ТЕМА: Квантова фізика. Світлові кванти.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові задачі з використанням формули імпульсу фотона.

Дано:
\(p_{max}=2\ \cdot\ 10^{-27}\ \text{кг}\ \cdot\ \frac{\text{м}}{\text{с}}\)
\(h=6,6\ \cdot\ 10^{-34}\ \text{Дж}\ \cdot\ \text{с}\)

Знайти:
\(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}\ (\text{нм})\ -\ ?\)

Пригадаймо зв’язок імпульсу фотона та його довжини хвилі: $$ p=\frac{h}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}}, $$ де \(p\) – імпульс, \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}\) – довжина хвилі фотона, \(h\) – стала Планка.

Коли фотон відбивається від ідеального дзеркала, то напрямок його руху змінюється на протилежний. За законом збереження імпульсу

Після удару фотон віддає дзеркалу імпульс p_max, до удару вважатимемо імпульс дзеркала нульовим: $$ p_{\text{фотона до}}=p_{\text{фотона після}}+p_{max}. $$

Оскільки фотон повністю відбивається від дзеркала, то його імпульс змінює знак, але не модуль, тому:

Тоді довжина хвилі фотона

Відповідь: 660.

ТЕМА: Електромагнітні коливання та хвилі. Вільні електромагнітні коливання в коливальному контурі.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові задачі з використанням формули Томсона.

Дано:
\(C=1\ \text{нФ}\)
\(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}=180\ \text{м}\)

Знайти:
\(L\ (\text{мкГн})\ -\ ?\)

Якщо вважати, що швидкість електромагнітної хвилі в повітрі дорівнює швидкості світла у вакуумі, то довжина випроміненої контуром хвилі пов’язана з періодом коливань цього контуру: $$ T=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}}{c}, $$ де \(c\) – швидкість світла у вакуумі, \(T\) – період коливань контуру.

Період електромагнітних коливань в електричному контурі визначають за формулою Томсона: $$ T=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\sqrt{Lc}, $$ де \(L\) – індуктивність котушки, а \(C\) – електроємність конденсатора.

Тоді індуктивність котушки можна визначити за формулою:

Відповідь: 9.

ТЕМА: Електродинаміка. Закони постійного струму. Опір провідників. Робота й потужність електричного струму.

Завдання скеровано на перевірку розуміння поняття втрати напруги.

Дано:
\(U_1=10\ \text{кВ}\)
\(P=5\ \text{МВт}\)
\(\Delta U=500\ \text{В}\)
\(S=14\ \cdot\ 10^{-5}\ \text{м}^2\)
\(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}=2,8\ \cdot\ 10^{-8}\ \text{Ом}\ \cdot\ \text{м}\)

Знайти:
\(l\ (\text{км})\ -\ ?\)

Втрата напруги – це різниця між напругою на кінцях лінії: $$ \Delta U=U_2-U_1. $$

Втрату напруги можна розрахувати за формулою $$ \Delta U=IR, $$ де \(I\) – сила струму в провіднику, \(R\) – опір провідника.

Опір провідника залежить від його геометричних характеристик: $$ F=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}l}{S}, $$ де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}\) – питомий опір провідника, \(l\) – довжина провідника, \(S\) – площа перерізу провідника.

Тоді $$ \Delta U=I\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}l}{S}. $$

Потужність джерела пов’язана з напругою і силою струму: $$ P=UI. $$

Тоді, виразивши силу струму через потужність і напругу джерела, можна перетворити формулу для втрати напруги: $$ \Delta U=\frac{P}{U_1}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}l}{S}. $$

Тоді довжина провідника

Лінія електропередач має два кабелі, тому довжина одного з них дорівнюватиме половині загальної довжини провідника: 2,5 км.

Відповідь: 2,5.

ТЕМА: Молекулярна фізика та термодинаміка. Рівняння теплового балансу.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розв’язувати розрахункові задачі з використанням рівняння теплового балансу.

Дано:
\(h=14\ \text{МДж}\)
\(Q=U\ \frac{60\ \text{%}}{100\ \text{%}}\)
\(c=4200\ \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\ \cdot\ \text{К}}\)

Знайти:
\(\Delta t\ -\ ?\)

Потенціальну енергію води на вершині водоспаду можна розрахувати за формулою $$ U=mgh, $$ де \(m\) – маса води, \(g\) – прискорення вільного падіння, \(h\) – висота водоспаду.

