ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розв’язувати комплексні задачі на використання законів збереження у випадку руху тіла по колу.

Дано:
\(l=50\ \text{см}\)

Знайти:
\(v_{min}\ -\ ?\)

У такій системі діятиме закон збереження механічної енергії. Механічна енергія – це сума кінетичної і потенціальної енергії тіла: $$ E_{\text{мех}}=E_{\text{пот}}+E_{\text{кін}}. $$

Кінетична енергія – це фізична величина, яка характеризує механічний стан рухомого тіла й дорівнює половині добутку маси \(m\) тіла на квадрат швидкості \(v\) його руху: $$ E_{\text{кін}}=\frac{mv^2}{2}. $$

Потенціальна енергія – це енергія, яку має тіло внаслідок взаємодії з іншими тілами або внаслідок взаємодії частин тіла між собою.

Для тіл, що перебувають у полі сили тяжіння, потенціальну енергію визначають за формулою $$ E_{\text{пот}}=mgh. $$

Якщо вважати, що в початковому положенні кулька перебуває на висоті 0 м від поверхні, то вся її механічна енергія складається лише з кінетичної енергії. Її швидкість у цей момент можна вважати саме тою мінімальною швидкістю, яку необхідно обчислити за умовою задачі:

Оскільки повна механічна енергія під час руху кульки не повинна змінюватися, то цієї кінетичної енергії має вистачити на те, щоби в найвищому положенні вона мала потенціальну енергію тіла, що перебуває на висоті \(2l\), і певну не нульову кінетичну енергію. Якщо кінетична енергія кульки в найвищій точці дорівнюватиме нулю, то вона зробить лише півоберта й упаде:

Тож за законом збереження енергії \begin{gather*} E_{\text{мех}}=E_{\text{мех}\ 0},\\[1pt] 2mgl+\frac{mv^2}{2}=\frac{mv^2_{min}}{2}. \end{gather*}

Кулька, що рухається по колу, має доцентрове прискорення. Зважаючи на те, що радіус кола дорівнює довжині нитки, у найвищій точці його можна обчислити за формулою: $$ a=\frac{v^2}{R}=\frac{v^2}{l}. $$

Тож за другим законом Ньютона \begin{gather*} ma=F_{\text{тяж}}+T_1,\\[1pt] m\frac{v^2}{l}=mg+T_1. \end{gather*}

Рис. 1. Схематичне зображення дії сил на кульку під час руху

Щоби початкова швидкість була мінімальною, сила натягу нитки у верхній точці кола має дорівнювати нулю: \begin{gather*} m\frac{v^2}{l}=mg,\\[1pt] v^2=gl,\\[7pt] v=\sqrt{gl}. \end{gather*}

Тож можна підставити цей вираз для швидкості у верхній точці у вираз для закону збереження механічної енергії:

Відповідь: 5.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Другий і третій закон Ньютона.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розв’язувати розрахункові задачі з використанням другого і третього законів Ньютона.

Дано:
\(m=2\cdot 10^6\ \text{кг}\)
\(F_1=500\ \text{кН}\)
\(F_2=600\ \text{кН}\)

Знайти:
\(a\ -\ ?\)

Якщо поїзд рухався рівномірно по горизонтальній поверхні, то його прискорення в першому випадку дорівнювало нулю. Отже й рівнодійна всіх сил, що діють на цей потяг, також дорівнювала нулю: $$ F_{\text{рівн}\ 0}=ma_0=0. $$

Отже в початковому стані сила, що тягне вагони, дорівнювала силам, що протидіють рухові потяга (силі тертя, силі опору повітря, тощо).

Коли тягова сила збільшилась, то рівнодійна всіх сил, що діяли на потяг перестала дорівнювати 0 – сили, що тягнуть вагони перевищали сили, що протидіють їх руху. $$ F_{\text{рівн}}=F_{\text{тяг}}-F_{\text{оп}}=ma. $$

Зважаючи на те, що в першому випадку тягові сили дорівнювали силам опору, можна обчислити рівнодійну після прискорення:

Тому можна обчислити прискорення:

Відповідь: 0,05.

ТЕМА: Електромагнітні коливання і хвилі. Вільні електромагнітні коливання в коливальному контурі.

Завдання скеровано на оцінювання розуміння принципів роботи коливального контуру й уміння розв’язувати розрахункові задачі на зв’язок періоду й частоти коливань.

