ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи молекулярно-кінетичної теорії. Ізопроцеси в газах.

Завдання скеровано на перевірку розуміння процесів, що відбуваються з газом сталої маси, тобто ізопроцесів.

За першим законом термодинаміки передана системі кількість теплоти \(Q\) витрачається на зміну внутрішньої енергії \(\Delta U\) та на виконання системою роботи \(A\) проти зовнішніх сил: $$ Q=\Delta U + A. $$

Під час ізотермічного \((T = const)\) процесу температура, а отже, і внутрішня енергія газу, не змінюються, тобто вся передана теплота витрачається на виконання роботи: $$ Q=A. $$

Під час ізобарного \((p = const)\) процесу і внутрішня енергія газу змінюється, і робота виконується: $$ Q=\Delta U + A. $$

Під час адіабатного (без обміну теплом із навколишнім середовищем) процесу теплота системі не передається, тобто газ може виконати роботу за рахунок зменшення внутрішньої енергії, при цьому температура газу зменшиться: $$ A=-\Delta U. $$

За ізохорного \((V = const)\) процесу об᾽єм газу не змінюється, тобто газ роботу не виконує \((A = 0)\), а рівняння першого закону термодинаміки таке: $$ Q=\Delta U. $$

Тож саме під час ізохорного процесу всю передану газу кількість теплоти буде витрачено на зміну його внутрішньої енергії.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Прості механізми.

Завдання скеровано на перевірку розуміння принципу дії простих механізмів – важеля і рухомого блока.

Прості механізми − це пристрої, які дають змогу виконувати роботу, докладаючи меншу силу порівняно з виконанням цієї ж роботи без них (виграємо в силі – програємо у відстані), або ж змінювати напрямок дії сили на зручніший для людини.

Важіль перебуває в рівновазі, якщо моменти сил, що обертають його за годинниковою стрілкою і проти неї, за модулем дорівнюють один одному.

Проти годинникової стрілки важіль обертатиме сила тяжіння, що діє на вантаж 1. Плече цієї сили становитиме \(5l\) (якщо \(l\) – це одиничний відрізок, на які поділено важіль).

За годинниковою стрілкою важіль обертатиме сила, що натягує підвіс, на якому підвішено рухомий блок. Використання рухомого блока забезпечує подвійний виграш у силі. Тож для тримання вантажу 2 треба прикласти вдвічі меншу силу порівняно з його вагою. Плече цієї сили дорівнює \(l\) (див. рисунок).

Запис правила моментів сил як умови рівноваги для тіла, що лише обертається, тобто має нерухому вісь обертання, такий: \begin{gather*} F_1l_1=F_2l_2,\\[6pt] m_1gl_1=\frac 12 m_2gl_2, \end{gather*} де \(F\) – сила, а \(l\) – її плече, \(g\) – прискорення вільного падіння, \(m\) – маса тіла.

Відповідно \begin{gather*} m_15l=\frac 12 m_2l,\\[6pt] m_2=10m_1=10\cdot 30\ \text{кг}=300\ \text{кг}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Кінетична та потенціальна енергія.

Завдання скеровано на розуміння чинників, від яких залежить величина кінетичної енергії тіла.

Кінетична енергія – це фізична величина, якою характеризують механічний стан рухомого тіла. Кінетичну енергію \(E_k\) обчислюють за формулою $$ E_k=\frac{mv^2}{2}, $$ \(m\) – маса тіла, \(v\) – швидкість його руху.

За умовою завдання маса тіл однакова, тому кінетична енергія змінюватиметься прямо пропорційно швидкості руху тіла. Із наведених у варіантах відповіді рівнянь залежності координати тіла від часу можна визначити швидкості руху кожного із чотирьох тіл. Цими рівняннями описано прямолінійний рівномірний рух тіл: $$ x=x_0+v\cdot t, $$ де \(x_0\) та \(x\) – координати тіла в моменти часу \(t_0\) та \(t\) відповідно (загальний вигляд рівняння).

Тобто множник \(v\) біля змінної часу \(t\) є модулем швидкості руху тіла: \begin{gather*} v_\text{А}=4\ \text{м/с},\\[7pt] v_\text{Б}=10\ \text{м/с},\\[7pt] v_\text{В}=8\ \text{м/с},\\[7pt] v_\text{Г}=5\ \text{м/с}. \end{gather*}

Найбільша швидкість руху з-поміж наведених – \(10\ \text{м/с}.\) Тому й кінетична енергія тіла, яке рухається із цією швидкістю, є найбільшою порівняно з іншими тілами, про які йдеться в умові.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Сили пружності. Закон Гука.

