ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Побудова зображень, які дає плоске дзеркало.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння побудови зображення в плоскому дзеркалі.

Загальні характеристики зображень у плоских дзеркалах:

1. Плоске дзеркало дає уявне зображення предмета.

2. Зображення предмета в плоскому дзеркалі й сам предмет є симетричними відносно поверхні дзеркала, і це означає:

1) зображення предмета дорівнює за розміром самому предмету;

2) зображення предмета розташоване на тій самій відстані від поверхні дзеркала, що й предмет;

3) відрізок, який сполучає точку на предметі з відповідною їй точкою на зображенні, є перпендикулярним до поверхні дзеркала.

Отримання зображення точкового джерела світла
в плоскому дзеркалі: \(S\) ‒ джерело світла; \(S_1\) ‒ уявне зображення джерела світла.

Якщо між дзеркалами \(1\) і \(2\) помістити лампу \(A,\) то промені від неї потраплятимуть на дзеркала, багато разів відбившись від них, розходитимуться, даючи щоразу на своєму продовженні уявні зображення (рис. 1).

Для побудови зображення в системі з двох дзеркал достатньо уявно продовжити їхні площини після перетину й будувати зображення відносно кожної площини дзеркал окремо, уважаючи, що утворене одним дзеркалом зображення можна вважати предметом для другого ‒ принцип Гюйгенса. Усього в дзеркалах, установлених під кутом \(45^\circ\) один до одного, утворюється сім зображень (рис. 2). Точка \(A\) й усі її зображення розташовані по колу з радіусом \(OA\) із центром у точці перетину
дзеркал \(O.\)

Відповідь: \(7.\)

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Механічні коливання і хвилі. Гармонічні коливання.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння гармонічних коливань і їхніх характеристик, а також вміння визначати їх.

Коливання, під час яких координата \(y\) тіла, що коливається, змінюється із часом \(t\) за законом косинуса (або синуса), називають гармонічними коливаннями:

де \(A\) ‒ амплітуда коливань, \(\mathbf{\omega}\) ‒ циклічна частота коливань, \(\mathbf{\varphi}_0\) ‒ початкова фаза коливань.

Тоді рівняння гармонічних коливань маятника автомобіля матиме загальний вигляд: $$ y=y_\text{max}\sin\mathbf{\omega} t. $$

Робимо висновок, що іграшковий автомобіль рухається прямолінійно рівномірно вздовж осі \(Ox\) (див.  рисунок). Тоді для визначення проєкції швидкості \(v_x\) руху цього автомобіля скористаймося формулою $$ v_x=\frac{\Delta x}{\Delta t}, $$ де \(\Delta x\) ‒ відстань, яку пройде автомобіль за час \(\Delta t.\)

Період коливань \(T\) ‒ це час \(\Delta t,\) за який хвиля поширюється на відстань \(\Delta x,\) що називають довжиною цієї хвилі; або довжина хвилі \(\mathbf{\lambda}\) ‒ це відстань між двома найближчими точками, які коливаються синхронно.

З графіка візьмемо дві синхронні точки по осі \(Ox\) ‒ \(0\ \text{см}\) і \(20\ \text{см},\) тоді

Для математичного (нитяного) маятника період коливань \(T\) можна визначити за формулою $$ T=2\mathbf{\pi}\sqrt{\frac lg}, $$ де \(l\) ‒ довжина маятника, \(g\) ‒ прискорення вільного падіння.

Обчислімо швидкість руху автомобіля: $$ v_x=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{0\mathord{,}2\ \text{м}}{0\mathord{,}628\ \text{с}}\approx 0\mathord{,}32\ \text{м/с}. $$

Відповідь: \(0\mathord{,}32.\)

ТЕМА: Електродинаміка. Магнітне поле, електромагнітна індукція. Закон електромагнітної індукції.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння закону електромагнітної індукції.

Скористаймося законом електромагнітної індукції: електрорушійна сила індукції \(\mathbf{\varepsilon}_i\) дорівнює швидкості зміни магнітного потоку \(\frac{\Delta Ф}{\Delta t},\) який пронизує поверхню, обмежену контуром: $$ \mathbf{\varepsilon}_i=\frac{\Delta Ф}{\Delta t}. $$

Знак мінус відображає правило Ленца: індукційний струм, який виникає в замкненому провідному контурі, має такий напрямок, що створений цим струмом магнітний потік перешкоджає зміні магнітного потоку, який спричинив появу індукційного струму.

Відповідно до рисунка, за \(30\ \text{мс}\) магнітний потік змінився від \(60\ \text{мВб}\) до \(180\ \text{мВб}.\) Обчислімо модуль електрорушійної сили, що індукується в контурі: $$ \mathbf{\varepsilon}_i= \frac{(180-60)\cdot 10^{-3}\ \text{Вб}}{30\cdot 10^{-3}\ \text{с}}=4\ \text{В}. $$

Відповідь: \(4.\)

ТЕМА: Електродинаміка. Закони постійного струму. Закон Ома для ділянки кола. Послідовне та паралельне з᾽єднання провідників.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння паралельного і послідовного з’єднання провідників, а також уміння застосовувати закон Ома для ділянки кола й формули, що описують ці з’єднання.