Дано:
\(\mathbf{\nu}= 1\ \text{кГц}\)

1. Знайти:
\(T(\text{с})\ -\ ?\)

Між періодом і частотою коливань існує зв’язок: $$ T=\frac{1}{\mathbf{\nu}}=\frac{1}{1\ \text{кГц}}=\frac{1}{1\ 000\ \text{с}^{-1}}=0,001\ \text{с}. $$

2. Знайти:
\(N\ (\text{разів за секунду}\ I=0)\ -\ ?\)

За один період у коливальному контурі заряд з одної обкладинки конденсатора протікає через котушку на іншу обкладинку, а потім назад. Тож за один період сила струму в котушці дорівнює нулю двічі: на початку періоду й у момент \(T/2\). Якщо за один період сила струму в котушці дорівнює нулю двічі, то кількість таких ситуацій за секунду дорівнює подвоєній частоті коливань: $$ N=2\mathbf{\nu}=2\cdot 1\ 000=2\ 000. $$

Відповідь: 1. 0,001. 2. 2000.

ТЕМА: Електродинаміка. Закони постійного струму. Опір провідників. Робота і потужність електричного струму.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розв’язувати розрахункові задачі, що стосуються залежності опору провідника від його геометричних параметрів і впливу змін опору провідника на потужність електричного струму.

Дано:
\(\triangle l=20\ \text{%}\)
\(U\) – стала

1. Знайти:
\(\frac{R_{\text{до}}}{R_{\text{після}}}\ -\ ?\)

Опір провідника залежить від його геометричних параметрів і матеріалу: $$ R=\mathbf{\rho}\frac lS, $$ де \(\mathbf{\rho}\) – питомий опір матеріалу, \(l\) – довжина провідника, \(S\) – площа перерізу провідника.

Якщо \(\triangle l\ –\ 20\ \text{%}\), то довжина після вкорочення становить \(80\ \text{%}\): $$ \frac{l_{\text{після}}}{l_{\text{до}}}=0,8. $$

Тоді можна обчислити зменшення опору після вкорочення: $$ \frac{R_{\text{до}}}{R_{\text{після}}}=\frac{\mathbf{\rho}\frac{l_{\text{до}}}{S}}{\mathbf{\rho}\frac{l_{\text{після}}}{S}}=\frac{l_{\text{до}}}{l_{\text{після}}}=\frac{1}{0,8}=1,25. $$

2. Знайти:
\(\triangle P\ (\text{%})\ -\ ?\)

Потужність нагрівника можна обчислити за формулою: \begin{gather*} P=UI, \end{gather*} де \(U\) – напруга, \(I\) – сила струму.

За законом Ома напруга, сила струму й опір ділянки кола пов’язані між собою: $$ I=\frac UR. $$

Тоді, зважаючи на те, що ніяких відомостей про силу струму умові не дано, можна підставити вираз закону Ома у вираз для потужності: \begin{gather*} P=\frac{U^2}{R}. \end{gather*}

Тоді, зважаючи на те, що напруга залишилась сталою, можна обчислити, на скільки відсотків збільшилася потужність після вкорочення спіралі: $$ \frac{P_{\text{після}}}{P_{\text{до}}}=\frac{\frac{U^2}{R_{\text{після}}}}{\frac{U^2}{R_{\text{до}}}}=\frac{R_{\text{до}}}{R_{\text{після}}}=1,25. $$

Тоді

Тобто потужність збільшилася на 25 %.

Відповідь: 1. 1,25. 2. 25.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Рівняння теплового балансу. Робота. Потужність. ККД.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розв’язувати комплексні розрахункові задачі, що поєднують у собі використання понять роботи, потужності й рівняння теплового балансу.

Дано:
\(V=10\ \text{л}\)
\(\triangle t=45\ ^\circ\text{С}\)
\(P=35\ \text{кВт}\)
\(c=4\ 200\ \text{Дж}/(\text{кг}\cdot \text{К})\)
\(\mathbf{\rho}=1\ 000\ \text{кг/м}^3\)

1. Знайти:
\(Q\ -\ ?\)

Кількість теплоти, що необхідна для нагрівання цієї порції води, можна обчислити з виразу: $$ Q=cm\triangle t. $$

Масу води можна обчислити за виразом:

Тоді можна обчислити кількість теплоти:

2. Знайти:
\(\text{ККД}\ (\text{%})\ -\ ?\)

Коефіцієнт корисної дії (ККД) можна визначити як відношення корисної роботи \(A\) до загальної енергії \(Q\), виробленої газовим котлом: $$ \text{ККД}=\frac{A}{Q}\cdot 100\ \text{%}. $$

Корисна робота газового котла в цьому разі – це кількість теплоти, витрачена на нагрівання води.

