ТЕМА: Квантова фізика. Елементи теорії відносності. Принципи (постулати) теорії відносності Ейнштейна.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння наслідків постулатів спеціальної теорії відносності, зокрема того, який зв’язок між масою та енергією.

Будь-яке тіло (будь-яка частинка) масою \(m\) несе із собою запас енергії \(E.\)

Дійсно, навіть якщо швидкість руху тіла (частинки) зменшується до нуля \((v=0),\) то тіло все одно має енергію:

За умовою газ унаслідок конвекції отримав ще кількість теплоти \(Q,\) а потім утратив унаслідок теплопровідності кількість теплоти \(0,2Q\) і виконав під час розширення роботу \(0,5Q\) (тобто теж втратив), то загалом ще отримав

Якщо тіло, навіть не рухаючись, має енергію \(E,\) то його маса $$ m=\frac{E}{c^2}. $$

Отримавши ще енергію \(\Delta Q\) внаслідок перебігу процесів, зазначених в умові завдання, тіло матиме енергію \((\Delta Q+E).\) Його масу можна обчислити так: \begin{gather*} \Delta Q+E=mc^2,\\[7pt] m=\frac{E}{c^2}+\frac{\Delta Q}{c^2},\\[6pt] m=\frac{E}{c^2}+\frac{0,3Q}{c^2}. \end{gather*}

Тобто маса тіла збільшилася на \(\frac{0,3Q}{c^2}.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Електромагнітні коливання і хвилі. Трансформатор.

Завдання скеровано на перевірку розуміння особливостей роботи навантаженого трансформатора й співвідношення величин, якими описують його роботу.

Якщо вторинну обмотку трансформатора замкнути на навантаження (підімкнути споживача ‒ наприклад, лампу), то в обмотці виникне електричний струм (див. рисунок).

Цей струм спричинить зменшення магнітного потоку в осерді і, як наслідок, зменшення ЕРС (електрорушійної сили) самоіндукції в первинній обмотці. Унаслідок цього сила струму в первинній обмотці збільшиться і магнітний потік зросте до попереднього значення. Що більшими є сила струму у вторинній обмотці й потужність, яку трансформатор віддає споживачеві, то більшими є струм у первинній обмотці й потужність, яка надходить у трансформатор від джерела.

Під час роботи навантаженого трансформатора для відповідних значень напруги і сили струму справджується приблизна рівність: $$ \frac{U_1}{U_2}\approx\frac{I_2}{I_1}. $$

Це означає, що в підвищувальному трансформаторі сила струму більша в первинній обмотці \((U_1\lt U_2\Rightarrow I_1\gt I_2),\) а в понижувальному трансформаторі сила струму більша у вторинній обмотці \((U_1\gt U_2\Rightarrow I_1\lt I_2).\)

Якщо трансформатор ідеальний (утрати енергії дорівнюють нулю), то в скільки разів він збільшує напругу, у стільки ж разів він зменшує силу струму, і навпаки.

За умовою трансформатор знижувальний ‒ у вторинній обмотці менше витків, ніж у первинній, отже, правильними є співвідношення \(U_1\gt U_2,\ I_1\lt I_2.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Механічні коливання і хвилі. Гармонічні коливання.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати рівняння гармонічних коливань і знання відповідних фізичних величин.

Коливання, під час яких координата \(x\) тіла, що коливається, змінюється із часом \(t\) за законом косинуса (або, як тут, синуса), називають гармонічними коливаннями. Їх описують таким рівнянням у загальному вигляді: $$ x=A\sin(\mathbf{\omega}t+\mathbf{\varphi}_0), $$ де \(A\) ‒ амплітуда коливань, \(\mathbf{\omega}\) ‒ циклічна частота коливань, \(\mathbf{\varphi}_0\) ‒ початкова фаза коливань.

За умовою амплітуда коливань $$ A=5\ \text{см}=0,05\ \text{м}. $$

Отже, із чотирьох рівнянь у варіантах відповіді умову задовольняють лише ті два, у яких множник біля функції синуса дорівнює \(0,05.\)

За умовою період коливань тіла $$ T=0,5\ \text{с}. $$

Тобто циклічна частота $$ \mathbf{\omega}=\frac{2\mathbf{\pi}}{T}=\frac{2\mathbf{\pi}}{0,5}=4\mathbf{\pi}. $$

Циклічна частота в рівнянні, записаному в загальному вигляді, є множником біля часу \(t.\) Даних про початкову фазу в умові немає, тобто $$ \mathbf{\varphi}_0=0. $$

Отже, усім параметрам відповідає рівняння $$ x=0,05\sin(4\mathbf{\pi}t). $$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Електродинаміка. Магнітне поле, електромагнітна індукція. Сила Лоренца.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння визначення напрямку дії сили Лоренца.

