ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Графіки залежності кінематичних величин від часу за рівномірного й рівноприскореного рухів.

Завдання скеровано на перевірку вміння інтерпретувати графіки, переходити від однієї до другої залежності величин.

Розгляньмо щосекунди наведений в умові завдання графік залежності координати \(x\) тіла від часу \(t.\)

Ділянка графіка від початку відліку часу до першої секунди: це графік прямолінійного рівноприскореного руху. Адже графіком є частина параболи (вітки вниз), початкова координата \(x_0=0,\) кінцева координата \(x=-2\ \text{м}.\) На графіку точка початку відліку є вершиною параболи ‒ точкою розвороту. Тож до початку відліку часу тіло рухалося вздовж осі \(Ox.\) Із початком відліку часу тіло розвернулося (початкова швидкість \(v_0=0)\) і протягом \(1\ \text{с}\) прискорювало свій рух, рухаючись у протилежному до осі \(Ox\) напрямку. Запишімо рівняння координати й визначмо прискорення руху тіла: $$ x=x_0+v_0t+\frac{at^2}{2}. $$

Оскільки \(x_0=0\) і \(v_0=0,\) то \(x=\frac{at^2}{2}.\) Звідси $$ a=\frac{2x}{t^2}=\frac{2\cdot(-2)\ \text{м}}{1\ \text{с}^2}=-4\ \text{м/с}^2. $$

Знаючи прискорення руху тіла, знайдімо кінцеву швидкість руху тіла наприкінці першої секунди: $$ v=v_0+at=-4\ \text{м/с}^2\cdot 1\ \text{с}=-4\ \text{м/с}. $$

Знак «мінус» указує на те, що тіло рухалося в напрямку, протилежному до напрямку осі \(Ox.\)

Значення початкової і кінцевої швидкості руху тіла за першу секунду відповідають лише варіанту відповіді A. Щоб упевнитися в правильності варіанта відповіді A, проаналізуймо рух тіла в наступні секунди.

Від 1-ї до 2-ї секунди: ділянка графіка залежності координати тіла від часу прямолінійна, отже, рух рівномірний, швидкість стала.

Від 2-ї до 3-ї секунди: це графік прямолінійного рівноприскореного руху, оскільки графіком є частина параболи (вітки вгору), тіло гальмує, швидкість руху тіла зменшується до нуля, тіло зупиняється.

Від 3-ї до 4-ї секунди: координата тіла не змінюється, отже, швидкість тіла дорівнює нулю ‒ тіло не рухається.

Відповідь: A.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Прямолінійний рівномірний і рівноприскорений рухи.

Завдання скеровано на перевірку розуміння закономірностей прямолінійного рівномірного і рівноприскореного рухів.

Розгляньмо рух парашутиста і рух монети.

За умовою завдання парашутист опускався зі сталою швидкістю \(v=5\ \text{м/с,}\) оскільки дія сили тяжіння була скомпенсована дією сили опору повітря. Отже, відстань \(h=100\ \text{м}\) він подолав за \(20\ \text{с:}\) $$ t_{\text{пар}}=\frac hv=\frac{100\ \text{м}}{5\ \text{м/с}}=20\ \text{с}. $$

Монета пройшла той самий шлях \(h=100\ \text{м},\) але рухалася рівноприскорено. Власна початкова швидкість монети, що просто випала з кишені, дорівнювала нулю. Але до того монета була в кишені парашутиста, який рухався зі швидкістю \(5\ \text{м/с},\) тому початкова швидкість монети \(v_0\) становила \(5\ \text{м/с}.\) За умовою впливом опору повітря на монету нехтуємо, тож можемо визначити час її падіння з кінематичного рівняння: $$ h=v_0t+\frac{gt^2}{2}, $$ де \(g\) ‒ прискорення вільного падіння (усі векторні величини записано в проєкціях на вісь \(Oy,\) напрямлену вертикально вниз, так само, як і вектор прискорення вільного падіння).