Визначмо напругу \(U_3\) на резисторі \(3\) за законом Ома для ділянки кола: \begin{gather*} U_3=I_3R_3,\\[7pt] U_3=20\cdot 10^{-3}\ \text{А}\cdot 30\ \text{Ом}=0\mathord{,}6\ \text{В}. \end{gather*}

Це і є напруга на клемах джерела струму, оскільки за паралельного з’єднання на обидві вітки електричного кола ‒ там, де резистори \(1, 2, 4,\) і на вітку, де резистор \(3,\) ‒ буде подано однакову напругу від джерела струму: \begin{gather*} U=U_3=U_{124}. \end{gather*}

Розгляньмо тепер з’єднання резисторів \(1, 2\) й \(4.\) Резистори \(1\) і \(2\) з’єднано між собою паралельно, а резистор \(4\) приєднано до них послідовно. Визначивши загальний опір цієї ділянки кола, зможемо обчислити силу струму, який проходить через цю вітку кола:

Це й буде сила струму \(I_4=I_{124},\) що проходитиме крізь резистор \(4,\) оскільки його послідовно з’єднано з резисторами \(1\) і \(2\) (сила струму \(I_{124}=0\mathord{,}01\ \text{А}\) між якими пропорційно поділиться).

Отже, знаючи з умови опір резистора \(4,\) і визначивши силу струму в ньому, можемо обчислити напругу на цьому резисторі:

Відповідь: \(0\mathord{,}4.\)

ТЕМА: Молекулярна фізика й термодинаміка. Основи молекулярно-кінетичної теорії. Рівняння стану ідеального газу. Ізопроцеси в газах. Основи термодинаміки. Робота в термодинаміці.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння ізопроцесів і вміння визначати роботу газу.

Проаналізуймо кожен процес циклу.

Процес \(1\rightarrow 2\) ‒ це процес ізобарного нагрівання (тиск \(p=\mathrm{const},\) абсолютна температура ідеального газу підвищується \(T_2\gt T_1,\) відповідно об᾽єм збільшується \(V_2\gt V_1\)). Запишімо рівняння Менделєєва ‒ Клапейрона: $$ (p\Delta V)_{1-2}=\mathbf{\nu}R(T_2-T_1), $$ де \(\mathbf{\nu}\) ‒ кількість речовини, \(R\) ‒ універсальна газова стала.

Робота \(A_{1-2}\) газу внаслідок цього ізобарного розширення дорівнюватиме добутку тиску \(p\) й зміни об’єму \(\Delta V:\)

Оскільки \(T_1=T,\) а \(T_2=3T\) (де \(T\) ‒ одиничний відрізок ‒ дивись рисунок), то:

Процес \(2\rightarrow 3\) ‒ це ізотермічний процес \((T=\mathrm{const}).\) Відповідно до рівняння Клапейрона \begin{gather*} p_2V_2=p_3V_3,\\[7pt] p_3\lt p_2\Rightarrow V_3\gt V_2. \end{gather*} Це процес ізотермічного розширення.

Процес \(3\rightarrow 4\) ‒ це процес ізобарного охолодження (тиск \(p=\mathrm{const},\) абсолютна температура ідеального газу спадає \(T_4\lt T_3,\) відповідно об’єм теж зменшується \(V_4\lt V_3\)). Запишімо рівняння Менделєєва ‒ Клапейрона: $$ (p\Delta V)_{3-4}=\mathbf{\nu}R(T_4-T_3). $$

Робота \(A_{3-4}\) газу внаслідок цього ізобарного стиснення також дорівнюватиме добутку тиску \(p\) і зміни об’єму \(\Delta V:\)

Оскільки \(T_3=3T,\) а \(T_4=T\) (де \(T\) ‒ одиничний відрізок ‒ див. рисунок), то:

Робота \(A_{3-4}\) є від’ємною, оскільки

Процес \(4\rightarrow 1\) ‒ це ізотермічний процес \((T=\mathrm{const}).\) Відповідно до рівняння Клапейрона

Це процес ізотермічного стиснення.

Обчислімо співвідношення абсолютних значень робіт \(A_{1-2}\) й \(A_{3-4}:\)

Відповідь: \(1\).

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Закон збереження імпульсу. Реактивний рух.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння закону збереження імпульсу, реактивного руху.

Застосуємо закон збереження імпульсу до наведеного в завданні прикладу реактивного руху.

Реактивний рух ‒ це рух, що виникає внаслідок відділення з деякою швидкістю від тіла якоїсь його частини.

За умовою завдання відділятиметься ядро від школяра, хоча до цього і школяр, і ядро в нього в руках були в спокої.

