ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Закони Ньютона. Сила тертя.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові задачі з використанням законів Ньютона.

Дії сил на брусок зображено на рисунку 1. На нього діють сила тяжіння, сила реакції опори й сила тертя.

Рис. 1. Дії сил на брусок

Запис другого закону Ньютона для бруска: $$ m\overrightarrow{a}=\overrightarrow{N}+\overrightarrow{F_{\text{тяж}}}+\overrightarrow{F_{\text{тер}}}, $$ де \(m\) – маса бруска, \(a\) – прискорення тіла, \(N\) – сила реакції опори, \(F_{\text{тяж}}\) – сила тяжіння, \(F_{\text{тер}}\) – сила тертя.

Силу тяжіння і силу тертя можна визначити за такими формулами:

де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\mu}\) – коефіцієнт тертя, \(m\) – маса тіла, \(g\) – прискорення вільного падіння.

Оскільки брусок ковзає рівномірно, то його прискорення дорівнює \(0\). Тоді другий закон Ньютона можна спроєктувати на осі \(OX\) та \(OY\):

Тоді

Коефіцієнт тертя можна обчислити за формулою $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\mu}=\frac{mg\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{mg\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}=\frac{\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}=\mathrm{tg}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}. $$

Можна визначити \(\mathrm{tg}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\) з прямокутного трикутника похилої площини. У ньому протилежний катет \(1=15\ \text{см}=0,15\ \text{м}\), а прилеглий катет \(b=60\ \text{см}=0,6\ \text{м}\). Тож $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\mu}=\mathrm{tg}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=\frac ab=\frac{0,15\ \text{м}}{0,6\ \text{м}}=0,25. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Механіка. Кінематика. Швидкість. Додавання швидкостей.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розв’язувати розрахункові задачі з додавання швидкостей.

Вважатимемо першу систему відліку нерухомою, а другу – рухомою. Швидкість тіла в рухомій системі відліку можна визначити за формулою: $$ \overrightarrow{V_{\text{тіла рух}}}=\overrightarrow{V_{\text{тіла нерух}}}+\overrightarrow{V_{\text{рух}}}, $$ де \(\overrightarrow{V_{\text{тіла рух}}}\) – швидкість тіла в рухомій системі відліку, \(\overrightarrow{V_{\text{тіла нерух}}}\) – швидкість тіла в нерухомій системі відліку, \(\overrightarrow{V_{\text{рух}}}\) – швидкість рухомої системи відліку.

Тоді швидкість рухомої системи можна визначити за формулою $$ \overrightarrow{V_{\text{рух}}}=\overrightarrow{V_{\text{тіла рух}}}-\overrightarrow{V_{\text{тіла нерух}}}. $$

Найменшою буде швидкість рухомої системи відліку, якщо напрямок її руху збігається з напрямком руху самого тіла. Тоді векторне рівняння можна спроєктувати на вісь \(OX\):

Відповідь: A.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики.

Завдання скеровано на перевірку розуміння понять швидкості та прискорення.

Краплі з піпетки падають через однакові проміжки часу \(\Delta t\), а відстань між плямами – це шлях \(\Delta l\), який пройшла смужка за цей проміжок часу.

Тоді швидкість на кожному проміжку можна визначити за формулою: $$ v_i=\frac{\Delta l_i}{\Delta t}. $$

Тож що більша відстань між краплями, то більша швидкість руху на проміжку.

Рівномірний рух – рух, під час якого матеріальна точка за будь-які рівні інтервали часу долає однаковий шлях.

Якщо смужку протягували рівномірно, то відстань між краплями має бути однаковою. Такий вигляд має смужка B.

Відповідь: B.

ТЕМА: Квантова фізика. Елементи теорії відносності. Світлові кванти. Кванти світла (фотони).

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи формули, що описують кванти світла (фотони).