Під час падіння потенціальна енергія води зменшується і біля підніжжя дорівнює нулю. Тож кількість теплоти, витрачена на нагрівання води під час падіння дорівнює 60 % від потенціальної енергії на вершині: $$ Q=\frac{60\ \text{%}}{100\ \text{%}}U=0,6U=0,6mgh. $$

Кількість витраченої на нагрівання теплоти пов’язана зі зміною температури формулою $$ Q=cm\Delta t, $$ де \(c\) – питома теплоємність, \(m\) – маса води, \(\Delta t\) – різниця температур.

Тоді можна скласти рівняння:

Відповідь: 0,02.

ТЕМА: Динаміка рідин і газів. Потужність.

Завдання скеровано на перевірку розуміння поняття потужності й динаміки потоку рідини в трубі.

Дано:
\(S_1=S_2\)
\(V_1=\frac{V_2}{2}\)

Знайти:
\(\frac{P_2}{P_1}\ -\ ?\)

Водний насос, що перекачує воду, виконує роботу над нею. Оскільки труба горизонтальна, то під час руху нею потенціальна енергія води не змінюється. Робота, виконана над водою в трубі, переходить у її кінетичну енергію. $$ A=\frac{mv^2}{2}, $$ де \(m\) – маса води, \(v\) – швидкість потоку.

Тоді потужність водяного насоса $$ P=\frac At=\frac{mv^2}{2t}. $$

Маса й об’єм пов’язані між собою формулою $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}=\frac mV, $$ де \(m\) – маса тіла, а \(V\) – його об’єм.

Маса води, що протікає крізь трубу, дорівнює добутку її густини на об’єм: $$ m=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}V. $$

За умовою кількість води, що протікає по трубі, і, відповідно, її маса мають збільшитися вдвічі \((m_2=2m_1)\). Густина води не змінюється, тож змінитися може лише об’єм, що протікає за час \(t\).

Об’єм води, що протікає крізь трубу за час \(t\) можна також виразити через переріз труби й швидкість потоку: $$ V=Svt. $$

Тоді потужність $$ P=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}Sv^3}{2t}. $$

Оскільки переріз труби не змінюється, то для збільшення об’єму води вдвічі має збільшитися вдвічі швидкість потоку: $$ v_2=2v_1. $$

Тоді відношення потужності до і після зміни таке:

Відповідь: 8.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Умова плавання тіл.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові задачі з використанням закону Архімеда.

Дано:
\(m=50\ \text{кг}\)
\(V=0,02\ \text{м}^3\)
\(h=60\ \text{см}\)
\(p_{\text{води}}=10^3\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\)

Знайти:
\(A\ (\text{Дж})\ -\ ?\)

На камінь у воді діють дві сили – сила тяжіння, що притягує його до дна, і виштовхувальна сила Архімеда (рис. 1).

Рис. 1. Схема дії сил на камінь

Пригадаймо, що силу тяжіння можна визначити за формулою \begin{gather*} \overrightarrow{F_{\text{т}}}=m\overrightarrow{g}, \end{gather*} де \(m\) – маса тіла, \(g\) – прискорення вільного падіння.

Силу Архімеда можна визначити за формулою $$ \overrightarrow{F_{\text{A}}}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_{\text{рідини}}\overrightarrow{g}V, $$ де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_{\text{рідини}}\) − густина рідини, \(g\) – прискорення вільного падіння, \(V\) – об’єм тіла.

Тоді можна записати другий закон Ньютона для каменя: $$ m\overrightarrow{a}=\overrightarrow{F_{\text{т}}}+\overrightarrow{F_{\text{A}}}. $$

Спроєктуймо сили на вісь \(y\):

Оскільки проєкція рівнодійної в цьому разі від’ємна, то сила тяжіння більша за виштовхувальну силу, що діє на камінь, тож камінь лежить у воді на дні.

Роботу сили можна визначити за формулою $$ A=Fs\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}, $$ де \(F\) – сила, що діє на тіло, \(s\) – переміщення тіла, \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\) – кут між напрямками векторів сили й переміщення.

За умови, що кут між напрямком сили й переміщенням каменя дорівнює нулю, а переміщення тіла дорівнює висоті його підйому $$ A=Fh. $$

Робота, яку людина має виконати для піднімання тіла, – це робота проти рівнодійної сил, що діють на нього. Тому модуль піднімальної сили має дорівнювати модулю рівнодійної сил, що діють на камінь. Тоді роботу людини можна розрахувати за формулою:

Відповідь: 180

ТЕМА: Коливання і хвилі. Поперечні та поздовжні хвилі. Довжина хвилі.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати графічні зображення хвиль.

