ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Кінетична і потенціальна енергія.

Завдання скеровано на перевірку розуміння графіків функціональної залежності фізичних величин, що ними описано прямолінійний рівноприскорений рух.

Кінетична енергія \(E_\text{к}\) ‒ це фізична величина, яка є характеристикою механічного стану рухомого тіла й дорівнює половині добутку маси \(m\) тіла на квадрат швидкості \(v\) його руху: $$ E_\text{к}=\frac{mv^2}{2}. $$

Отже, кінетична енергія пропорційна квадрату швидкості \(E_\text{к}\sim v^2.\) Рух тіла, кинутого вертикально вгору, є рівноприскореним, тому швидкість руху визначмо за відповідним кінематичним рівнянням (у проєкціях на вертикальну, напрямлену вгору вісь \(Oy\)): $$ v=v_0->. $$

З рівняння випливає, що швидкість руху тіла прямо пропорційна часу: $$ v\sim t, $$ відповідно квадрат швидкості пропорційний квадрату часу: $$ v^2\sim t^2. $$

Тож і кінетична енергія пропорційна квадрату часу: $$ E_\text{к}\sim t^2. $$

Графіком залежності кінетичної енергії від часу (квадратичної функції) є парабола. З огляду на це варіанти відповіді А і Г неправильні.

Оскільки тіло піднімається, то кінетична енергія зменшуватиметься, тіло сповільнюватиметься, а потенціальна енергія зростатиме. Такому рухові відповідатиме парабола, вітки якої напрямлені вгору: із плином часу кінетична енергія зменшуватиметься до нуля у максимальній точці підняття, а коли тіло почне падати, кінетична енергія почне зростати до початкового значення, оскільки за умовою опором повітря нехтуємо, утрат механічної енергії немає.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Графіки залежності кінематичних величин від часу рівномірного й рівноприскореного рухів.

Завдання скеровано на перевірку вміння читати графіки й описувати їх кінематичними рівняннями.

Оскільки графіками залежності координати \(x\) від часу \(t\) є ділянки прямих, то за характером руху та за формою траєкторії це рівномірний прямолінійний рух. Для рівномірного прямолінійного руху рівняння координати таке: $$ x=x_0+v_\mathrm{x}t, $$ де \(x_0\) ‒ початкова координата, \(v_\mathrm{x}\) ‒ проєкція швидкості на горизонтальну вісь, уздовж якої рухається тіло.

Розгляньмо кожен момент часу, коли змінюються графіки.

Запишімо рівняння координати для ділянок від \(0\) до \(1,5\ \text{с}\) кожного графіка, скорочено позначивши дані щодо кольору графіків: чорний ‒ «ч» і сірий ‒ «с» відповідно:

Отже, у момент часу \(1\) с швидкості руху тіл різні.

Розгляньмо ділянки від \(1,5\) до \(2,5\ \text{с}\) обох графіків і запишімо рівняння координати для цих ділянок:

Отже, у момент часу \(2\ \text{с}\) швидкості руху обох тіл однакові \(v_{2\text{ч}}=v_{2\text{с}}.\) Знак «мінус» указує на те, що тіла рухались у напрямку, протилежному до напрямку вибраної горизонтальної осі.

Розгляньмо ділянки від \(2,5\ \text{с}\) обох графіків і запишімо рівняння координати для цих ділянок:

Отже, у моменти часу \(3\ \text{с}\) і \(4\ \text{с}\) швидкості руху тіл різні.

Можна, не обчислюючи значення швидкості для кожного моменту часу, визначити, які ділянки графіків відповідатимуть однаковим швидкостям.

Рівняння координати \(x=x_0+v_\mathrm{x}t\) відповідає лінійній математичній функції \(y=b+kx\) (рис. 1). Коефіцієнт \(k\) називають кутовим коефіцієнтом цієї функції.

Рис. 1. Графік лінійної функції, яка зростає

Від коефіцієнта \(k\) залежить кут, який побудована пряма утворює з додатним напрямком осі \(Ox.\) На рисунку 2 показано паралельні прямі з однаковим кутовим коефіцієнтом \(k.\)

Рис. 2. Прямі з однаковим кутовим коефіцієнтом \(k\)

Отже, використавши геометричний зміст графіків, наведених в умові, можна без обчислень дійти висновку, що швидкості руху будуть однакові, якщо ділянки графіків нахилені під однаковим кутом до осі \(Ox,\) тобто паралельні між собою. Це відповідає моменту часу \(2\ \text{с}.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Другий закон Ньютона.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати другий закон Ньютона.