За умовою завдання імпульс електрона \(p_\text{е}\) дорівнює імпульсу фотона \(p_\text{ф}\) світла, від якого електрон отримує енергію: $$ p_\text{е}=p_\text{ф}. $$

Імпульс фотона дорівнює відношенню сталої Планка \(h\) до довжині хвилі \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}\) фотона: $$ p_\text{ф}=\frac{h}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}}. $$

Імпульс електрона дорівнює добутку маси \(m_\text{е}\) електрона і швидкості \(v_\text{е}\) його руху: $$ p_\text{е}=m_\text{е}\cdot v_\text{е}. $$

Обчислімо швидкість руху електрона:

Відповідь: 1,1.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Абсолютний і відносний показники заломлення.

Завдання скеровано на перевірку розуміння поширення світла в різних середовищах.

Фізичну величину, якою характеризують оптичну густину середовища, і яка показує, у скільки разів швидкість \(v\) поширення світла в середовищі менша, ніж швидкість \(c\) поширення світла у вакуумі, називають абсолютним показником заломлення середовища \(n:\) $$ n=\frac cv. $$

Звідси $$ v=\frac cn. $$

За умовою завдання час \(t_\text{в}\) поширення світла у вакуумі той самий, що й у склі \(t_\text{ск}:\) \begin{gather*} t_\text{ск}=t_\text{в},\\[6pt] t_\text{ск}=\frac{l_\text{ск}}{v},\\[6pt] t_\text{в}=\frac{l_\text{в}}{c}, \end{gather*} де \(l_\text{ск}\) ‒ відстань, яку пройшло світло у склі, \(l_\text{в}\) ‒ відстань, яку пройшло світло у вакуумі.

\begin{gather*} \frac{l_\text{ск}}{v}=\frac{l_\text{в}}{c},\\[6pt] l_\text{в}=\frac{l_\text{ск}c}{v}=\frac{l_\text{ск}cn}{c}=l_\text{ск}n,\\[6pt] l_\text{в}=10\ \text{м}\cdot 1,6=16\ \text{м}. \end{gather*}

Відповідь: 16.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Електромагнітні коливання і хвилі. Власна частота й період електромагнітних коливань. Формула Томсона.

Завдання скеровано на перевірку розуміння принципу дії коливального контуру.

Електромагнітну хвилю характеризують довжиною \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda},\) частотою \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}\) (періодом \(T\)) і швидкістю \(c\) поширення у вакуумі: $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}=\frac{c}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}}=cT. $$

Для того, щоб коливальний контур міг уловити випромінювані хвилі, його треба настроїти на частоту коливань випромінювача. Період власних електромагнітних коливань у коливальному контурі визначають за формулою Томсона: $$ T=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\sqrt{LC}, $$ де \(L\) ‒ індуктивність котушки контуру, \(C\) ‒ електроємність конденсатора контуру.

Ураховуючи, що коливальний контур настроєний на таку саму частоту, із якою поширюється хвиля, і що частота і період взаємно обернені величини, дістанемо формулу для обчислення електроємності: \begin{gather*} \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}=cT=c2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\sqrt{LC},\\[6pt] C=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}^2}{c^2 4\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}^2\cdot L}. \end{gather*}

Оскільки електроємність прямо пропорційна квадрату довжини хвилі, то електроємність конденсатора буде максимальною за максимального значення довжини хвилі, на яку може налаштуватися коливальний контур: \begin{gather*} C=\frac{540^2}{9\cdot 10^{16}\ \left(\frac{\text{м}}{\text{с}}\right)^2\cdot 4\cdot 10\cdot 0,27\cdot 10^{-3}\ \text{Гн}}=\\[6pt] =\frac{3}{10^{10}}\ \text{Ф}=300\cdot 10^{-12}\ \text{Ф}=300\ \text{пФ}. \end{gather*}

Відповідь: 300.

ТЕМА: Електродинаміка. Магнітне поле, електромагнітна індукція. Закон електромагнітної індукції.

Завдання скеровано на перевірку розуміння закону електромагнітної індукції.