Підставмо значення величин у рівняння: $$ h=v_0t+\frac{gt^2}{2} \Rightarrow 100=5t+\frac{10t^2}{2}. $$

Поділімо ліву і праву частину рівняння на \(5\) і дістанемо зведене квадратне рівняння: $$ t^2+t-20=0. $$

За теоремою Вієта визначмо корені рівняння: $$ t_1=-5,\ \ t_2=4. $$

Час не може бути від’ємним, тому умову задовольняє корінь \(t_2=4\ \text{с},\) тобто монета впала за \(4\ \text{с},\) а парашутист, відповідно, приземлився на \(16\ \text{с}\) пізніше: $$ \Delta t = t_\text{пар}-t_2=20\ \text{с}-4\ \text{с}=16\ \text{с}. $$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Імпульс тіла. Кінетична енергія.

Завдання скеровано на перевірку знання формул для визначення імпульсу й кінетичної енергії тіла.

Імпульс тіла \(\overrightarrow{p}\) – це векторна фізична величина, яка дорівнює добутку маси \(m\) тіла на швидкість \(\overrightarrow{v}\) його руху: $$ \overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}. $$

Обчислімо значення імпульсу автомобіля: $$ p=1000\ \text{кг}\cdot 10\ \text{м/с}=10^4\ \text{кг}\cdot \text{м/с}. $$

Кінетична енергія \(E_k\) ‒ це фізична величина, якою характеризують механічний стан рухомого тіла. Кінетична енергія дорівнює половині добутку маси \(m\) тіла на квадрат швидкості \(v\) його руху: \begin{gather*} E_k=\frac{mv^2}{2}. \end{gather*}

Обчислімо значення кінетичної енергії автомобіля: $$ E_k=\frac{1000\ \text{кг}\cdot (10\ \text{м/с})^2}{2}=5\cdot 10^4\ \text{Дж}. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Елементи механіки рідин і газів. Умови плавання тіл.

Завдання скеровано на перевірку розуміння умов плавання тіл.

Розгляньмо два варіанти плавання бруска: у гасі й у воді. Силу тяжіння \(F_\text{тяж},\) що діє на брусок, урівноважує сила Архімеда \(F_А\) (за модулем).

Варіант перший – брусок плаває у гасі: \begin{gather*} F_\text{тяж}=F_\text{АГ},\\[7pt] mg=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{Г}gV_\text{Гзан}, \end{gather*} де \(m\) ‒ маса бруска, \(g\) ‒ прискорення вільного падіння, \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{Г}\) ‒ густина гасу, \(V_\text{Гзан}\) ‒ об’єм зануреної в гас частини бруска.

Після перетворень дістанемо вираз: $$ m=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{Г}Sh_\text{Г}, $$ де \(S\) ‒ площа основи (нижньої грані) бруска, \(h_\text{Г}\) ‒ глибина занурення бруска в гас.

Варіант другий – брусок плаває у воді: \begin{gather*} F_\text{тяж}=F_\text{АВ},\\[7pt] mg=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{В}gV_\text{Взан}, \end{gather*} де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{В}\) ‒ густина води, \(V_\text{Взан}\) ‒ об’єм зануреної у воду частини бруска.

Після перетворень дістанемо вираз: \begin{gather*} m=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{В}Sh_\text{В}, \end{gather*} де \(h_\text{В}\) – глибина занурення бруска у воду.

Прирівняймо вирази для визначення маси \(m\) бруска: \begin{gather*} \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{В}Sh_\text{В}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{Г}Sh_\text{Г}. \end{gather*}

Визначмо й обчислімо шукану величину \(h_\text{В}\) ‒ глибину занурення бруска у воду: \begin{gather*} h_\text{В}=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{Г}h_\text{Г}}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{В}},\\[6pt] h_\text{В}=\frac{800\ \text{кг/м}^3\cdot 60\ \text{мм}}{1000\ \text{кг/м}^3}=48\ \text{мм}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи молекулярно-кінетичної теорії. Кількість речовини.

Завдання скеровано на перевірку розуміння основних понять молекулярно-кінетичної теорії (кількість речовини, стала Авогадро, а також на перевірку вміння обчислювати кількість молекул газу).

Кількість структурних частинок у макроскопічних тілах величезна. Структурними частинками можуть бути атоми, молекули, йони, електрони або інші частинки чи певні групи частинок.