Загальну енергію, вироблену газовим котлом, можна обчислити з виразу для його потужності: $$ P=\frac{Q}{t}, $$ де \(Q\) - вироблена газовим котлом енергія, а \(t\) – час роботи газового котла. \begin{gather*} Q=Pt=35\ \text{кВт}\cdot 1\ \text{хв}=35\ 000\ \text{Вт}\cdot 60\ \text{с}=\\[7pt] =2\ 100\ 000\ \text{Дж}=2\ 100\ \text{кДж}. \end{gather*}

Тоді можна визначити ККД газового котла:

Відповідь: 1. 1890. 2. 90.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Сила пружності. Закон Гука.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розв’язувати розрахункові задачі на використання закону Гука.

1. Знайти:
\(k\ -\ ?\)

Оскільки прикладена сила – розтягувальна, то довжина пружини збільшувалась. Під час розтягування в пружині виникає сила пружності, що й дорівнює силі розтягування: $$ F=F_{\text{пр}}. $$

Сила пружності пов’язана з абсолютним видовженням і коефіцієнтом жорсткості: $$ F_{\text{пр}}=kx, $$ де \(k\) – коефіцієнт жорсткості, \(x\) – абсолютне видовження пружини.

Тоді можна записати вираз для сили пружності в обох випадках: \begin{gather*} F_{\text{пр}\ 1}=kx_1,\\[7pt] F_{\text{пр}\ 2}=kx_2. \end{gather*}

Зважаючи на те, що максимальна довжина пружини в першому експерименті – 10 см, а в другому – 11 см, то можна записати зв’язок між абсолютними видовженнями в обох випадках (абсолютні видовження подано в метрах): \begin{gather*} x_2=x_1+0,01\ \text{м}. \end{gather*}

Тоді \begin{gather*} F_{\text{пр}\ 1}=kx_1,\\[7pt] F_{\text{пр}\ 2}=k(x_1+0,01\ \text{м}). \end{gather*}

Можна виразити абсолютне видовження \(x_1\) із виразу для першого експерименту й підставити його у вираз для другого:

Отже

2. Знайти:
\(l_0\ -\ ?\)

З виразу для сили пружності можна обчислити абсолютне видовження пружини для першого експерименту: \begin{gather*} F_{\text{пр}\ 1}=kx_1,\\[7pt] x_1=\frac{k}{F_{\text{пр}\ 1}}=\frac{3\ \text{Н}}{200\ \frac{\text{Н}}{\text{м}}}=0,015\ \text{м}. \end{gather*}

Тож, якщо максимальна довжина пружини в цьому експерименті – 10 см (0,1 м), то можна обчислити початкову довжину:

Відповідь: 1. 200. 2. 8,5.

ТЕМА: Квантова фізика. Атом i атомне ядро. Альфа-, бета- і гамма-випромінювання.

Завдання скеровано на оцінювання розуміння природи радіоактивного випромінювання.

1. \(\mathbf{\alpha}\)-промені – це потік частинок, що складаються з 2 протонів i 2 нейтронів (ядра атомів Гелію).

2. \(\mathbf{\beta}\)-промені – це потік швидких електронів або позитронів.

3. \(\mathbf{\gamma}\)-промені – це електромагнітне випромінювання надзвичайно високої частоти, що утворюється під час ядерних реакцій.

4. Світлове випромінювання – це потік фотонів із частотами \(7,5\cdot 10^{14}–4\cdot 10^{14}\ \text{Гц}\). Вони утворюються під час переходу атомів зі збудженого стану в рівень із меншою енергією.

Відповідь: 1В, 2Б, 3А, 4Г.

ТЕМА: Оптика. Інтерференція світла. Дисперсія світла. Поляризація світла.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розпізнавати оптичні явища у природних явищах і сучасній техніці.

1. Бензин на асфальті утворює тонку прозору плівку, коефіцієнт заломлення у якої відрізняється від коефіцієнту заломлення повітря. Тож частина сонячних променів відбивається на межі бензин – повітря, а частина заломлюється і відбивається вже від поверхні бензин – асфальт (рисунок 1). Так між цими частинами проміння утворюється різниця ходу. Обидві частини мають одне джерело, тож вони є когерентними й відбувається інтерференція.

Рис. 1. Схема ходу променів під час інтерференції у плівці бензину

2. Туман виникає тоді, коли водяна пара в повітрі конденсується й утворюється багато водяних крапель. На кожній із них світло розсіюється й утворюється ореол.