Силу індукційного струму \(I_\text{i}\) в контурі опором R визначають за законом Ома: $$ I_\text{i}=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}_\text{i}}{R}. $$

Закон залежності електрорушійної сили \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}_\text{i}\) (ЕРС) індукції від швидкості зміни магнітного потоку експериментально вивів М. Фарадей: електрорушійна сила індукції дорівнює швидкості зміни магнітного потоку, який пронизує поверхню, обмежену контуром: $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}_\text{i}=-\frac{\Delta\mathrm{\text{Ф}}}{\Delta t}, $$ де \(\Delta\mathrm{\text{Ф}}\) ‒ зміна магнітного потоку, \(\Delta t\) ‒ проміжок часу (знак «мінус» відображає правило Ленца).

Оскільки за умовою змінюється площа, обмежена контуром, маємо: $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}_\text{i}=B\frac{\Delta S}{\Delta t}\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}, $$ де \(B\) ‒ індукція магнітного поля, \(\Delta S\) ‒ зміна площі, обмеженої контуром.

За умовою завдання провідник постійно перебуває в горизонтальній площині перпендикулярно до ліній індукції магнітного поля. Це означає, що лінії індукції магнітного поля паралельні з нормаллю до площини поверхні контуру, тобто кут \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\) між ними дорівнює нулю, \(\cos\ 0^\circ=1,\) тоді $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}_\text{i}=B\frac{\Delta S}{\Delta t}. $$

Розпишімо, чому дорівнює сила струму й опір, і підставимо всі вирази в першу формулу:

де \(q\) ‒ електричний заряд, що пройде через поперечний переріз провідника за час \(\Delta t,\ \ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}\) ‒ питомий опір провідника, \(l\) ‒ довжина провідника, \(S_\text{пп}\) ‒ площа поперечного перерізу провідника.

Визначмо зміну площі \(\Delta S\) обмеженої контуром, що дорівнює різниці площі круга \(S_\text{к}\) і площі квадрата \(S_\text{кв},\) обмежених тим самим провідником довжиною \(l:\) $$ \Delta S=S_\text{к}-S_\text{кв}. $$

Довжина кола \(l=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}r,\) де \(r\) ‒ радіус кола. Отже, площа круга, обмежена цим колом, дорівнюватиме $$ S_\text{к}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}r^2=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}l^2}{4\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}^2}=\frac{l^2}{4\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}. $$

Якщо з провідника довжиною \(l\) утворити квадрат, то сторона квадрата дорівнює \(\frac l4,\) а площа \begin{gather*} S_\text{кв}=\left(\frac{l}{4}\right)^2=\frac{l^2}{16}.\\[6pt] \Delta S=S_\text{к}-S_\text{кв}=\frac{l^2}{4\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}-\frac{l^2}{16}=l^2\left(\frac{4-\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{16\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}\right). \end{gather*}

Обчислімо шукану величину:

Відповідь: 62,5.

ТЕМА: Електродинаміка. Основи електростатики. Закон Кулона. Механіка. Основи динаміки. Рух тіл під дією кількох сил.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати комбіновані задачі з різних розділів фізики.

Запишімо рівняння другого закону Ньютона у векторному вигляді та в проєкціях на осі координат для початкового стану: \begin{gather*} m\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{T}+\overrightarrow{F}_\text{K},\\[6pt] Ox:\ \ \ 0=-T\sin\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}+F_\text{K},\\[6pt] Oy:\ \ \ 0=-mg+T\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}, \end{gather*} де \(m\) ‒ маса кульки, \(\overrightarrow{a}\) ‒ прискорення руху кульки, \(\overrightarrow{g}\) ‒ прискорення вільного падіння, \(\overrightarrow{T}\) ‒ сила натягу нитки, \(\overrightarrow{F}_\text{K}\) ‒ сила Кулона.

