ТЕМА: Електродинаміка. Основи електростатики. Конденсатори.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння залежності між зарядом конденсатора й напругою на його обкладках.

Зарядом конденсатора називають модуль заряду однієї з його обкладок. Відношення заряду q конденсатора до різниці потенціалів \((\mathbf{\varphi_1}-\mathbf{\varphi_2})\) між його обкладками не залежить ані від \(q,\) ані від \((\mathbf{\varphi_1}-\mathbf{\varphi_2}),\) тож може слугувати характеристикою конденсатора. Таку характеристику називають електроємністю конденсатора \(C.\)

Електроємність конденсатора визначають за формулами: \begin{gather*} C=\frac{q}{\mathbf{\varphi_1}-\mathbf{\varphi_2}},\\[6pt] \text{або}\ C=\frac{q}{U}, \end{gather*} де \(U\) ‒ напруга між обкладками, яка тут дорівнює різниці потенціалів між ними.

Отже, заряд конденсатора прямо пропорційний напрузі, прикладеній до його пластин: $$ q=C\cdot U\Rightarrow q\sim U. $$

Графіком такої залежності є пряма ‒ графік А.

Наприклад, під час розряджання конденсатора напруга між його обкладками спадатиме прямо пропорційно заряду \(q\) від первинного значення \(U\) до \(0.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Електродинаміка. Основи електростатики. Закон збереження електричного заряду.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати закон збереження електричного заряду.

Закон збереження електричного заряду: повний заряд електрично замкненої системи тіл залишається незмінним під час усіх взаємодій, які відбуваються в цій системі: $$ q_1+q_2+\cdots +q_n=\mathrm{const}, $$ де \(q_1,\ q_2,\ \cdots ,\ q_n\) ‒ заряди тіл, які утворюють систему; \(n\) ‒ кількість тіл.

За умовою \begin{gather*} q_1=-q.\\[7pt] q_2=+3q, \end{gather*} Отже, після дотику заряд перерозподілиться порівну між кульками, і заряд кульки \(1\) дорівнюватиме заряду кульки \(2:\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Властивості газів, рідин і твердих тіл. Сила поверхневого натягу.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння поняття поверхневого натягу й чинників, які на нього впливають.

Сили поверхневого натягу намагаються ніби стягнути поверхню. Якщо по один бік від соломинки налили мильного розчину, то цим послабили силу поверхневого натягу, як порівняти із чистою водою. Отже, рівнодійна \(F\) дорівнюватиме різниці сил поверхневого натягу чистої води \(F_\text{пн води}\) і мильного розчину \(F_\text{пн розчину}\). І напрямлена буде в бік чистої води:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи термодинаміки. Закон збереження енергії в теплових процесах (перший закон термодинаміки).

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння першого закону термодинаміки й уміння застосовувати його в конкретних ситуаціях.

У термодинаміці розглядають системи, механічна енергія яких під час переходу з одного термодинамічного стану в інший не змінюється. У такому разі, якщо зовнішні сили виконали роботу \(A'\) й водночас системі передано певну кількість теплоти \(Q,\) то вся енергія йде на зміну внутрішньої енергії системи \(\Delta U.\)

Закон збереження та перетворення енергії в такому разі називають першим законом (началом) термодинаміки.

На практиці частіше розглядають не роботу зовнішніх сил \(A',\) а роботу \(A,\) яку виконує дана система проти зовнішніх сил.

З огляду на те, що $$ A'=-A, $$ перший закон (начало) термодинаміки можна сформулювати так:
кількість теплоти \(Q,\) передана системі, йде на зміну внутрішньої енергії системи \(\Delta U\) та на виконання системою роботи \(A\) проти зовнішніх сил: $$ Q=\Delta U+A. $$

Якщо система одержує певну кількість теплоти, то в наведеній формулі \(Q\) беремо зі знаком + (плюс), якщо внутрішня енергія системи зменшилася, то записуємо \(\Delta U\) зі знаком – (мінус): $$ Q=-\Delta U+A. $$

Відповідь: B.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи молекулярно-кінетичної теорії. Середня квадратична швидкість теплового руху молекул.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння поняття середньої квадратичної швидкості руху молекул.

Запишімо основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії, яке показує залежність тиску \(p\) ідеального газу від маси \(m_0\) його молекул і середнього квадрата швидкості \(\overline{v^2}\) їхнього руху: $$ p=\frac 13m_0n\overline{v^2}. $$

Зауважмо, що \(m_0\) ‒ це маса однієї молекули, а \(n\) ‒ це концентрація молекул газу, що дорівнює кількості \(N\) молекул в одиниці об’єму \(V:\) $$ n=\frac NV. $$

Отже, \begin{gather*} p=\frac 13m_0\cdot \frac NV\cdot \overline{v^2}=\frac{m\cdot \overline{v^2}}{3V}, \end{gather*} де \(m=m_0\cdot N\) ‒ маса газу.