Для зручності обчислень використовують одиницю кількості речовини – моль. Будь-яка речовина кількістю \(1\ \text{моль}\) містить \(6\cdot 10^{23}\) (число Авогадро) структурних частинок.

Стала Авогадро \(N_A\approx 6\cdot 10^{23}\ \text{моль}^{‒1}\) – кількість структурних частинок \(N\) у речовині кількістю \(1\ \text{моль}.\) Кількість речовини позначають буквою \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}\) грецької абетки й обчислюють за формулою: $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}=\frac{N}{N_A}. $$

Відповідно

Відповідь: Б.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи термодинаміки. Застосування першого закону термодинаміки до ізопроцесів. Адіабатний процес.

Завдання скеровано на перевірку розуміння змін макроскопічних фізичних параметрів газу під час адіабатного процесу.

Адіабатний процес відбувається без теплообміну з навколишнім середовищем. За адіабатного процесу кількість теплоти, передана системі, дорівнює нулю. Тож умову завдання не задовольняють варіанти відповіді, у яких зазначено, що газ отримує тепло.

Перший закон термодинаміки для адіабатного процесу запишімо так: \begin{gather*} \Delta U+A=0,\\[7pt] A=-\Delta U. \end{gather*}

Це означає, що під час адіабатного розширення газ виконує додатну роботу \(A\) за рахунок зменшення внутрішньої енергії \(\Delta U,\) одночасно температура й тиск газу зменшуються, а об’єм збільшується.

Тобто за адіабатного розширення газ не отримує тепла, а його внутрішня енергія зменшується.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи термодинаміки. Робота в термодинаміці.

Завдання скеровано на перевірку вміння обчислювати термодинамічну роботу.

За ізобарного процесу передана газу кількість теплоти йде як на збільшення внутрішньої енергії газу, так і на виконання механічної роботи. За умовою азот розріджений, тобто відстань між молекулами набагато більша за розміри самих молекул, тому ці молекули можна вважати матеріальними точками, а їхньою взаємодією, окрім моментів зіткнення, можна знехтувати. Тобто азот можна вважати ідеальним газом, а роботу газу \(A\) визначити за формулою $$ A=p\Delta V, $$ де \(p\) ‒ тиск газу, \(\Delta V\) ‒ зміна об’єму газу.

Для визначення виконаної азотом роботи скористаймося рівнянням стану ідеального газу (рівнянням Менделєєва – Клапейрона): \begin{gather*} p\Delta V=\frac mM R\Delta T,\\[6pt] A=\frac mM R\Delta T, \end{gather*} де \(m\) ‒ маса газу, \(M\) ‒ молярна маса газу, \(R\) ‒ універсальна газова стала, \(\Delta T\) ‒ зміна температури газу.

Обчислімо шукану величину:

Відповідь: В.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Властивості газів, рідин і твердих тіл. Рівняння теплового балансу для найпростіших теплових процесів.

Завдання скеровано на перевірку розуміння теплових процесів і вміння складати рівняння теплового балансу.

Під час згоряння паливо віддаватиме тепло, яке потрібне, щоб розтопити лід.

В ізольованій системі тіл, у якій внутрішня енергія тіл змінюється лише внаслідок теплопередачі, загальна кількість теплоти, віддана одними тілами системи, дорівнює загальній кількості теплоти, одержаної іншими тілами цієї системи.

Загальний вигляд рівняння теплового балансу такий:

Запишімо рівняння теплового балансу відповідно до умови завдання: \begin{gather*} Q^-_\text{згоряння}=Q^+_\text{плавлення};\\[7pt] qm_\text{п}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}m_\text{л}, \end{gather*} де \(q\) ‒ питома теплота згоряння палива, \(m_\text{п}\) ‒ маса палива, \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}\) ‒ питома теплота плавлення льоду, \(m_\text{л}\) ‒ маса льоду.

В умові йдеться про лід за температури його плавлення – \(0\ ^\circ \mathrm{C}.\) Тож уся отримана від згоряння палива кількість теплоти буде витрачена на зміну агрегатного стану льоду з твердого на рідкий.

