Пояснення

ТЕМА: Алгебра. Числа і вирази. Дійсні числа та дії з ними.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами.

Якщо \(\frac ab=\frac 27\), то число \(\frac ba\), яке є взаємно оберненим до числа \(\frac ab\), дорівнює \(\frac 72.\)

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра. Рівняння, нерівності та їхні системи. Лінійні, квадратні, раціональні, логарифмічні рівняння, нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати логарифмічні нерівності, розв'язувати рівняння, нерівності з параметрами.

Знаходимо ОДЗ: $$ \left\{\begin{array}{l} x\gt 0,\\ x^2+(a-4)x+4-2a\ne 0, \end{array}\right. $$ крім того, для параметра a є також обмеження: a > 0 та a ≠ 1 (a є основою логарифма).

Розв'яжемо квадратне рівняння

За умови \(a\gt 0\), \(D\gt 0\) при будь-якому значенні \(a.\)

Отримали ОДЗ:

$$ \left\{\begin{array}{l} x\gt 0,\\ x\ne 2,\\ x\ne 2-a. \end{array}\right. $$

Знайдемо нулі функції, яка знаходиться в лівій частині нерівності.

\begin{gather*} \log_ax=0,\\[7pt] x=a^0=1. \end{gather*}

Розглянемо для кожного проміжку з області допустимих значень розв'язок нерівності.

I.

\begin{gather*} 2-a\gt 0,\\[7pt] -a\gt 0,\\[7pt] a\lt 0. \end{gather*}

При \(a\lt 0\) нерівність не має змісту, тому розв'язків немає.

II. \begin{gather*} 2-a=2,\\[7pt] a=0 \end{gather*} не має розв'язків.

III.

\begin{gather*} 1\lt 2-a\lt 2,\\[7pt] -1\lt -a\lt 0,\\[7pt] 0\lt a\lt 1. \end{gather*}

IV.

\begin{gather*} 2-a=1,\\[7pt] -a=-1,\\[7pt] a=1. \end{gather*}

V.

\begin{gather*} 0\lt 2-a\lt 1,\\[7pt] 1\lt a\lt 2. \end{gather*}

VI.

\begin{gather*} 2-a=0,\\[7pt] a=2. \end{gather*}

VII.

\begin{gather*} 2-a\lt 0,\\[7pt] a\gt 2. \end{gather*}

Відповідь: при \(a\in (0; 1)\ x\in [1; 2-a)\cup (2; +\infty)\);
                   при \(a\in (1; 2)\ x\in (0; 2-a)\cup [1; 2)\);
                   при \(a\in [2; +\infty)\ x\in [1; 2).\)

Пояснення

ТЕМА: Стереометрія. Многогранники. Піраміда. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання ознак паралельності прямої та площини, властивостей паралельних площин, кута між прямою та площиною, уміння будувати перерізи многогранників, властивостей правильної піраміди.

1. \(SABCD\) – правильна піраміда, тому в основі лежить квадрат \(ABCD\) і основа висоти є центром квадрата, тобто точкою перетину діагоналей.

Бічне ребро \(SA\) утворює з площиною основи кут \(\mathbf{\alpha}.\) \(SO\ \perp\ (ABC)\), \(SA\) – похила, \(OA\) – проекція \(SA\) на площину основи, тому

\(\angle (SA, (ABC))=\angle SAO=\mathbf{\alpha}.\)

Побудуємо переріз піраміди площиною \(\mathbf{\beta}\ || (SAD).\) За властивістю паралельних площин паралельні площини \(\mathbf{\beta}\) та \(SAD\) перетинаються третьою, площиною \(ABC\) по паралельних прямих, тому будуємо \(EF\ ||\ AD\) через точку \(O.\)

\(\mathbf{\beta}\ ||\ (ASD)\) та перетинаються площиною \((ASB)\) по паралельним прямим, тому будуємо \(KE\ || SA\) (слід січної площини на \((ASB).\)

\(\mathbf{\beta}\ ||\ (ASD)\) перетинаються \((SCD)\) по \(MF\ || SD.\) З'єднаємо точку \(K\) та точку \(M\), що належать \((BSC).\) \(KMFE\) – шуканий переріз.

