Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 1240

Завдання 1241 з 2309

Задано функцію $y=2x+8$.

1. Для наведених у таблиці значень аргументу $x$ і значень функції $y$ визначте відповідні їм значення $y$ та $x$.

$x$	$y$
$0$
	$0$
$9$

2. Запишіть координати точки $M$ перетину графіка заданої функції з віссю $x$.

3. Знайдіть загальний вигляд первісних функції $f(x)=2x+8$.

4. Знайдіть первісну $F(x)$ функції $f$, графік якої проходить через точку $M$.

5. Побудуйте графік функції $F$.

6. Визначте область значень функції $G(x)=3\cdot F(x)+1$.

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 6.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити область значень функції, будувати графіки квадратичних функцій, установлювати властивості числових функцій, заданих формулою, використання перетворення графіків функцій, знаходити первісну функції.

1. \begin{gather*} y(0)=2\cdot 0+8=8\\[7pt] y=0,\ \ 2x+8=0,\ \ x=-4\\[7pt] y(9)=2\cdot 9+8=26. \end{gather*}

$x$	$y$
$0$	$8$
$-4$	$0$
$9$	$26$

2. $M(-4;\ 0)$ – точка перетину графіка функції з віссю $x$.

3.

\begin{gather*} F(x)=2\cdot \frac{x^2}{2}+8x+C,\\[6pt] F(x)=x^2+8x+C\ \ \text{загальний вигляд первісних.} \end{gather*}

4. Первісна функції $f$, яка проходить через точку $M(-4;\ 0)$ \begin{gather*} 0=(-4)^2+8\cdot (-4)+C,\\[7pt] 0=16-32+C,\ \ C=16\\[7pt] F(x)=x^2+8x+16. \end{gather*}

5. Побудуємо графік функції $F(x)=x^2+8x+16$, $F(x)=(x+4)^2$.

Використаємо елементарні перетворення графіків:

$F(x)=x^2 \rightarrow F(x)=(x+4)^2$ переносимо вліво на 4 одиниці вздовж осі $Ox$.

6. Область визначення функції $F(x)\ E(y)=[0;\ +\infty)$.

Функцію $G(x)=3F(x)+1$ отримаємо з функції $F(x)$ стисканням в 3 рази до осі $Oy$ та паралельним перенесенням на 1 одиницю вгору вздовж осі $Oy$.

Отже, $E(G)=[1;\ \infty)$.

Відповідь:

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1242 з 2309

У правильній чотирикутній піраміді $SABCD$ плоский кут при вершині $S$ піраміди дорівнює $\mathbf{\beta}$. Довжина апофеми піраміди дорівнює 6.

1. Зобразіть на рисунку задану піраміду й позначте кут $\mathbf{\beta}$.

2. Визначте довжину сторони основи піраміди $SABCD$.

3. Визначте об’єм піраміди $SABCD$.

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 4.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі на обчислення об’ємів геометричних тіл, знання основних властивостей піраміди.

1. $SABCD$ - правильна піраміда. $ABCD$ - квадрат, $SO$ - висота, $AC\cap BD=0$.

$SK\perp AB,\ SK=6$ - апофема.

$\angle BSA=\mathbf{\beta}$ - плоский кут при вершині $S$.

2. $\triangle BSA$ - рівнобедрений $\rightarrow SK$ - висота, бісектриса та медіана. \begin{gather*} \angle KSA=\frac{\mathbf{\beta}}{2},\ \ SK=6.\\[6pt] AK=SK\operatorname{tg} S=6\operatorname{tg}\frac{\mathbf{\beta}}{2}.\\[6pt] AB=2AK=12\operatorname{tg}\frac{\mathbf{\beta}}{2}. \end{gather*}