Обчислімо необхідну масу палива:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Електродинаміка. Основи електростатики. Закон збереження електричного заряду. Напруженість електричного поля.

Завдання скеровано на перевірку розуміння закону збереження електричного заряду й силової характеристики електричного поля ‒ напруженості.

Модуль напруженості \(\overrightarrow{E}\) електричного поля, створеного точковим зарядом \(Q\) на відстані \(r\) від цього заряду, обчислюють за формулою $$ E=k\frac{|Q|}{r^2}, $$ де \(k\) ‒ коефіцієнт пропорційності.

Запишімо формулу для визначення модуля напруженості електричного поля дощової краплі із зарядом \(q_1=+1,5\ \text{нКл}\) на відстані \(10\ \text{см}\) від неї: $$ E_1=k\frac{|q_1|}{r^2}=\frac{1,5k}{r_2}. $$

Визначмо заряд \(Q_2\) краплі, якого вона набуде після злиття з краплею, заряд \(q_2\) якої становив \(-0,5\ \text{нКл.}\)

За законом збереження електричного заряду повний заряд електрично замкненої системи тіл залишається незмінним під час усіх узаємодій, які відбуваються в цій системі: $$ q_1+q_2+\cdots +q_n=const, $$ де \(q_1, q_2, ..., q_n\) ‒ заряди тіл, що створюють електрично замкнену систему (\(n\) ‒ кількість таких тіл).

Тобто

Запишімо формулу для визначення модуля напруженості електричного поля на тій самій відстані \(10\ \text{см}\) після того, як краплі злилися: $$ E_2=k\frac{|Q_2|}{r^2}=\frac{k}{r^2}. $$

Визначмо відношення модулів напруженості: $$ \frac{E_2}{E_1}=\frac{kr^2}{1,5kr^2}=\frac{1}{1,5}. $$

Отже, напруженість \(E_2\) зменшиться в \(1,5\) раза.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Електродинаміка. Закони постійного струму. Умови існування електричного струму.

Завдання скеровано на перевірку розуміння існування і протікання електричного струму в колі.

Для виникнення та існування електричного струму необхідні дві умови:

1) вільні заряджені частинки ‒ носії струму;

2) електричне поле, дія якого створює і підтримує напрямлений рух вільних заряджених частинок.

За створення електричного поля «відповідають» джерела струму ‒ пристрої, які перетворюють різні види енергії на електричну енергію. У джерелах струму виконується робота з розділення різнойменних електричних зарядів, у результаті чого один полюс джерела набуває позитивного заряду, а другий ‒ негативного; у такий спосіб створюється електричне поле.

За напрямок струму в електричному колі прийнято напрямок, у якому рухалися б цим колом позитивно заряджені частинки, тобто напрямок від позитивного полюса джерела струму до негативного. В умовному позначенні гальванічного елемента довга риска позначає позитивний, а коротка ‒ негативний полюс джерела.

На схемі ж в умові завдання гальванічні елементи або акумулятори підключені між собою однойменними полюсами, позитивними, тому струму за такого підключення в колі не буде.

Щоб амперметр показав наявність струму в колі, треба підключити додатковий опір паралельно до одного із джерел струму, щоб заряджені частинки змогли в обхід одного джерела дістатися від позитивного полюса до негативного полюса другого джерела струму.

Із запропонованих пар точок умову завдання задовольняє пара 2 та 3.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Електродинаміка. Закони постійного струму. Закон Джоуля – Ленца.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосувати закон Джоуля – Ленца.

За законом Джоуля – Ленца визначають кількість теплоти \(Q,\) яка виділяється в провіднику зі струмом. Вона прямо пропорційна квадрату сили струму \(I,\) опору \(R\) провідника та часу \(t\) проходження струму: $$ Q=I^2Rt. $$

Запишімо закон Джоуля – Ленца для зовнішнього і для повного кіл:

Обчислімо частку кількості теплоти, що виділилася на резисторі, від загальної кількості теплоти, що виділилася в електричному колі: $$ \frac{Q_\text{зовн}}{Q_\text{повн}}=\frac{I^24rt}{I^25rt}=\frac 45=0,8\ \text{або}\ 80\ \text{%}. $$

Відповідь: B.