2. Точка \(E\) – середина \(AB\), \(KE\ || SA\) за побудовою, тому \(KE\) – середня лінія \(\Delta SBA\rightarrow BK=KS.\)

Точка \(F\) середина \(DC\), \(MF\ || SD\) за побудовою, тому \(MF\) – середня лінія \(\Delta SDC\rightarrow CM=MS.\)

У \(\Delta BCS\ KM\) середня лінія, тому \(KM\ ||\ BC\), \(EF\ ||\ BC\) (за побудовою), \(KM\ ||\ BC\) – тому \(KM\ ||\ EF\) за ознакою паралельних прямих. Отже, \(KMFE\) – трапеція.

\(SABCD\) правильна піраміда, тому \(\Delta SBA=\Delta SCD\), \(KE=MT\) як відповідні середні лінії. Отже, \(KMFE\) – рівнобічна трапеція.

3. \(AB=c\), то діагональ квадрата \(ABCD\ AC=c\sqrt{2}\), \(AO=\frac 12AC=\frac{c\sqrt{2}}{2}.\)

У \(\Delta SOA\ (\angle O=90^\circ).\)

\begin{gather*} \angle A =\mathbf{\alpha}\\[6pt] SA=\frac{OA}{\cos\mathbf{\alpha}}=\frac{c\sqrt{2}}{2\cos \mathbf{\alpha}}\\[6pt] KE=\frac 12SA=\frac{c\sqrt{2}}{4\cos \mathbf{\alpha}}=MF.\\[6pt] EF=AD=c,\\[6pt] KM=\frac 12BC=\frac 12c. \end{gather*}

Знаходимо периметр трапеції:

Відповідь: 3. \(\frac{3\cos \mathbf{\alpha}+\sqrt{2}}{2\cos \mathbf{\alpha}}\cdot c.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра. Функції. Степенева та лінійна функції, їхні основні властивості. Визначений інтеграл.

Це завдання перевіряє знання основних властивостей та графіків функцій, уміння будувати графіки елементарних функцій, застосовувати формулу Ньютона-Лейбниця для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

1. Побудуємо графік функції \(f(x)=x^3.\)

2. Побудуємо графік функції \(g(x)=4|x|.\)
при \(x\ge 0\) будуємо \(g(x)=4x.\)

при \(x\lt 0\) будуємо \(g(x)=-4x.\)

3. Абсциси точок перетину графіків \(f\) i \(g\) знаходимо графічно \(x=0\) та \(x=2\), або як розв'язки рівняння \(x^3=4|x|.\) При \(x\ge 0\)

\begin{gather*} x^3=4x,\\[7pt] x^3-4x=0,\\[7pt] x(x^2-4)=0,\\[7pt] x(x-2)(x+2)=0,\\[7pt] x=0\ \text{або}\ x=2\ \text{або}\ x=-2. \end{gather*}

Проміжку \(x\in [0; +\infty)\) належать корені \(x=0\) та \(x=2.\)

При \(x\lt 0\)

Отже, абсциси точок перетину графіків \(f\) i \(g\) \(x_1=0\), \(x_2=2.\)

4. Площу фігури, обмеженої графіками функцій f i g знаходимо за допомогою визначеного інтеграла:

Відповідь: 3. \(x_1=0\), \(x_2=2.\)
                   4. \(4\) кв. од.

Пояснення

ТЕМА: Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє знання поняття колінеарних векторів, координат вектора, уміння застосовувати вектори до розв'язування планіметричних задач.

