(O\) проходить через точку \(A\), то відстань між цими точками – радіус сфери:

\(R=OA.\)

За формулою відстані між двома точками \(M_1\ (x_1; y_1; z_1)\) та \(M_2\ (x_2; y_2; z_2)\) простору:

Підставмо координати точок \(O\ (-2; -4; 3)\) та \(A\ (3; -1; 2){:}\)

Отже, радіус сфери \(R=\sqrt{35}.\)

Щоб обчислити діаметр (\(D\)), треба помножити радіус на \(2{:}\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння знати властивості піраміди та вміння розв’язувати стереометричні задачі.

В основі правильної чотирикутної піраміди лежить квадрат. Діагональний переріз піраміди – трикутник, що проходить через вершину піраміди та діагональ її основи \((d).\) За умовою трикутник рівносторонній.

Площу рівностороннього трикутника зі стороною \(d\) обчислімо за формулою:

Підставмо значення:

Основа піраміди – квадрат. Діагональ \(d\) ділить його на два прямокутні рівнобедрені трикутники. За теоремою Піфагора:

Площа основи (квадрата):

Відповідь: \(144.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами.

Різницею векторів \(\overrightarrow{a}\ (x_1; y_1; z_1)\) i \(\overrightarrow{b}\ (x_2; y_2; z_2)\) є вектор \(\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}{:}\)

Щоб знайти координати різниці двох векторів, потрібно від координат першого вектора (зменшуваного) відняти відповідні координати другого вектора (від'ємника).

\begin{gather*} \overrightarrow{a}\ (3; 1; -4);\\[7pt] \overrightarrow{b}\ (-8; 0; 2);\\[7pt] \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}.\\[7pt] \overrightarrow{c}\ (-8-3; 0-1; 2-(-4));\\[7pt] \overrightarrow{c}\ (-11; -1; 2+4);\\[7pt] \overrightarrow{c}\ (-11; -1; 6). \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання властивостей призми та вміння розв’язувати стереометричні задачі.

Площу бічної поверхні призми визначмо за формулою: \begin{gather*} S_\text{біч}=P_\text{осн}\cdot H. \end{gather*}

В основі правильної чотирикутної призми лежить квадрат зі стороною \(a\), тож його периметр: \begin{gather*} P=4a. \end{gather*}

За умовою задачі висота \(H=2a.\)

Отже,

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

Діагональний переріз прямої призми — це прямокутник. Його сторони — це діагональ ромба \((d)\) та висота призми \((H).\) Периметр цього прямокутника розраховується за формулою:

Підставмо відомі значення:

\begin{gather*} 58=2(d+5);\\[7pt] 29=d+5;\\[7pt] d_1=24. \end{gather*}

Діагоналі ромба перетинаються під кутом \(90^\circ\) і діляться навпіл. Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta COD\), де: \(CD=20\) (сторона ромба), \(OD=24:2 = 12\) (половина відомої діагоналі \((d_1)\) ромба).

За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} CD^2=OD^2+OC^2;\\[7pt] 20^2=12^2+OC^2;\\[7pt] 400=144+OC^2;\\[7pt] OC^2=400-144=256;\\[7pt] OC=\sqrt{256}=16. \end{gather*}

Отже друга діагональ ромба

\begin{gather*} d_2=AC=2\cdot OC=2\cdot 16=32. \end{gather*}

Формула об’єму призми:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H. \end{gather*}

Площа основи (ромба):

Відповідь: \(1920.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання властивостей піраміди.

В основі правильної чотирикутної піраміди лежить квадрат. За умовою сторона квадрата дорівнює \(a.\)

Висота піраміди дорівнює \(a\) за умовою: \(H=a.\)

Отже,

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема сфери.

Сфера утворена обертанням кола навколо його діаметра.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання формул для обчислення площ поверхонь піраміди.

Оскільки піраміда правильна, бічні ребра рівні між собою. Отже, бічна грань — це рівнобедрений прямокутний трикутник. В такому трикутнику гіпотенузою може бути тільки сторона основи піраміди (оскільки бічні ребра мають бути рівними катетами). \(AB=BC=CA=6\) см.

Апофема \((FK)\) — це висота бічної грані піраміди, проведена з її вершини. Висота у прямокутному трикутнику, проведена до гіпотенузи, є медіаною і дорівнює половині гіпотенузи:

За формулою \begin{gather*} S_{біч}=\frac 12P_\text{осн}\cdot m, \end{gather*} де \(P_\text{осн}\) – периметр основи, \(m\) – апофема, знаходимо блощу бічної поверхні:

Апофема \(m=FK=3\) см.