3. Біле (сонячне) світло складається із хвиль із різними частотами. Показник заломлення для кожної з таких хвиль трохи відрізняється, тож кут заломлення після проходження крізь поверхню призми для них теж відрізнятимуться. У такий спосіб утворюється кольоровий спектр, як це зображено на рисунку 2.

Рис. 2. Утворення дисперсійного спектра

4. Під час перегляду стереофільмів одночасно транслюють дві версії фільму, зняті під невеликим кутом одна до одної. Версії для кожного ока мають різну поляризацію, тому окуляри з поляризаторами дають змогу блокувати зображення, зняте для лівого ока на правому, і навпаки. Після цього, мозок обробляє два різнi зображення, отримані з двох очей, і «збирає» об’ємну картину.

Відповідь: 1В, 2А, 3Д, 4Б.

ТЕМА: Вимірювальні пристрої.

Завдання скеровано на оцінювання знання вимірювальних пристроїв і розуміння фізичних величин, для вимірювання яких їх використовують.

1. Фізична величина, що дорівнює відношенню шляху до часу – це швидкість: $$ v=\frac St, $$ де \(S\) – шлях, \(t\) – час.

Прилад, що вимірює швидкість – це спідометр.

2. Фізична величина, що дорівнює добутку густини, прискорення вільного падіння і висоти стовпчика рідини – це гідростатичний тиск (тиск нерухомого стовпчика рідини): $$ p=\mathbf{\rho}gh, $$ де \(\mathbf{\rho}\) – густина рідини, \(g\) – прискорення вільного падіння, \(h\) – висота стовпчика рідини.

Прилад, що вимірює тиск рідини чи газу – це манометр.

3. Фізична величина, що дорівнює відношенню густини водяної пари до густини насиченої пари за певної температури й виражена у відсотках – це відносна вологість: $$ \mathbf{\varphi}=\frac{\mathbf{\rho}}{\mathbf{\rho}_{\text{н}}}\cdot 100\ \text{%}, $$ де \(\mathbf{\rho}\) – густина водяної пари за певної температури, \(\mathbf{\rho}_{\text{н}}\) – густина насиченої пари.

Прилад, що вимірює відносну вологість – це гігрометр.

4. Фізична величина, що дорівнює добутку маси на прискорення вільного падіння – це сила тяжіння: $$ F_{\text{тяж}}=mg, $$ де \(m\) – маса тіла, \(g\) – прискорення вільного падіння.

Прилад, що вимірює силу – це динамометр.

Відповідь: 1В, 2А, 3Г, 4Б.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний і рівноприскорений рух. Рівномірний рух по колу.

Завдання скеровано на оцінювання вміння визначати напрямок прискорення і швидкості в різних процесах.

А Снаряд, випущений гарматою чи будь-яким іншим способом, рухатиметься під дією сили тяжіння після вистрілу. У такому разі прискорення, що діє на тіло, – це прискорення вільного падіння, що завжди напрямлене до центра Землі. Тобто якщо поверхня горизонтальна, то прискорення вільного падіння спрямоване перпендикулярно до поверхні. Тіло в такому разі рухається по параболі. Схематичне зображення руху тіла, кинутого під кутом до горизонту, тобто руху снаряду, зображено на рисунку 1. Стрілкою червоного кольору позначено прискорення тіла, зеленого – напрямок швидкості тіла (напрямок руху). Кут між цими напрямками гострий.

Рис. 1. Схематичне зображення руху снаряду перед падінням

Б Кінець годинникової стрілки рівномірно рухається по колу. За визначенням рівномірний рух тіла по колу – це такий криволінійний рух, за якого траєкторією руху тіла є коло, а лінійна швидкість руху не змінюється із часом.

Під час руху по колу швидкість тіла постійно напрямлена по дотичній до кола. Це значить, що напрямок швидкості руху тіла постійно змінюється, але оскільки рух рівномірний, то модуль швидкості має залишатися постійним. Це можливо лише якщо прискорення напрямлене перпендикулярно до швидкості тіла. На рисунку 2 схематично зображено рух кінця годинної стрілки (позначеного синім кругом на рисунку). Тож кут між напрямком руху тіла й прискоренням у цьому разі завжди прямий.

Рис. 2. Схематичне зображення руху кінця годинникової стрілки

В Під час руху снаряда в каналі ствола гармати його швидкість збільшується. Тобто прискорення співнапрямлене зі швидкістю тіла.

Г Після вимикання двигуна катера його швидкість починає зменшуватися. Тобто прискорення протилежно напрямлене до швидкості тіла.

Відповідь: 1Г, 2Д, 3В, 4А.

ТЕМА: Квантова фізика. Атом і атомне ядро. Радіоактивність.