Силу, з якою магнітне поле діє на рухому заряджену частинку, називають силою Лоренца.

Напрямок сили Лоренца визначають за правилом лівої руки: лінії магнітної індукції \(\overrightarrow{B}\) входять у долоню, чотири витягнуті пальці спрямовують за напрямком руху \(\overrightarrow{v}\) позитивно зарядженої частинки (або протилежно до руху негативно зарядженої), і тоді відігнутий на \(90^\circ\) великий палець укаже напрямок сили Лоренца \(\overrightarrow{F}_\text{л}\) (див. рисунок).

Отже, якщо людина розмістить долоню лівої руки відповідно до правила, великий палець буде напрямлений до неї перпендикулярно до площини рисунка. Це варіант відповіді B.

Відповідь: B.

ТЕМА: Електродинаміка. Електричний струм у різних середовищах. Електричний струм у розчинах і розплавах електролітів.

Завдання скеровано на перевірку знання базових понять електролітичної дисоціації, рекомбінації, йонізації, фотоефекту й розуміння їхнього фізичного змісту.

Розпад молекул на йони під впливом полярних молекул розчинника називають електролітичною дисоціацією.

Наприклад, коли кристалик кухонної солі потрапляє у воду, полярні молекули води оточують йони Натрію і йони Хлору й відокремлюють їх від кристалика.

Унаслідок цього в розчині з’являються вільні заряджені частинки ‒ позитивні і негативні йони.

Злиття різнойменних йонів у молекулу чи кристал називають рекомбінацією йонів.

Утворення під впливом йонізатора позитивних і негативних йонів, а також, можливо, ще й вільних електронів із нейтральних молекул й атомів, називають йонізацією.

Вивільнення електронів речовини під дією електромагнітного випромінювання називають фотоефектом.

Відповідь: A.

ТЕМА: Електродинаміка. Основи електростатики. Енергія електричного поля.

Завдання скеровано на перевірку знання величин, від яких залежить енергія електричного поля конденсатора.

Енергію електричного поля \(W_\text{ел}\) конденсатора визначають за формулою $$ W_\text{ел}=\frac{q^2}{2C}, $$ де \(q\) ‒ заряд конденсатора, \(C\) ‒ електроємність конденсатора.

Якщо заряд конденсатора зменшили вдвічі, то

Отже, за незмінної електроємності (тому що зменшували заряд того самого конденсатора) енергія конденсатора залежить від зміни заряду.

Унаслідок зменшення заряду у \(2\) рази енергія електричного поля конденсатора зменшиться в \(4\) рази, що ми аналітично довели.

Відповідь: B.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Властивості газів, рідин і твердих тіл. Плавлення і тверднення тіл.

Завдання скеровано на перевірку розуміння процесів переходу речовини з одного агрегатного стану в інший.

Плавлення ‒ це процес переходу речовини з твердого стану в рідкий.

Проаналізувавши наведений у завданні графік, можна дійти висновку, що протягом \(92\) секунд температура підвищується (олово отримує певну кількість теплоти). У цей інтервал часу збільшується кінетична енергія коливального руху структурних одиниць олова у вузлах кристалічних ґраток.

Після досягнення температури \(232\ ^\circ\mathrm{C}\) олово починає плавитися, а його температура не змінюється (горизонтальна ділянка графіка ‒ від \(92\) до \(196\ \text{с}\)) попри те, що нагрівач продовжує працювати й передавати олову певну кількість теплоти.

Уся енергія, що надходить від нагрівача, витрачається на руйнування кристалічних ґраток олова. У цей інтервал часу збільшення внутрішньої енергії олова триває.

Після того, як усе олово розплавиться, його температура починає зростати (ділянка від \(196\ \text{с}\) і більше), тобто починає зростати кінетична енергія руху молекул.

Отже, під час плавлення температура олова не змінювалася (горизонтальна ділянка графіка), а це тривало відповідно до графіка від \(92\) до \(196\ \text{с}:\) $$ \Delta t=196-92=104\ \text{с}. $$

Відповідь: B.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи молекулярно-кінетичної теорії. Температура. Рівняння стану ідеального газу. Ізопроцеси.

Завдання скеровано на перевірку розуміння поняття середньої кінетичної енергії хаотичного руху молекул, а також розуміння процесів, що відбуваються з газом.

Середня кінетична енергія \(\overline{E}_k\) поступального руху молекул ідеального газу (кінетична енергія поступального руху, що в середньому припадає на одну молекулу масою \(m_0\)) дорівнює: $$ \overline{E}_k=\frac{m_0\overline{v^2}}{2}, $$ де \(\overline{v^2}\) ‒ середній квадрат швидкості.