Відповідь: \(27.\)

ТЕМА: Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення об'єму геометричних тіл, зокрема конуса.

Об'єм конуса знаходиться за формулою:

Радіус основи та висота конуса дорівнюють \(R.\)

Підставмо у формулу замість висоти конуса \(H\) радіус \(R\) його основи й скористаймося властивістю степеневих виразів:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання означення циліндра, як тіла обертання.

Циліндр — це тіло обертання, утворене внаслідок обертання прямокутника навколо прямої, що містить одну з його сторін.

На малюнку зображено прямокутник, що обертається навколо своєї сторони. Унаслідок обертання прямокутника навколо сторони, утворюється циліндр.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання про циліндр та його елементи.

Діагональ перерізу \((AC)\) ділить прямокутник на два рівні прямокутні трикутники.

1. Катет, що лежить навпроти кута \(30^\circ\), дорівнює половині гіпотенузи:

Отже, висота циліндра \(H=CD=12\) см.

2. \(\cos A=\frac{AD}{AC}\);

Об'єм циліндра визначмо за формулою \(V=\pi R^2H{:}\)

Відповідь: \(1296.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати у просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати координати зображених на рисунку точки, вектора.

Точки \(K\) та \(N\) лежать на осі \(y.\) Це означає, що їхні координати по осях \(x\) та \(z\) дорівнюють нулю:

Координати векторa \(\overrightarrow{KN}\), який з’єднує ці дві точки, обчислімо як різницю координат його кінця \((N)\) і початку \((K){:}\)

У вектора, що лежить на осі \(y\), перша та третя координати мають бути нулями.

Вектор напрямлений від \(K\) до \(N\), тобто в додатному напрямку осі \(y.\) Це означає, що ордината y вектора має бути додатною \((y_N-y_K\gt 0).\)

Серед запропонованих варіантів лише вектор \((0; 4; 0)\) лежить на осі \(Oy\) і має додатний напрямок.

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання властивостей призми.

Об'єм призми визначаємо за формулою:

В основі правильної чотирикутної призми лежить квадрат зі стороною \(a\), тож його площа:

За умовою задачі висота \(H=3a.\)

Отже,

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати площу бічної поверхні призми.

Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом і діляться навпіл. Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta COD\), катетами якого є половини діагоналей:

За теоремою Піфагора обчислімо гіпотенузу (сторону ромба):

Більша діагональ \(A_1C\) призми утворює прямокутний трикутник \(CAA_1\) \((\angle A=90^\circ)\) з більшою діагоналлю основи \((AC=6\sqrt{3})\) і висотою призми.

Оскільки кут нахилу \(30^\circ\ (\angle ACA_1=30^\circ)\), то

\begin{gather*} H=AC\cdot \mathrm{tg}\ 30^\circ=6\sqrt{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=6. \end{gather*}

Формула бічної поверхні призми:

\begin{gather*} S_\text{біч}=P_\text{осн}\cdot H;\\[7pt] P_\text{осн}=4\cdot CD=4\cdot 6=24;\\[7pt] S_\text{біч}=24\cdot 6=144. \end{gather*}

Відповідь: \(144.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання властивостей піраміди.

Площу повної поверхні піраміди визначмо за формулою:

Піраміда правильна, тому в основі лежить квадрат. Сторона квадрата – \(a.\)

Апофема піраміди дорівнює \(a\) за умовою.

Отже,

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання властивостей піраміди.

В основі піраміди лежить прямокутний рівнобедрений трикутник. Катети трикутника – \(a.\)

Висота піраміди дорівнює \(a\) за умовою: \(H=a.\)

Отже,

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

У паралелограмі менша діагональ лежить навпроти гострого кута. Використаймо теорему косинусів:

Менший діагональний переріз прямої призми – це прямокутник зі сторонами \(BB_1D_1D.\) Сторона \(BD=13\) см, а висота \(DD_1=H.\) Його площа за умовою дорівнює \(260\) см\(^2{:}\)

Обчислімо площу основи призми (паралелограма \(ABCD\)) за формулою \(S=ab\sin \gamma{:}\)

Обчислімо об’єм призми:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H;\\[7pt] V=60\sqrt{3}\cdot 20=1200\sqrt{3}\ \text{см}^3. \end{gather*}

За умовою треба обчислити \(\frac{V}{\sqrt{3}}{:}\)

\begin{gather*} \frac{1200\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=1200\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: \(1200.\)

ТЕМА: Координати і вектори в просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати відстань між точками за відомими координатами.