1. Знайти:
\(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}\ (\text{м})\ -\ ?\)

Довжина хвилі \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}\) – це відстань між двома найближчими точками, які коливаються синхронно (рис. 1).

Рис. 1. Визначення довжини хвилі

Тоді \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}=1–0,2=0,8\ (\text{м})\).

2. Знайти:
\(T\ (\text{с})\ -\ ?\)

Період коливань поплавка збігається з періодом коливань частинок води у хвилі. Період коливання частинок і період хвилі також збігаються для будь-якої хвилі.

За один період гребінь хвилі переміститься на одну довжину хвилі, тож $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}=Tv, $$ де \(v\) – швидкість поширення хвилі.

Тоді період можна визначити за формулою $$ T=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}}{v}=\frac{0,8\ \text{м}}{0,5\ \frac{\text{м}}{\text{с}}}=1,6\ \text{с}. $$

Відповідь: 1. 0,8. 2. 1,6.

ТЕМА: Електродинаміка. Закони постійного струму. Опір провідників. Робота та потужність електричного струму.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розв’язувати розрахункові задачі, що стосуються роботи й потужності електричного двигуна.

Дано:
\(I=15\ \text{А}\)
\(U=200\ \text{В}\)
\(t=20\ \text{с}\)
\(m=2,4\ \text{т}\)
\(h=2\ \text{м}\)

1. Знайти:
\(A\ (\text{кДж})\ -\ ?\)

Потужність пов’язана з роботою формулою $$ P=\frac At, $$ де \(A\) – виконувана робота, а \(t\) – час її виконання.

Потужність електричного двигуна можна визначити за формулою $$ P=UI, $$ де \(U\) – напруга, \(I\) – сила струму.

Тож:

2. Знайти:
\(\text{ККД}\ (\text{%})\ -\ ?\)

ККД двигуна визначають як відношення корисної роботи, виконаної ним, до повної роботи: $$ \text{ККД}=\frac{A_{\text{кор}}}{A_{\text{пов}}}\ \cdot\ 100\ \text{%}. $$

Корисна робота – це робота, що необхідна для підйому вантажу на висоту 2 м.

Роботу сили можна визначити за формулою $$ A=Fs\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}, $$ де \(F\) – сила, що діє на тіло, \(s\) – переміщення тіла, \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\) – кут між напрямками векторів сили й переміщення.

Вважатимемо, що кут між напрямком сили й переміщенням вантажу дорівнює нулю, а переміщення тіла дорівнює висоті його підйому, тож \begin{gather*} A_{\text{кор}}=Fh. \end{gather*}

Вантаж втримується на землі завдяки силі тяжіння, тож піднімальна сила має за модулем дорівнювати їй:

Повна робота – це робота, виконана електричним двигуном, що була розрахована в попередньому пункті. Тоді:

Відповідь: 1. 60. 2. 80.

ТЕМА: Молекулярна фізика та термодинаміка. Рівняння стану ідеального газу. Відносна вологість.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розв’язувати комбіновані задачі з використанням рівняння стану ідеального газу й формул, що стосуються вологості повітря.

Дано:
\(V=0,83\ \text{м}^3\)
\(t=100\ ^\circ\text{С}\)
\(p=10^5\ \text{Па}\)
\(M=18\cdot 10^{-3}\ \frac{\text{кг}}{\text{моль}}\)

1. Знайти:
\(m\ -\ ?\)

$$ pV=\frac mM RT, $$ де \(p\) – тиск, \(V\) – об’єм, \(R\) – універсальна газова стала, \(T\) – температура, \(m\) – маса газу, \(M\) – молярна маса речовини.

У рівняння стану ідеального газу треба підставити температуру в кельвінах (К): \begin{gather*} T=t+273=100+273=373\ (\text{К}). \end{gather*}

Тоді з рівняння стану ідеального газу можна виразити масу газу:

2. Знайти:
\(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}\ -\ ?\)

Відносну вологість повітря можна визначити за формулою: $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}=\frac{p_{\text{а}}}{p_{\text{н. п.}}}\cdot 100\ \text{%}, $$ де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}\) – відносна вологість повітря, \(p_{\text{н. п.}}\) – тиск насиченої пари, \(p_{\text{а}}\) – парціальний тиск водяної пари.

