ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Момент сил.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові задачі на визначення моменту сил.

Рис. 1. Умова завдання

На рисунку 1 зображено важіль із точкою опори в точці A. Ліве плече важеля (із вантажем 1) лежить на столі, а праве плече (із вантажем 2) звисає. Важіль перебуває в рівновазі. За розміткою на рисунку можна визначити довжину правого й лівого плеча як відстань від точки прикладення сили тяжіння (центру мас тіла) до точки опори.

Довжина лівого плеча – \(4,5\) клітинки, а оскільки період сітки дорівнює \(5\ \text{см}\), то довжина цього плеча в сантиметрах дорівнює \(4,5\cdot 5 = 22,5\ \text{см}\).

Довжина лівого плеча – \(11\) клітинок, тобто \(11\cdot 5 = 55\ \text{см}\).

Дано:
\(d_1=22,5\ \text{см}\)
\(d_2=55\ \text{см}\)
\(m_2=200\ \text{г}\)

Знайти:
\(M_2\ -\ ?\)

Горизонтальна вісь, що проходить через точку A перпендикулярно до рейки – це вісь обертання важеля.

Рис. 2. Вісь обертання важеля

Момент сили відносно цієї осі дорівнюватиме:

Відповідь: 1,1.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Сила. Гравітаційна взаємодія.

Завдання скеровано на перевірку розуміння принципів гравітаційної взаємодії.

Дано:
\(R_Z=2R_\text{Землі}\)
\(\mathbf{\rho}_Z=\frac{\mathbf{\rho}_\text{Землі}}{4}\)
\(F_\text{тяж Землі}=1600\ \text{Н}\)

Знайти:
\(F_{\text{тяж}Z}\ -\ ?\)

Силу тяжіння визначають за формулою $$ F_\text{тяж}=mg, $$ де \(m\) – маса тіла, \(g\) – прискорення вільного падіння.

Прискорення вільного падіння можна пов’язати із законом всесвітнього тяжіння: $$ F=G\frac{m_1m_2}{r^2}, $$ де \(G\) – гравітаційна стала, \(m_1\) – маса першого тіла, \(m_2\) – маса другого тіла, \(r\) – відстань між ними.

Сила тяжіння – це сила, із якою Земля чи інше астрономічне тіло притягують до себе тіла, що перебувають на їхній поверхні, тож вона є частковим випадком сили із закону всесвітнього тяжіння.

Тож можна записати рівність виразів для сили тяжіння і закону всесвітнього тяжіння, у якому одне тіло – це планета, а інше – корабель. Вважатимемо, що відстань між центрами мас корабля і планети дорівнює її радіусу: $$ G=\frac{m_\text{корабля}M}{R^2}=m_\text{корабля}g. $$

Тож, якщо поділити обидва вирази на масу корабля, дістаємо: $$ G\frac{M}{R^2}=g. $$

На планетах із різними радіусами й масами прискорення вільного падіння буде різним.

Прискорення вільного падіння на Землі: $$ g_\text{Землі}=G\frac{M_\text{Землі}}{R^2_\text{Землі}}. $$

На планеті Z: $$ g_Z=G\frac{M_Z}{R^2_Z}. $$

За умовою маси планет невідомі, але відомі їхні середні густини. Середню густину планети можна визначити за формулою $$ \mathbf{\rho}=\frac MV, $$ де \(M\) – маса планети, \(V\) – об’єм планети.

Форма планет близька до сферичної внаслідок дії гравітації, тож їхній об’єм можна визначити як об’єм сфери: $$ \mathbf{\rho}=\frac{M}{\frac 43 \mathbf{\pi}R^3}. $$

Тоді масу планети можна виразити через її середню густину: $$ M=\frac 43\mathbf{\pi}\mathbf{\rho}R^3. $$

Тоді силу тяжіння на Землі можна виразити як

А на планеті Z сила тяжіння

Відповідь: 800.

ТЕМА: Механічні коливання і хвилі. Амплітуда, частота, період гармонічних коливань. Довжина хвилі.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові задачі на зв’язок різних параметрів коливальної системи.

Дано:
\(l=500\ \text{м}\)
\(t=1\ \text{хв}\ 40\ \text{с}\)
\(N=20\)
\(\mathbf{\tau}=10\ \text{с}\)

1. Знайти:
\(T\ (\text{с})\ -\ ?\)

Період коливань поверхні води збігається з періодом хвилі. Період хвилі – це час, за який хвиля проходить відстань, що дорівнює одній її довжині. Період хвилі можна обчислити за формулою $$ T=\frac{\mathbf{\tau}}{N}, $$ де \(\mathbf{\tau}\) – час руху хвилі, \(N\) – кількість повних довжин хвиль за час \(\mathbf{\tau}\).