Завдання скеровано на перевірку розуміння залежності сили пружності від видовження тіла під час малих пружних деформацій.

За законом Гука в разі малих пружних деформацій розтягнення або стиснення сила пружності \(\overrightarrow{F}_{\text{пруж}}\) прямо пропорційна видовженню тіла \(\overrightarrow{x}:\) $$ \overrightarrow{F}_{\text{пруж}}=-k\overrightarrow{x}, $$ де \(k\) – жорсткість.

Між силою пружності й видовженням залежність лінійна, тож графіком функції є пряма. На графіку, наведеному в умові завдання, прямолінійною є лише ділянка \(AB\). Ділянки графіка \(BC,\ CD\) й \(DE\) є кривими лініями.

Відповідь: A.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Додавання швидкостей.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати закон додавання швидкостей.

Закон додавання швидкостей полягає в тому, що швидкість \(\overrightarrow{v}_2\) руху тіла в нерухомій системі відліку дорівнює геометричній сумі швидкості \(\overrightarrow{v}_{23}\) руху тіла в рухомій системі відліку та швидкості \(\overrightarrow{v}_3\) руху рухомої системи відліку відносно нерухомої: $$ \overrightarrow{v}_{2}=\overrightarrow{v}_{23}+\overrightarrow{v}_{3}. $$

Якщо відома швидкість руху другої мурахи відносно землі \((\overrightarrow{v}_2)\) і швидкість руху третьої мурахи відносно землі \((\overrightarrow{v}_3)\), то можна обчислити швидкість руху другої мурахи відносно третьої \((\overrightarrow{v}_{23}).\)

Спочатку потрібно вибрати напрямок (зліва направо) горизонтальної oсі Ох, уздовж якої рухаються всі мурахи:

Якщо перша мураха біжить у напрямку осі, то модуль її швидкості дорівнює \(4\ \text{мм/с}\) за умовою.

Швидкість руху другої мурахи відносно землі дорівнює \(5\ \text{мм/с},\) але біжить вона назустріч першій, отже, проєкція її швидкості на вісь від’ємна: $$ v_{2x}=-5\ \frac{\text{мм}}{\text{с}}. $$

Третя мураха рухається в тому самому напрямку, що й перша, зі швидкістю \(3\ \text{мм/с}\) відносно неї. Тому швидкість третьої мурахи відносно землі дорівнює \(7\ \text{мм/с}:\) $$ v_{3x}=4\ \text{мм/с}+3\ \text{мм/с}=7\ \text{мм/с}. $$

Тож можна обчислити швидкість руху другої мурахи відносно третьої: $$ v_{23x}=v_{2x}-v_{3x}=-5-7=-12\ \frac{\text{мм}}{\text{с}}. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Шлях і переміщення.

Завдання скеровано на перевірку розуміння поняття «переміщення».

Переміщення – це векторна величина, яку графічно зображують як напрямлений відрізок прямої, що з’єднує початкове і кінцеве положення матеріальної точки.

Земля за рік робить повний оберт навколо Сонця – проходить повне коло. Відповідно за пів року Земля пройде половину кола (рис. 1).

Рис. 1. Рух Землі навколо Сонця: 1 – початкове положення Землі; 2 ‑ кінцеве положення Землі (через пів року); \(R\) – радіус орбіти

Якщо з’єднати початкове положення Землі (точка 1) із кінцевим (точка 2), де вона опиниться через пів року, то відрізок 1–2 буде діаметром орбіти, якою рухається планета. Оскільки радіус орбіти за умовою дорівнює \(1\ \text{а. о.},\) то діаметр орбіти, а отже й переміщення Землі, становить \(2\ \text{а. о.}\)

Інші варіанти відповіді можна отримати, якщо сплутати переміщення зі шляхом й обчислювати не довжину відрізка, яким з’єднані початкове і кінцеве положення тіла, а визначати довжину траєкторії руху тіла. Також до неправильної відповіді може призвести нерозуміння закономірностей руху Землі навколо Сонця.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Елементи теорії відносності. Релятивістський закон додавання швидкостей.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові задачі з використанням релятивістського закону додавання швидкостей.