Відстань \(d\) від точки з координатами \((x; y; z)\) до початку координат \((0; 0; 0)\) обчислюють за формулою:

A \((0; 4; 0){:}\)

Б \((0; 3; -4){:}\)

B \((-5; 0; 0){:}\)

Г \((1; 3; 0){:}\)

Д \((3; 0; -3){:}\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема конуса.

Конус утворений обертанням рівностороннього (рівнобедреного) трикутника \(APB\) навколо його висоти \(PO\), проведеної до основи.

Відповідь: B.

ТЕМА: Многогранники. Піраміда.

Завдання спрямоване на перевірку знань про піраміду та її елементи.

У піраміді \(SABCD{:}\)

\(SA\), \(SB\), \(SC\), \(SD\) – бічні ребра;

\(AB\), \(BC\), \(CD\), \(AD\) – ребра основи.

Отже, \(HD\) є ребром основи.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання про циліндр та його елементи.

Осьовим перерізом циліндра \(ABCD\) є квадрат. \(AB=BC=CD=AD=6\) см.

Відповідь: \(36.\)

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знання формули для обчислення об’єму циліндра й уміння її застосовувати.

Об'єм циліндра обчислімо за формулою:

Радіус основи та висота циліндра дорівнюють \(R.\)

Підставмо у формулу замість висоти циліндра \(H\) радіус \(R\) його основи й скористаймося властивістю степеневих виразів:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати площу діагонального перерізу призми.

Основою призми є паралелограм зі сторонами \(AB = 8\) і \(AD = 15\), \(\angle A = 60^\circ.\)

Діагональний переріз прямої призми – прямокутник, сторонами якого є висота призми та діагональ основи.

Невідомий діагональний переріз меншої площі буде побудовано на меншій діагоналі основи. У паралелограмі менша діагональ завжди лежить навпроти гострого кута. Отже, треба визначити довжину діагоналі \(BD.\)

Розгляньмо трикутник \(ABD.\) За теоремою косинусів:

Меншим діагональним перерізом є прямокутник \(DBB_1D_1\) зі сторонами \(BD = 13\) см і висотою \(BB_1 = 20\) см.

Обчислімо його площу \(S{:}\)

Відповідь: \(260.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямокутна система координат у просторі.

Це завдання перевіряє вміння визначати координати точки, зображеної на рисунку.

Оскільки точка \(N\) належить осі \(Oy\) прямокутної системи координат у просторі й розташована вище від початку координат – точки \(O(0; 0; 0)\) (див. рисунок), то її координати \(x\) і \(z\) дорівнюють нулю, а координата \(y\) є додатною: \(N(0; y_N; 0).\)

З-поміж наведених цю умову задовольняє лише варіант відповіді Б.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

За допомогою цього завдання перевіряють знання означення конуса як тіла обертання.

Конус – це тіло, утворене внаслідок обертання прямокутного трикутника навколо прямої, що містить один із його катетів.

Оскільки пряма \(a\) є висотою рівнобедреного трикутника, проведеною до його основи, вона ділить цей трикутник на два рівні прямокутні трикутники. Унаслідок обертання такого трикутника навколо висоти, яка є спільним катетом, утворюється конус.

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

1. Визначмо більшу діагональ \((AC)\) основи .

Діагональний переріз прямої призми – це прямокутник, сторонами якого є діагональ основи та висота призми \((H=AA_1=8\sqrt{3}).\) Оскільки переріз більший, він проходить через більшу діагональ ромба \((AC).\)

Формула площі перерізу:

\begin{gather*} S_{AA_1C_1C}=AC\cdot AA_1. \end{gather*}

Звідси обчислімо більшу діагональ:

\begin{gather*} AC=\frac{S_{AA_1C_1C}}{AA_1}=\frac{240\sqrt{3}}{8\sqrt{3}}=30. \end{gather*}

2. Визначмо меншу діагональ \((BD)\) ромба .

У ромбі з гострим кутом \(60^\circ\) діагоналі розбивають його на чотири прямокутні трикутники, або менша діагональ ділить ромб на два рівносторонні трикутники. Сторона ромба дорівнює меншій діагоналі \(CD=BD\) (бо трикутник \(\Delta BCD\) рівносторонній). Визначмо сторону \(CD\) ромба:

3. Площа повної поверхні:

Відповідь: \(960.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати в просторі.