Запишімо закон збереження імпульсу у векторній формі: $$ m_1\overrightarrow{v}_1+m_2\overrightarrow{v}_2=m_1\overrightarrow{v'}_1+m_2\overrightarrow{v'}_2, $$ де \(m_1\) і \(m_2\) ‒ маси школяра та ядра відповідно, \(\overrightarrow{v}_1\) і \(\overrightarrow{v}_2\) ‒ швидкості руху школяра та ядра відповідно до поштовху ядра, \(\overrightarrow{v'}_1\) і \(\overrightarrow{v'}_2\) ‒ швидкості руху школяра і ядра відповідно після поштовху ядра.

Тепер запишімо цей закон у проєкціях на горизонтальну вісь \(Ox:\) $$ 0=-m_1v'_1+m_2v'_2\cos\mathbf{\alpha}. $$

Визначмо швидкість школяра:

Відповідь: \(0\mathord{,}4.\)

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний рух по колу. Період і частота.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння періоду обертання і його залежності від певних характеристик руху, а також застосування другого закону Ньютона для визначення його.

На супутник, що рухається коловою орбітою навколо планети, діє лише сила тяжіння \(\overrightarrow{F}_\text{т}\) ‒ сила, з якою Земля (або інше астрономічне тіло) притягує до себе тіла, що перебувають на її поверхні або поблизу неї.

Запишімо рівняння другого закону Ньютона (\(\overrightarrow{F}\) ‒ рівнодійна сил, що діють на супутник):

де \(m\) ‒ маса тіла (супутника), \(a_\text{дц}\) ‒ доцентрове прискорення, оскільки рух супутника є рівномірним рухом по колу; \(g\) ‒ прискорення вільного падіння.

Масу в рівнянні можна скоротити, а для доцентрового прискорення і прискорення вільного падіння запишімо відповідні формули: $$ a_\text{дц}=\frac{v^2}{R}, $$ (де \(v\) ‒ лінійна швидкість руху тіла по колу, \(R\) ‒ радіус кола). $$ g=G\frac{M}{R^2}, $$ (де \(G\) ‒ гравітаційна стала, \(M\) ‒ маса Землі або іншої планети, \(R\) ‒ радіус Землі або іншої планети).

Як отримуємо формулу для прискорення вільного падіння:

‒ за законом всесвітнього тяжіння $$ F_\text{т}=G\frac{mM}{(R+h)^2}=G\frac{mM}{R^2}, $$ (де \(h\) ‒ висота, на якій перебуває тіло над поверхнею Землі або іншої планети; якщо \(h\lt\lt R,\) то радіус планети і радіус колової орбіти можна прирівняти);

‒ за формулою для сили тяжіння \(F_\text{т}= mg.\)

Прирівняймо праві частини цих формул й отримаємо формулу для прискорення вільного падіння: \begin{gather*} G\frac{mM}{R^2}=mg,\\[6pt] g=G\frac{M}{R^2}. \end{gather*}

Повернімося до другого закону Ньютона:

Лінійну швидкість \(v\) рівномірного руху тіла по колу визначаємо за періодом обертання і радіусом колової траєкторії. Для рівномірного руху швидкість визначмо як відношення шляху \(l\) до часу \(t:\) $$ v=\frac <. $$

Дійсно, за час \(t\) одного оберту, тобто період \(T,\) тіло долає відстань \(l,\) що дорівнює довжині кола: $$ l=2\mathbf{\pi}R, $$ тоді $$ v=\frac <=\frac{2\mathbf{\pi}R}{T}. $$

Отже,

Звідси період обертання $$ T=\sqrt{\frac{4\mathbf{\pi}^2R^3}{GM}}. $$

Визначмо співвідношення періодів обертання штучних супутників планет \(Z\) і Земля, зваживши на те, що за умовою $$ M_Z=2M_3 $$ (відношення мас планет), $$ d_Z=\frac 12 d_3 $$ (відношення діаметрів планет), отже, $$ R_Z=\frac 12R_3. $$

Отже, період обертання супутника навколо планети \(Z\) учетверо менший за період обертання супутника навколо Землі.

Відповідь: \(0\mathord{,}25.\)

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Абсолютний і відносний показники заломлення.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння абсолютного показника заломлення середовища.

Фізичну величину, яка характеризує оптичну густину середовища й показує, у скільки разів швидкість поширення світла в середовищі \((v)\) менша, ніж його швидкість \((c)\) у вакуумі, називають абсолютним показником \(n\) заломлення середовища: $$ n=\frac cv. $$

Звідси можемо визначити швидкість поширення світла в середовищі \(v,\) а потім узявши до уваги зв’язок між довжиною хвилі, швидкістю її поширення і періодом (частотою), зможемо обчислити потрібні характеристики світлових хвиль, що поширюються в зазначених в умові завдання середовищах:

Формулу, що зв’язує довжину хвилі \(\mathbf{\lambda},\) швидкість \(v\) її поширення і частоту \(\mathbf{\nu},\) називають формулою хвилі: $$ v=\mathbf{\lambda}\mathbf{\nu}. $$

Обчислімо добутки довжини хвилі \(\mathbf{\lambda}\) й частоти \(\mathbf{\nu},\) щоб установити відповідність із середовищем:

Відповідь: 1В, 2Б, 3А, 4Г.