ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Електромагнітні коливання і хвилі. Формула Томсона.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння формули Томсона ‒ формули для визначення періоду власних коливань контуру.

Період \(T\) власних електромагнітних коливань у коливальному контурі, складниками якого є котушка і конденсатор, визначають за формулою Томсона $$ T=2\mathbf{\pi}\sqrt{LC}, $$ де \(L\) ‒ індуктивність котушки, \(C\) ‒ електроємність конденсатора.

Запишімо формулу для визначення періоду до змін і після них:

Отже, після змін параметрів котушки і конденсатора період власних коливань контуру збільшиться вдвічі.

Відповідь: A.

ТЕМА: Квантова фізика. Елементи теорії відносності. Атом та атомне ядро. Радіоактивність. Період піврозпаду.

Завдання скеровано на перевірку знання і застосування основного закону радіоактивного розпаду.

Скористаймося основним законом радіоактивного розпаду: $$ N=N_0\cdot 2^{-\frac tT}, $$ де \(N\) ‒ кількість ядер радіонукліда, що залишились у зразку через час \(t;\) \(N_0\) ‒ початкова кількість ядер; \(T\) ‒ період піврозпаду; \(t\) ‒ час розпаду (відповідно до умови цього завдання \(t=4T\)).

Тоді кількість ядер радіонукліда, що розпадеться за час, зазначений в умові, становитиме \((N_0-N).\) Треба визначити відношення $$ \frac{N_0-N}{N_0}. $$

Запишімо це відношення відповідно до умови завдання:

Отже, розпадеться \(\frac{15}{16}\) від початкової кількості ядер деякого радіоактивного елемента.

Відповідь: A.

ТЕМА: Квантова фізика. Елементи теорії відносності. Релятивістський закон додавання швидкостей.

Завдання скеровано на перевірку розуміння релятивістського закону додавання швидкостей та умов його застосування.

Можна одразу відкинути варіанти відповіді Б і Г як неможливі. Адже в них швидкість електрона або досягла максимального значення ‒ швидкості світла у вакуумі, або перевищила його.

У завданні необхідно визначити максимально можливу швидкість руху електрона відносно Землі. Ідеться про ситуацію, коли ядро й електрон, який з нього вилітає, рухатимуться в одному напрямку.

Оскільки йдеться про швидкості руху порядку швидкості світла, то треба скористатися релятивістським законом додавання швидкостей:

де \(v\) ‒ швидкість руху електрона відносно Землі, \(v_1\) ‒ швидкість руху електрона відносно ядра, \(v_2\) ‒ швидкість руху ядра відносно Землі.

Отже,

Відповідь: B.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Формула тонкої лінзи.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати формулу тонкої лінзи.

Зробимо схематичний збільшений рисунок відповідно до фотографії в умові завдання.

Лінза є збиральною, оскільки дає дійсне зображення: на екрані з іншого від предмета (нитки розжарення) боку лінзи зображення утворюють саме заломлені промені, що пройшли крізь лінзу, а не їхні продовження з того самого боку лінзи, що й предмет.

З фото видно, що відстань від предмета до лінзи \(d\) дорівнює відстані від лінзи до зображення \(f:\) $$ d=f. $$

Зваживши на це, запишімо формулу тонкої лінзи:

де \(F\) – фокусна відстань лінзи.

Фізичну величину, яка характеризує заломні властивості лінзи й обернена до її фокусної відстані, називають оптичною силою \(D\) лінзи: $$ D=\frac 1F. $$

Отже, дістанемо формулу для визначення оптичної сили лінзи відповідно до умов завдання:

Відповідь: A.

ТЕМА: Електродинаміка. Електричний струм у різних середовищах.

Завдання скеровано на перевірку знання різних середовищ і вільних носіїв електричного заряду в них.

Метал: вільними носіями електричного заряду в ньому є вільні електрони.