Це завдання перевіряє вміння визначати координати точки, зображеної на рисунку.

Точка \(N\) належить осі \(Oz\) прямокутної системи координат у просторі й розташована вище (див. рисунок) за початок координат – точку \(O(0; 0; 0).\) Тобто координати точки \(N\ x\) та \(y\) дорівнюють нулю, а координата \(z\) є додатною: \(N(0; 0; z_N).\)

З-поміж наведених цю умову задовольняє лише варіант відповіді А.

Відповідь: A.

ТЕМА: Тіла обертання. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей призми й циліндра, формул для обчислення площі поверхні циліндра й об’єму призми.

Пряма призма, в основі – ромб. \(AC=16\) см, \(BD=12\) см.

Радіус основи ціліндра \(OK=AD\), \(S_\text{бічн.}=400\pi\) см\(^2.\)

У ромбі діагоналі \(AC\ \perp\ BP\) й діляться точкою перетину \(P\) навпіл: \begin{gather*} AP=PC=\frac 12AC=8\ \text{см},\\[6pt] BP=PD=\frac 12BD=6\ \text{см}. \end{gather*}

У \(\Delta APD\ (\angle P=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Площа бічної поверхні циліндра \(S_\text{бічн.}=2\pi RH\), де \(R=OK=AD=10\) см, \(H=OO_1=AA_1\) (за умовою задачі).

Об'єм призми визначмо за формулою: $$ V=S_\text{осн.}\cdot H, $$ де \begin{gather*} S_\text{осн.}=S_{ABCD}=96\ \text{см}^2,\\[7pt] H=AA_1=20\ \text{см},\\[7pt] V=96\cdot 20=1920\ (\text{см}^3). \end{gather*}

Відповідь: \(1920.\)

ТЕМА: Координати і вектори в просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати відстань між точками за відомими координатами.

Довжину діагоналі \(OK\) можна визначити за формулою відстані між двома точками:

де \((x_1, y_1, z_1)\), \((x_2, y_2, z_2)\) – координати кінців відрізку.

Відповідь: A.

ТЕМА: Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання взаємного розміщення прямих і площин у просторі, властивостей піраміди.

За властивістю паралельних площин: через точку, яка не лежить у площині, можна провести площину, паралельну заданій, і до того ж тільки одну.

Через точку \(S\) можна провести одну площину, паралельну основі піраміди.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знання основних властивостей конуса, вміння розв’язувати задачі на обчислення площі поверхні конуса.

Задано конус із бічною поверхнею \(260\pi.\)

Площа бічної поверхні конуса $$ S_\text{б}=\pi RL, $$ де \(R=OB\), \(L=AB.\)

У прямокутному \(\Delta AOB\ (\angle O=90^\circ).\) \(MO\) – медіана до гіпотенузи.

За властивістю медіани, проведеної до гіпотенузи: \(MO=\frac 12AB.\) \(MO=13\), тому \(AB=26.\)

Об'єм конуса $$ V=\frac 13\pi R^2H. $$ Висоту \(AO=H\) визначаємо з \(\Delta AOB\) за теоремою Піфагора:

Відповідь: \(800.\)

ТЕМА: Координати і вектори в просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати відстань між точками за відомими координатами.

Відстань між точками з координатами \((x_1; y_1; z_1)\) i \((x_2; y_2; z_2)\) можна визначити за формулою

Відстань між точками \((0; 0; 0)\) i \((0; -6; 8)\mathord{:}\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання взаємного розміщення прямих і площин у просторі, властивостей піраміди.

Висота піраміди \(SO\) перпендикулярна до основи \(ABCD.\) За властивістю перпендикулярності прямої і площини, якщо \(SO\ \perp\ (ABC)\), то \(SO\) перпендикулярна до будь-якої прямої в площині \((ABC)\), а площина \((ABC)\) містить безліч прямих.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини ву просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, задачі на обчислення об’єму призми.

