ТЕМА: Молекулярна фізика й термодинаміка. Властивості газів, рідин і твердих тіл. Поверхневий натяг рідин. Сила поверхневого натягу.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння сили поверхневого натягу.

Крапля утримується біля невеликого отвору піпетки доти, доки сила поверхневого натягу більша за силу тяжіння, що діє на цю краплю. Маса краплі більшає, шийка краплі тоншає, і сила поверхневого натягу вже не може компенсувати дію сили тяжіння.

Відрив же станеться тоді, коли ці дві сили стануть рівними. Уважатимемо, що маса однієї краплі з умови завдання саме така, за якої крапля відривається від піпетки, а діаметр шийки краплі дорівнює діаметру отвору піпетки (за умовою): \begin{gather*} F_\text{пов}=F_\text{т},\\[7pt] \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\sigma}l=m_1g, \end{gather*} де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\sigma}\) ‒ поверхневий натяг, \(l=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R\) ‒ лінія, що обмежує поверхню рідини; \(m_1=\frac MN\) ‒ маса однієї краплі, коли загальна маса \(N\) крапель становить \(M;\) \(g\) ‒ прискорення вільного падіння.

Визначмо поверхневий натяг рідини:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Молекулярна фізика й термодинаміка. Основи термодинаміки. Питома теплоємність речовини.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння питомої теплоємності речовини, а також зміни стану речовини.

Питома теплоємність речовини – це фізична величина, що характеризує речовину й чисельно дорівнює кількості теплоти, яку треба передати речовині масою \(1\ \text{кг},\) щоб нагріти її на \(1\ ^\circ\mathrm{С}.\) Питому теплоємність позначають символом \(c\) й визначають за формулою: $$ c=\frac{Q}{m\Delta T}, $$ де \(Q\) – кількість теплоти; \(m\) – маса речовини; \(\Delta T\) – зміна температури.

За умовою постійна потужність теплопередачі \(P,\) тож кількість теплоти, яку отримувала вода, визначмо за формулою $$ Q=A=P\Delta t, $$ де \(A\) – робота, виконана за проміжок часу \(\Delta t. \)

З’ясуймо, яка ділянка графіка відповідає рідкому стану води, тому що за умовою саме в цьому стані треба визначити питому теплоємність. Проаналізуймо графік. В умові зазначено, що в момент часу \(t=0\) с вода була у твердому стані (лід). Протягом проміжку часу \(\Delta t_1\) температура підвищувалася – лід нагрівався.

Потім протягом \(\Delta t_2\) температура залишалася незмінною. Це означає, що змінився агрегатний стан – після досягнення температури \(0\ ^\circ\mathrm{C}\) лід починає плавитися, а його температура не змінюється (горизонтальна ділянка графіка протягом \(\Delta t_2\)) незважаючи на те, що нагрівач продовжує працювати й передавати льоду певну кількість теплоти. Уся енергія, що надходить від нагрівника, іде на руйнування кристалічної ґратки льоду. У цей інтервал часу внутрішня енергія льоду продовжує збільшуватися.

Після перетворення всього льоду на воду (права крайня точка горизонтальної ділянки графіка протягом \(\Delta t_2\)), температура води починає зростати (ділянка графіка протягом \(\Delta t_3\)) і підвищується на \(\Delta T_2,\) тобто починає зростати кінетична енергія руху молекул. Саме для цієї ділянки обчислюватимемо питому теплоємність (наступна горизонтальна ділянка графіка протягом \(\Delta t_4\) відповідає фазовому переходу з рідкого стану в газуватий, а далі протягом \(\Delta t_5\) гріється утворена пара).

Отже, дістанемо вираз для визначення питомої теплоємності води в рідкому стані: $$ c=\frac{Q}{m\Delta T}=\frac{P\Delta t_3}{m\Delta T_2}. $$

Відповідь: B.

ТЕМА: Молекулярна фізика й термодинаміка. Основи молекулярно-кінетичної теорії. Ізопроцеси в газах.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння ізопроцесів у газах і їхніх графіків.