ТЕМА: Електродинаміка. Магнітне поле, електромагнітна індукція. Сила Лоренца.

Завдання скеровано на перевірку розуміння руху зарядженої частинки під дією магнітного поля.

Силу, з якою магнітне поле діє на рухому заряджену частинку, називають силою Лоренца \(\overrightarrow{F}_\text{Л}.\) Сила Лоренца завжди перпендикулярна до швидкості руху частинки, тому вона не виконує роботу і не змінює кінетичну енергію частинки. Тобто під дією сили Лоренца заряджена частинка рухається рівномірно. Траєкторія руху частинки залежить від величини кута, під яким частинка влетіла в магнітне поле. Також на траєкторію руху частинки впливає однорідність магнітного поля.

За умовою магнітне поле є однорідним. Частинка влітає в магнітне поле під деяким кутом \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\) до ліній магнітної індукції \(\overrightarrow{B},\) а саме під кутом \(30^\circ .\)

У цьому разі швидкість \(\overrightarrow{v}\) руху частинки можна розкласти на два складники. Перший – швидкість \(\overrightarrow{v}_{||}\) паралельна лініям магнітної індукції поля, вона забезпечує рух частинки вздовж цих ліній. Другий складник – перпендикулярна до ліній магнітної індукції поля швидкість \(\overrightarrow{v}_\perp,\) поле змушує частинку рухатися по колу. Тому траєкторія руху частинки – гвинтова лінія.

Відповідь: B.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Механічні коливання і хвилі. Звукові хвилі.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати довжину хвилі через інші її характеристики.

Довжину хвилі \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}\) можна визначити за формулою $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}=\frac{v}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}}, $$ де \(v\) ‒ швидкість звуку в повітрі, \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}\) ‒ частота звукових хвиль.

Оскільки в умові дано діапазон частот звукових хвиль у повітрі, можна обчислити діапазон відповідних їм довжин хвиль:

Тобто діапазон довжини хвиль такий: $$ 17\ \text{мм}\lt \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}\lt 17\ \text{м}. $$

Із наведених у варіантах відповіді у цей діапазон потрапляє лише хвиля довжиною \(3,4\ \text{м.}\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Електромагнітні коливання і хвилі. Перетворення енергії в коливальному контурі.

Завдання скеровано на перевірку розуміння перетворення енергії в коливальному контурі.

Коливальний контур – фізичний пристрій, який є коливальною системою, тобто в ньому можуть виникати вільні електромагнітні коливання. Коливальний контур можна створити, послідовно з’єднавши конденсатор і котушку індуктивності.

Якщо після зарядження конденсатор замкнути на котушку індуктивності, то під дією електричного поля конденсатора вільні заряджені частинки в контурі почнуть рухатися напрямлено. У контурі виникне електричний струм, а конденсатор почне розряджатися.

Заряд на обкладках конденсатора поступово зменшується, а сила струму в котушці зростає, тому магнітна індукція створеного струмом магнітного поля зростає теж. Отже, протягом першої чверті періоду енергія електричного поля \(W_\text{ел}\) конденсатора перетворюється на енергію магнітного поля котушки.

Конденсатор перезаряджається – заряд на його обкладках змінюється на протилежний. Отже, протягом другої чверті періоду енергія магнітного поля котушки перетворюється на енергію електричного поля конденсатора.

Наступну половину періоду характер зміни електричного заряду на обкладках конденсатора й характер зміни сили струму в контурі будуть такими самими, тільки у зворотному напрямку. Коли заряд на обкладках конденсатора досягне максимального значення, то завершиться одне повне коливання.

Час одного повного коливання ‒ це період. Період власних електромагнітних коливань у коливальному контурі визначають за формулою Томсона: $$ T=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\sqrt{LC}, $$ де \(L\) ‒ індуктивність котушки, \(C\) ‒ електроємність конденсатора.

Тоді можна визначити чверть періоду: $$ \frac 14 T=\frac{2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\sqrt{LC}}{4}=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{2}\sqrt{LC}. $$

Відповідь: Б.