Розчин електроліту: провідність такого розчину йонна, тобто носіями електричного заряду в ньому є лише позитивні і негативні йони.

Напівпровідник: його електричні властивості істотно залежать від домішок, тому основними носіями заряду в ньому можуть бути і умовні частинки, що мають позитивний заряд – «дірки», і електрони.

Плазма: носіями електричного заряду є і вільні електрони, і переважно позитивні йони.

Відповідь: 1В, 2Д, 3А, 4Б.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Вага тіла.

Завдання скеровано на перевірку розуміння ваги тіла й уміння визначати її в різних ситуаціях.

Усі тіла внаслідок гравітаційного притягання стискають або прогинають опору або розтягують підвіс. Силу, яка характеризує таку дію тіл, називають вагою і позначають символом \(\overrightarrow{P}.\)

1) Тіло перебуває в ліфті, що рухається вниз із прискоренням \(2\ \text{м/с}^2.\) Для розрахунків треба скористатися готовою формулою для обчислення модуля ваги \(P,\) коли напрямок прискорення руху \(\overrightarrow{a}\) збігається з напрямком прискорення вільного падіння \(\overrightarrow{g}\) на Землі. Формула відповідає другому закону Ньютона: $$ P=m(g-a), $$ де \(m\) ‒ маса тіла.

Вага тіла, яке рухається з прискоренням, напрямленим вертикально вниз, менша, ніж вага \(P=mg\) цього тіла в стані спокою:

2) Тіло вільно падає біля поверхні Землі. Це означає, що на нього діє лише сила тяжіння, а тіло не діє на опору чи підвіс, тобто воно перебуває в стані невагомості. Тобто вага тіла дорівнює нулю:

3) Тіло зважують на поверхні Місяця, тож вага тіла за модулем дорівнюватиме силі тяжіння: $$ P=F_\text{тяж}=mg. $$

Але це сила тяжіння, з якою Місяць притягуватиме тіло, а прискорення вільного падіння $$ g_\text{М}=1,6\ \text{м/с}^2. $$

Отже, на Місяці вага тіла

4) Тіло рухається в міжпланетному кораблі, тобто далеко від планет. Тому на нього не діє жодна сила тяжіння. За другим законом Ньютона $$ m\overrightarrow{a}=\overrightarrow{N}, $$ де \(\overrightarrow{N}\) ‒ сила нормальної реакції опори (поверхні корабля).

Вага за модулем дорівнюватиме силі нормальної реакції опори згідно з третім законом Ньютона:

Відповідь: 1Г, 2А, 3Б, 4В.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Властивості газів, рідин і твердих тіл.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння процесів, що відбуваються з парою і рідиною, застосування цих процесів у приладах.

1) Пару, яка перебуває зі своєю рідиною в стані динамічної рівноваги (тобто кількість молекул, які повертаються в рідину, дорівнює кількості молекул, які за той самий час залишають рідину), називають насиченою.

Перенасиченою є пара, тиск якої перевищує тиск насиченої пари за певної температури. Перенасичена пара утворюється внаслідок збільшення тиску пари в об’ємі, вільному від центрів конденсації (пилинок, йонів, краплинок рідини малих розмірів тощо). Інший спосіб отримання ‒ охолодження насиченої пари за тих же умов. Саме цей спосіб використовують у камері Вільсона.

Камера Вільсона ‒ це трековий детектор. Камеру заповнено парою спирту або медичного ефіру. Коли поршень різко опускають, то внаслідок адіабатного розширення пара охолоджується і стає перенасиченою. Коли в перенасичену пару потрапляє заряджена частинка, на своєму шляху вона йонізує молекули пари. Йони, що утворилися, стають центрами конденсації. Ланцюжок крапель cконденсованої пари, який утворюється вздовж траєкторії руху частинки (трек частинки), знімають на камеру або фотографують: 1 ‒ Г.