Дано:
\(v_\text{рух}=0,5\ \text{с}\)
\(v_\text{кат}=0,5\ \text{с}\)

Знайти:
\(\frac{c}{v_\text{нерух}}\ -\ ?\)

Усі тіла рухаються зі швидкістю, порівнюваною зі швидкістю світла. Тому в цьому разі для додавання швидкостей необхідно використовувати релятивістський закон: $$ v_\text{нерух}=\frac{v_\text{рух}+v_\text{кат}}{1+\frac{v_\text{рух}v_\text{кат}}{c^2}} $$ де \(v\) – швидкість руху тіла відносно нерухомої системи відліку (Землі), \(v_\text{кат}\) – швидкість руху тіла відносно рухомої системи відліку (ракети), \(v_\text{рух}\) – швидкість рухомої системи відліку (ракети).

Тож

\begin{gather*} \frac{c}{v_\text{нерух}}=c:\frac{v_\text{рух}+v_\text{кат}}{1+\frac{v_\text{рух}v_\text{кат}}{c^2}};\\[6pt] \frac{c}{v_\text{нерух}}=c\cdot\frac{1+\frac{v_\text{рух}v_\text{кат}}{c^2}}{v_\text{рух}+v_\text{кат}};\\[6pt] \frac{c}{v_\text{нерух}}=c\cdot\frac{1+\frac{0,5\ \text{с}\cdot 0,5\ \text{с}}{c^2}}{0,5\ \text{с}+0,5\ \text{с}};\\[6pt] \frac{c}{v_\text{нерух}}=c\cdot\frac{1+\frac{0,25\ \text{с}^2}{c^2}}{c};\\[6pt] \frac{c}{v_\text{нерух}}=1,25. \end{gather*}

Відповідь: 1,25.

ТЕМА: Електродинаміка. Закони постійного струму. Електрорушійна сила.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати графіки тригонометричних залежностей фізичних величин.

Рис. 1. Умова завдання

Знайти:
\(\text{ЕРС}\ (\text{мВ})\ -\ ?\)

Графік, зображений на рисунку 1, – це графік синусоїдальної залежності, тож електрорушійна сила (ЕРС) залежить від часу: $$ \mathbf{\varepsilon}=A\sin\mathbf{\omega}t, $$ де \(A\) – амплітуда коливань, \(\mathbf{\omega}\) – циклічна частота коливань, \(t\) – момент часу.

Циклічна частота пов’язана з періодом формулою $$ \mathbf{\omega}=\frac{2\mathbf{\pi}}{T}. $$

За графіком можна також визначити амплітуду коливань, яка дорівнює максимальному відхиленню від положення рівноваги: $$ A=0,3\ \text{мВ}, $$ тож $$ \mathbf{\varepsilon}=0,3\sin\frac{2\mathbf{\pi}}{T}t. $$

Тоді можна обчислити ЕРС в момент часу \(t=\frac{T}{12}\):

Відповідь: 0,15.

ТЕМА: Механічні коливання і хвилі. Коливання вантажу на пружині. Перетворення енергії під час гармонічних коливань.

Завдання скеровано на оцінку вміння розв’язувати комбіновані задачі, які передбачають обробку й аналіз результатів експерименту, зображених на рисунку, i використання законів збереження енергії в коливальному процесі.

Знайти:
\(V_\text{max}\ \left(\frac{\text{см}}{\text{с}}\right)\ -\ ?\)

З рисункa 1 можна визначити довжину гумки у двох крайніх положеннях коливання тягарця. У крайніх положеннях тягарець змінює напрямок руху на протилежний, а отже його швидкість \(V\) дорівнює нулю.

\begin{gather*} x_\text{мін}=16\ \text{см};\\[7pt] x_\text{макс}=20\ \text{см}. \end{gather*}

Рис. 1. Крайні положення тягарця

За цими значеннями можна обчислити амплітуду коливань:

Знаючи амплітуду коливань, можна визначити положення рівноваги – таке положення, у якому опиниться гумка під вагою тягарця, коли коливання повністю припиняться:

Під час коливань у положенні рівноваги швидкість найбільша, отже саме цю швидкість потрібно визначити.

Під час коливань зберігається повна механічна енергія системи \(W\): $$ W=W_k+W_n=const, $$ де \(W_k\) – кінетична енергія, \(W_n\) – потенціальна енергія.

Кінетичну енергію можна визначити за формулою $$ W_k=\frac{mV^2}{2}, $$ де \(m\) – маса тіла.

Оскільки для гумової стрічки виконуваний закон Гука, можна обчислити потенціальну енергію за формулою, якою описують потенціальну енергію розтягнутої пружини: $$ W_n=\frac{k\Delta x^2}{2}, $$ де \(k\) – коефіцієнт жорсткості пружини, а \(\Delta x\) – розтяг пружини (гумової стрічки).

Хоча повна механічна енергія системи зберігається, але значення кінетичної і потенціальної енергії постійно змінюється під час коливань.