Другий закон Ньютона: прискорення \(\overrightarrow{a},\) якого набуває тіло внаслідок дії сили \(\overrightarrow{F},\) прямо пропорційне цій силі та обернено пропорційне масі \(m\) тіла: $$ \overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{F}}{m}. $$

Виразімо з формули шукану величину масу й запишімо її у проєкціях на горизонтальну вісь \(Ox,\) уздовж якої рухається тіло: $$ m=\frac Fa. $$

Визначмо прискорення як відношення зміни швидкості руху тіла до інтервалу часу, за який ця зміна відбулася (теж у проєкціях на вісь \(Ox\)): $$ a=\frac{v-v_0}{t}, $$ де \(v_0\) ‒ початкова швидкість руху тіла в момент початку відліку часу, \(v\) ‒ швидкість руху тіла через деякий інтервал часу \(t.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Система відліку.

Завдання скеровано на перевірку знання поняття «система відліку» і розуміння відносності механічного руху.

Механічний рух ‒ зміна із часом положення тіла (або частин тіла) у просторі відносно інших тіл. Доки не вибрано систему відліку, неможливо стверджувати, рухається тіло чи перебуває в стані спокою.

Якщо людина підніматиметься по ескалатору зі швидкістю \(2,5\ \text{м/с,}\) то, за законом додавання швидкостей, вона рухатиметься відносно Землі з подвійною швидкістю \(5\ \text{м/с.}\)

Якщо людина стоятиме на ескалаторі, то відносно Землі вона рухатиметься з тією самою швидкістю, що й ескалатор, тобто \(2,5\ \text{м/с.}\)

Якщо ж людина спускатиметься по ескалатору з такою самою швидкістю, із якою він піднімається, то відносно ескалатора людина рухатиметься зі швидкістю \(2,5\ \text{м/с,}\) а відносно системи відліку, пов’язаної із Землею, людина не змінюватиме своє положення із часом, тобто перебуватиме в стані спокою.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Квантова фізика. Елементи теорії відносності. Атом та атомне ядро. Поділ ядер Урану.

Завдання скеровано на перевірку розуміння поділу ядер урану.

Спочатку обчислімо кількість \(N\) ядер Урану, які мають розпастися з вивільненням енергії \(96\ \text{МДж}.\) Розділимо цю загальну енергію на енергію поділу одного ядра:

Кількість структурних частинок речовини можна визначити, знаючи \(m\) ‒ масу речовини, \(M\) ‒ молярну масу речовини, \(N_\mathrm{A}\) ‒ сталу Авогадро: $$ N=\frac mM\cdot N_\mathrm{A}. $$

Звідси виразімо масу ядер Урану й обчислімо її:

Відповідь: 1,175.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Дифракційні ґратки й використання їх для визначення довжини світлової хвилі.

Завдання скеровано на перевірку знання принципу дії дифракційної ґратки й розуміння формули, що описує її.

Запишімо формулу дифракційної ґратки: $$ d\cdot \sin\mathbf{\varphi}=k\mathbf{\lambda}, $$ де \(d\) ‒ період або стала ґратки ‒ загальна ширина непрозорої і прозорої ділянок, кут \(\mathbf{\varphi}\) ‒ шуканий кут, під яким спостерігають дифракційний максимум другого порядку, \(k\) ‒ ціле число, відповідає максимуму певного порядку (тут \(k=2\)), \(\mathbf{\lambda}\) ‒ довжина світлової хвилі.

Обчислімо спочатку синус кута \(\mathbf{\varphi}\), а потім градусну міру кута: \begin{gather*} $1\mathbf{\varphi}=\frac{k\mathbf{\lambda}}{2},\\[6pt] $1\mathbf{\varphi}=\frac{2\cdot 500\cdot 10^{-9}\ \text{м}}{2\cdot 10^{-6}\ \text{м}}=0,5,\\[6pt] \mathbf{\varphi}=30^\circ. \end{gather*}

Відповідь: 30.

ТЕМА: Електродинаміка. Закони постійного струму. Закон Ома для повного кола.

Завдання скеровано на перевірку застосування закону Ома для повного кола.

Запишімо закон Ома для повного кола для обох ситуацій: \begin{gather*} I_1=\frac{\mathbf{\varepsilon}}{R_1+r},\\[6pt] I_2=\frac{\mathbf{\varepsilon}}{R_2+r}, \end{gather*} де \(I_1\) ‒ сила струму, коли підключили зовнішній опір \(R_1,\)
\(I_2\) ‒ сила струму, коли підключили зовнішній опір \(R_2,\)
\(\mathbf{\varepsilon}\) ‒ електрорушійна сила джерела струму,
\(r\) ‒ внутрішній опір джерела струму.