2) Властивість рідини розширюватися під час нагрівання використовують у медичному термометрі: 2 ‒ Д. Причина теплового розширення полягає в тому, що зі збільшенням температури збільшується швидкість руху частинок речовини (атомів, молекул, йонів), унаслідок чого збільшується середня відстань між частинками. Медичний термометр складається зі скляного резервуара, наповненого ртуттю, який переходить у капіляр, скляної шкали з поділками та скляної захисної трубки. Ртуть ‒ це єдиний метал, який за кімнатної температури є рідиною. Об’єм рідини є мірою температури: що вища температура тіла, то більшим є об’єм рідини й вищим стовпчик рідини в термометрі.

3) Якщо з рідини видалити розчинене повітря (наприклад, багатократним кип’ятінням) і можливі центри пароутворення (пилинки, йони тощо), то можна нагріти рідину до температури, дещо вищої від температури кипіння. Такий стан називають перегрітою рідиною. Стан перегрітої рідини також можна одержати й унаслідок зниження зовнішнього тиску до рівня, нижчого за тиск насиченої пари рідини за цієї температури.

Саме цей процес лежить в основі роботи бульбашкової камери. Вона також є трековим детектором, як і камера Вільсона. І принцип роботи бульбашкової камери подібний до принципу роботи камери Вільсона. А відмінність полягає в тому, що робочим тілом у бульбашковій камері є перегріта рідина: йони, які виникають уздовж траєкторії руху частинки, стають центрами кипіння ‒ утворюється ланцюжок бульбашок: 3 ‒ А.

4) У рідині завжди є молекули, які рухаються досить швидко, а тому випаровування рідин відбувається за будь-якої температури. Оскільки під час випаровування рідину залишають найшвидші молекули, то середня кінетична енергія решти молекул зменшується. Тому, якщо рідина не отримує енергії ззовні, вона охолоджується.

Саме цей принцип використовують у психрометрах (гігрометрах психрометричних ‒ приладах для прямого вимірювання вологості повітря), а ще той факт, що швидкість випаровування рідини то вища, що нижча відносна вологість повітря: 4 ‒ В.

Манометр ‒ це прилад для вимірювання тиску рідин і газів. Рідинним манометром вимірюють різницю рівнів рідини в колінах U-подібної трубки. Тобто визначають, на скільки тиск газу в груші, закріпленій на одному з отворів трубки, відрізняється від атмосферного. Є також металеві деформаційні манометри.

Відповідь: 1Г, 2Д, 3А, 4В.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи термодинаміки. Кількість теплоти. Коефіцієнт корисної дії нагрівника.

Завдання скеровано на перевірку розуміння того, що є корисною, а що – повною кількістю теплоти, уміння застосовувати формули для обчислення кількості теплоти під час нагрівання речовини і коефіцієнта корисної дії нагрівника.

1. Кількість теплоти \(Q,\) яка поглинається під час нагрівання речовини (або виділяється внаслідок її охолодження), обчислюють за формулою $$ Q=cm(t_2-t_1), $$ де \(c\) ‒ питома теплоємність речовини; \(m\) ‒ маса речовини; \(t_2\) і \(t_1\) ‒ кінцева і початкова температури.

Обчислимо кількість теплоти, необхідної для нагрівання порції води до кипіння відповідно до умови завдання:

Відповідь: 672.

2. Коефіцієнт корисної дії \(\mathbf{\eta}\) нагрівника ‒ це фізична величина, яка характеризує ефективність нагрівника й дорівнює відношенню корисно спожитої теплоти \(Q_\text{кор}\) до всієї теплоти \(Q_\text{повна},\) яка може бути виділена під час повного згоряння палива (або це може бути кількість теплоти, яка виділяється в провіднику зі струмом): $$ \mathbf{\eta}=\frac{Q_\text{кор}}{Q_\text{повна}}\cdot 100\ \text{%}. $$