Завдання скеровано на оцінювання розуміння поняття напіврозпаду.

Період піврозпаду \(T_{1/2}\) – це фізична величина, що характеризує радіонуклід і дорівнює часу, протягом якого розпадається половина наявної кількості ядер цього радіонукліда.

Тоді кількість ядер, що залишилася після розпаду, можна визначати за формулою $$ N=N_02^{\frac{t}{T_{1/2}}}, $$ де \(N\) – кількість ядер, що залишилася після розпаду, \(N_0\) – початкова кількість ядер, \(t\) – час розпаду.

Якщо за час \(t\) розпалося 75 % ядер, то після розпаду залишиться ще 25 % ядер: $$ N=0,25N_0=\frac 14N_0. $$

Тож можна використати таке відношення: $$ \frac{N}{N_0}=2^{\frac{t}{T_{1/2}}}=\frac{\frac 14N_0}{N_0}=\frac 14. $$

Тоді $$ 2^{\frac{t}{T_{1/2}}}=\frac 14=2^{-2}. $$

Якщо значення чисел зі степенями рівні й основи цих чисел рівні, то й степені цих чисел теж рівні: $$ -\frac{t}{T_{1/2}}=-2. $$

Тому $$ t=2T_{1/2}=2\cdot 1600\ \text{років}=3200\ \text{років} $$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Квантова фізика. Світлові кванти. Фотоефект й експериментально встановлені його закони.

Завдання скеровано на оцінювання розуміння законів фотоефекту.

Фотоефект – це явище взаємодії світла з речовиною, супроводжуване випромінюванням (емісією) електронів.

За першим законом фотоефекту кількість фотоелектронів, що їх випромінює катод за одиницю часу, прямо пропорційна інтенсивності світла.

За умовою завдання потужність джерела зменшилася вдвічі, а отже й інтенсивність випромінювання змінилася так само. Тоді за першим законом фотоефекту кількість випромінених електронів також зменшиться вдвічі.

Відповідь: B.

ТЕМА: Елементи теорії відносності. Релятивістський закон додавання швидкостей.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розв’язувати розрахункові задачі з використанням релятивістського закону додавання швидкостей.

Обидві частинки рухаються зі швидкістю, порівнюваною зі швидкістю світла. Тому в цьому разі для додавання швидкостей необхідно використовувати релятивістський закон: $$ v=\frac{v_1+v_2}{1+\frac{v_1v_2}{c^2}}, $$ де \(v\) – швидкість руху тіла відносно нерухомої системи відліку (К), \(v_1\) – швидкість руху тіла відносно рухомої системи відліку, \(v_2\) – швидкість рухомої системи відліку К'.

У цьому випадку нерухома система відліку К – це адронний колайдер (на рисунку 1 позначено чорним кольором). Рухому систему координат К' варто «прив’язати» до одного з ядер (на рисунку 1 позначено синім кольором). Інше ядро тоді можна вважати рухомим тілом у цих системах координат (на рисунку 1 позначено червоним кольором).

Рис. 1. Схема руху протонів в адронному колайдері

За умовою відомі швидкості руху ядер в адронному колайдері, тобто це швидкість v руху тіла відносно нерухомої системи координат і швидкість \(v_2\) рухомої системи координат К' відносно нерухомої.

Тоді, щоби знайти швидкість руху одного ядра відносно іншого, необхідно знайти швидкість руху тіла відносно рухомої системи координат (\(v_1\)). Виразимо швидкість \(v_1\) із виразу для релятивістського додавання швидкостей:

Тож одне з ядер рухалось назустріч іншому зі швидкістю \(0,8c\).

Відповідь: B.

ТЕМА: Оптика. Прямолінійність поширення світла в однорідному середовищі.

Завдання скеровано на оцінювання розуміння принципів прямолінійного поширення світла і їхнього зв’язку з фазами Місяця.

Повний місяць спостерігають тоді, коли освітлену частину Місяця повністю видима на неосвітленій частині Землі. Освітлена частина Місяця на рисунку позначена світло-сірим, а неосвітлену – темно-сірим.

У випадках А і В лише половина освітленої частини Місяця видима на Землі. Це перша й остання чверть місячної фази відповідно. У випадку Б освітлену частину видно повністю – це повний місяць. У випадку Г видно менше половини освітленої частини Місяця – це також остання чверть місячної фази.

Рис. 1. Місячні фази залежно від положення Місяця (біло-синє коло) відносно Землі (жовто-синє коло) і Сонця (сонячні промені позначено жовтими лініями)

Відповідь: Б.