Процес змінювання стану газу незмінної маси, що відбувається за сталого тиску \(p,\) називають ізобарним. Згідно з рівнянням Клапейрона $$ \frac{pV_1}{T_1}=\frac{pV_2}{T_2}, $$ де \(V_1\) і \(T_1\) ‒ об’єм й абсолютна температура газу в стані \(1;\) а \(V_2\) і \(T_2\) ‒ параметри газу в стані \(2.\) Після скорочення на \(p\) дістанемо: $$ \frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}. $$

Графіки ізобарних процесів називають ізобарами. У координатах \(p, V\) ізобари перпендикулярні до осі тиску (див. рисунок).

Отже, процесу за сталого тиску \((p=\mathrm{const})\) газу відповідає графік Г.

Графік А відповідає процесу за сталого об’єму \((V=\mathrm{const}):\)

Графік Б ‒ це ізотерма, графік ізотермічного процесу \((T=\mathrm{const}):\)

Проаналізувавши графік В, бачимо, що зростає й об’єм, і тиск, тож відповідно до рівняння Клапейрона підвищуватиметься температура: $$ \frac{pV}{T}=\mathrm{const}. $$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Молекулярна фізика й термодинаміка. Основи молекулярно-кінетичної теорії. Рівняння стану ідеального газу.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння зміни стану ідеального газу, а також вміння скласти рівність тисків.

Гелій до нагрівання мав певну температуру \(T_1\) і займав певний об’єм \(V_1.\) Цей газ створював тиск \(p\) на стінки посудини й на поршень. Зверху ж на рухомий поршень діє атмосферний тиск \(p_\text{атм},\) а також сам поршень теж діє з певним тиском \(p_\text{п}\) на гелій в посудині (див. рисунок).

Отже, можемо прирівняти тиск, який створює гелій, і суму тисків атмосферного і поршня, оскільки поршень не рухається: $$ p=p_\text{атм}+p_\text{п}. $$

Розпишімо, чому дорівнює тиск гелію і тиск поршня. Відповідно до рівняння стану ідеального газу (рівняння Менделєєва ‒ Клапейрона) $$ pV_1=\frac mMRT_1, $$ де \(m\) ‒ маса газу, \(M\) ‒ молярна маса, \(R\) ‒ універсальна газова стала.

Тиск, який створює поршень, визначатимемо за формулою $$ p_\text{п}=\frac FS, $$ де \(S\) ‒ площа поверхні, на яку поршень створює тиск; а \(F=P=m_\text{п}g\) ‒ сила тиску, якою у цьому прикладі є вага \(P,\) що дорівнює добутку маси \(m_\text{п}\) поршня і прискорення \(g\) вільного падіння.

Потім за умовою гелій нагріли до температури \(T_2,\) відповідно збільшився об’єм до \(V_2.\) Тиск при цьому залишився сталим, оскільки маса газу не змінилася, а поршень легко рухається в посудині, тобто відбувся ізопроцес, а саме, ізобарне нагрівання: $$ pV_2=\frac mMRT_2. $$

Запишімо загальне рівняння зміни стану газу після зміни абсолютної температури на \(\Delta T\) і відповідно зміни об’єму на \(\Delta V:\) $$ p\Delta V=\frac mMR\Delta T, $$ звідки тиск дорівнюватиме $$ p=\frac{mR\Delta T}{M\Delta V}. $$

Підставімо всі вирази для відповідних величин у рівність тисків: $$ \frac{mR\Delta T}{M\Delta V}=p_\text{атм}+\frac{m_\text{п}g}{S}. $$

Обчислімо значення правої частини рівності, щоб математично легше було визначити зміну об’єму \(\Delta V:\)

Отже, визначмо, на скільки збільшиться об’єм гелію:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Молекулярна фізика й термодинаміка. Основи молекулярно-кінетичної теорії. Маса і розмір молекул. Концентрація.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння графічної інтерпретації залежності фізичних величин, а саме, концентрації молекул газу від об’єму.