За умовою тиск насиченої пари води \(p_{\text{н. п.}}=100\ \text{кПа}\), а тиск водяної пари, що утворилась під час нагрівання, \(p_{\text{а}}=10^5\ \text{Па}\).

Тож

Відповідь: 1. 0,48. 2. 100.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Закони Ньютона.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі з динаміки з аналізом світлин експерименту.

За рисунком 1 легко визначити, що на лівій нитці блоку підчеплено п’ять тягарців із масою \(m\), а на правій – три. Тобто можемо вважати, що на правій нитці підчеплений тягарець із масою \(5m\), а на правій нитці – тягарець із масою \(3m\).

Рис. 1. Сили, що діють на тягарці

1. Знайти:
\(a\ -\ ?\)

Рис. 2. Сили, що діють на систему

Нерухомий блок – простий механізм, він не забезпечує виграшу ні в силі, ні у відстані, а лише змінює напрямок прикладання сили.

Оскільки сили \(T_5\) і \(T_3\) – це сили натягу тієї самої нитки на її різних кінцях, вони рівні за модулем і протилежні за напрямком. Обидва вантажі рухаються з однаковим прискоренням.

Запис другого закону Ньютона для тягарців із масою 5m і 3m відповідно:

Спроєктуймо рівняння на вертикальну вісь, спрямовану вниз. Для цього треба пригадати, що лівий вантаж рухається вниз, а правий – угору. Їхні прискорення мають такі самі напрямки:

Тож

Силу тяжіння можна розрахувати за формулою: $$ F_{T}=mg. $$ Тож

2. Знайти:
\(T\ -\ ?\)

Маса одного тягарця дорівнює \(100\ \text{г}\ (0,1\ \text{кг})\).

З рівняння для другого закону Ньютона для вантажу масою \(5m\) можна виразити силу натягу \(T\) нитки:

Відповідь: 1. 2,5. 2. 3,75.

ТЕМА: Механічні коливання і хвилі. Амплітуда, частота, період гармонічних коливань.

Завдання скеровано на перевірку розуміння основних величин, пов’язаних із коливаннями математичного маятника.

Тіло на довгій нитці можна вважати математичним маятником (рис. 1).

Рис. 1. Математичний маятник у положеннi максимального відхилення

1. Період коливань математичного маятника $$ T=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\sqrt{\frac lg}, $$ де \(l\) – довжина маятника, \(g\) – прискорення вільного падіння. Ні від маси, ні від амплітуди ця величина не залежить.

2, 3. Енергію коливань можна визначити за формулою $$ E=E_{\text{пот}}+E_{\text{кін}}=mgh+\frac{mv^2}{2}. $$

У точці з найбільшим відхиленням потенціальна енергія тіла на підвісі максимальна, а кінетична енергія дорівнює \(0\), тож $$ E=E_{\text{пот}\ max}=mgh_{max}. $$

Максимальну висоту \(h_{max}\) можна визначити з прямокутного трикутника, зображеного на рисунку 1.

За теоремою Піфагора

Якщо коливання малі, то й висота підйому \(h\) мала порівняно з його довжиною \(l\) та амплітудою \(A\), тому доданок \(h^2\) набагато менший за інші доданки, ним можна знехтувати:

Тобто максимальна висота тягарця над нижньою точкою траєкторії залежить від \(A^2\) і не залежить від його маси.

Енергія коливань $$ E=mgh_{max}=mg\frac{A^2}{2l}. $$

Тож енергія коливань пропорційна до \(A^2\) та \(m\).

4. У найнижчій точці траєкторії потенціальна енергія тягарця дорівнює нулю, а його кінетична енергія, а отже й модуль швидкості, максимальні: $$ E=mg\frac{A^2}{2l}=\frac{mv_{max}^2}{2}. $$ Тож

Тобто максимальна швидкість пропорційна до \(A\) та не залежить від \(m\).

Відповідь: 1В, 2А, 3Д, 4Г.

ТЕМА: Природні явища.

Завдання скеровано на перевірку вміння поєднувати фізичні явища з їхніми проявами в природі та використанням у техніці.

1. І під час дощу, і у зрошувальній системі краплі води рухаються під дією сили тяжіння.

2. У смерчі, пилососі й центрифузі використовують потоки рідин чи газів, що мають однакову форму.

3. У водоспаді та греблі електростанції потік води має майже однакову форму.

4. Полярне сяйво та світіння люмінесцентної трубки є проявом жеврійного (тліючого) газового розряду.

Відповідь: 1А, 2В, 3Б, 4Д.