Середня квадратична швидкість пов’язана із середнім квадратом швидкості таким співвідношенням: \begin{gather*} \overline{v}_\text{кв}=\sqrt{\overline{v^2}}. \end{gather*}

Звідси \begin{gather*} \overline{v^2}=(\overline{v}_\text{кв})^2. \end{gather*}

Підставімо цей вираз для середнього квадрату швидкості в основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії і визначімо середню квадратичну швидкість:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Механіка. Елементи механіки рідин та газів. Гідростатичний тиск. Атмосферний тиск.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння атмосферного і гідростатичного тисків та їхніх властивостей.

На повітря під ртуттю тисне повітря (позначмо цей тиск як \(p_\text{атм}\)), що заходить через відкритий верхній кінець, і стовпчик ртуті, гідростатичний тиск якого позначмо \(p_\text{гідр1}.\) Тиск повітря під ртуттю позначмо \(p_\text{п1}.\) Прирівняймо ці тиски: $$ p_\text{п1}=p_\text{атм}+p_\text{гідр1}=p_\text{атм}+\mathbf{\rho}gh_1, $$ де \(\mathbf{\rho}\) ‒ густина ртуті, \(g\) ‒ прискорення вільного падіння, \(h_1\) ‒ висота стовпчика ртуті.

Повітря під ртуттю за умовою має надлишковий тиск \(p_\text{надл}.\) Можемо зробити висновок, що надлишковий тиск повітря під ртуттю дорівнюватиме гідростатичному тиску стовпчика ртуті: $$ p_\text{надл}=p_\text{гідр1}. $$

Обчислімо тиск повітря під ртуттю: $$ p_\text{п1}=1\ \text{атм}+0,2\ \text{атм}=1,2\ \text{атм}. $$

Коли ж нахилити трубку, зміниться гідростатичний тиск ртуті, який залежить від висоти (див. рисунок) стовпчика рідини в посудині: $$ p_\text{гідр2}=\mathbf{\rho}gh_2=\mathbf{\rho}gh_1\cos 60^\circ. $$

Тоді тиск повітря під стовпчиком ртуті дорівнюватиме:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Закон збереження імпульсу.

Завдання скеровано на перевірку знання і вміння застосовувати закон збереження імпульсу.

Скористаймося законом збереження імпульсу для системи тіл криголам ‒крижина: $$ \overrightarrow{p}_1+\overrightarrow{p}_2=\overrightarrow{p'}_1+\overrightarrow{p'}_2, $$ де \(\overrightarrow{p}_1\) і \(\overrightarrow{p}_2\) ‒ імпульси криголама і крижини до зіткнення, \(\overrightarrow{p'}_1\) і \(\overrightarrow{p'}_2\) ‒ імпульси криголама і крижини після зіткнення відповідно.

Спроєктуймо вектори імпульсів цього рівняння на горизонтальну вісь, що напрямлена вздовж напрямку руху криголама й, відповідно, руху криголама разом із крижиною після зіткнення: $$ p_1=p'_1+p'_2, $$ \(p_2=0,\) оскільки до зіткнення крижина була нерухома за умовою.

Візьмімо до уваги, що після зіткнення криголам масою \(m_1\) і крижина масою \(m_2\) рухатимуться разом, тобто з однаковою швидкістю \(v':\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Другий закон Ньютона.

Завдання скеровано на перевірку другого закону Ньютона.

Відповідно до другого закону Ньютона тіло масою \(m\) внаслідок дії сили набуває прискорення, модуль якого обчислімо за формулою:

Отже, під дією сили тіло буде рухатися рівноприскорено, із прискоренням \(2\ \text{м/с}^2.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний рух по колу. Лінійна і кутова швидкості.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння характеристик рівномірного руху по колу.

За періодом \(T\) обертання та радіусом \(R\) колової траєкторії легко визначити лінійну швидкість \(v\) рівномірного руху тіла по колу. Дійсно, за час \(t\) одного оберту \((t=T)\) тіло долає відстань, що дорівнює довжині кола \(l\): $$ l=2\mathbf{\pi}R. $$

Оскільки \(v=\frac <,\) маємо: $$ v=\frac{2\mathbf{\pi}R}{T}. $$

Запишімо відповідні формули для визначення лінійних швидкостей стрілок годинника:

За умовою хвилинна стрілка вдвічі довша за годинну. Оскільки йдеться про рух кінців цих стрілок, то довжини стрілок – це радіуси обертання кінців стрілок – хвилинної \(R_\text{хв}\) і годинної \(R_\text{год}:\) $$ R_\text{хв}=2R_\text{год}. $$

Тоді період обертання хвилинної стрілки становитиме \(1\) годину: $$ T_\text{хв}=60\ \text{хв}=1\ \text{год}. $$

А період обертання годинної стрілки – \(12\) годин: $$ T_\text{год}=12\ \text{год}. $$

Запишімо відношення лінійних швидкостей стрілок годинника і обчислімо його:

Отже, лінійна швидкість хвилинної стрілки \(v_\text{хв}\) більша за лінійну швидкість годинної стрілки \(v_\text{год}\) у \(24\) рази.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Графіки залежності кінематичних величин від часу у рівномірному і рівноприскореному рухах.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння характеристик прямолінійного рівномірного і рівноприскореного рухів.