У крайніх положеннях швидкість тягарця дорівнює нулю, а отже і його кінетична енергія теж. А от відхилення від положення рівноваги в цих положеннях найбільше, тому потенціальна енергія максимальна.

У положенні рівноваги все навпаки. Швидкість тягарця максимальна, а відхилення дорівнює нулю, отже кінетична енергія приймає найбільше значення, а потенціальна перетворюється на нуль.

Зважаючи на закон збереження енергії і спостереження, описані вище, можна записати таку рівність:

Тоді можна виразити максимальну швидкість: $$ V_{max}=\sqrt{\frac{k\Delta x_{max}^2}{m}}=\sqrt{\frac km}\Delta x_{max}. $$

Відношення \(\frac km\) невідоме, але його можна визначити.

У стані спокою тягарець перебуватиме в положенні рівноваги. Тоді можна записати другий закон Ньютона: $$ mg=F_\text{пр}, $$ де \(F_\text{пр}\) – це сила пружності, що діє на тягарець з боку гумової стрічки. Її можна визначити за формулою $$ F_\text{пр}=k\Delta x_0, $$ де \(\Delta x_0\) – розтяг пружини під вагою тягарця:

\begin{gather*} \Delta x_0=x_\text{рівн}-x_0;\\[7pt] \Delta x_0=18\ \text{см}-13\ \text{см};\\[7pt] \Delta x_0=5\ \text{см}, \end{gather*} де \(x_0\) – це довжина пружини без тягарця.

Тоді \begin{gather*} mg=k\Delta x_0;\\[6pt] \frac km=\frac{g}{\Delta x_0}. \end{gather*}

Після цього можна підставити отримане відношення у вираз для максимальної швидкості:

Відповідь: 28.

ТЕМА: Закони електролізу.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати закони електролізу для розв’язування розрахункових задач.

Дано:
\(m_0=80,25\ \text{г}\)
\(m=80,73\ \text{г}\)
\(I=1\ \text{А}\)
\(t=25\ \text{хв}\)

Знайти:
\(k\ \left(\frac{\text{мг}}{Кл}\right)\ -\ ?\)

В електролітичній ванні на катодній пластині збирається речовина, що виділилася внаслідок електролізу.

За першим законом електролізу можна визначити масу міді, що виділилася: $$ \Delta m=kIt, $$ де \(m\) – маса речовини, \(I\) – сила струму, \(t\) – час, \(k\) – електрохімічний еквівалент речовини.

Тоді можна визначити електрохімічний еквівалент:

Відповідь: 0,32.

ТЕМА: Електродинаміка. Основи електростатики. Конденсатори.

Завдання скеровано на перевірку розуміння принципів паралельного і послідовного з’єднання конденсаторів.

Дано:
\(C_1=4\ \text{мкФ}\)
\(C_2=C_3=6\ \text{мкФ}\)
\(U=120\ \text{В}\)

Знайти:
\(E\ (\text{мДж})\ -\ ?\)

Рис. 1. Умова завдання

Енергію конденсатора можна визначити за формулою \begin{gather*} E=\frac{CU^2}{2}, \end{gather*} де \(U\) – напруга на обкладинках конденсатора, а \(C\) – його ємність.

Для визначення енергії системи конденсаторів необхідно визначити її сумарну ємність. Конденсатори 2 та 3 з’єднані паралельно, а до них послідовно підключений конденсатор 1.

Ємність батареї конденсаторів, з’єднаних паралельно, визначають за формулою \begin{gather*} C_{2-3}=C_2+C_3;\\[7pt] C_{2-3}=6\ \text{мкФ}+6\ \text{мкФ};\\[7pt] C_{2-3}=12\ \text{мкФ}. \end{gather*}

Ємність батареї конденсаторів, з’єднаних послідовно, визначають за формулою

Тоді енергію батареї конденсаторів обчислюємо за формулою

\begin{gather*} E=\frac{CU^2}{2};\\[6pt] E=\frac{3\ \text{мкФ}\cdot (120\ \text{В})^2}{2};\\[6pt] E=\frac{3\cdot 10^{-6}\cdot 14\ 400}{2};\\[6pt] E=0,0216\ \text{Дж};\\[7pt] E=21,6\ \text{мДж}. \end{gather*}

Відповідь: 21,6.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Сили. Тиск рідин та газів.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові задачі, пов’язані з використанням сили тиску.