Кількість довжин хвиль можна визначити, порахувавши кількість гребнів хвиль, що вдаряються об берег, тобто сплесків. За умовою \(20\) сплесків на березі було зафіксовано за \(10\ \text{с}\), тому $$ T=\frac{10\ \text{с}}{20}=0,5\ \text{с}. $$

2. Знайти:
\(\mathbf{\lambda}\ (\text{м})\ -\ ?\)

Відстань між двома сусідніми гребнями хвиль – це довжина хвилі. Вона пов’язана з періодом за формулою: $$ \mathbf{\lambda}=Tv, $$ де \(T\) – період хвилі, \(v\) – швидкість хвилі.

Швидкість хвилі можна обчислити за формулою $$ v=\frac <, $$ де \(l\) – шлях, пройдений гребнем хвилі, \(t\) – час.

Тобто

Відповідь: 1. 0,5. 2. 2,5.

ТЕМА: Електродинаміка. Закони постійного струму. Закон Ома для повного кола.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові задачі за допомогою закону Ома для повного кола.

За рисунком 1, наведеним в умові завданні, можна визначити покази амперметра в обох положеннях вимикача. Для цього визначимо ціну поділки шкали амперметра.

Рис. 1. Умова завдання

Ціна великої поділки амперметра дорівнює \(1\ –\ 0,5 = 0,5\ (\text{А})\). Між двома великими поділками є \(10\) маленьких, тож ціна маленької поділки дорівнює \(0,5 : 10 = 0,05\ \text{А}\).

Тоді в першому положенні (на рисунку 1 ліворуч) сила струму, виміряна амперметром, дорівнює \(0,5 + 4\cdot 0,05 = 0,5 + 0,2 = 0,7 (\text{А})\). У другому положенні (на рисунку праворуч) сила струму, виміряна амперметром, дорівнює \(0,05\ –\ 0,05 = 0,45\ \text{А}\).

Також з рисунку можна зрозуміти, що перемикач дає змогу вибрати, який із резисторів (А чи Б) підключають у коло.

1. Дано:
\(R_A=1\ \text{Ом}\)
\(r=0,08\ \text{Ом}\)
\(I_\text{А}=0,7\ \text{А}\)
\(I_\text{Б}=0,45\ \text{А}\)

1. Знайти:
\(U_\text{А}(B)\ -\ ?\)

Напругу на обкладинках гальванічного елемента можна визначити із закону Ома для ділянки кола: $$ I=\frac UR, $$ де \(R\) – опір, \(U\) – напруга.

Тоді напруга дорівнює: $$ U=I_\text{А}R_\text{А}=0,7\ \text{А}\cdot 1\ \text{Ом}=0,7\ \text{В}. $$

2. Знайти:
\(R_\text{Б}(\text{Ом})\ -\ ?\)

Напруга на обкладинках під час зміни положення перемикача змінюється, але електрорушійна сила (ЕРС) джерела струму – ні. ЕРС для положення вимикача на резисторі А за законом Ома для повного кола: $$ I=\frac{\mathbf{\varepsilon}}{R+r}, $$ де \(R\) – опір провідників у колі, а \(r\) – внутрішній опір джерела струму.

Тоді ЕРС дорівнює:

Тоді із закону Ома для повного кола можна визначити опір провідника Б:

Відповідь: 1. 0,7. 2. 2.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Рівняння теплового балансу

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові задачі на рівняння теплового балансу.

1. Дано:
\(m_\text{води}=200\ \text{г}\)
\(t_\text{води}=24\ ^\circ\text{C}\)
\(m_\text{сталі}=2,1\ \text{кг}\)
\(t_\text{рівноваги}=74\ ^\circ\text{C}\)
\(c_\text{води}=4200\ \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\ \cdot\ ^\circ\text{C}}\)
\(c_\text{сталі}=500\ \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\ \cdot\ ^\circ\text{C}}\)

1. Знайти:
\(Q\ (\text{кДж})\ -\ ?\)

Необхідну для нагрівання енергію можна визначити за формулою: $$ Q=cm\Delta t, $$ де \(c\) – питома теплоємність речовини, \(m\) – маса речовини, \(\Delta t=(t_2-t_1)\) – різниця температур.

Маса води в одиницях СІ становить: \(200\ \text{г}=0,2\ \text{кг}\).

