ТЕМА: Функції. Функціональна залежність. Лінійні, квадратичні, показникові функції, їхні основні властивості.

Це завдання перевіряє вміння знаходити область значень функції, встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. Пряма \(y=4\mathord{,}5\) перетинає графік \(y=3^x\) у точці з абсцисою \(x_0=2.\)

\(3^2=4\mathord{,}5\cdot 2=9.\)

Отже, правильна відповідь – В.

2. Пряма \(y=-4\) не має спільних точок з графіком \(y=x^2-1.\)

\(y=x^2-1\) – графік – парабола з гілками вгору та вершиною \((0; -1)\), a \(y=-4\) – пряма, паралельна осі абсцис.

Отже, правильна відповідь – Б.

3. Пряма \(y=2x+4\) є паралельною прямій \(y=2x\), бо вони мають однаковий кутовий коефіцієнт \(k=2.\)

Отже, правильна відповідь – A.

4. Пряма \(y=x\) є бісектрисою І та ІІІ координатних чвертей, бо кутовий коефіцієнт \(k=1\), тому \(\operatorname{tg}\mathbf{\alpha}=1\), \(\mathbf{\alpha}=45^\circ\) – кут нахилу прямої до додатнього напряму осі \(Ox.\)

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – В, 2 – Б, 3 – А, 4 – Д.

ТЕМА: Планіметрія. Коло та круг. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості різних видів трикутників та чотирикутників до розв'язування планіметричних задач та задач практичного змісту.

Нехай точка \(O\) – центр кола, дуга якого \(BFC.\)

Радіус кола – \(OB=OF=OC=1\) м.

\(BC\ ||\ AD\), \(AB\ ||\ CD.\) \((AB\ \perp\ BC\), \(CD\ \perp\ AD\) за властивістю паралельних прямих \(AB\ ||\ CD)\). Отже, \(ABCD\) – прямокутник, \(BC=AD=1\mathord{,}6\) м.

\(BC\cup OF=O_1\), \(BC\ \perp\ OF.\)

\(\Delta BOC\) – рівнобедрений, \(OO_1\) – висота та медіана, $$ BO_1=\frac 12BC=\frac 12AD=0\mathord{,}8\ \textit{м}. $$

\(\Delta BOO_1\ (\angle O_1=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Функції. Похідна функції. Похідні елементарних функцій. Правила диференціювання.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідну елементарних функцій, знаходити суми двох функцій.

Знайдемо похідну за правилом знаходження похідної суми двох функцій та похідної степеневої функції: $$ f'(x)=4x^3+1. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нерівності, що містять показникові вирази, застосовувати загальні методи та прийоми (застосування властивостей функцій) у процесі розв'язування нерівності.

Винесемо спільний множник \(2^x\) за дужки:

Функція \(y=2^x\) зростаюча, тому \(x\ge 4\), \(x\in [4; +\infty).\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Функції. Функціональна залежність. Тригонометричні функції, їхні основні властивості.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості тригонометричних функцій, заданих графіком.

Задана функція з періодом \(T=2\mathbf{\pi}\), тому \(f(x+T)=f(x).\)

Область значень функції \(E|y|=[-1; 1]\), тому точки з ординатами \(2\mathbf{\pi}\), \(5\mathbf{\pi}\) не належать графіку.

Нулі функції \(-\frac{\mathbf{\pi}}{2}+\mathbf{\pi}k\), \(k\in Z\), тому \((3\mathbf{\pi}; 0)\) та \((5\mathbf{\pi}; 0)\) не належать графіку.

Значення \(y=-1\) функція набуває при \(x=\mathbf{\pi}+2\mathbf{\pi}k\), \(k\in Z.\)

Отже, відповідь \((5\mathbf{\pi}; -1).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Числа і вирази. Логарифмічні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів, знання властивостей логарифма.

Використаємо властивості логарифму

Відповідь: Б.

ТЕМА: Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площ поверхонь, встановлювати за розгорткою поверхні вид геометричного тіла.

На рисунку зображена розгортка правильної призми, тому основа – правильний трикутник. \(P_\text{осн}=12\) см, тому сторона основи \(4\) см.

Бічне ребро позначимо через \(H.\) Периметр розгортки складається з

За формулою $$ S_\text{біч.пов.}=P_\text{осн}\cdot H $$ знаходимо $$ S_\text{біч.пов.}=12\cdot 6 =72\ \textit{см}^2. $$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Рівняння, нерівності та їхні системи. Лінійні, квадратні рівняння та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь першого та другого степеня, застосовувати загальні методи та прийоми в процесі розв'язування систем рівнянь.

З першого рівняння добуток \(xy=-12.\)

Отримаємо:

Якщо \((x_0; y_0)\) – розв'язок системи, то \(x_0=-6.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Відповідь: Д.