Проаналізуймо всі ділянки й точки графіка залежності проєкції швидкості прямолінійного руху тіла від часу.

У точці А тіло має певну початкову швидкість, відмінну від нуля, а далі продовжує рухатися прямолінійно рівноприскорено (ділянка АБ).

Від моменту часу, що відповідає точці Б, тіло сповільнює свій рух (ділянка БB), потім зупиняється (точка B).

Після зупинки в точці В тіло набирає швидкість, рухаючись у протилежному напрямку (ділянка BГ).

Продовжуючи рух з моменту часу, що відповідає точці Г, тіло рухається зі сталою швидкістю – прямолінійний рівномірний рух.

Отже, зміна напрямку руху відбувається в момент часу, що відповідає точці В.

Відповідь: В.

ТЕМА: Квантова фізика. Елементи теорії відносності. Світлові кванти. Кванти світла (фотони).

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння імпульсу тіла та імпульсу фотона.

Імпульс тіла \(\overrightarrow{p}\) ‒ це векторна фізична величина, яка дорівнює добутку маси \(m\) тіла на швидкість \(\overrightarrow{v}\) його руху: $$ \overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}. $$

Отже, в проєкціях на вісь \(Ox\) імпульс електрона \(p_e\) дорівнюватиме: $$ p_e=mv. $$

Імпульс фотона \(p_\text{ф}\) дорівнює відношенню його енергії \(E\) до швидкості руху \(c\) та обернено пропорційний довжині хвилі \(\mathbf{\lambda}\) фотона: $$ p_\text{ф}=\frac Ec=\frac{h\mathbf{\nu}}{c}=\frac{h}{\mathbf{\lambda}}. $$

За умовою імпульс електрона дорівнює імпульсу фотона: $$ mv=\frac{h}{\mathbf{\lambda}}. $$

З цієї рівності виразімо й обчислімо шукану величину ‒ швидкість руху електрона:

Відповідь: 1,1.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Механічні коливання і хвилі. Нитяний маятник, період коливань нитяного маятника.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння формули для періоду математичного маятника і вміння її застосовувати.

Фізична величина довжина \(l\) математичного маятника входить у формулу періоду \(T\) коливань математичного маятника: $$ T=2\mathbf{\pi}\sqrt{\frac lg}, $$ де \(g=\mathbf{\pi}^2\) ‒ прискорення вільного падіння.

Виразімо \(l\) з формули. Для цього піднесемо ліву і праву частину рівності до квадрату: \begin{gather*} T^2=4\mathbf{\pi}^2\cdot \frac lg,\\[6pt] l=\frac{T^2\cdot g}{4\mathbf{\pi}^2}. \end{gather*}

Період \(T\) визначмо з наведеного в умові завдання графіка. Через певний інтервал часу коливання маятника повторюватимуться (точки графіка «рухатимуться» синхронно): $$ T=5\ \text{c}. $$

Обчислімо довжину маятника:

Відповідь: 6,25.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Електромагнітні коливання і хвилі. Власна частота і період електромагнітних коливань. Формула Томсона. Електричний резонанс.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння власної частоти, періоду коливань коливального контуру і поняття електричного резонансу.

Електромагнітні хвилі, досягши приймальної антени, збуджують у ній коливання тієї самої частоти, що й частота хвиль.

Частота зовнішньої хвилі \(\mathbf{\nu}_\text{хв}\) дорівнює: $$ \mathbf{\nu}_\text{хв}=\frac{c}{\mathbf{\lambda}}, $$ де \(\mathbf{\lambda}\) ‒ довжина хвилі, \(c=3\cdot 10^8\ \text{м/с}\) ‒ швидкість поширення електромагнітної хвилі.