За умовою задачі, \(\overrightarrow{AB}\ ||\ \overrightarrow{a}.\)

Нехай абсциса точки \(B\) буде \(x\), тоді точка \(B(x; 3).\) Ордината дорівнює \(3\) тому, що точка \(B\) лежить на прямій \(y=3.\)

\begin{gather*} \overrightarrow{AB}(x+4; 2),\\[7pt] \overrightarrow{a}(3; -5). \end{gather*}

У колінеарних векторів відповідні координати пропорційні, тому

\begin{gather*} \frac{x+4}{3}=\frac{2}{-5},\\[6pt] -5(x+4)=2\cdot 3,\\[7pt] -5x-20=6,\\[7pt] -5x=26,\\[7pt] x=-5\mathord{,}2. \end{gather*}

Відповідь: \(-5\mathord{,}2.\)

Пояснення

ТЕМА: Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики. Комбінації. Комбінаторні правила суми та добутку.

Це завдання перевіряє знання означення комбінацій, комбінаторні правила суми й добутку, уміння розв'язувати нескладні задачі комбінаторного характеру.

Кількість усіх можливих комбінацій з \(n\) елементів по \(k\) елементів знаходимо за формулою $$ C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!k!}. $$

Кількість способів вибрати \(3\) фотографії з \(8\) зі своїм зображенням знаходимо за формулою $$ C_8^3=\frac{8!}{(8-3)!3!}=\frac{8!}{5!3!}. $$

Кількість способів вибрати \(2\) фотографії з \(6\) для сайту $$ C_6^2=\frac{6!}{(6-2)!2!}=\frac{6!}{4!2!}. $$

Кількість способів вибрати означені в умові фотографії знаходимо за комбінаторним правилом добутку:

Відповідь: \(840.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра. Рівняння, нерівності та їхні системи. Раціональні рівняння. Застосування рівнянь до розв'язування текстових задач.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати раціональні рівняння, застосовувати рівняння до розв'язування текстових задач.

Нехай щодня планували виробляти \(\frac{240}{n}\) стільців. Оскільки завдання виконали на \(2\) дні раніше запланованого терміну, то щодня виробляли \(\frac{240}{n-2}\) стільців. Денна норма збільшилась на \(4\) стільця, тому складемо рівняння

За теоремою Вієта знаходимо корені рівняння: \(n=-10\) або \(n=12.\)

Оскільки \(n\) – кількість днів, то визначається натуральним числом, то правильна відповідь: \(12\) днів.

Відповідь: \(12.\)

Пояснення

ТЕМА: Функції. Числові послідовності. Геометрична прогресія.

Це завдання перевіряє знання формули суми n перших членів геометричної прогресії, уміння розв'язувати задачі на геометричну прогресію..

За умовою \begin{gather*} q=\frac 23,\\[6pt] S_4=65. \end{gather*}

Знаходимо перший член цієї прогресії за формулою

Відповідь: \(27.\)

Пояснення

ТЕМА: Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей медіани, середньої лінії трикутника, уміння застосовувати властивості різних видів трикутників до розв'язання планіметричних задач.

\(BM\) – медіана, точка \(K\) – середина медіани.

1. Відстань від точки \(K\) до \(AC\) – це \(KF=5\) см, \(KF\ \perp\ AC.\)

Відповідно, \(KE\ \perp\ BC,\) \(KE=6\) см.

\(KE\ \perp \ BC\), \(AC\ \perp\ BC\rightarrow\ KE\ ||\ AC.\)

За теоремою Фалеса, точка \(E\) – середина \(BC\), тому \(KE\) – середня лінія \(\Delta MBC.\)

За властивістю середньої лінії, \begin{gather*} KE=\frac 12MC,\\[6pt] MC=2KE=2\cdot 6=12\ \textit{см}. \end{gather*} Оскільки \(BM\) – медіана, то \(AC=2MC=24\) см.

Отже, довжина катета \(AC=24\) см.

2. Аналогічно, \(KF\) – середня лінія \(\Delta CMB\), тому \(BC=2KF=10\) см.

За теоремою Піфагора, у \(\Delta ABC\ (\angle C=90^\circ)\)

За властивістю прямокутного трикутника, радіус описаного кола дорівнює половині гіпотенузи. Отже, радіус кола $$ 26 : 2 = 13\ \textit{см}. $$

Відповідь: 1. \(24\) см.
                   2. \(13\) см.