3. $OK=AK=6\operatorname{tg}\frac{\mathbf{\beta}}{2}$ ($\triangle AOB$ - рівнобедрений прямокутний). $$ S_{ABCD}=AB^2=\left(12\operatorname{tg}\frac{\mathbf{\beta}}{2}\right)^2=144\operatorname{tg}^2\frac{\mathbf{\beta}}{2}. $$ У $\triangle SOK\ (\angle O=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} SK^2=SO^2+OK^2,\\[6pt] SO^2=6^2-6^2\operatorname{tg}\frac{\mathbf{\beta}}{2}=36\left(1-\operatorname{tg}^2\frac{\mathbf{\beta}}{2}\right).\\[6pt] SO=6\sqrt{1-\operatorname{tg}^2\frac{\mathbf{\beta}}{2}}=6\sqrt{1-\frac{\sin^2\frac{\mathbf{\beta}}{2}}{\cos^2\frac{\mathbf{\beta}}{2}}}= 6\sqrt{\frac{\cos^2\frac{\mathbf{\beta}}{2}-\sin^2\mathbf{\beta}}{\cos^2\mathbf{\beta}}}=\\[6pt] =\frac{6}{\cos\frac{\mathbf{\beta}}{2}}\sqrt{\cos\mathbf{\beta}}.\\[6pt] V=\frac 13 S_{ABCD}\cdot SO=\frac 13\cdot 144\operatorname{tg}^2\frac{\mathbf{\beta}}{2}\cdot \frac{6}{\cos\frac{\mathbf{\beta}}{2}}\sqrt{\cos\mathbf{\beta}}=\\[6pt] =\frac{288\operatorname{tg}^2\frac{\mathbf{\beta}}{2}\sqrt{\cos\mathbf{\beta}}}{\cos\frac{\mathbf{\beta}}{2}}. \end{gather*}

Відповідь: 2. $12\operatorname{tg}\frac{\mathbf{\beta}}{2}$
3. $\frac{288\operatorname{tg}^2\frac{\mathbf{\beta}}{2}\sqrt{\cos\mathbf{\beta}}}{\cos\frac{\mathbf{\beta}}{2}}$

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1243 з 2309

У правильній чотирикутній піраміді $SABCD$ плоский кут при вершині $S$ піраміди дорівнює $\mathbf{\beta}$. Довжина апофеми піраміди дорівнює 6.

1. Зобразіть на рисунку задану піраміду й укажіть лінійний кут $\mathbf{\gamma}$ двогранного кута при її бічному ребрі. Обґрунтуйте його положення.

2. Визначте кут $\mathbf{\gamma}$.

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 2.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити кути у просторі, знання про двогранний кут, лінійний кут двогранного кута.

1. $\triangle DSC=\triangle BSC$ ($SABCD$ - правильна піраміда), $DM\perp SC$, $BM\perp SC$ - відповідні висоти в рівних трикутниках. $(DSC)\cap(BSC)=SC$. \begin{gather*} \left. \begin{array}{ c c c} SC\perp MD & \\ SC\perp MB & \\ BM\cap DM& \end{array}\right| \rightarrow (BMD)\perp SC\rightarrow \end{gather*} $\angle BMD$ - лінійний кут відповідного двогранного між $(BSC)$ та $(DSC)$.
$\angle BMD=\mathbf{\gamma}$.

2. 1) $\triangle SOD\ (\angle O=90^\circ)$

\begin{gather*} SO=\frac{6}{\cos\frac{\mathbf{\beta}}{2}}\sqrt{\cos\mathbf{\beta}},\\[6pt] OD=\frac{DC\sqrt{2}}{2}=\frac{12\operatorname{tg}\frac{\mathbf{\beta}}{2}\cdot\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}\operatorname{tg}\frac{\mathbf{\beta}}{2}.\\[6pt] SD=\sqrt{SO^2+OD^2}=\sqrt{\frac{36\cos\mathbf{\beta}}{\cos^2\frac{\mathbf{\beta}}{2}}+72\operatorname{tg}^2\frac{\mathbf{\beta}}{2}}=\\[6pt] =\frac{6}{\cos\frac{\mathbf{\beta}}{2}}\sqrt{\cos\mathbf{\beta}+2\sin^2\frac{\mathbf{\beta}}{2}}=\\[6pt] =\frac{6}{\cos\frac{\mathbf{\beta}}{2}}\sqrt{\cos^2\frac{\mathbf{\beta}}{2}-\sin^2\frac{\mathbf{\beta}}{2}+2\sin^2\frac{\mathbf{\beta}}{2}}=\frac{6}{\cos\frac{\mathbf{\beta}}{2}}. \end{gather*}

