ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати тестові задачі арифметичним способом, розв’язувати задачі на відсоткові розрахунки.

1. За \(6\) діб норма пробігу \(6\cdot 50=300\) км. Автомобіль проїхав \(420\) км. Перевищення норми пробігу складає $$ 420-300=120\ \textit{км}. $$ За понаднормовий пробіг додаткова плата становитиме $$ P=120\cdot 6=720\ \textit{грн}. $$

2. За \(6\) діб основна плата за оренду становитиме $$ 6\cdot 400=2400\ \textit{грн}. $$ Сума \(P=720\) від \(2400\) становитиме $$ \frac{720}{2400}\cdot 100\text{%}=30\text{%}. $$

Відповідь: 1. \(720.\)
                   2. \(30.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло і круг. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання про коло та його елементи, теореми Піфагора, знання формули для обчислення площі трикутника.

1. \(O_2C=20\) см, \(O_2K\perp CD\), \(O_2K=12\) см.

За теоремою Піфагора \begin{gather*} \Delta O_2KC\ (\angle K=90^\circ),\\[7pt] O_2C^2=O_2K^2+CK^2,\\[7pt] CK=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16\ \textit{см},\\[7pt] O_1H=CK=16\ \textit{см}. \end{gather*}

2. \(S_{DO_1C}=\frac 12CD\cdot O_1K\),

Відповідь: 1. \(16.\)
                   2. \(768.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули n-го члена арифметичної прогресії, вміння розв’язувати задачі на арифметичну прогресію.

1. \(a_2-a_5=7\mathord{,}8\); \(a_2=a_1+d\); \(a_5=a_1+4d\)
\(a_1-a_5=a_1+d-(a_1+4d)=a_1+d-a_1-4d=-3d=7\mathord{,}8\)
\(d=7\mathord{,}8:(-3)=-2\mathord{,}6.\)

2. \(a_3=a_1+2d\)
\(-1\mathord{,}8=a_1+2\cdot (-2\mathord{,}6)\)
\(-1\mathord{,}8=a_1-5\mathord{,}2\)
\(a_1=-1\mathord{,}8+5\mathord{,}2=3\mathord{,}4\).

Відповідь: 1. \(-2\mathord{,}6.\)
                   2. \(3\mathord{,}4.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння застосовувати рівняння до розв’язування текстових задач.

Нехай власна швидкість човна \(x\) км/год.

Відстань проти течії човен подолав за час, вдвічі менший, ніж за течією. $$ \frac{48}{x+2\mathord{,}5}=\frac{18\cdot 2}{x-2\mathord{,}5}. $$ Поділимо обидві частини рівняння на \(12.\) \begin{gather*} \frac{4}{x+2\mathord{,}5}=\frac{3}{x-2\mathord{,}5}\\[6pt] 4(x-2\mathord{,}5)=3(x+2\mathord{,}5)\\[7pt] 4x-10=3x+7\mathord{,}5\\[7pt] x=17\mathord{,}5. \end{gather*}

Відповідь: \(17\mathord{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи математичної статистики. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння обчислювати та аналізувати вибіркові характеристики рядів даних (середнє значення).

Середню температуру знаходимо як середнє арифметичне значень

Відповідь: \(15\mathord{,}5.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Планіметрія. Многогранники. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на обчислення об’єму піраміди, знання теореми Піфагора та властивості квадрата.

\(EABCD\) – піраміда, \(ABCD\) – квадрат, \(O=AB\cap BD\),

\(EO\) – висота, \(EO=12\) см. \(EK\perp AB\) – апофема.

У \(\Delta EOK\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора

Відповідь: \(400.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи теорії ймовірностей.

Завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність випадкової події, знання правила добутку для знаходження ймовірності.

Серед \(24\) студентів першої групи проживають у гуртожитку \(6\) студентів.

Отже, ймовірність того, що студент проживає у гуртожитку $$ P_1=\frac{6}{24}=\frac 14. $$

Серед \(28\) студентів другої групи у гуртожитку проживають \(14\) студентів.

Отже, $$ P_2=\frac{14}{28}=\frac 12. $$

За правилом добутку ймовірність того, що обидва студенти проживають у гуртожитку $$ P=P_1\cdot P_2=\frac 14\cdot \frac 12=\frac 18=0\mathord{,}125. $$

Відповідь: \(0\mathord{,}125.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Завдання перевіряє знання властивості рівних векторів, координат вектора; уміння складати рівняння кола, знаходити координати середини відрізка.

Коло задано рівнянням $$ x^2-4x+y^2+12y=9. $$

Запишемо в стандартному вигляді:

Точка \(O(2; -6)\) – центр кола, \(R=7.\)

Нехай точка \(A(x_\text{A}; y_\text{A})\), \(\overrightarrow{OA}(x_\text{A}-2; y_\text{A}+6)\), \(\overrightarrow{OA}(-1; 2).\)

Отже,

Точка \(O\) середина відрізка \(AC.\)

За формулами $$ x=\frac{x_1+x_2}{2},\ \ y=\frac{y_1+y_2}{2} $$ знаходимо координати точки \(C:\)

Відповідь: \(-24.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння будувати графіки лінійної та тригонометричної функцій, встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком, вміння розв’язувати тригонометричні рівняння.

3. Точка \(A\left(\frac{\mathbf{\pi}}{2};1\right)\) – спільна для обох графіків.

4. \(f(x)=g(x)\) на інтервалі \((-\infty; +\infty)\) $$\sin x=1,\ \ x=\frac{\mathbf{\pi}}{2}+2\mathbf{\pi}n,\ \ n\in Z.$$

Відповідь: 3. \(\left(\frac{\mathbf{\pi}}{2};1\right).\)
                   4. \(\frac{\mathbf{\pi}}{2}+2\mathbf{\pi}n,\ \ n\in Z.\)