ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Степеневі функції. Похідна функції, її геометричний зміст.

Це завдання перевіряє вміння будувати графіки елементарних функцій, знаходити похідні елементарних функцій, кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції.

1-2. \(f(x)=\frac 2x\) – обернена пропорційність, графік – гіпербола.

Обчислимо кілька значень функції та побудуємо графік.

\(g(x)=5-8x\) – лінійна функція, графіком якої є пряма. Побудувати пряму можна за двома точками.

Якщо \(x=0\), то \(g(0)=5-8\cdot 0=5.\)

Перша точка: \((0; 5).\)

Якщо \(x=1\), то \(g(0)=5-8\cdot 1=-3.\)

Друга точка: \((1; -3).\)

Позначимо ці точки на координатній площині та проведемо через них пряму.

3. \(f(x)=2x^{-1}\), \(f'(x)=2\cdot (-1)x^{-2}\),
\(f'(x)=-\frac{2}{x^2}.\)

4. Оскільки дотична паралельна прямій \(g(x)=5-8x\), то їхні кутові коефіцієнти рівні, і дорівнюють \(-8.\) Отже, значення похідної в точці дотику дорівнює \(-8.\) Маємо рівняння: \(-\frac{2}{x^2}=-8\), \(x^2=\frac{-2}{-8}=0\mathord{,}25.\)
Тоді, \(x=0\mathord{,}5\) та \(x=-0\mathord{,}5.\)

Відповідь: 3. \(f'(x)=-\frac{2}{x^2}.\)
                   4. \(x=0\mathord{,}5;\ x=-0\mathord{,}5.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє знання про коло, круг та їхні елементи, прямокутну систему координат; уміння застосовувати координати до розв'язування планіметричних задач.

Рівняння кола зведемо до стандартного вигляду: \begin{gather*} (x+3)^2+y^2-4y=21,\\[7pt] (x+3)^2+y^2-4y+4=25,\\[7pt] (x+3)^2+(y-2)^2=25. \end{gather*}

Коло з центром у точці \(A(-3; 2)\) та радіусом \(5.\ 3AC=BC.\)

\(AC\ ||\ Oy\), тому \(x_c=-3\).
\(AC=5\), \(y_c=7.\) Отже, \(C(-3; 7).\)

\(\Delta ACB,\) \(\angle C=90^\circ\), \(BC\ ||\ Ox\), \(BC=3AC=15.\)
Отже, \(x_\text{в}=12\), \(y_\text{в}=7.\)
\(B(12; 7)\), \(12+7=19.\)

Відповідь: \(19.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики. Перестановки. Комбінаторні правила добутку.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нескладні задачі комбінаторного характеру; знання комбінаторного правила добутку.

Солісті – \(4\), гурти – \(3.\)

Варіантів скласти послідовності виступів солістів \(4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24.\)

Варіантів скласти послідовність гуртів \(3!=1\cdot 2\cdot 3=6.\)

За комбінаторним правилом добутку знаходимо кількість варіантів виступів:
\(24\cdot 6=144.\)

Відповідь: \(144.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі. Рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом, розв'язувати рівняння першого степеня.

Нехай \(x\) км/год – швидкість автобуса від \(A\) до \(B.\) Тоді:

Оскільки відстань від \(A\) до \(B\) така сама як і від \(B\) до \(A\), то складемо рівняння: \begin{gather*} 5x=4\mathord{,}5(x+8),\\[7pt] 5x=4\mathord{,}5x+36,\\[7pt] 0\mathord{,}5x=36,\\[7pt] x=72. \end{gather*}

Відповідь: \(72.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Рівняння.

Це завдання перевіряє знання основної властивості арифметичної прогресії; уміння розв'язувати квадратні рівняння.