Електрорушійна сила і внутрішній опір джерела струму є його сталими характеристиками, який би зовнішній опір не підключали. Тому виразімо електрорушійну силу з обох формул і прирівняємо ці вирази: \begin{gather*} \mathbf{\varepsilon}=I_1R_1+I_1r=U_1+\frac{U_1}{R_1}\cdot r,\\[6pt] \mathbf{\varepsilon}=I_2R_2+I_2r=U_2+\frac{U_2}{R_2}\cdot r,\\[6pt] U_1+\frac{U_1}{R_1}\cdot r=U_2+\frac{U_2}{R_2}\cdot r. \end{gather*}

Виведімо формулу для обчислення внутрішнього опору джерела струму:

Відповідь: 4.

ТЕМА: Електродинаміка. Основи електростатики. Потенціал, різниця потенціалів.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння руху зарядженої частинки в електричному полі.

Силові лінії поля напрямлені завжди в бік зменшення потенціалу, а порошинка рухається в напрямку, протилежному до напрямку силових ліній електричного поля, отже, потенціал \(\mathbf{\varphi}_2\) точки, у якій порошинка зупиниться, буде більший за потенціал \(\mathbf{\varphi}_1\) точки, з якої вона вилітає:

Скористаймося законом збереження енергії порошинки в електричному полі: $$ q\mathbf{\varphi}_1+\frac{mv^2_1}{2}=q\mathbf{\varphi}_2+\frac{mv^2_2}{2}, $$ де вирази \(q\mathbf{\varphi}_1\) і \(q\mathbf{\varphi}_2\) ‒ це потенціальні енергії порошинки в точках поля з певним потенціалом, а вирази \(\frac{mv^2_1}{2}\) і \(\frac{mv^2_2}{2}\) ‒ це кінетичні енергії порошинки в цих точках.

Візьмемо до уваги, що $$ v_2=0, $$ бо за умовою порошинка має зупинитися, а заряд порошинки позитивний.

Відповідно

Відповідь: 200.

ТЕМА: Електродинаміка. Закони постійного струму. Робота і потужність електричного струму.

Завдання скеровано на перевірку розуміння, що є корисною, а що – повною кількістю теплоти під час роботи електронагрівача.

Запишімо формулу для визначення коефіцієнта корисної дії \(\mathbf{\eta}\) нагрівача електрочайника: \begin{gather*} \mathbf{\eta}=\frac{Q_\text{к}}{Q_\text{п}}\cdot 100\ \text{%}, \end{gather*} де \(Q_\text{к}\) ‒ корисна кількість теплоти, яка потрібна, щоб довести воду за температури \(34\ ^\circ \text{C}\) до кипіння \((100\ ^\circ \text{C}),\) \(Q_\text{п}\) ‒ повна кількість теплоти, що може виділитися під час проходження електричного струму через нагрівач електрочайника.

У формулі $$ Q_\text{к}=cm(t_\text{к}-t_\text{в})=c\mathbf{\rho}V(t_\text{к}-t_\text{в}) $$ \(c\) ‒ питома теплоємність, \(m\) ‒ маса, \(t_\text{к}\) ‒ температура кипіння, \(t_\text{в}\) ‒ температура, \(\mathbf{\rho}\) ‒ густина, \(V\) ‒ об᾽єм води.

Повну кількість теплоти можна визначити за законом Джоуля ‒ Ленца:

Або ж за формулою для визначення роботи \(A\) електричного струму: \begin{gather*} Q_\text{п}=A=UI\mathbf{\tau} \end{gather*} де \(U\) ‒ напруга в мережі, \(I\) ‒ сила струму, \(\mathbf{\tau}\) ‒ час, протягом якого нагрівали воду.

Підставмо вирази для корисної і повної кількості теплоти у формулу для коефіцієнта корисної дії і визначимо силу струму:

Відповідь: 6,25.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи термодинаміки. Коефіцієнт корисної дії теплового двигуна і його максимальне значення.

Завдання скеровано на перевірку розуміння принципу дії теплових двигунів і вміння визначати різними способами коефіцієнт корисної дії та фізичні величини, які на нього впливають.