Тоді енергію, необхідну для нагрівання води від \(24\) до \(74\ ^\circ\text{C}\) можна визначити за формулою:

2. Знайти:
\(t_\text{сталі}\ (^\circ\text{C})\ -\ ?\)

Енергія, необхідна для нагрівання води, не могла взятися нізвідки. У системі немає зовнішнього джерела тепла (нагрівач, пічка, тощо). Єдиним джерелом додаткової енергії могла стати сталева кулька, що мала температуру вищу, за початкову температуру води. Енергія, що виділилась під час ї охолодження якраз і пішла на нагрівання води.

Енергію, що виділилась від час охолодження також можемо визначити за формулою: $$ Q=cm\Delta t, $$ де \(c\) – питома теплоємність речовини, \(m\) – маса речовини, \(\Delta t=(t_2-t_1)\) – різниця температур.

Варто пам’ятати, що енергію, яку тіло втратило, позначають як від’ємну. Тож маємо рівняння:

Відповідь: 1. 42. 2. 114.

ТЕМА: Механіка. Рух під дією сили тяжіння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові задачі про рух тіла під дією сили тяжіння.

Дано:
\(v_0=20\ \text{м/с}\)
\(g=10\ \text{м/с}^2\)

1. Знайти:
\(|v(3\ \text{c})|\ \left(\frac{\text{м}}{\text{с}}\right)\ -\ ?\)

Оберімо вісь для обчислень і намалюймо схему руху тіла.

Рис. 1. Схема руху тіла

Рух тіла під дією сили тяжіння можна описати рівняннями для рівноприскореного руху. Замінимо прискорення в цьому рівнянні на прискорення вільного падіння. Тіло кинуте вертикально вгору, а прискорення вільного падіння спрямоване вниз. Тож початкова швидкість на прискорення вільного падіння матимуть різні знаки: $$ v=v_0+at=v_0->. $$

Тоді в момент часу 3 швидкість тіла

За умовою задачі потрібно визначити модуль швидкості на третій секунді руху, тож $$ |-10\ \frac{\text{м}}{\text{с}}|=10\ \frac{\text{м}}{\text{с}}. $$

2. Знайти:
\(l\ (\text{м})\ -\ ?\)

Шлях тіла, кинутого вгору, складатиметься з двох частин: підйому й падіння. Вважатимемо, що тіло кинули з рівня землі, оскільки це не суперечить умові задачі. Тоді шлях підйому та шлях падіння будуть рівні.

Обчислімо шлях підйому. Для цього оцінимо його час. У момент, коли тіло перестає підніматися і починає падати, його швидкість дорівнює нулю. Тоді маємо рівняння, з якого можемо визначити час падіння:

Шлях також можемо визначити за формулою для рівноприскореного руху, з урахуванням того, що початкова швидкість і прискорення мають різні значення:

Тоді повний шлях тіла до падіння дорівнюватиме: $$ l=2\cdot l(2)=2\cdot 20\ \text{м}=40\ \text{м}. $$

Відповідь: 1. 10. 2. 40.

ТЕМА: Механічні коливання і хвилі. Гармонічні коливання.

Завдання скеровано на перевірку вміння пов’язувати поняття з теми «Механічні коливання і хвилі» та їхні приклади в реальному житті.

Вільні гармонічні коливання – це коливання, які відбуваються під дією внутрішніх сил системи після того, як її було виведено з положення рівноваги, а координата \(x\) тіла, що коливається, змінюється із часом \(t\) за законом косинуса (або синуса).

Так можна описати рух пружинного маятника.

Вимушені коливання – це коливання, які відбуваються в системі внаслідок дії зовнішньої сили, що періодично змінюється.

Шари повітря поруч із гучномовцем постійно зазнають впливу від мембрани, що їх штовхає, тобто вони коливаються під дією зовнішньої сили.

Затухаючі (згасні) коливання – це коливання, амплітуда яких із часом зменшується.

Прикладом такого руху є рух тонкої гілки дерева, з якої злетів птах.

Автоколивання – незатухаючі (незгасні) коливання, які відбуваються в системі за рахунок надходження енергії від постійного джерела, що регулює сама система. Тобто в самій системі є механізм, який дає їй змогу перерозподіляти енергію під час коливань.

У маятниковому годиннику є храпове колесо (3 на рис. 1), що має зазублини. У процесі коливання маятник (1 на рис. 1) відхиляється і чіпляється то за ту, то за ту зазублину двостороннім кріпленням у верхній його частині (4 на рис. 1). Як наслідок, коли кріплення чіпляється за зазублину, маятник отримує додатковий поштовх.