Концентрація \(n\) молекул газу ‒ фізична величина, яка дорівнює числу \(N\) молекул в одиниці об’єму \(V\) газу: $$ n=\frac NV. $$

Як бачимо з формули, концентрація обернено залежить від об’єму: $$ n\sim \frac 1V. $$

За умовою газ стискають в посудині, отже, об’єм зменшується (знаменник зменшується), значить, концентрація збільшується. При цьому кількість молекул газу не змінюється ‒ газ міститься в посудині, його стискають рухомим поршнем, про витік газу мова не йде, отже, зміна концентрації залежатиме тільки від зміни об’єму.

Така обернена залежність величин відповідає математичній функції $$ y=\frac 1x, $$ графіком якої є вітки гіперболи.

Відповідно, графіком залежності концентрації молекул газу від об’єму буде вітка гіперболи з додатними значеннями (об’єм і концентрація не можуть бути від’ємними).

Графіки Б й В, які відображають лінійну залежність величин, не відповідають шуканій оберненій залежності. А за графіком Г зі збільшенням об’єму концентрація збільшується, що є неправильним у визначеній математичній залежності концентрації від об’єму.

Відповідь: A.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Прості механізми. Коефіцієнт корисної дії.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння простих механізмів ‒ рухомого і нерухомого блоків, а також уміння визначати коефіцієнт корисної дії механізму для підйому вантажів.

Підйомний механізм складається з двох невагомих блоків: рухомий блок (рис. 1), до якого безпосередньо прикріплено вантаж, дає виграш у силі вдвічі, але програш у відстані теж удвічі; другий блок ‒ нерухомий (рис. 2), лише змінює напрямок дії сили.

Коефіцієнт корисної дії \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\eta}\) (ККД) простого механізму – це відношення корисної роботи \(A_\text{кор},\) яку виконує механізм, до повної роботи \(A_\text{пов},\) яка витрачається на його роботу. Тобто це міра ефективності механізму, що показує, яка частина витраченої енергії перетворюється на корисну роботу: $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\eta}=\frac{A_\text{кор}}{A_\text{пов}}\cdot 100\ \text{%}. $$

У цьому завданні корисною роботою \(A_\text{кор}\) є підняття вантажу на висоту \(h\) за рахунок зміни потенціальної енергії \((E_{p0}-E_p)\) тіла: $$ A_\text{кор}=E_{p0}-E_p=mgh, $$ де \(m\) – маса вантажу, \(g\) ‒ прискорення вільного падіння, \(h\) – висота, на яку підіймають вантаж.

Загальне визначення механічної роботи (робота сили) \(A\) – це фізична величина, яка характеризує зміну механічного стану тіла й дорівнює добутку модуля сили \(F,\) модуля переміщення \(s\) і косинуса кута \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\) між вектором сили й вектором переміщення: $$ A=Fs\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}. $$

Отже, узявши до уваги, що вантаж підняли на висоту \(h\) від початкового положення, а мотузку підтягнули під дією прикладеної сили на \(2h,\) запишімо формулу для визначення повної роботи: $$ A=Fs\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=F2h, $$ \(\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=\cos 0^\circ=1,\) тому що вектор сили, що долає вагу вантажу, і вектор переміщення лежать на співнапрямлених прямих.

Обчислімо коефіцієнт корисної дії \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\eta}\) (ККД) цього підйомного механізму:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Другий закон Ньютона.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння поняття рівнодійної сил, а також вміння графічно пов’язати динаміку й кінематику процесу.