Але в антену надходять коливання від різних радіостанцій, і кожна радіостанція працює на своїй частоті. Щоб із безлічі коливань виділити коливання потрібної частоти, використовують електричний резонанс. Для цього індуктивно з антеною пов’язують коливальний контур (див. рисунок). Змінюючи електроємність конденсатора (настроюючи радіоприймач), змінюють власну частоту \(\mathbf{\nu}_\text{к}\) коливань контуру ‒ величину, обернену до періоду \(T\) коливань, що визначається за формулою Томсона: $$ \mathbf{\nu}_\text{к}=\frac 1T=\frac{1}{2\mathbf{\pi}\sqrt{LC}}, $$ де \(L\) ‒ індуктивність котушки, \(C\) ‒ електроємність конденсатора.

Коли власна частота коливань коливального контуру збігається із частотою електромагнітної хвилі, на яку настроєно радіоприймач, настає резонанс: амплітуда вимушених коливань сили струму в контурі різко збільшується. Отже, з безлічі сигналів, що збуджують коливання в приймальній антені, виділений один високочастотний модульований сигнал.

Прирівняємо вирази для частоти: \begin{gather*} \mathbf{\nu}_\text{хв}=\mathbf{\nu}_\text{к},\\[6pt] \frac{c}{\mathbf{\lambda}}=\frac 1T=\frac{1}{2\mathbf{\pi}\sqrt{LC}}. \end{gather*}

Виразімо й обчислімо шукану величину ‒ електроємність конденсатора:

Відповідь: 2.

ТЕМА: Електродинаміка. Електричний струм у різних середовищах. Закони електролізу.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння законів Фарадея для електролізу і вміння їх застосовувати.

Запишімо закони Фарадея для електролізу.

1. Маса \(m\) речовини, яка виділяється на електроді під час електролізу, прямо пропорційна силі струму \(I\) та часу \(t\) його проходження крізь електроліт: \begin{gather*} m=kIt,\\[7pt] \text{або}\ \ m=kq, \end{gather*} де \(q\) ‒ заряд, що пройшов через електроліт; \(k\) ‒ коефіцієнт пропорційності, який називають електрохімічний еквівалент.

2. Електрохімічний еквівалент \(k\) прямо пропорційний відношенню молярної маси \(M\) елемента (тут – Гідрогену \(\mathrm{H^+}\)) до валентності \(n=1\) елемента в цій хімічній сполуці: $$ k=\frac 1F\cdot \frac Mn, $$ де \(F\) ‒ стала Фарадея, яка визначається як добуток модуля заряду електрона на сталу Авогадро: $$ F=|e|N_A. $$

Тобто стала Фарадея дорівнює модулю заряду електронів кількістю \(1\ \text{моль}.\)

Підставімо вирази для \(F,\) а потім для \(k\) у перший закон Фарадея: $$ m=kq=\frac{qM}{|e|N_An}. $$

Звідси $$ q=\frac{m|e|N_an}{M}. $$

Вираз $$ \frac mM=\mathbf{\nu}, $$ де \(\mathbf{\nu}\) - кількість речовини (моль) Гідрогену (атомарного водню).

Тобто $$ q=\mathbf{\nu}|e|N_An. $$

За умовою електролізом добули молекулярний водень. Його хімічна формула \(\mathrm{H_2}.\)

Кількість речовини \(\mathbf{\nu}_M\) молекулярного водню можна визначити з формули $$ \mathbf{\nu}_M=\frac{V}{V_M}, $$ де \(V\) ‒ об’єм водню, отриманий в результаті електролізу, \(V_M=22,4\ \text{л/моль}\) ‒ молярний об’єм (об’єм, який займає речовина кількістю \(1\ \text{моль},\) тобто молекулярного водню).

Атомів Гідрогену вдвічі більше, ніж молекул водню, тому і кількість речовини атомарного водню вдвічі більша за кількість речовини молекулярного водню: $$ \mathbf{\nu}=2\mathbf{\nu}_M. $$

Підставімо вираз для кількості речовини атомарного водню у формулу для визначення заряду й обчислімо його:

Є ще один спосіб визначити кількість речовини за допомогою рівняння стану газу ‒ рівняння Менделєєва ‒ Клапейрона:

В умові зазначено, що водень добуто за нормальних умов (н. у.). Нормальні умови у фізиці ‒ це: тиск \(p=10^5\ \text{Па},\) температура \(t=0\ ^\circ\mathrm{C}\ (273\ \text{К}).\) Універсальна газова стала \(R=8,3\ \text{Дж/(моль}\cdot \text{К)}.\) Об’єм \(V=11,2\ \text{л}=11,2\cdot 10^{-3}\ \text{м}^3.\) Отже,

Як бачимо, використавши цей спосіб, маємо приблизно те саме значення для кількості речовини молекулярного водню.

Обчислення в першому способі були без наближень і їх можна виконати без калькулятора. Також, в умові не зазначено, які точно числові дані брати для фізичних величин, що визначають нормальні умови, і для констант. Зваживши на це, зупинімося на відповіді, отриманій першим способом ‒ \(96\ \text{кКл}.\)

Відповідь: 96.