Рис. 1. Схема роботи маятникового годинника

Відповідь: 1Д, 2В, 3Г, 4Б.

ТЕМА: Перетворення енергії в коливальному контурі. Закон Джоуля – Ленца. Рівняння теплового балансу.

Завдання скеровано на оцінювання знання формул для визначення енергії коливального контуру, кількості теплоти, що виділяється під час згоряння палива, і закону Джоуля – Ленца.

\(\frac{LI^2}{2}\), де \(L\) – індуктивність, \(I\) – сила струму – енергія магнітного поля струму.

\(I^2Rt\) де \(I\) – сила струму, \(R\) – опір, \(t\) – час – кількість теплоти, що виділяється в провіднику під час проходження електричного струму.

\(qm\) де \(q\) – питома теплота згоряння палива, \(m\) – маса – кількість теплоти, що виділяється внаслідок горіння палива.

\(\frac{CU^2}{2}\) де \(U\) – напруга, а \(C\) – електроємність – енергія зарядженого конденсатора.

Відповідь: 1В, 2А, 3Г, 4Д.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Квантова фізика.

Завдання скеровано на перевірку розуміння фізичного змісту фізичних сталих.

Розв’язання завдання потребує знання визначень фізичних величин і вміння аналізувати розмірності.

Розмірність сталої Авогадро – \(\frac{1}{\text{моль}}\), що відповідає діленню кількості молекул на кількість речовини.

Стала Авогадро – це число, що відповідає кількості атомів (молекул) у будь-якій речовині кількістю \(1\ \text{моль}\).

Розмірність сталої Больцмана \(\frac{\text{Дж}}{\text{К}}\), що відповідає діленню енергії на температуру.

Сталу Больцмана використовують для встановлення зв’язку між середньою кінетичною енергією руху молекул і температурою ідеального газу: $$ \overline{E_k}=\frac 32 kT. $$

Якщо температура змінюється, то змінюється і середня кінетична енергія молекул: $$ \Delta\overline{E_k}=\frac 32 k\Delta T. $$

Звідси можна виразити сталу Больцмана: $$ k=\frac 23 \frac{\Delta \overline{E_k}}{\Delta T}. $$ Експериментально сталу Больцмана визначають саме за цією формулою.

Розмірність сталої Планка – \(\text{Дж}\cdot \text{с}\), що відповідає енергії, поділеній на частоту.

За гіпотезою Планка молекули випромінюють енергію порційно, і кількість цієї енергії пропорційна до частоти випромінювання: $$ E=hv. $$

Відповідно стала Планка $$ h=\frac Ev. $$

Гравітаційна стала фігурує в законі Всесвітнього тяжіння: $$ F=G\frac{m_1m_2}{r_2}. $$

Якщо маса обох тіл становить 1 кг, відстань між ними – 1 м, то $$ F_0=G\frac{1\ \text{кг}\cdot 1\ \text{кг}}{1\ \text{м}^2}=G\frac{\text{кг}^2}{\text{м}^2}. $$

Тож сила взаємодії таких тіл за модулем дорівнює гравітаційній сталій.

До того ж сила має розмірність \(H\), і єдина величина з невідомою розмірністю – це \(G\), тобто: $$ [G]=\frac{1\ \text{Н}}{\frac{1\ \text{кг}\ \cdot\ 1\ \text{кг}}{1\ \text{м}^2}}=\frac{1\ \text{Н}\cdot 1\ \text{м}^2}{1\ \text{кг}\cdot 1\ \text{кг}}=1\frac{\text{Н}\cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}. $$

Відповідь: 1Б, 2А, 3Г, 4В.

ТЕМА: Енергія. Робота. Потужність. Сила.

Завдання скеровано на перевірку розуміння понять енергії, потужності, сили й прискорення.

Потужність \(P\) – це фізична величина, яка характеризує швидкість виконання роботи.

Енергія \(E\) – це фізична величина, яка характеризує здатність тіла виконати роботу.

Сила \(F\) – це векторна фізична величина, що є мірою взаємодії тіл, у результаті якої тіло набуває прискорення або деформується.

Прискорення \(a\) – це векторна фізична величина, яка характеризує зміну швидкості руху тіла.

Відповідь: 1В, 2Д, 3Б, 4А.

ТЕМА: Квантова фізика. Атом та атомне ядро. Альфа-, бета- та гамма-випромінювання.

Завдання скеровано на оцінювання розуміння принципів захисту від йонізувального випромінювання.