Дістаємо систему рівнянь: $$ \left\{ \begin{array}{l} T=\frac{F_\text{K}}{\sin\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}}\\ mg=T\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2} \end{array} \right. $$

Звідси \begin{gather*} mg=\frac{F_\text{K}\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}}{\sin\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}}=F_\text{K}\mathrm{ctg}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}. \end{gather*}

Запишімо рівняння другого закону Ньютона у векторному вигляді та в проєкціях на осі координат, коли кульки занурили в гас: \begin{gather*} m\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{F}_\text{А}+\overrightarrow{T}_\text{г}+\overrightarrow{F}_\text{гК},\\[6pt] Ox:\ \ \ 0=-\overrightarrow{T}_\text{г}\sin\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}+\frac{F_\text{K}}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}},\\[6pt] Oy:\ \ \ 0=-mg+F_\text{А}+T_\text{г}\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}, \end{gather*} де \(\overrightarrow{T}_\text{г}\) ‒ сила натягу нитки в гасі, \(\overrightarrow{F}_\text{гК}\) ‒ сила Кулона, що діє між кульками в гасі, \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}\) ‒ діелектрична проникність гасу, \(\overrightarrow{F}_\text{А}\) ‒ сила Архімеда.

Сила Кулона в гасі зміниться від того, що в іншого середовища інша діелектрична проникність. За умовою кут між нитками не змінився після занурення в гас. Тож відстань між кульками не змінилася. Але на кульки в гасі діє сила Архімеда. Узявши до уваги всі ці умови, дістаємо систему рівнянь: $$ \left\{ \begin{array}{l} T_\text{г}=\frac{F_\text{K}}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}\cdot \sin\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}}\\ mg=F_\text{А}+T_\text{г}\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2} \end{array} \right. $$

Звідси

Складімо систему з отриманих для обох ситуацій рівнянь і розв’яжімо її:

де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{к}\) ‒ густина матеріалу кульок, \(V_\text{к}\) ‒ об’єм кульки, \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{г}\) ‒ густина гасу.

Тобто \begin{gather*} \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{к}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{г}+\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{к}}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}},\\[6pt] \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{к}=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{г}}{1-\frac{1}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}}}\\[6pt] \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{к}=\frac{800\ \text{кг/м}^3}{1-\frac 12}=1600\ \text{кг/м}^3. \end{gather*}

Відповідь: 1600.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Властивості газів, рідин і твердих тіл. Відносна вологість повітря та вимірювання її.

Завдання скеровано на перевірку розуміння і застосування формул абсолютної і відносної вологості.

Відносна вологість \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}\) ‒ фізична величина, якою характеризують ступінь насиченості водяної пари. Вона дорівнює відношенню абсолютної вологості \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{а}\) до густини \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{н.п.}\) насиченої водяної пари за певної температури. Зазвичай відносну вологість подають у відсотках: $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{а}}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{н.п.}}\cdot 100\ \text{%} $$

Абсолютна вологість \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{а}\) ‒ фізична величина, якою характеризують уміст водяної пари в повітрі. Абсолютна вологість чисельно дорівнює масі \(m_{\mathrm{Н_2О}}\) водяної пари, що міститься в повітрі об’ємом \(V=1\ \text{м}^3:\) $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{а}=\frac{m_{\mathrm{Н_2О}}}{V}. $$

Запишімо формули відносної вологості \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}_1\) і \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}_2\) окремо для кожної кімнати до і після того, як між кімнатами розчахнули двері \((\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}):\)

де \(m_1\) і \(m_2\) ‒ маса води в першій і другій кімнатах відповідно, \(V_1\) і \(V_2\) ‒ об’єми першої і другої кімнати відповідно.

За умовою завдання температура повітря в кімнатах була однакова і не змінилася після розчахування дверей. Це означає, що густина \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{н.п.}\) насиченої водяної пари за цієї температури ‒ величина незмінна.

Виразімо маси \(m_1\) і \(m_2\) з формул відносної вологості для окремих кімнат, і підставимо ці вирази у формулу загальної вологості після розчахування дверей:

Відповідь: 72.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Властивості газів, рідин і твердих тіл. Рівняння теплового балансу для найпростіших теплових процесів.