1. Визначмо більшу діагональ основи \((AC).\)

Діагональний переріз прямої призми – це прямокутник, сторонами якого є діагональ основи та висота призми \((H=AA_1=8\sqrt{3}).\) Оскільки переріз більший, він проходить через більшу діагональ ромба \((AC).\)

Формула площі перерізу: \(S_{AA_1C_1C}=AC\cdot AA_1.\)

Звідси визначмо більшу діагональ:

2. Визначмо меншу діагональ ромба \((BD).\)

У ромбі з гострим кутом \(60^\circ\) діагоналі розбивають його на чотири прямокутні трикутники, або менша діагональ ділить ромб на два рівносторонні трикутники. Сторона ромба дорівнює меншій діагоналі \(CD=BD\) (бо трикутник \(\Delta BCD\) рівносторонній). Визначмо сторону \(CD\) ромба:

3. Обчислімо площу основи \((S_\text{осн}).\)

Обчислімо площу ромба через його діагоналі: \begin{gather*} S=\frac 12d_1d_2, \end{gather*} \(d_1\), \(d_2\) – діагоналі ромба.

4. Обчислімо об'єм \((V)\) призми за формулою:

Відповідь: \(3600.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Вектори і координати на площині.

Це завдання перевіряє вміння знаходити координати вектора на площині.

Якщо \(K(x_1; y_1; z_1)\), \(L(x_2; y_2; z_2)\), то координати вектора \(\overrightarrow{KL}(x_2-x_1; y_2-y_1; z_2-z_1).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Прямі та площини в просторі.

Завдання скеровано на перевірку знання аксіом стереометрії, взаємного розміщення прямих у просторі.

Висота конуса \((H)\) – це відрізок, що сполучає вершину конуса із центром його основи. Твірна конуса \((L)\) – це відрізок, що сполучає вершину конуса з будь-якою точкою кола основи.

Оскільки висота й твірна конуса мають спільну точку (перетинаються у вершині), вони, за визначенням, лежать в одній площині.

За аксіомою стереометрії, якщо дві прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей конуса та сфери, формул для обчислення площі поверхні сфери й об’єму конуса.

Радіус основи конуса \(O_1B=CO\) – радіусу сфери: $$ O_1B=5\sqrt{3}\ \text{см}. $$

У \(\Delta AO_1B\ (\angle O_1=90^\circ)\).

Об'єм конуса визначмо за формулою $$ V=\frac 13S_\text{осн}H=\frac 13\mathbf{\pi}R^2H, $$ де

Відповідь: \(125.\)

ТЕМА: Прямі та площини в просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати означення, ознаки та властивості паралельних прямих.

За властивістю паралельності прямих \(AB\ ||\ CD\), \(CD\ ||\ C_1D_1\), \(AB\ ||\ C_1D_1\), \(AB\ ||\ A_1B_1\) (як протилежні сторони квадратів).

Отже, прямих, що проходять через ребра куба і є паралельними прямій \(AB\), – три \((CD\), \(\ C_1D_1\), \(\ A_1B_1).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Тіла обертання. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей піраміди та сфери, формул для обчислення площі поверхні сфери й об’єму піраміди.

За умовою, радіус кола, описаного навколо квадрата \(ABCD\) – це $$ AO=BO=CO=DO=O_1M - $$ радіус сфери.

Об'єм піраміди $$ V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H, $$ де

\(KP\ \perp\ DC\) – апофема піраміди (висота бічної грані). \(KO\ \perp\ (ABC)\), \(KP\) – похила на площину основи, \(OP\) – проєкція похилої \(KP.\) Звідси, \(\angle KPO=45^\circ\) – це кут між прямою \(KP\) і площиною основи.

У \(\Delta KOP\ (\angle O=90^\circ)\), \(\angle P=45^\circ\), тому трикутник рівнобедрений і $$ OP=OK=\frac 12 AD. $$

\(\Delta ADC\ (\angle D=90^\circ).\) \(AD=DC\), \(AC=18\sqrt{2}\) см. За теоремою Піфагора:

Відповідь: \(972.\)

ТЕМА: Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання про піраміду та її елементи.

У піраміді \(SABCD\mathord{:}\)

\(SA\), \(SB\), \(SC\), \(SD\) – бічні ребра;

\(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) – ребра основи. Отже, \(SA\) є бічним ребром.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Тіла обертання. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей основних видів многогранників, зокрема піраміди, та властивостей циліндра, формул для обчислення площі поверхні циліндра й об’єму піраміди.

Площа основи циліндра

Площа бічної поверхні ціліндра

За умовою радіус кола, описаного навколо квадрата \(ABCD\), дорівнює радіусу основи циліндра. Отже, $$ AO=OK=15\ \textit{см}. $$

Діагональ \(AC=30\) см. Площу квадрата можна обчислити за формулою:

Об'єм піраміди

Відповідь: \(3000.\)

ТЕМА: Прямі та площини у просторі.

