Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 1210

Завдання 1211 з 2199

Один кілограм яблук коштує на базарі від $9$ грн до $12$ грн, а один кілограм груш – від $19$ грн до $25$ грн. Оксана заплатила за куплені на базарі $2$ кг яблук та $3$ кг груш $m$ гривень. Укажіть нерівність, що виконуватиметься для $m.$

А$28\lt m\lt 37$

Б$18\lt m\lt 75$

В$75\lt m\lt 99$

Г$42\lt m\lt 66$

Д$75\lt m\lt 81$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1212 з 2199

На рисунку зображено квадрат $ABCD.$ Точки $K$ та $M$ – середини сторін $AB$ та $CD$ відповідно. Визначте периметр чотирикутника $AKMD$, якщо периметр заданого квадрата дорівнює $72$ см.

А$36$ см

Б$42$ см

В$48$ см

Г$54$ см

Д$60$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1213 з 2199

Обчисліть значення виразу $3(a-1)$, якщо $a=0\mathord{,}7.$

А$-0\mathord{,}9$

Б$1\mathord{,}1$

В$5\mathord{,}1$

Г$-0\mathord{,}6$

Д$2\mathord{,}7$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1214 з 2199

Розв’яжіть нерівність $$ \frac{(9x^2-36x+36)(a-4)}{2^x-a}\ge 0 $$ залежно від значень параметра $a.$

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 6.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові, квадратичні, раціональні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нерівності, що містять показникові вирази, квадратні нерівності, нерівності з параметрами.

\begin{gather*} \frac{(9x^2-36x+36)(a-4)}{2^x-a}\ge 0\ |:9,\\[6pt] \frac{(x-2)^2(a-4)}{2^x-a}\ge 0, \end{gather*}

При $a\in (-\infty; 0]$

\begin{gather*} \left.\begin{array}{l} a-4\lt 0,\\ a\lt 4, \end{array}\right.\ \ \text{тому}\\ \left[\begin{array}{l} 2^x-a\lt 0,\\ x=2, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} 2^x\lt a,\\ x=2. \end{array}\right. \end{gather*}

нерівність $2^x\lt a$ при від'ємному $a$ не має розв'язку, тому $x=2.$

При $a=0$

\begin{gather*} \frac{(x-2)^2\cdot (-4)}{2^x}\ge 0 \end{gather*}

має тільки розв'язок $x=2.$

При $a\in (0; 4)$

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} 2^x-a\lt 0,\\ x=2, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} 2^x\lt a,\\ x=2, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} x\lt \log_2a,\\ x=2. \end{array}\right.\\ x\in (-\infty; \log_2a)\cup \left\{2\right\}. \end{gather*}

При $a=4$

\begin{gather*} 2^x-a\ne 0,\\[7pt] 2^x-2^2\ne 0,\\[7pt] x\ne 2\\[7pt] x\in (-\infty; 2)\cup (2; +\infty). \end{gather*}

При $a\in (4; +\infty)$

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} 2^x-a\gt 0,\\ x=2, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} x\gt \log_2a,\\ x=2, \end{array}\right.\\ x\in \left\{2\right\}\cup (\log_2a; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: при $a\in (-\infty; 0]\ x=2;$
                   при $a\in (0; 4)\ x\in (-\infty; \log_2a)\cup \left\{2\right\};$
                   при $a=4\ x\in (-\infty; 2)\cup (2; +\infty);$
                   при $a\in (4; +\infty)\ x\in \left\{2\right\}\cup (\log_2a; +\infty).$

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1215 з 2199

У правильній чотирикутній піраміді $SABCD$ через діагональ $BD$ основи перпендикулярно до бічного ребра $SC$ проведено площину $\mathbf{\gamma}.$ Ця площина утворює з площиною основи піраміди кут $\mathbf{\alpha}.$ Висота піраміди дорівнює $H.$

1. Побудуйте переріз піраміди $SABCD$ площиною $\mathbf{\gamma}.$

2. Обґрунтуйте вид перерізу.

3. Визначте площу перерізу.

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 4.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання многогранників та їхніх елементів, перерізів многогранників; уміння застосовувати властивості многогранників до розв'язування стереометричних задач.

$SABCD$ – правильна піраміда, $ABCD$ – квадрат.

$SO\ \perp\ (ABC)$, $AC\cap BD=0.$

1. Проведемо$BK\ \perp SC.$

$\Delta BKC=\Delta DKC$ за двома сторонами та кутом між ними, $KC$ – спільна, $DC=BC$ – сторона квадрата.

$\angle DCK=\angle BCK$ (правильна піраміда).

Отже, $DK\ \perp\ SC.$

Так як $SC\ \perp\ BK$ i $SC\ \perp DK$, то $SC\ \perp\ (DKB)$ за ознакою перпендикулярності прямої та площини.

