ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний рух по колу.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати доцентрове прискорення на криволінійній траєкторії.

Криволінійна траєкторія утворена елементами двох кіл із різними радіусами (рис. 1).

Рис. 1. Радіуси криволінійної траєкторії

Точки А і В лежать на більшому колі, а точка С – на меншому, тож \(R_C\lt R_B=R_A\).

Доцентрове прискорення можна обчислити з виразу: $$ a_\text{доц}=\frac{v^2}{R}, $$ де \(v\) – швидкість руху тіла, а \(R\) – радіус обертання.

Оскільки модуль лінійної швидкості не змінюється, то можна записати прискорення в кожній із точок: \begin{gather*} a_C=\frac{v^2}{R_C};\\[6pt] a_B=\frac{v^2}{R_B}=\frac{v^2}{R_A}=a_A. \end{gather*}

Оскільки \(R_C\lt R_B=R_A\), то \(a_C\gt a_B=a_A\).

Цей вираз можна записати в іншому вигляді: $$ a_A=a_B\lt a_C. $$

Відповідь: B.

ТЕМА: Вимірювальні пристрої.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати ціну поділки шкали.

Оскільки шкала динамометра розрахована на \(4\ \text{Н}\), то ціна між великими поділками (відмічені синім на рис. 1) дорівнює \(4\ \text{Н}:4=1\ \text{Н}\).

Між двома великими поділками є \(10\) малих. Тоді ціна одної малої поділки дорівнює \(1\ \text{Н}:10=0,1\ \text{Н}\).

Рис. 1. Визначення ціни поділки

Відповідь: Б.

ТЕМА: Квантова фізика. Світлові кванти. Рівняння теплового балансу.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати комплексні задачі із застосуванням рівняння теплового балансу, зокрема із джерелом теплоти, що пов’язане з квантами світла.

Дано:
\(m=0,5\ \text{г}\)
\(N=2,1\cdot 10^{18}\ \frac{1}{\text{с}}\)
\(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}=600\ \text{нм}\)
\(t=1\ \text{хв}\)
\(c_{\text{води}}=4200\ \frac{Дж}{\text{кг}\ \cdot\ \text{К}}\)
\(c=3,8\cdot 10^{8}\ \frac{\text{м}}{\text{с}}\)
\(h=6,63\cdot 10^{-34}\ \text{Дж}\cdot \text{с}\)

Знайти:
\(\Delta T\ (\text{К})\ -\ ?\)

Кількість отриманої теплоти й зміна температури пов’язані формулою $$ Q=cm\Delta T, $$ де \(c\) – питома теплоємність речовини, що віддає тепло, \(m\) – її маса, \(\Delta t\) – зміна температури під час охолодження.

Теплоту крапля отримує від поглинання енергії фотонів, яку для одного фотона визначають за формулою $$ E=h\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}, $$ де \(E\) – енергія фотона, \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}\) – частота випромінювання, \(h\) – стала Планка.

Частота й довжина хвилі пов’язані виразом $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}=\frac{c}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}}. $$

Якщо за одну секунду крапля отримує \(N\) фотонів, то за одну хвилину вона отримає \(tN\) фотонів. Тоді можна розрахувати всю енергію, отриману від них за формулою $$ Q=NtE=Nth\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}=Nth\frac{c}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}}. $$ Тоді можна доповнити рівняння теплового балансу: $$ Nth\frac{c}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}}=c_{\text{води}}m\Delta T. $$ І з цього виразу можна обчислити різницю температур \(\Delta T\):

Відповідь: 20.

ТЕМА: Оптика. Лінза. Формула тонкої лінзи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові задачі із застосування законів геометричної оптики й формули тонкої лінзи.

Дано:
\(F=20\ \text{см}\)
\(l=12\ \text{мм}\)
\(L=6\ \text{м}\)

Знайти:
\(D\ -\ ?\)

Фокусну відстань лінзи та її положення відносно об’єкта і його зображення пов’язує формула тонкої лінзи: $$ \frac 1F=\frac 1d+\frac 1f, $$ де \(d\) – відстань від об’єкта до лінзи, а \(f\) – відстань від лінзи до зображення, \(F\) – фокусна відстань лінзи.

Розміри зображення і предмета з їхніми відстанями від лінзи пов’язує лінійне збільшення лінзи Г: $$ \boldsymbol Г=\frac lL=\frac fd. $$

З виразу для лінійного збільшення лінзи можемо обчислити відстань \(f\) від предмета до лінзи: $$ f=\frac{ld}{L}. $$ Тоді

Відповідь: 100.

ТЕМА: Сила пружності. Механічні коливання. Коливання вантажу на пружині.

Завдання скеровано на перевірку розуміння основних фізичних величин, пов’язаних із механічними коливаннями.