Також середня кінетична енергія поступального руху молекул ідеального газу прямо пропорційна абсолютній температурі \(T:\) $$ \overline{E}_k=\frac 32kT, $$ де \(k\) ‒ стала Больцмана.

Під час ізохорного охолодження температура зменшуватиметься, відповідно середня кінетична енергія хаотичного руху молекул газу теж зменшуватиметься.

Ізотермічне стискання відбувається за сталої температури. Отже, середня кінетична енергія хаотичного руху молекул газу не зростатиме.

У ході адіабатного розширення, відповідно до першого закону термодинаміки, газ виконує додатну роботу внаслідок зменшення внутрішньої енергії, а температура газу зменшується. Тобто середня кінетична енергія хаотичного руху молекул газу зменшуватиметься.

Під час ізобарного розширення передана газу кількість теплоти витрачається і на збільшення внутрішньої енергії газу, і на виконання механічної роботи. Якщо збільшується внутрішня енергія, то й температура збільшуватиметься. Тому середня кінетична енергія хаотичного руху молекул газу зростатиме.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Механічна робота.

Завдання скеровано на перевірку розуміння змісту поняття механічної роботи й умов виконання її.

Механічна робота (робота сили) \(A\) ‒ це фізична величина, яка характеризує зміну механічного стану тіла й дорівнює добутку модуля сили \(F,\) модуля переміщення \(s\) і косинуса кута \(\mathbf{\alpha}\) між вектором сили і вектором переміщення: $$ A=Fs\cos\mathbf{\alpha}. $$

І з формули, і з рисунка випливає, що робота дорівнюватиме нулю, якщо кут між векторами сили й переміщення становить \(90^\circ,\) відповідно cos \(90^\circ=0,\) а отже, і добуток всіх величин, що визначають роботу, дорівнює нулю.

За всіх інших значень кута \(\mathbf{\alpha}\) між вектором сили й вектором переміщення сила тяжіння виконує роботу.

На книгу, що лежить на столі, сила тяжіння діє вертикально вниз, але книга перебуває в стані спокою відносно стола й переміщення не здійснює, тому що дія сили тяжіння скомпенсована дією сили нормальної реакції з боку стола. Тобто сила тяжіння роботу не виконує.

Крапелька води падає під час дощу, тобто здійснює переміщення саме під дією сили тяжіння, отже, сила тяжіння в цій ситуації виконує роботу.

Коли дерев’яна колода плаває на поверхні озера, дія сили тяжіння скомпенсована дією сили Архімеда, і колода у вертикальному напрямку не переміщається ‒ сила тяжіння роботу не виконує. Однак в умові зазначено, що колода плаває, тобто є горизонтальне переміщення, зумовлене не силою тяжіння. Тоді кут між векторами сили тяжіння і вектором переміщення становитиме \(90^\circ\) ‒ робота сили тяжіння дорівнює нулю.

Єдина сила, яка діє на супутник під час руху коловою орбітою навколо Землі – це гравітаційна сила притягання Землі – сила тяжіння, що спрямована до центра Землі. Це означає, що супутник здійснює рівномірний рух по колу, його швидкість постійна, що дає змогу підтримувати незмінною відстань між супутником і центром Землі.

Згідно з теоремою про потенціальну енергію (робота всіх консервативних сил, які діють на тіло, дорівнює зміні потенціальної енергії тіла, узятій із протилежним знаком) зміни відстані між супутником і Землею не відбувається. Отже, зміна потенціальної енергії дорівнює нулю, сила тяжіння роботу не виконує.

Можна міркувати так: до вектора швидкості руху супутника в кожній точці колової орбіти, а також до вектора переміщення в кожній точці колової орбіти вектор сили тяжіння перпендикулярний, а \(\cos 90^\circ=0.\)

Отже, правильний варіант відповіді ‒ Б.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний і рівноприскорений рухи.

Завдання скеровано на перевірку вміння описувати рух аналітично.

За умовою швидкість під час прямолінійного руху тіла протягом усього часу збільшується, тобто тіло рухається прискорено.

Запишімо рівняння залежності координати \(x\) від часу \(t\) в загальному вигляді для прямолінійного рівноприскореного руху: $$ x=x_0+v_0t+\frac{at^2}{2}, $$ де \(x_0\) ‒ початкова координата, \(v_0\) ‒ початкова швидкість, \(a\) ‒ прискорення.

Варіанти відповіді \(x=5+3t\) і \(x=5-3t\) описують прямолінійний рівномірний рух, тому що немає доданку \(\frac{at^2}{2},\) тобто прискорення дорівнює нулю.

Розгляньмо рівняння \(x=5t-2t^2:\) початкова координата \(x_0=0,\) початкова швидкість \(v_0=5\ \text{м/с},\) прискорення \(a=-4\ \text{м/с}^2\) (знак мінус тут означає, що тіло гальмує, вектори швидкості й прискорення напрямлені протилежно, що суперечить умові завдання).