Коефіцієнт корисної дії (ККД) \(\mathbf{\eta}\) ‒ фізична величина, якою характеризують економічність теплового двигуна. Він дорівнює відношенню корисної роботи \(A,\) виконуваної двигуном за цикл, до кількості теплоти \(Q,\) одержуваної від нагрівника: $$ \mathbf{\eta}=\frac AQ. $$

Корисна робота двигуна полягає в подоланні сили опору руху візка \(F:\) $$ A=F\cdot s=F\cdot vt, $$ де \(s\) ‒ шлях, який долає візок, за час \(t,\ v\) ‒ швидкість руху візка.

Також коефіцієнт корисної дії такого двигуна можна визначити за формулою $$ \mathbf{\eta}=\frac{T_\text{Н}-T_\text{Х}}{T_\text{Н}}, $$ де \(T_\text{Н}\) ‒ температура нагрівника; \(T_\text{Х}\) ‒ температура холодильника.

Прирівняймо ці два вирази для обчислення коефіцієнта корисної дії: \begin{gather*} \frac AQ=\frac{T_\text{Н}-T_\text{Х}}{T_\text{Н}},\\[6pt] \frac{F\cdot vt}{Q}=\frac{T_\text{Н}-T_\text{Х}}{T_\text{Н}}. \end{gather*}

Виразімо звідси модуль швидкості руху візка й обчислімо його:

Відповідь: 2.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Властивості газів, рідин і твердих тіл. Рівняння теплового балансу для найпростіших теплових процесів.

Завдання скеровано на перевірку розуміння переходу кількості теплоти під час теплових процесів.

Запишімо рівняння теплового балансу для процесу, описаного в умові завдання: $$ Q_1=Q_2+Q_3, $$ де \(Q_1\) ‒ це кількість теплоти, що віддасть вода льоду, \(Q_2\) ‒ кількість теплоти, необхідна, щоб нагріти лід від температури \(‒10\ ^\circ \mathrm{C}\) до температури плавлення \(0 ^\circ \mathrm{C},\) \(Q_3\) ‒ кількість теплоти, потрібна для плавлення льоду.

Під час плавлення температура льоду не змінюватиметься, оскільки вся кількість теплоти піде на руйнування кристалічних ґраток льоду і перехід його з твердого стану в рідкий.

Отже, кінцевою температурою води, яку доливатимемо в посудину, і води, яку отримаємо після плавлення (танення) льоду, буде температура \(0 ^\circ \mathrm{C}.\) \begin{gather*} Q_1=c_\text{в}m_\text{в}(t_\text{в}-0), \end{gather*} де \(c_\text{в}\) ‒ питома теплоємність води, \(m_\text{в}\) ‒ шукана маса води, \(t_\text{в}\) ‒ початкова температура води; $$ Q_2=c_\text{л}m_\text{л}(0-t_\text{л}), $$ де \(c_\text{л}\) ‒ питома теплоємність льоду, \(m_\text{л}\) ‒ маса льоду, \(t_\text{л}\) ‒ початкова температура льоду; $$ Q_3=\mathbf{\lambda}m_\text{л}, $$ де \(\mathbf{\lambda}\) ‒ питома теплоємність плавлення льоду.

Підставімо всі вирази для кількості теплоти в рівняння теплового балансу й визначімо необхідну масу води: \begin{gather*} c_\text{в}m_\text{в}(t_\text{в}-0)=c_\text{л}m_\text{л}(0-t_\text{л})+\mathbf{\lambda}m_\text{л},\\[6pt] m_\text{в}=\frac{m_\text{л}(c_\text{л}(0-t_\text{л})+\mathbf{\lambda})}{c_\text{в}(t_\text{в}-0)}. \end{gather*}

Зміна температури за шкалою Кельвіна дорівнює зміні температури за шкалою Цельсія: $$ \Delta T=\Delta t, $$ де \(T\) ‒ абсолютна температура за шкалою Кельвіна, тобто ціна поділки шкали Кельвіна дорівнює ціні поділки шкали Цельсія: $$ 1\ ^\circ \mathrm{C}=1\ \text{K}. $$

Відповідно

Відповідь: 8,5.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний і рівноприскорений рухи.

Завдання скеровано на перевірку розуміння характеру руху тіл.

Позначимо сталу – модуль швидкості руху потягу – \(v.\) Тоді відстань \(s_\text{п},\) яку пройшов потяг за час \(t\) від моменту відчеплення до моменту зупинки вагона, можна визначити за формулою для обчислення відстані під час прямолінійного рівномірного руху: $$ s_\text{п}=v\cdot t. $$

Час руху потяга на цьому відрізку шляху такий самий, як і час руху відчепленого останнього вагона до зупинки. Вагон рівномірно сповільнюватиметься. Його початковою швидкістю \(v_0\) буде швидкість руху потягу \(v,\) а кінцева швидкість \(v_\text{к}\) дорівнюватиме нулю.