Дано:
\(h=50\ \text{см}\)
\(S=40\ \text{см}^2\)
\(p=6\ 500\ \text{Па}\)

Знайти:
\(A\ (\text{Дж})\ -\ ?\)

Роботу можна визначити за формулою $$ A=Fh\cos\mathbf{\beta}, $$ де \(F\) – сила, що діє на тіло, \(h\) – переміщення тіла, \(\mathbf{\beta}\) – кут між напрямками векторів сили й переміщення.

На поршень діє сила тиску газу, яку можна визначити за формулою $$ F=pS, $$ де \(p\) – тиск, \(S\) – площа поверхні, на яку відбувається тиск.

Напрямок дії сили тиску завжди перпендикулярний до поверхні, що обмежує газ, тому кут між переміщенням поршня і напрямком дії сили тиску дорівнює нулю. Тож \begin{gather*} A=Fh;\\[7pt] A=pSh;\\[7pt] A=6\ 500\ \text{Па}\cdot 40\ \text{см}^2\cdot 50\ \text{см};\\[7pt] A=6\ 500\ \text{Па}\cdot 0,004\ \text{м}^2\cdot 0,5\ \text{м};\\[7pt] A=13\ \text{Дж}. \end{gather*}

Відповідь: 13.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Властивості газів, рідин і твердих тіл. Відносна вологість.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розв’язувати розрахункові задачі про відносну вологість повітря.

Дано:
\(V=0,5\ \text{м}^3\)
\(\Delta m=6\ \text{г}\)
\(\mathbf{\rho}_\text{н.п.}=20\ \frac{\text{г}}{\text{м}^3}\)

Знайти:
\(\mathbf{\varphi}_\text{до}\ (\text{%})\ -\ ?\)

Маса води в повітрі перестає змінюватися, коли рідина й пара досягають стану динамічної рівноваги – кількість випаруваної рідини дорівнює кількості сконденсованої пари. Тобто маса води в повітрі перестає змінюватися, коли пара стає насиченою.

Масу води в повітрі, якщо пара є насиченою, обчислюють за формулою \begin{gather*} m_\text{після}=\mathbf{\rho}_\text{н.п.}V;\\[6pt] m_\text{після}=20\frac{\text{г}}{\text{м}^3}\cdot 0,5\ \text{м}^3;\\[6pt] m_\text{після}=10\ \text{г}. \end{gather*}

Тоді масу водяної пари в повітрі до випаровування обчислюють за формулою

Тож відносну вологість до випаровування обчислюють за формулою $$ \mathbf{\varphi}=\frac{\mathbf{\rho}_\text{а}}{\mathbf{\rho}_\text{н.п.}}\cdot 100\ \text{%}, $$ де \(\mathbf{\varphi}\) – відносна вологість повітря, \(\mathbf{\rho}_\text{н.п.}\) – густина насиченої пари, \(\mathbf{\rho}_\text{а}\) – густина водяної пари в повітрі. $$ \mathbf{\rho}_\text{а}=\frac{m_\text{до}}{V}=\frac{4\ \text{г}}{0,5\ \text{м}^3}=8\ \frac{\text{г}}{\text{м}^3}. $$

Тож

Відповідь: 40.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Другий закон Ньютона.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розв’язувати розрахункові задачі про рух тіла під дією кількох сил.

Дано:
\(m=250\ \text{кг}\)
\(a=0,2\ \text{м/с}^2\)

Знайти:
\(m\ (\text{кг})\ -\ ?\)

На аеростат діють дві сили: сила тяжіння і сила Архімеда. Сила Архімеда не залежить від маси баласту, а силу тяжіння можна визначити за формулою $$ F_\text{тяж}=mg, $$ де \(m\) – маса тіла, \(g\) – прискорення вільного падіння.

Тоді можна записати другий закон Ньютона для аеростата: $$ m\overrightarrow{a}=\overrightarrow{F_\text{тяж}}+\overrightarrow{F_\text{Арх}} $$

Сила тяжіння спрямована вниз, сила Архімеда – угору, до скидання балансу тіло аеростат опускається, тож прискорення також спрямоване вниз. Тоді векторне рівняння можна спроєктувати на вісь \(OY\): $$ -m_\text{до}a=-m_\text{до}g+F_\text{Арх}. $$

Після скидання баласту проєкція другого закону Ньютона матиме інший вигляд: $$ m_\text{після}a=-m_\text{після}g+F_\text{Арх}. $$

Тоді з рівняння для руху аеростата до скидання баласту можна виразити силу Архімеда: $$ F_\text{Арх}=m_\text{до}g-m_\text{до}a. $$

Тож:

Тоді маса скинутого баласту така:

Відповідь: 10.