Сформулюймо другий закон Ньютона: прискорення \(\overrightarrow{a},\) якого набуває тіло внаслідок дії сили \(\overrightarrow{F},\) прямо пропорційне цій силі й обернено пропорційне масі \(m\) тіла: $$ \overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{F}}{m}. $$

Здебільшого на тіло діють кілька сил. Якщо тіло можна вважати матеріальною точкою, то всі ці сили можна замінити однією – рівнодійною. Рівнодійна дорівнює геометричній сумі сил, які діють на тіло: $$ \overrightarrow{F}=\overrightarrow{F}_1+\overrightarrow{F}_2+\text{...}+\overrightarrow{F}_n, $$ тому другий закон Ньютона зазвичай записують так: \begin{gather*} \overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{F}_1+\overrightarrow{F}_2+\text{...}+\overrightarrow{F}_n}{m},\\[6pt] \text{aбо}\\[7pt] \overrightarrow{F}_1+\overrightarrow{F}_2+\text{...}+\overrightarrow{F}_n=m\overrightarrow{a}. \end{gather*}

Якщо сили, що діють на тіло, скомпенсовано, тобто рівнодійна дорівнює нулю $$ \overrightarrow{F}_1+\overrightarrow{F}_2+\text{...}+\overrightarrow{F}_n=0, $$ тіло не змінюватиме швидкості свого руху ані за значенням, ані за напрямком: $$ \overrightarrow{a}=0, $$ отже, рухатиметься рівномірно прямолінійно або перебуватиме в спокої.

Графіком проєкції швидкості \(v_x\) у разі прямолінійного рівномірного руху є відрізок прямої, паралельної осі часу \(t,\) адже швидкість руху не змінюється із часом. Отже, у завданні цій умові відповідає ділянка графіка \(BC.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Графіки залежності кінематичних величин від часу в рівномірному й рівноприскореному рухах.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння графічної інтерпретації шляху, пройденого тілом.

Шлях чисельно дорівнює площі фігури під графіком швидкості руху:

для прямолінійного рівномірного руху	для прямолінійного рівноприскореного руху
для будь-якого руху

Отже, розгляньмо й порівняймо площі фігур під графіками швидкості руху тіл А, Б, В й Г. Відповідно до умови обмежмо праворуч ці фігури вертикальною прямою, що пройде через позначку \(6\ \text{с}\) на осі часу. А знизу й ліворуч фігури обмежено осями. Тоді розмір площі залежатиме тільки від графіка залежності проєкції швидкості руху тіла від часу. Зробімо висновок:

найменший шлях пройде тіло А	шлях, який пройшло тіло Б
шлях, який пройшло тіло В	найбільший шлях пройде тіло Г

Відповідь: Г.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Додавання швидкостей. Рівномірний рух.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння прямолінійного рівномірного руху, а також вміння додавати швидкості.

Щоб визначити швидкість руху товарного потяга, треба зрозуміти, як було визначено час \(t,\) протягом якого пасажирський потяг проходив повз зустрічний товарний потяг. Рух потягів прямолінійний рівномірний, тож скористаймося відповідною формулою: $$ t=\frac lv. $$

Уявімо, як голови потягів порівнялися, й із цього моменту пішов відлік часу.

Щоб потяги повністю розминулися, голова пасажирського потяга повинна пройти вздовж усього товарного, а потім ще весь пасажирський потяг повинен пройти повз хвіст товарного потяга.

Тож загальний шлях \(l,\) який пройде голова пасажирського потяга з моменту, коли голови потягів порівнялися і до моменту, коли порівняються їхні хвости, становитиме суму довжин обох потягів ‒ пасажирського \(l_\text{п}\) і товарного \(l_\text{т}:\) $$ l= l_\text{п}+l_\text{т}. $$

Якщо потяги рухалися один відносно одного, то й швидкість їхнього руху треба розглядати не відносно землі, а відносно один одного.

Скористаймося законом додавання швидкостей: швидкість \(\overrightarrow{v}\) руху тіла в нерухомій системі відліку (пасажирського потяга відносно товарного) дорівнює геометричній сумі швидкості \(\overrightarrow{v}_\text{п}\) руху тіла в рухомій системі відліку (пасажирського потяга відносно землі) і швидкості \(\overrightarrow{v}_\text{т}\) руху рухомої системи відліку відносно нерухомої (наче землі відносно товарного потяга, що те саме ‒ товарного потяга відносно землі): $$ v=v_\text{п}+v_\text{т}. $$

Запишімо ще раз формулу для часу й визначмо швидкість товарного потяга:

Відповідь: А.