Отже, $$ s_\text{в}=\frac{v_0+v_\text{к}}{2}\cdot t=\frac v2\cdot t, $$ де \(s_\text{в}\) ‒ відстань, яку пройшов вагон до зупинки.

Виразімо із цієї формули час руху вагона \(t\) і підставімо цей вираз у формулу для відстані, яку пройшов потяг:

Відповідь: 400.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Побудова зображень, які дає тонка лінза.

Завдання скеровано на перевірку знання і вміння будувати зображення в тонкій лінзі і плоскому дзеркалі.

Побудуймо хід променів відповідно до умови завдання: після проходження крізь лінзу (один промінь паралельно головній оптичній осі і далі уявно через фокус лінзи, а другий промінь ‒ через оптичний центр лінзи не заломлюючись) промені за законами відбивання відбиваються від плоского дзеркала під тими самими кутами, що й упали на дзеркало, і знову проходять крізь лінзу (див. рисунок).

1. Розгляньмо прямокутні \(\Delta COF\) і \(\Delta EDF:\) вони подібні за гострим кутом, отже, \(\frac{OF}{OD}=\frac{10}{5}=2,\) відповідно \(\frac{CO}{ED}=2,\) звідки \(ED=\frac 12 CO,\) і відповідно \(ED=\frac 12 AB,\) тобто дорівнюватиме половині висоти \(AB\) предмета.

Розгляньмо прямокутні \(\Delta ABO\) і \(\Delta OMK:\) вони рівні за катетом і прилеглим гострим кутом. Також \(\Delta OMK = \Delta NMK\) (за побудовою):

\(A'B'ON\) ‒ прямокутник (за побудовою), \(ON = A'B'.\)

Розгляньмо прямокутні \(\Delta CDO\) і \(\Delta A'B'O:\) вони подібні за гострим кутом, отже, $$ \frac{ED}{A'B'}=\frac{OD}{B'O}=\frac 14. $$

Отже, $$ B'O=OD\cdot 4=20\ \text{см}, $$ де \(B'O\) ‒ відстань від лінзи до зображення \(A'B'\) предмета \(AB.\)

Відповідь: 20.

2. Як уже було доведено в пункті 1, $$ AB=\frac 12 ON,\ \text{а}\ ON=A'B', $$ отже, $$ AB=\frac 12 A'B'. $$ А це означає, що така система дає збільшення у \(2\) рази.

Відповідь: 2.

Відповідь: 1. 20. 2. 2.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Закон збереження імпульсу. Закон збереження енергії в механічних процесах.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати закони збереження імпульсу і енергії.

1. За умовою удар куль був непружний, центральний.

Якщо швидкості руху тіл до і після зіткнення (пружного чи непружного) напрямлені вздовж прямої, що проходить через центри мас цих тіл, таке зіткнення називають центральним.

Якщо після зіткнення частина кінетичної енергії перетворюється на внутрішню енергію (витрачається на деформацію та нагрівання тіл), таке зіткнення називають непружним. Після такого удару тіла рухаються як єдине ціле.

Опишімо рух куль до і після удару за допомогою закону збереження імпульсу у векторному вигляді та в проєкціях на вісь \(OX:\) \begin{gather*} m_1\overrightarrow{v}_1+m_2\overrightarrow{v}_2=(m_1+m_2)\overrightarrow{v},\\[7pt] m_1v_1+m_2v_2=(m_1+m_2)v, \end{gather*} де \(m_1\) ‒ маса більшої кулі, що рухалася з більшою швидкістю \(\overrightarrow{v}_1,\ m_2\) ‒ маса меншої кулі, що рухалася з меншою швидкістю \(\overrightarrow{v}_2,\ \overrightarrow{v}\) – швидкість руху куль після удару.

Обчислімо швидкість руху куль після удару:

Відповідь: 4.

2. Запишімо закон збереження енергії: \begin{gather*} \frac{m_1v^2_1}{2}+\frac{m_1v^2_2}{2}=\frac{(m_1+m_2)v^2}{2}+Q, \end{gather*} де \(Q\) ‒ утрачена кінетична енергія після удару куль.

Обчислімо її:

Відповідь: 0,6.

Відповідь: 1. 4. 2. 0,6.