Амплітуда коливань – це максимальне відхилення від положення рівноваги.

Якщо коливання гармонічні, і на рисунку 1 зображено крайнє ліве положення, на рисунку 2 – крайнє праве, то посередині між ними положення рівноваги. Амплітуда – це і є відстань від положення рівноваги до будь-якого крайнього положення. Тож відстань між двома крайніми положеннями відповідає двом амплітудам.

На рисунку 1 лівий край візка стоїть на відмітці \(10\ \text{см}\), а на рисунку 2 той самий край стоїть на відмітці \(40\ \text{см}\), тому подвійна амплітуда дорівнюватиме \begin{gather*} 2A=40\ \text{см}-10\ \text{см}=30\ \text{см};\\[6pt] A=\frac{30\ \text{см}}{2}=15\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: 15.

ТЕМА: Електродинаміка. Закони постійного струму. Опір провідників.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові задачі, у яких ідеться про залежність опору провідника від його геометричних параметрів.

Дано:
\(R_1=1\ \text{Ом}\)
\(d_1=2d_2\)

Знайти:
\(R_2\ -\ ?\)

Опір провідника залежить від його геометричних характеристик: $$ R=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}\frac lS, $$ де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}\) – питомий опір речовини, із якої виготовлений провідник; \(l\) – довжина провідника; \(S\) – площа його поперечного перерізу.

Якщо вважати форму перерізу провідника колом, його площу можна обчислити за формулою $$ S=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}r^2=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\left(\frac d2\right)^2=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}d}{4}. $$

Під час шліфування ні довжина, ні питомий опір провідника не змінювались, тобто

Відповідь: 4.

ТЕМА: Електродинаміка. Основи електростатики. Конденсатори.

Завдання скеровано на перевірку знання законів послідовного й паралельного з’єднання конденсаторів.

Енергію конденсатора можна обчислити за формулою $$ W_{\text{конденсатора}}=\frac{q^2}{2C}, $$ де \(q\) – це максимальний заряд на обкладинці конденсатора, а \(C\) – його ємність.

Електроємність конденсатора визначають за формулою $$ C=\frac qU, $$ де \(U\) – напруга між обкладинками, \(q\) – максимальний заряд на обкладинці.

У схемі, наведеній у завданні, конденсатор 1 послідовно підключений до конденсаторів 2 й 3, що підключені один до одного паралельно.

Напруга на паралельно підключених елементах однакова: $$ U_{2+3}=U_2=U_3. $$

За умовою ємність усіх конденсаторів рівна, тож \begin{gather*} q_2=C_2U_2=CU_{2+3};\\[7pt] q_3=C_3U_3=CU_{2+3};\\[7pt] q_2=q_3. \end{gather*}

Якщо конденсатори підключені паралельно, то максимальний заряд на їхніх котушках $$ q_{2+3}=q_2+q_3=2q_2. $$

Ємність таких конденсаторів можна обчислити за формулою $$ C_{2+3}=C_2+C_3=2C. $$

Якщо конденсатори підключено послідовно, то максимальні заряди на їхніх обкладинках рівні: $$ q_{1+2+3}=q_1=q_{2+3} $$

Тож $$ q_1=2q_2. $$

Тоді можна обчислити енергії конденсаторів: \begin{gather*} W_2=\frac{q^2_2}{2C_2}=\frac{q^2_2}{2C};\\[6pt] W_1=\frac{q^2_1}{2C_1}=\frac{(2q_2)^2}{2C}=\frac{4q^2_2}{2C}=4W_2. \end{gather*}

Відповідь: 4.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Властивості газів, рідин і твердих тіл. Абсолютна й відносна вологість. Точка роси.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові задачі про відносну вологість і точку роси.

Дано:
\(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}=80\ \text{%}\)
\(t=25\ ^\circ\text{С}\)

Знайти:
\(t_{\text{туман}}\ -\ ?\)

Туман почне формуватися, коли температура повітря сягне точки роси. Точка роси – це температура, за якої водяна пара, що міститься в повітрі, стає насиченою.

Для визначення температури, що є точкою роси, потрібно визначити густину водяної пари в повітрі за початкових умов і за таблицею визначити температуру, за якої ця густина є густиною насиченої пари.

Пригадаймо, що густина водяної пари в повітрі та відносна вологість пов’язані формулою: $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_{\text{a}}}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_{\text{н.п.}}}\cdot 100\ \text{%}, $$ де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}\) – відносна вологість повітря, \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_{\text{н.п.}}\) – густина насиченої пари, \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_{\text{a}}\) – густина водяної пари в повітрі.