Відповідно до умови завдання корисно спожита кількість теплоти ‒ це та кількість теплоти, яку поглинула вода під час нагрівання її до кипіння: $$ Q_\text{кор}=Q=672\ \text{кДж}. $$

Під час проходження струму в електричному чайнику протягом \(10\ \text{хв}\) виділиться повна кількість теплоти, частина якої піде безпосередньо на нагрівання води до кипіння ‒ \(Q_\text{кор},\) а частина буде витрачена на нагрівання самого чайника і навколишнього середовища: $$ Q_\text{повна}=Pt, $$ де \(P\) ‒ потужність нагрівника (чайника), \(t\) ‒ час нагрівання.

Обчислімо коефіцієнт корисної дії чайника:

Відповідь: 1. 672. 2. 56.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Прямолінійний рівноприскорений рух.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати кінематичні рівняння для прямолінійного рівноприскореного руху.

1. Векторну фізичну величину, яка характеризує швидкість зміни швидкості руху тіла й дорівнює відношенню зміни швидкості руху тіла до інтервалу часу, за який ця зміна відбулася, називають прискоренням руху тіла.

Користуючись тим, що в умові дана відстань \(l,\) яку долає кулька, і час \(t\) руху кульки, можна визначити прискорення \(a\) з формули $$ l=v_0t+\frac{at^2}{2}. $$

За умовою початкова швидкість руху кульки дорівнює нулю \((v_0=0)\) ‒ кулька вільно скочується. Тому формулу можна спростити: $$ l=\frac{at^2}{2}. $$

Учень п’ять разів виміряв час, тому необхідно визначити середнє значення часу як середнє арифметичне значення:

Виразімо й обчислимо прискорення:

Відповідь: 2.

2. Формула для визначення модуля прискорення така: \begin{gather*} a=\frac{v-v_0}{t_\text{сер}}. \end{gather*}

Тож для рівноприскореного прямолінійного руху маємо рівняння, із якого можна визначити швидкість кульки в нижній точці \(B\) похилої площини: $$ v=v_0+at_\text{сер}. $$ Оскільки \(v_0=0,\)

Відповідь: 2.

Відповідь: 1. 2. 2. 2.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Механічна робота. Потенціальна енергія.

Завдання скеровано на перевірку розуміння закону збереження механічної енергії, уміння описати аналітично рух тіла під дією кількох сил.

Перед початком руху тіло масою \(m\) було на висоті \(h,\) тобто мало певний запас пасивної механічної енергії ‒ потенціальної \(E_p:\) $$ E_p=mgh, $$ де \(g\) ‒ прискорення вільного падіння.

Отже,

Ковзаючи по похилій площині довжиною \(s,\) тіло втрачає частину енергії на виконання роботи \(A\) сили тертя ковзання \(F_\text{тер}.\) Частина потенціальної енергії переходить у внутрішню енергію тіла і похилої площини: $$ A=F_\text{тер}s\cos\mathbf{\alpha}, $$ де \(\mathbf{\alpha}\) ‒ кут між вектором сили й вектором переміщення.

Сила тертя ковзання напрямлена проти руху тіла, а переміщається воно вздовж похилої площини, то ж зазначений кут становитиме \(180^\circ.\) Оскільки $$ \cos180^\circ=-1, $$ робота сили тертя ковзання від’ємна. Визначімо її модуль.

Схематично зобразимо на похилій площині й позначимо всі сили, що діють на тіло. Сила тяжіння \(m\overrightarrow{g}\) з боку Землі завжди напрямлена вертикально вниз, сила нормальної реакції \(\overrightarrow{N}\) перпендикулярна до похилої площини, сила тертя ковзання \(\overrightarrow{F}_\text{тер}\) діє проти руху тіла вздовж похилої площини.