Завдання скеровано на перевірку вміння складати рівняння теплового балансу.

Запишімо в загальному вигляді рівняння теплового балансу:

де \(n\) – кількість тіл, що віддають енергію; \(k\) – кількість тіл, що отримують енергію. Формулюють його так: в ізольованій системі тіл, у якій внутрішня енергія тіл змінюється лише внаслідок теплопередачі, загальна кількість теплоти, віддана одними тілами системи, дорівнює загальній кількості теплоти, отриманої іншими тілами цієї системи.

Запишімо рівняння теплового балансу відповідно до умови завдання, де гаряча вода віддає певну кількість теплоти \(Q_\text{г}\) холодній воді, відповідно холодна вода таку саму кількість теплоти \(Q_\text{х}\) отримає: \begin{gather*} Q_\text{г}^-=Q_\text{х}^+,\\[7pt] Q_\text{г}=cm_\text{г}(t_\text{г}-t_\text{к}), \end{gather*} де \(c\) ‒ питома теплоємність води, \(m_\text{г}\) ‒ маса гарячої води, \(t_\text{г}\) ‒ початкова температура гарячої води, \(t_\text{к}\) ‒ кінцева температура води, що встановилася в калориметрі: $$ Q_\text{х}=cm_\text{х}(t_\text{к}-t_\text{х}), $$ де \(c\) ‒ питома теплоємність води, \(m_\text{х}\) ‒ маса холодної води, \(t_\text{х}\) ‒ початкова температура холодної води, \(t_\text{к}\) ‒ кінцева температура води, що встановилася в калориметрі:

Відповідь: 64.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Механічна робота. Закон збереження енергії в механічних процесах.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати закон збереження механічної енергії під час розв’язування задач про рух тіла під дією кількох сил.

Якщо тілу надати певної швидкості, то воно матиме кінетичну енергію \(E_\mathrm{k}.\) Цієї енергії повинно вистачити, щоб тіло змогло піднятися вздовж похилої площини (кінетична енергія перейде в потенціальну енергію \(E_\mathrm{p}\)), долаючи під час цього силу тертя ковзання. Запишімо закон збереження механічної енергії для руху: $$ E_\mathrm{k}-A=E_\mathrm{p}, $$ де \(A\) ‒ робота сили тертя ковзання, яка є від’ємною, тому що напрямок сили тертя ковзання протилежний до напрямку руху тіла. Робота сили тертя ковзання дорівнює добутку модуля сили тертя ковзання \(F_\text{тер ковз}\) і модуля переміщення \(l\) (де \(l\) ‒ довжина дошки): $$ A=F_\text{тер ковз}\cdot l=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\mu}N\cdot l=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\mu}mg\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\cdot l, $$ де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\mu}\) ‒ коефіцієнт тертя, \(N\) ‒ модуль сили нормальної реакції опори, \(m\) ‒ маса тіла, \(g\) ‒ прискорення вільного падіння, \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\) ‒ кут нахилу похилої площини (під час руху похилою площиною сила нормальної реакції опори дорівнює проєкції сили тяжіння на вісь \(Oy\)). Щоб унаочнити умову завдання і дібрати спосіб розв’язання, скористаймося схематичним рисунком.

Отже,

Відповідь: 6.

ТЕМА: Електродинаміка. Основи електростатики. Електроємність плоского конденсатора. Енергія електричного поля.

Завдання скеровано на перевірку знання і застосування формул для обчислення електроємності плоского конденсатора й енергії електричного поля конденсатора.

1. Конденсатор, складений із двох паралельних металевих пластин (обкладок), розділених шаром діелектрика, називають плоским. Електроємність \(C\) плоского конденсатора обчислюють за формулою $$ C=\frac{\varepsilon_0\varepsilon S}{d}, $$ де \(\varepsilon_0\) ‒ електрична стала; \(\varepsilon\) ‒ діелектрична проникність діелектрика; \(S\) ‒ площа пластини конденсатора; \(d\) ‒ відстань між пластинами.