Тож можна визначити густину водяної пари в повітрі: $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_{\text{a}}=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_{\text{н.п.}}}{100\ \text{%}} $$

Густина насиченої пари за температури \(25\ ^\circ\text{С}\) за таблицею становить \(23,0\ \text{г/см}^3\), тоді:

Найближча величина густини насиченої пари до її обчисленої густини – \(18,3\ \text{г/см}^3\), що відповідає \(21\ ^\circ\text{С}\). $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_{\text{н.п.}}=21\ \frac{\text{г}}{\text{см}^3} $$

Відповідь: 21.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Ізопроцеси.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати закон Бойля – Маріотта.

Дано:
\(T_1=T_2\)
\(V_1=8\ \text{л}\)
\(V_2=6\ \text{л}\)
\(p_2=p_1+4\ \text{кПа}\)

Знайти:
\(p_1\ (\text{кПа})\ -\ ?\)

Для того, щоби правильно аналізувати зміни всіх фізичних величин, потрібно використати рівняння Клапейрона: $$ \frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}. $$

Згідно нього добуток тиску на об’єм, поділений на температуру, залишається сталим під час переходу зі стану 1 у стан 2.

Для ізотермічного процесу рівняння Клапейрона спрощують і перетворюють на рівняння, яким описують закон Бойля – Маріотта: $$ p_1V_1=p_2V_2. $$

Якщо \(p_1=x\), рівняння набуває вигляду $$ x\ \text{кПа}\cdot 8\ \text{л}=(x+4)\ \text{кПа}\cdot 6\ \text{л}. $$

Після переведення всіх одиниць в одиниці системи СІ:

Відповідно \(p_1=12\ \text{кПа}\).

Відповідь: 12.

ТЕМА: Робота. Сила Архімеда.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові задачі про силу Архімеда.

Дано:
\(H=4\ \text{м}\)
\(m=600\ \text{кг}\)
\(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_{\text{бетону}}=2000\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\)
\(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_{\text{води}}=1000\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\)
\(g=10\ \frac{\text{м}}{\text{с}^2}\)

Знайти:
\(A_{min}\ (\text{кДж})\ -\ ?\)

Для того, щоби перевернути блок, достатньо його центр мас підняти на висоту, на якій він у вертикальному положенні. Оскільки блок циліндричний, то в обох положеннях він на половині висоти блока (рис. 1).

Рис. 1. Положення центра мас у вертикальному й горизонтальному положенні

Оскільки поперечні розміри стовпа за умовою враховувати не потрібно, то можна вважати, що під час перевертання центр мас піднімають на половину всієї висоти \(H\).

Рівнодійну сил, що діють на блок, можна обчислити за формулою $$ \overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_{\text{тяж}}}+\overrightarrow{F_{\text{Арх}}}. $$

Сила тяжіння діє вертикально вниз, притягуючи блок до землі, а сила Архімеда виштовхує блок вертикально вгору, інші сили на блок не діють. Якщо вважати напрямок «вертикально вниз» додатним, \begin{gather*} F_x=0;\\[6pt] F_y=mg-\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_{\text{води}}gV_{\text{блока}}. \end{gather*}

Маса тіла пов’язана з його густиною формулою $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}=\frac mV, $$ де \(m\) – маса тіла, \(V\) – його об’єм.

Тоді

Оскільки об’єму блока невідомий, із дужок можна винести його густину:

Тоді робота, необхідна для підняття центра мас бетонного блока на половину його висоти, дорівнює

Відповідь: 6.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Другий закон Ньютона. Сила тяжіння. Рівномірний рух по колу. Кінетична енергія.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати комплексні задачі про рівномірний рух по колу.

Дано:
\(F_{\text{тяж}}=4\ \text{кН}\)
\(R=10000\ \text{км}\)

Знайти:
\(E_{\text{кін}}\ (\text{ГДж})\ -\ ?\)

Кінетичну енергію тіла можна обчислити за формулою \begin{gather*} E_k=\frac{mv^2}{2}, \end{gather*} де \(m\) – маса тіла, а \(v\) – швидкість його руху.

Під час руху супутника навколо Землі його швидкість спрямована по дотичній до кола, а прискорення – до центру.

Доцентрове прискорення можна обчислити з виразу $$ a_{\text{доц}}=\frac{v^2}{R}, $$ де \(v\) – швидкість супутника, а \(R\) – радіус обертання.

За другим законом Ньютона рівнодійна дорівнює добутку маси тіла на прискорення, набуте під час взаємодії: $$ \overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}. $$

Єдиною силою, що діє на частинки в площині напрямку руху є сила тяжіння Землі: $$ \overrightarrow{F_{\text{тяж}}}=m\overrightarrow{g}. $$

Тобто $$ mg=m\frac{v^2}{R}. $$

Із цього рівняння можна виразити добуток маси й квадрату швидкості та підставити його у формулу для кінетичної енергії:

Відповідь: 20

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Другий закон Ньютона. Вага. Рівномірний рух по колу.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати комплексні задачі про рівномірний рух по колу.