$(DKB)=\mathbf{\gamma}$ шуканий переріз.

2. $\Delta BKD$ рівнобедрений $BK=DK$, $DO=OB$, звідси $OK$ – медіана і висота.

$OK\ \perp\ BD$ i $OC\ \perp\ BD$ (за властивістю діагоналей), звідси $(BDC)\cap (ABC)=BD.$

$\angle ((BDK),\ (ABC))=\angle KOC=\mathbf{\alpha}$ лінійний кут відповідного двограного.

3. $SC\ \perp\ (BDK)$, $OKC(BDK)$, тому $SC\ \perp\ DK.$

$\angle SOC=90^\circ$, $\angle KOC=\mathbf{\alpha}$, тому $\angle SOK=90^\circ-\mathbf{\alpha}.$

У $\Delta SOK\ (\angle K=90^\circ)\ \angle S=\mathbf{\alpha}$, $SO=H.$

$OK=SO\cdot \sin S=H\sin \mathbf{\alpha}.$

У $\Delta SOK\ \angle O=90^\circ$, $OC=H\operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}.$

$ABCD$ квадрат. За властивістю діагоналей $AO=OC=OB=OD=H\operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}.$

Відповідно до умови завдання необхідно побудувати переріз піраміди $SABC$, а перерізом цієї піраміди є $KOB$, тому

\begin{gather*} S_{KOB}=\frac 12S_{BDK}=\frac 12H^2\operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}\cdot\sin \mathbf{\alpha}. \end{gather*}

Відповідь: $\frac 12H^2\operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}\cdot\sin \mathbf{\alpha}.$

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1216 з 2199

Задано функції $f(x)=\sqrt{x}$ i $g(x)=6-x.$

1. Побудуйте графік функції $f.$

2. Побудуйте графік функції $g.$

3. Визначте абсцису точки перетину графіків функцій $f$ i $g.$

4. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіками функцій $f$ i $g$ та віссю $y.$

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 4.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їхні властивості. Первісна та визначений інтеграл. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.

Це завдання перевіряє вміння будувати графіки елементарних функцій, встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком, обчислювати площу плоских фігур за допопомогою інтеграла.

1. $f(x)=\sqrt{x}.$ Графік – вітка параболи $D(f):x\ge 0.$

2. $g(x)=6-x.$ Графік – пряма.

$x$	$0$	$6$
$y$	$6$	$0$

3. Знайдемо точку перетину графіків $f(x)$ i $g(x).$

\begin{gather*} \sqrt{x}=6-x,\\[7pt] \text{ОДЗ:}\ x\in [0; 6],\\[7pt] x=(6-x)^2,\\[7pt] x^2-13x+36=0,\\[7pt] x_1=9\notin \text{ОДЗ},\\[7pt] x_2=4. \end{gather*}

Абсциса точки перетину $x=4.$

4. Обчислимо площу фігури, обмеженої графіками функцій $f$ і $g$ та віссю $y.$

\begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_0^4 (6-x-\sqrt{x})dx=\left.\left(6x-\frac{x^2}{2}-\frac 23x\sqrt{x}\right)\right|_0^4=\\[6pt] =24-8-\frac 23\cdot 4\cdot 2=16-\frac{16}{3}=\frac{32}{3}=10\frac 23\ \textit{кв.од.} \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – $S=10\frac 23$ кв. од.

Відповідь: 3. $4.$
4. $10\frac 23.$

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1217 з 2199

У прямокутній системі координат на площині $xy$ навколо трикутника $ABC$ описано коло, задане рівнянням $x^2+y^2-4x=68.$ Визначте довжину сторони $BC$, якщо $\angle A=45^\circ.$

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1218 з 2199

Піцерія пропонує послугу «Зроби піцу сам», що передбачає вибір клієнтом добавок для піци. Поміж добавок – $8$ м’ясних (шинка, ковбаса та інші) і $9$ овочевих (цибуля, перець та інші). Клієнт вибирає $2$ м’ясні добавки, однією з яких обов’язково має бути шинка, і $3$ – овочевих, за винятком цибулі. Скільки всього існує варіантів такого вибору добавок клієнтом?

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1219 з 2199

Лідія редагує $80$ сторінок рукопису у $8$ разів швидше, ніж Максим редагує $480$ сторінок. Скільки сторінок відредагує Максим за той самий час, за який Лідія відредагує $320$ сторінок? Уважайте, що продуктивність роботи і Лідії, і Максима є сталою.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1220 з 2199

Третій член арифметичної прогресії вдвічі більший за її перший член. Визначте різницю цієї прогресії, якщо сума перших п’яти її членів дорівнює $190.$

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

\(x\)	\(0\)	\(6\)
\(y\)	\(6\)	\(0\)