Завдання скеровано на перевірку знання аксіом стереометрії, взаємного розміщення прямих у просторі.

Застосуймо аксіому стереометрії: якщо дві прямі мають спільну точку, то через них можна провести лише одну площину.

Отже, прямі \(SO\) i \(SB\) лежать в одній площині, бо мають спільну точку \(S.\)

За аксіомою стереометрії якщо дві прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж, тільки одну.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Тіла обертання. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання основних видів многогранників, зокрема призми, властивості сфери, уміння застосовувати формули для обчислення площі поверхні сфери й об’єму призми.

\(S=64\mathbf{\pi}\) см\(^2\), \(AA_1=AC\), \(OK=O_1D.\)

Площа поверхні сфери \(S=4\mathbf{\pi}R^2=64\mathbf{\pi}\), \(R^2=16\ \textit{см}^2,\) \(R=4\) см.

За умовою задачі радіус сфери дорівнює радіусу кола, вписаного в основу призми. Отже, \(OK=O_1D=4\) см.

Призма – правильна, отже \(\Delta ABC\) – рівносторонній, a $$ r=O_1D=\frac{a}{2\sqrt{3}}, $$ де \(a\) – сторона трикутника. Тобто \begin{gather*} 4=\frac{AC}{2\sqrt{3}},\\[6pt] AC=8\sqrt{3}\ \textit{см}. \end{gather*}

Площу правильного трикутника обчислiмо за формулою:

Об'єм призми

Відповідь: \(1152.\)

ТЕМА: Прямі та площини в просторі.

Завдання скеровано на перевірку знання аксіом стереометрії, взаємного розміщення прямих у просторі.

Скористаймося аксіомою паралельності: через точку, що не лежить на прямій, можна провести лише одну пряму, паралельну даній. Отже, через точку \(S\), яка не лежить на прямій \(AB\), можна провести лише одну пряму, паралельну даній.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, зокрема практичного змісту, знання видів тіл обертання, як-от конуса.

На рисунку зображено частину поверхні конуса.

Відповідь: В.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей піраміди та конуса, вміння розв’язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

Твірна консуса \(AB\) й бічне ребро \(CF\) дорівнюють по \(25\) см. Апофема \(FK=OB.\)

Площа бічної поверхні конуса $$ S_\text{б}=\mathbf{\pi}RL, $$ де \(R=OB\), \(L=AB.\)

У піраміді \(CF=FD=FE=25.\) \(\Delta FKD\ (\angle K=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

Площа бічної поверхні піраміди $$ S_\text{б}=\frac 12P_\text{осн}\cdot m, $$ де \(P_\text{осн}=3\cdot ED=90\ \textit{см}\), \(m=FK=20\ \textit{см}.\) $$ S_\text{б}=\frac 12\cdot 90\cdot 20=900\ \textit{см}^2. $$

Відповідь: \(900.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Координати у просторі.

Завдання скеровано на перевірку знань формули відстані між точками у просторі, властивостей кулі.

Знаходимо відстань між точками \(O_1O_2\) за формулою:

\begin{gather*} d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2},\\[7pt] O_1O_2=\sqrt{(7-1)^2+(4+4)^2+(-14-10)^2}=\\[7pt] =\sqrt{36+64+576}=26. \end{gather*}

Якщо б кулі були однакового радіусу, то дорівнювали б \(13\) см. За умовою кулі мають різні за довжиною радіуси, тому радіус більшої кулі буде більше за \(13\) см, але менше за \(26\) см.

З наведених значень – це \(17\) см.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знань ознаки паралельності прямої та площини, властивостей призми.

За ознакою паралельності прямої і площини, якщо пряма \(AB\), що не лежить у площині \((CDD_1)\), паралельна прямій \(CD\), яка лежить в цій площині, то \(AB\ || (CDD_1).\)

Аналогічно, \(AB\) не лежить у площині \((A_1B_1C_1)\), але паралельна прямій \(A_1B_1\), яка лежить в цій площині, то \(AB\ ||\ (A_1B_1C_1).\)

Отже, таких площин лише дві.

Відповідь: В.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей призми та циліндра, вміння розв’язувати задачі на обчислення об’ємів і площ поверхонь геометричних тіл.

1. В основі призми – ромб з діагоналями \(12\) см і \(16\) см.

\(AO=OC=8\) см, \(BO=OD=6\) см. \(AC\ \perp\ BD.\) \(\Delta AOD\) – прямокутний. За теоремою Піфагора

2. Радіус основи циліндра \(R=AD=10\) см.