Дано:
\(m=40\ \text{кг}\)
\(P=800\ \text{Н}\)
\(l=2,5\ \text{м}\)
\(g=10\ \frac{\text{м}}{\text{с}^2}\)

Знайти:
\(v\ (\text{м/с})\ -\ ?\)

Гойдалка рухається за траєкторією, що є частиною кола. Тож вона матиме доцентрове прискорення, напрямлене в бік кріплення підвісу гойдалки. У найнижчій точці це прискорення буде напрямлене вертикально вгору. Вага тіл, що рухаються із прискоренням, що напрямлене вертикально вгору, може бути розрахована за формулою: $$ P=m(a+g). $$

Доцентрове прискорення можна обчислити з виразу $$ a_{\text{доц}}=\frac{v^2}{R}=\frac{v^2}{l}, $$ де \(v\) – швидкість гойдалки, а \(R\) – радіус обертання, що дорівнює довжині підвісу гойдалки.

Тоді

Відповідь: 5

ТЕМА: Електромагнітні коливання і хвилі. Формула Томсона.

Завдання скеровано на перевірку вміння за графіком аналізувати коливання за допомогою формули Томсона.

Дано:
\(L=50\ \text{мГн}\)

1. Знайти:
\(T\ (\text{мс})\ -\ ?\)

Період коливань сили струму в контурі можна визначити за графіком. За один період система повертається в те саме положення, у якому вона перебувала. У разі залежності сили струму й від часу \(t\) система повертається у початкове положення (\(i = 0\) і продовжує спадання) за \(4\ \text{мс}\). Тому \(T=4\ \text{мс}\).

2. Знайти:
\(C\ (\text{мкФ})\ -\ ?\)

Період коливання коливального контуру пов’язаний з електроємністю конденсатора й індуктивністю котушки формулою Томсона: $$ T=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\sqrt{LC}, $$ де \(L\) – індуктивність котушки, а \(C\) – електроємність конденсатора.

З неї можемо визначити вираз для електроємності:

Відповідь: 1. 4. 2. 8.

ТЕМА: Електродинаміка. Закони постійного струму. Закон Ома для повного кола.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові задачі за допомогою закону Ома для повного кола, а також вміння інтерпретувати схеми електричного кола.

1. Дано:
\(r=1\ \text{Ом}\)

1. Знайти:
\(R_{\text{рис. 2}}\ -\ ?\)

Реостат – це елемент кола зі змінним опором. Зазвичай реостат – це довгий провідник, повзунок якого дає змогу включити в коло його частину будь-якої довжини. Чим менша частина реостата включена в коло, тим менший його опір. Опір провідника можна визначити за його геометричними параметрами: $$ R=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}\frac lS, $$ де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}\) – питомий опір, \(l\) – довжина, \(S\) – площа перерізу провідника.

Фізичну будову реостата відображено в його символі для схематичного зображення електричного кола. Стрілка в позначенні показує, яку саме частину реостата включено в коло.

У цій задачі максимальний опір реостата відповідає крайньому правому положенню. За рисунком a можна визначити, що довжина провідника становить 6 клітинок. Масштаб рисунка невідомий, тому вважатимемо, що довжина реостата становить 6 умовних одиниць довжини (у. о. д.). На рисунку a в коло включена ділянка реостата, довжина якої становить 5 умовних одиниць. Ні питомий опір провідника, ні його поперечний переріз при цьому не відрізняються від цих його параметрів за максимального опору. Лише довжина ділянки вдвічі менша, тож можна обчислити опір реостата в положенні, зображеному на рисунку a:

2. Знайти:
\(\frac{P_{\text{рис. б}}}{P_{\text{рис. a}}}\ -\ ?\)

Потужність струму в реостаті можна обчислити за формулою $$ P=UI, $$ де \(U\) – напруга, \(I\) – сила струму.

За законом Ома напруга, сила струму й опір ділянки кола пов’язані між собою: $$ I=\frac UR. $$

З огляду на те, що жодних відомостей про напругу в умові завдання немає, можна виразити її із закону Ома й підставити у формулу для потужності: $$ P=I^2R. $$

Аналогічно можна розрахувати опір реостата для положення, зображеного на рисунку 1:

За законом Ома для повного кола можна визначити силу струму: $$ I=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}}{R+r}, $$ де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}\) – електрорушійна сила джерела, \(r\) – внутрішній опір джерела, \(R\) – опір зовнішньої ділянки кола.

Тоді для рисунків 1 і 2 можна записати такі вирази відповідно:

Відповідь: 1. 5. 2. 1,8.