Запишімо другий закон Ньютона у векторній формі: $$ m\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{N}+\overrightarrow{F}_\text{тер}. $$

Сила тертя ковзання \(F_\text{тер}\) дорівнює добутку коефіцієнта тертя ковзання \(\mathbf{\mu}\) і сили \(N\) нормальної реакції опори: $$ F_\text{тер}=\mathbf{\mu}N. $$

Для того, щоб визначити \(N,\) запишімо другий закон Ньютона в проєкціях на вісь \(Oy:\) \begin{gather*} 0=-mg\cos\mathbf{\alpha}+N,\\[7pt] N=mg\cos\mathbf{\alpha}. \end{gather*}

Отже, $$ F_\text{тер}=\mathbf{\mu}N=\mathbf{\mu}mg\cos\mathbf{\alpha}. $$

Виразимо модуль переміщення тіла (довжину похилої площини) через дані в умові завдання: $$ s=\frac{h}{\sin\mathbf{\alpha}}. $$

Отже, остаточна формула для визначення роботи сили тертя ковзання набуває такого вигляду:

Відповідь: 2.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Додавання швидкостей.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння закону додавання швидкостей у класичній механіці.

Для визначення часу, який знадобиться автомобілю, щоб проїхати від останнього до першого вагона, необхідно знати швидкість руху автомобіля відносно поїзда. Відстань, яку треба проїхати автомобілю, ‒ це довжина \(l\) поїзда. Виберемо поїзд як систему відліку. Тоді

де \(v_{\text{А(П)}}\) – швидкість руху автомобіля відносно поїзда

Тепер можна обчислити час \(t,\) за який автомобіль випередить поїзд:

Відповідь: 20.

ТЕМА: Електродинаміка. Закони постійного струму. Закон Ома для повного кола.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння закону Ома для повного кола і послідовного з’єднання гальванічних елементів.

Запишімо закон Ома для повного кола: $$ I=\frac{\mathbf{\varepsilon}}{R+r}, $$ де \(I\) ‒ сила струму, \(\mathbf{\varepsilon}\) ‒ електрорушійна сила, \(R+r\) ‒ повний опір кола: \(R\) ‒ опір зовнішньої ділянки кола, \(r\) ‒ внутрішній опір джерела.

Джерелом струму в колі є батарея з трьох з’єднаних послідовно гальванічних елементів опором \(r_1\) кожний. Визначимо загальний внутрішній опір \(r\) батареї елементів: $$ r=r_1+r_1+r_1=3r_1. $$

Електричний опір \(R\) лампи розжарювання виразімо з формули для потужності \(P:\) \begin{gather*} P=I^2R,\\[6pt] R=\frac{P}{I^2}. \end{gather*}

Гальванічні елементи однакові й з’єднані послідовно, то ж електрорушійну силу \(\mathbf{\varepsilon}\) батареї елементів обчислюють так: $$ \mathbf{\varepsilon}=\mathbf{\varepsilon}_1+\mathbf{\varepsilon}_1+\mathbf{\varepsilon}_1=3\mathbf{\varepsilon}_1. $$

Підставимо вирази для внутрішнього опору, електрорушійної сили батареї елементів й опору лампи у формулу, що відображає закон Ома для повного кола: $$ I=\frac{\mathbf{\varepsilon}}{R+r}=\frac{3\mathbf{\varepsilon}_1}{\frac{P}{I^2}+3r_1}. $$

Виразімо звідси силу струму:

Помножмо ліву і праву частини рівняння на \(I:\)

Підставимо числові значення відомих в умові величин:

Ми отримали квадратне рівняння \((ax^2+bx+c=0),\) де змінною є сила струму. Розв’яжімо його й визначимо найменшу силу струму. Обчислимо дискримінант:

Обчислимо корені рівняння:

Меншим є значення сили струму \(0,5\ \text{А}.\)

Відповідь: 0,5.

ТЕМА: Електродинаміка. Закони постійного струму. Закон Джоуля ‒ Ленца.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати закон Джоуля ‒ Ленца й тлумачити показання приладів за певної послідовності підключення їх.