3. Площа поверхні циліндра

4. Висота призми дорівнює висоті циліндра \(H=20\) см.

5. Об'єм призми

Площу ромбу можна знайти за формулою:

Відповідь: 1920.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія.

Завдання скеровано на перевірку знання формули для обчислення координат середини відрізка.

Точка \(C\) симетрична точці \(A\) відносно точки \(B.\) Точка \(B\) – середина відрізка \(AC.\)

\(A(5; -4; 0)\), \(B(7; 2; -2).\) Нехай точка \(C(x_C; y_C; z_C).\)

За формулою координати середини відрізка:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Завдання скероване на перевірку розуміння властивостей паралельних площин.

У піраміді \(SABC\) точка \(S\) не лежить у площині \((ABC).\)

Через точку, яка не лежить у площині, можна провести тільки одну площину, паралельну даній.

Отже, через точку \(S\) можна провести лише одну площину паралельну площині \(ABC.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Координати на площині.

Завдання скеровано на перевірку знання про конус та його елементи, формули площ поверхонь конуса, формул для обчислення відстані між двома точками.

\(\Delta AMB\) – рівносторонній трикутник.

Знайдемо довжину \(AB\) – сторони трикутника за формулою

Відповідь: $$ \frac{S}{\mathbf{\pi}}=\frac{37,5\mathbf{\pi}}{\mathbf{\pi}}=37,5. $$

Відповідь: 37,5.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Стереометрія. Чотирикутники. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання про піраміду та її елементи, вміння знаходити площу ромба та об’єм піраміди.

Об'єм піраміди обчислуємо за формулою: $$ V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H, $$ де \(S_\text{осн}\) – площа основи, \(H\) – висота.

За умовою завдання основою піраміди є ромб, діагоналі якого \(20\ \text{см}\) і \(12\ \text{см}.\) Площу основи (ромба) обчислюємо за формулою $$ S_\text{осн}=\frac 12 d_1d_2=\frac 12\cdot 20\cdot 12= 120\ \text{см}. $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання про многогранники та їхні елементи, ознаки паралельності прямої та площини.

Протилежні грані куба – паралельні площини. \(C_1D\subset (DD_1C_1)\) \((AA_1B)\ ||\ (DD_1C_1).\) Отже, \(C_1D\ ||\ (AA_1B_1).\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Планіметрія. Многогранники. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі на обчислення

\(A(4; \sqrt{10}; 3),\ M(-2; 0; 1).\) Призма правильна, тому \(ABCD\) – квадрат.

Діагоналі квадрата перпендикулярні. У \(\Delta AMD (\angle M=90^\circ)\) \(AM=MD=\sqrt{50}.\) За теоремою Піфагора

Висота \(AA_1=3AB=30.\) $$V=S_\text{осн}H,$$ де \(S_\text{осн}\) – площа квадрата, \(H\) – висота.

\begin{gather*} S_\text{осн}=AD^2=100.\\[7pt] V=100\cdot 30=3000. \end{gather*}

Відповідь: 3000.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання формул для обчислення площ поверхонь піраміди.

Сторона основи піраміди \(8\ \text{см},\) а апофема на \(2\ \text{см}\) більше, тому її довжина \(10\ \text{см}.\)

За формулою $$ S_\text{б}=\frac 12P_\text{осн}\cdot m, $$ де \(P_\text{осн}\) – периметр основи \(m\) – апофема, знаходимо площу бічної поверхні:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знання основних елементів циліндра.

Твірна циліндра – відрізок, який сполучає відповідні точки кіл кругів, які є основами циліндра.

З-поміж наведених – це \(AB.\)

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати і вектори у просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з векторами, знаходити координати та скалярний добуток векторів.

\(\overrightarrow{AB}(-3; 8; 1),\ B(7; -2; 0), O(0; 0; 0).\)

Нехай \(A(x; y; z).\ \overline{AB}(7-x; -2-y; 0-z).\)

Отже,

Відповідь: -111.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Піраміда.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей піраміди та її елементів, розв’язування задач на трикутники.