Підставмо у формулу значення величин, виражених у системі СІ, й обчислімо електроємність конденсатора:

Відповідь: 45.

2. Заряджений конденсатор має енергію. Цю енергію точніше було б назвати енергією електростатичного поля, яке існує між обкладками зарядженого конденсатора, оскільки енергія будь-яких заряджених тіл зосереджена в електричному полі, створюваному цими тілами.

Отже, обчислімо енергію \(W,\) що виділиться під час розряджання конденсатора. Вона дорівнює половині добутку електроємності \(C\) і квадрата напруги \(U\) на конденсаторі:

Відповідь: 36.

Відповідь: 1. 45. 2. 36.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Закон всесвітнього тяжіння. Сила тяжіння. Рух штучних супутників. Перша космічна швидкість.

Завдання скеровано на перевірку розуміння і застосування закону всесвітнього тяжіння, а також розуміння руху штучних супутників.

1. Для того, щоб об’єкт рухався біля планети коловою орбітою, йому необхідно надати швидкість, яку називають першою космічною швидкістю.

Візьмемо до уваги, що саме сила тяжіння \(F_\text{тяж}\) надає тілу масою \(m\) доцентрового прискорення \(a_\text{доц}\) (див. рисунок).

За другим законом Ньютона \(F_\text{тяж}=ma_\text{доц,}\) де за законом всесвітнього тяжіння $$ F_\text{тяж}=G\frac{mM}{(R + h)^2}, $$ отже, $$ a_\text{доц}=\frac{GM}{(R + h)^2} $$ (\(G\) ‒ гравітаційна стала, \(M\) ‒ маса планети, \(R\) ‒ радіус планети, \(h\) ‒ висота над поверхнею планети). Позначмо буквою \(r\) відстань від центра планети до супутника \((R+h)\) і запишімо формули для визначення доцентрового прискорення обох супутників: \begin{gather*} a_{1\text{доц}}=\frac{GM}{r^2_1},\\[6pt] a_{2\text{доц}}=\frac{GM}{r^2_2}. \end{gather*}

Обчислімо, у скільки разів прискорення руху першого супутника більше за прискорення руху другого супутника, урахувавши співвідношення їхніх радіусів: $$ \frac{a_{1\text{доц}}}{a_{2\text{доц}}}=\frac{GM}{r_1^2}:\frac{GM}{r^2_2}=\frac{GM\cdot 16r^2_1}{r^2_1\cdot GM}=16. $$

Отже, \(a_\text{1доц}\gt a_\text{2доц}\) у \(16\) разів.
Відповідь: 16.

2. Формули для обчислення перших космічних швидкостей руху супутників виведемо з формул для їхніх доцентрових прискорень: \begin{gather*} a_\text{1доц}=\frac{v^2_1}{r_1}\Rightarrow v^2_1=a_\text{1доц}\cdot r_1,\\[6pt] a_\text{2доц}=\frac{v^2_2}{r_2}\Rightarrow v^2_2=a_\text{2доц}\cdot r_2. \end{gather*}

Обчислімо, у скільки разів швидкість \(v_1\) руху першого супутника більша за швидкість \(v_2\) руху другого супутника:

Отже, \(v_1\gt v_2\) у \(2\) рази.
Відповідь: 2.

Відповідь: 1. 16. 2. 2.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння явищ геометричної і хвильової оптики.

Заломлення ‒ це явище зміни напрямку поширення хвилі під час її проходження через плоску межу двох однорідних середовищ.

Дифракція ‒ це явище потрапляння світлових хвиль в область геометричної тіні, тобто відхилення їх від прямолінійного поширення.

Дисперсія ‒ це явище залежності показника заломлення середовища від довжини електромагнітної хвилі.

Інтерференція ‒ це явище накладання когерентних хвиль, унаслідок якого спостерігається стійка в часі картина посилення їх та послаблення в різних точках простору.

Відповідь: 1Б, 2Д, 3А, 4Г.