Кількість теплоти \(Q,\) що виділятиметься в резисторі опором \(R\) за час \(t\) протікання в ньому електричного струму силою \(I\) від фотоелемента, визначмо за законом Джоуля ‒ Ленца: $$ Q=I^2Rt. $$

Електричний опір резистора і час протікання струму відомі, а силу струму в резисторі можна визначити за законом Ома для повного кола: $$ I=\frac{\mathbf{\varepsilon}}{R+r}. $$

Фотоелемент є джерелом струму. Коли до полюсів фотоелемента приєднали вольтметр (ще без навантаження ‒ резистора), вольтметр показав електрорушійну силу \(\mathbf{\varepsilon}\) фотоелемента.

Коли ж до полюсів приєднали замість вольтметра амперметр, який за умовою є ідеальним, тобто його опір \(R_A\) майже дорівнює нулю, то фактично замкнули фотоелемент сам на себе (закоротили). За такого з’єднання амперметр показав силу струму \(I_\text{к.з.}\) короткого замикання:

Звідси визначмо внутрішній опір фотоелемента, необхідний для визначення сили струму в резисторі: $$ r=\frac{\mathbf{\varepsilon}}{I_\text{к.з.}}=\frac{5\ \text{В}}{0,1\ \text{А}}=50\ \text{Ом}. $$

Обчислімо силу струму в резисторі:

Визначимо кількість теплоти, яка виділиться в резисторі:

Відповідь: 125.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи термодинаміки. Коефіцієнт корисної дії теплового двигуна та його максимальне значення.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння формул для визначення коефіцієнта корисної дії теплового двигуна.

Коефіцієнт корисної дії \(\mathbf{\eta}\) теплового двигуна (теплової машини) можна визначити за формулою \begin{gather*} \mathbf{\eta}=\frac{T_\text{н}-T_\text{х}}{T_\text{н}}\cdot 100\ \text{%}, \end{gather*} де \(T_\text{н}\) - температура нагрівника; \(T_\text{х}\) ‒ температура холодильника.

За умовою нагрівником є резервуар із водою, яка кипить. Температура кипіння дорівнює \(100\ ^\circ\mathrm{C},\) тобто $$ T_\text{н}=100\ ^\circ\mathrm{C}=373\ \text{К}. $$

Холодильником є ємність із льодом, який тане. Температура танення льоду \(0\ ^\circ\mathrm{C},\) тобто \begin{gather*} T_\text{х}=0\ ^\circ\mathrm{C}=273\ \text{К}. \end{gather*}

З іншого боку коефіцієнт корисної дії теплової машини дорівнює відношенню корисної роботи \(A,\) виконуваної машиною, до кількості теплоти \(Q_\text{н},\) одержуваної від нагрівника: \begin{gather*} \mathbf{\eta}=\frac{A}{Q_\text{н}}\cdot 100\ \text{%}. \end{gather*}

Частина теплоти \(Q_\text{н}\) від нагрівника піде на виконання корисної роботи \(A,\) а залишок буде переданий холодильнику \(Q_\text{х},\) унаслідок чого розтане лід: $$ Q_\text{н}=A+Q_\text{х}. $$

Прирівняймо ці два вирази для визначення коефіцієнта корисної дії:

Порція теплоти, яка буде передана холодильнику, може розплавити лід масою \(m_\text{л}:\) $$ Q_\text{х}=\mathbf{\lambda}m_\text{л}, $$ де \(\mathbf{\lambda}\) ‒ питома теплота плавлення льоду.

Тобто \begin{gather*} \frac{T_\text{н}-T_\text{х}}{T_\text{н}}=\frac{A}{A+\mathbf{\lambda}m_\text{л}}. \end{gather*}

Підставимо числові значення величин з умови завдання і визначимо масу льоду:

Відповідь: 910.