1. Піраміда правильна – в основі лежить квадрат \(ABCD.\)

2. \(KM\) – висота бічної грані $$ (KM\perp DC),\ KM=15\ \text{см}. $$

За теоремою про три перпендикуляри \begin{gather*} KO\perp\ (ABC),\\[7pt] KM\perp DC\ (\text{похила}),\\[7pt] OM - \text{проекція похилої},\\[6pt] OM=\frac 12 AD=\frac 12\cdot 18=9\ (\text{см}).\\[6pt] \text{Звідси},\ OM\perp CD. \end{gather*}

3. \(\Delta KOM\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знань про многогранники та їхні елементи.

Бічною гранню прямої призми є прямокутник.

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання про циліндр та його елементи.

Осьовим перерізом циліндра \(ABCD\) є квадрат. \(AB=BC=CD=AD=8\ \text{см}.\)

Відповідь: 64.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання властивостей піраміди.

Об'єм піраміди знаходимо за формулою $$ V=\frac 13 S_\text{осн}\cdot H. $$

Піраміда правильна, тому в основі лежить квадрат. Сторона квадрата – \(a.\) \(S_\text{кв}=S_\text{осн}=a^2.\) Висота піраміди дорівнює \(a\) за умовою \(H=a.\)

Отже, \(V=\frac 13\cdot a^2\cdot a=\frac{a^3}{3}.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами.

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, задачі на обчислення об’єму призми, побудови перерізів.

\(ABCD\) – ромб, \(AB=20,\) \(P_{AA_1C_1C}=58,\) \(AA_1=5.\) \(AA_1=CC_1=5,\) то \(A_1C_1=AC=(58-2\cdot 5):2=24.\)

За властивістю ромба \(AC\perp BD,\ AO=OC,\ BO=OD.\) Отже, у \(\Delta COD\ (\angle O=90^\circ)\) \(CD=20,\ OC=12\) за теоремою Піфагора

Площу ромбу можна знайти за формулою

Отже,

Відповідь: 1920.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема циліндра.

Циліндр утворений обертанням квадрата навколо його сторони:

\(ABCD\) – квадрат.

Відповідь: А.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами.

Застосуємо правильно додавання векторів:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання про конус та його елементи, властивості подібних фігур.

Площина, паралельна основі, відтинає подібний конус.

Коефіцієнт подібності $$ k=\frac{AB}{AO}=\frac 12. $$ Об'єми подібних тіл відносяться як $$ k^3=\left(\frac 12\right)^3=\frac 18. $$

Отже, об'єм меншого конуса \(64:8=8\ (\text{см}).\)

Відповідь: 8.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Планіметрія. Многогранники. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі на обчислення невідомих елементів піраміди, знання теореми Піфагора та властивості квадрата.

\(PABCD\) – правильна чотирикутна піраміда, тому \(ABCD\) – квадрат, \(O\) – точка перетину діагоналей, \(PO\) – висота.

\(P_{ABCD}=4AB=72\ \text{см},\ \ AB=18\ \text{см}.\)

\(PK\) – апофема (висота бічної грані). \(OK\perp AB\) (за теоремою про три перпендикуляри).

\begin{gather*} OK=\frac 12 AB=9\ \text{см}.\\[7pt] \Delta POK\ (\angle O=90^\circ) \end{gather*} за теоремою Піфагора:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання про многогранники та їхні елементи.

У трикутної призми \(3\) бічні грані та \(2\) грані основ.

Отже, кількість граней призми – \(5.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Координати у просторі.

Перевіряє знання прямокутної системи координат у просторі, координати точки.

1. Точка на осі \(y\) має нульові координати \(x\) та \(z.\) Довжина відрізка \(BC\) – \(8\) одиниць, звідси серединою відрізка є точка з координатами \((0;\ 4;\ 0).\) Отже, 1 – Г.

2. Точки, що належить відрізку \(DD_1\) мають координати \(x=4;\ y=8\) (як у точки \(D_1).\) Точка, що належить відрізку \(DD_1\) і віддалена від точки \(D\) на \(4\) одиниці, має координати \((4;\ 8;\ 4).\) Отже, 2 – Д.

3. Точка \(C_1\) лежить в площині \(yz,\) тому має \(x=0.\) Координати \(y\) та \(z\) співпадають з координатами точки \(D_1.\) Отже, координати точки \(C_1(0;\ 8;\ 12).\) Отже, 3 – A.

Відповідь: 1Г, 2Д, 3А.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Перевіряє знання формул для обчислення об'єму циліндра.

Об'єм циліндра $$ V=\pi R^2H, $$ Отже, $$ H=\frac{V}{\pi R^2}=\frac{72\pi}{\pi \cdot 3^2}=8. $$

Відповідь: Г.