Задана арифметична прогресія: \begin{gather*} a_1=x^2-4,\\[7pt] a_2=3-5x,\\[7pt] a_3=2-3x. \end{gather*}

За властивістю арифметичної прогресії: \begin{gather*} a_2=\frac{a_1+a_3}{2},\\[6pt] 3-5x=\frac{x^2-4+2-3x}{2},\\[6pt] 6-10x=x^2-3x-2,\\[7pt] x^2+7x-8=0,\\[6pt] x_1=\frac{-7+9}{2}=1,\\[6pt] x_2=\frac{-7-9}{2}=-8. \end{gather*} Від'ємне значення \(x=-8.\)

Відповідь: \(-8.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості ромба до розв'язування планіметричних задач; знання теореми Піфагора, формули площі трикутника.

\(OK=3\) см, \(S_{AOD}=15\) см\(^2.\)

1. \(\Delta AOD\) \begin{gather*} S_{AOD}=\frac 12AD\cdot OK,\\[6pt] 15=\frac 12\cdot AD\cdot 3,\\[6pt] AD=10\ \textit{см}. \end{gather*}

2. \(BE\ \perp\ AD\) висота ромба \(BO=OD\), \(KD=EK\) (за теоремою Фалеса).

У \(\Delta BED\ OK\) – середня лінія. \(BE=2OK=6\) см.

\(\Delta ABE\ (\angle E=90^\circ)\ AB=10\) см, \(BE=6\) см. За теоремою Піфагора:

Відповідь: 1. \(10.\)
                   2. \(0\mathord{,}75.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відсотки. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі на відсоткові розрахунки.

1. Розглянемо можливі варіанти доставки багажу:
– усі вантажі доставлять окремо:
\(P=100+100+100=300\) (грн).
– усі вантажі доставлять разом:
вантаж важить: \(31+36+40=107\) (кг). \(P=310\) (грн).
– один вантаж доставлять окремо від двох інших:
\(40\) кг вартістю \(100\) грн, \(31+36=67\) кг – вартістю \(110\) грн.
\(P=100+110=210\) (грн).
Отже, найменша сума грошей – \(210\) грн.

2. \(P=210\) грн, загальна сума грошей за доставку цих трьох вантажів, якщо кожен відправити окремо – \(300\) грн.

\((210 : 300)\cdot 100\text{%}=70\text{%}.\)

Відповідь: 1. \(210.\)
                   2. \(70.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання про взаємне розміщення прямих у просторі, площин у просторі, многогранників та їхніх елементів.

1. \(AC\cup CC_1\), \(AC\ \perp\ CC_1\),

\(\left.\begin{array}{l} CC_1\ \perp\ (ABC),\\ AC \in (ABC), \end{array}\right| \rightarrow CC_1\ \perp\ AC.\)
Отже, 1 – B.

2. Прямі \(AB_1\) та \(CD_1\) мимобіжні, не лежать в одній площині та не перетинаються.
Отже, 2 – Б.

3. \(\Delta ACD_1\) – рівносторонній, так як \(AC=CD_1=AD_1\) (діагоналі рівних квадратів).
\(\angle(AC\), \(CD_1)=\angle ACD_1=60^\circ.\)
Отже, 3 – Д.

4. \(AB_1\ ||\ C_1D\) не перетинаються та лежать в одній площині \((AB_1C_1).\)
Отже, 4 – A.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – Д, 4 – A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання про трапецію та її властивості; середню лінію трапеції, вписані в коло та описані навколо кола чотирикутники, теореми Піфагора.

\(OK=4\), \(CD=10.\)

1. Висота трапеції – діаметр кола \(AB=8.\)
Отже, 1 – Б.

2. \(CE\ \perp\ AD\), \(ED\) – проекція сторони \(CD\) на \(AD.\)

\(\Delta CED\ (\angle E=90^\circ)\) за теоремою Піфагора $$ ED=\sqrt{CD^2-CE^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6. $$ Отже, 2 – A.

3. За властивістю чотирикутника, описаного навколо кола $$ AB+CD=BC+AD=18. $$ Нехай \(BC=AE=x\), тоді \begin{gather*} BC+AD=x+x+6=18,\\[7pt] 2x=12,\ \ x=6,\\[7pt] AD=AE+ED=6+6=12. \end{gather*} Отже, 3 – Г.

4. Середня лінія трапеції дорівнює $$ \frac{BC+AD}{2}=\frac{18}{2}=9. $$ Отже, 4 – B.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Г, 4 – B.