Розгляньмо рівняння \(x=5-2t^2:\) початкова координата \(x_0=5\ \text{м},\) початкова швидкість \(v_0=0,\) прискорення \(a=-4\ \text{м/с}^2.\) Тобто тіло розганяється зі стану спокою, але в напрямку, протилежному до напрямку осі \(Ox,\) тому прискорення від’ємне. Це правильна відповідь.

Відповідь: A.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Траєкторія. Шлях і переміщення.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння змісту понять шляху й переміщення.

Шлях \(l\) ‒ це фізична величина, яка дорівнює довжині траєкторії або довжині її певної ділянки.

Переміщення \(\overrightarrow{s}\) ‒ це векторна величина, яку графічно подають у вигляді напрямленого відрізка прямої, який з’єднує початкове 1 і кінцеве 2 положення матеріальної точки.

Згідно з умовою шлях утричі більший за модуль переміщення: $$ \frac ls=3. $$

Розгляньмо кожен варіант відповіді.

A півколо

Шлях у цьому разі дорівнюватиме довжині півкола радіуса \(R:\) $$ l=\frac{2\mathbf{\pi}R}{2}=\mathbf{\pi}R. $$

Модуль переміщення дорівнюватиме подвійному радіусу ‒ діаметру цього кола:

Б дві сторони квадрата

Шлях у цьому разі дорівнюватиме сумі довжин двох сторін \(a\) квадрата: $$ l=2a. $$

Модуль переміщення дорівнюватиме довжині діагоналі квадрата зі стороною \(a\) ‒ тобто гіпотенузі прямокутного рівнобедреного трикутника:

B відрізок

Шлях у цьому разі дорівнює модулю переміщення:

Г три сторони квадрата

Шлях у цьому разі дорівнюватиме сумі довжин трьох сторін \(a\) квадрата: $$ l=3a. $$

Модуль переміщення дорівнюватиме довжині сторони квадрата зі стороною \(a.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Квантова фізика. Елементи теорії відносності. Атом та атомне ядро. Радіоактивність.

Завдання скеровано на перевірку знання і застосування основного закону радіоактивного розпаду.

Скористаймося основним законом радіоактивного розпаду: $$ N=N_0\cdot 2^{-\frac tT}, $$ де \(N\) ‒ кількість ядер радіонукліда, що залишились у зразку через час \(t;\) \(N_0\) ‒ початкова кількість ядер; \(T\) ‒ період піврозпаду; \(t\) ‒ час розпаду.

Виразимо кількість ядер радіонукліда, що залишились у зразку, через початкову кількість ядер відповідно до умови завдання: $$ N=N_0-0,75N_0=0,25N_0. $$

Підставимо всі дані у формулу:

За радіоактивним розпадом речовини спостерігали \(20\) годин.

Відповідь: 20.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Механічні коливання і хвилі. Гармонічні коливання.

Завдання скеровано на перевірку розуміння гармонічних коливань і знання базового поняття механічного руху ‒ переміщення.

Запишімо рівняння гармонічних коливань у загальному вигляді: $$ x=A\cos(\mathbf{\omega}t+\mathbf{\varphi}_0), $$ де \(x\) ‒ координата тіла, що змінюється із часом \(t\) за законом косинуса (або синуса), \(A\) ‒ амплітуда коливань \((A=x_\text{max}=0,04\ \text{м}),\) \(\mathbf{\omega}\) ‒ циклічна частота коливань \((\mathbf{\omega}=0,1\mathbf{\pi}),\) \(\mathbf{\varphi}_0\) ‒ початкова фаза коливань \((\mathbf{\varphi}_0=0).\)

Модуль переміщення \(s\) дорівнює модулю різниці кінцевої \(x\) і початкової \(x_0\) координат тіла: \begin{gather*} s=|x-x_0|. \end{gather*}

На початку відліку часу, коли \(t=0,\) початкова координата тіла дорівнює

Через \(30\ \text{с}\) після початку коливань кінцева координата дорівнюватиме:

Відповідь: 8.

ТЕМА: Електродинаміка. Закони постійного струму. Робота і потужність електричного струму.

Завдання скеровано на перевірку знання і застосування формули для потужності електричного струму.

Потужності нагрівальних елементів однакові: $$ P_1=P_2. $$

Запишемо потужності через добуток напруги \(U\) й сили струму \(I:\) $$ U_1I_1=U_2I_2. $$

За законом Ома для ділянки кола виразимо силу струму через відношення напруги і опору і підставимо у рівність потужностей:

Визначимо опір нагрівального елемента, розрахованого на іншу напругу, але тієї ж потужності:

Відповідь: 16.