Для захисту від α-випромінювання досить аркуша паперу, для захисту від β-випромінювання вже потрібен шар алюмінію понад 1 мм завтовшки, для захисту від γ-випромінювання використовують товстий шар бетону чи свинцю, а від потоку нейтронів захищає шар води.

Відповідь: B.

ТЕМА: Елементи теорії відносності. Принципи (постулати) теорії відносності Ейнштейна.

Завдання скеровано на оцінювання розуміння постулатів спеціальної теорії відносності.

Швидкість світла є однаковою в усіх інерціальних системах відліку незалежно від того, із якою швидкістю рухається джерело. Тож попри те, що ракета з прожектором рухається зі швидкістю \(\frac 45c\), швидкість світла, яку зафіксують на Землі, все одно дорівнюватиме \(c\).

Відповідь: Г.

ТЕМА: Оптика. Оптика. Світло як електромагнітна хвиля.

Завдання скеровано на перевірку розуміння принципів поширення світла.

Природне світло утворене багатьма хвилями, випроміненими різними атомами. Через це в пучку природного світла є безліч напрямків коливання вектора напруженості електричного поля.

Унаслідок поляризації в пучку світла залишаються тільки хвилі певного напрямку (або напрямків).

Для поляризації використовують спеціальні фільтри – поляроїди (або поляризатори).

Рис. 1. Принцип роботи поляризатора

Поляризатор (рис. 1) працює як щілина, яка пропускає коливання, здійснювані лише в певному напрямку. Якби електромагнітні хвилі були поздовжніми, то поляризатор не вносив би ніяких змін, але зміни інтенсивності зафіксовано експериментально (адже значну частину променів відбиває поляризатор). Тому світло може бути лише поперечною хвилею.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Електромагнітні коливання і хвилі. Перетворення енергії в коливальному контурі.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розраховувати енергію елементів коливального контуру.

Коливальний контур – це фізичний пристрій, який складається з послідовно з’єднаних конденсатора й котушки індуктивності (рис. 1).

Рис. 1. Електрична схема коливального контуру:
1 – котушка індуктивності, 2 – конденсатор

В ідеальному коливальному контурі вся енергія під час коливань перетікає від конденсатора до котушки без утрат: $$ W_\text{конденсатора}=\frac{CU^2}{2}, $$ де \(U\) – напруга на обкладинках конденсатора, а \(C\) – його ємність.

За умовою (рис. 2) спостереження розпочато тоді, коли напруга на конденсаторі максимальна. У цей момент енергія конденсатора також буде максимальною.

Рис. 2. Показники осцилографа

Під час коливань у контурі енергія повністю зарядженого конденсатора перетікатиме в енергію котушки, яку можна визначити за формулою: $$ W_\text{котушки}=\frac{LI^2}{2}, $$ де \(L\) – індуктивність котушки, \(I\) – сила струму в ній.

У контурі електрони, що накопичилися на одній з обкладинок конденсатора, рухатимуться в напрямку до іншої його обкладинки, утворюючи струм у колі. У результаті цього конденсатор почне розряджатися, напруга на його обкладинках зменшується, а отже зменшуватиметься і його енергія.

У котушці ж сила струму поступово збільшуватиметься, а разом із нею збільшуватиметься й енергія магнітного поля, яке вона створює. Коли конденсатор розрядиться повністю, струм у котушці стане максимальним.

Після того, як конденсатор повністю розрядиться, електрони продовжать свій рух, адже просто зупинитися вони не можуть. Тож тепер на вже нейтральну обкладинку конденсатора починають потрапляти електрони. У результаті цього вона заряджається, а струм у котушці поступово зменшується.

Унаслідок цього процесу заряд з однієї обкладинки конденсатора опиниться на іншій обкладинці. Тож тепер конденсатор заряджений протилежно до початкового стану, і напруга на ньому за модулем дорівнює початковій напрузі, але має протилежний знак (точка 2 на рисунку 2).

Отже і в початковій точці, і в точці 2 (рис. 2) енергія конденсатора максимальна, а енергія котушки дорівнює нулю. Енергія конденсатора дорівнює нулю тоді (енергія котушки максимальна), коли напруга на конденсаторі дорівнює нулю. На рисунку, наведеному в умові, цей стан відповідає лінії посередині, як це зображено на рисунку 3:

Рис. 3. Нульовий рівень напруги на конденсаторі

Що ближче точка до нульового рівня по вертикалі, то менша напруга на конденсаторі за модулем, і то більша енергія котушки. Тож у точці 1 енергія котушки буде найбільшою з усіх відмічених точок.

Відповідь: A.