2) $\triangle BMD$ - рівнобедрений ($BM=MD)$ $MO$ - бісектриса, висота та медіана. $$ \angle BMD=\angle OMD=\frac{\mathbf{\gamma}}{2}. $$

3) \begin{gather*} \triangle SMD\ (\angle M=90^\circ)\\[6pt] MD=SD\cdot\sin\mathbf{\beta}=\frac{6\sin\mathbf{\beta}}{\cos\frac{\mathbf{\beta}}{2}}=\\[6pt] =\frac{6\cdot 2\sin\frac{\mathbf{\beta}}{2}\cos\frac{\mathbf{\beta}}{2}}{\cos\frac{\mathbf{\beta}}{2}}=12\sin\frac{\mathbf{\beta}}{2}. \end{gather*}

4)

\begin{gather*} \triangle OMD\ (\angle O=90^\circ)\\[6pt] \sin\angle OMD=\frac{OD}{MD}=\frac{6\sqrt{2}\operatorname{tg}\frac{\mathbf{\beta}}{2}}{12\sin\frac{\mathbf{\beta}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}\cos\frac{\mathbf{\beta}}{2}}.\\[6pt] \sin\frac{\mathbf{\gamma}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}\cos\frac{\mathbf{\beta}}{2}},\\[6pt] \frac{\mathbf{\gamma}}{2}=\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{2}\cos\frac{\mathbf{\beta}}{2}}\right)\\[6pt] \mathbf{\gamma}=2\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{2}\cos\frac{\mathbf{\beta}}{2}}\right) \end{gather*}

Відповідь: $2\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{2}\cos\frac{\mathbf{\beta}}{2}}\right)$.

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1244 з 2309

Доведіть тотожність
$1-8\sin^2x\cos^2x-2\cos^22x=\frac{x^3-1}{x^2+x+1}-x$.

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 3.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1245 з 2309

Задано рівняння $$ \frac{(x-2)\cdot (x^2-3(a-1)x+2a^2-3a)}{\log_{0,5}(3-2x)+2}=0, $$ де $x$ – змінна, $a$ – стала.

1. Запишіть множину допустимих значень змінної $x$.

2. Розв’яжіть задане рівняння залежно від значень $a$.

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 6.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні, квадратні рівняння та рівняння з параметрами.

1. Знайдемо множину допустимих значень змінної $x$:

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l l} 3-2x\gt 0 & \\ \log_{0,5}(3-2x)+2\ne 0 & \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{ l l} x\lt 1,5 & \\ \log_{0,5}(3-2x)\ne -2 & \end{array}\right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{ l l} x\lt 1,5 & \\ 3-2x\ne 4 & \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{ l l} x\lt 1,5 & \\ 2x\ne -1 & \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{ l l} x\lt 1,5 & \\ x\ne -0,5 & \end{array}\right. \end{gather*} $$ x\in (-\infty;\ -0,5)\cup (-0,5;\ 1,5) $$

2. Розв'яжемо рівняння залежно від значень $a$: \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l l} \left[ \begin{array}{l l} x-2=0 & \\ x^2-3(a-1)x+2a^2-3a=0& \end{array}\right. &\\ x\in (-\infty;\ -0,5)\cup (-0,5;\ 1,5) & \end{array}\right. \end{gather*}

1) $x-2=0,\ \ x=2\ \notin$ ОДЗ.

2) $x^2-3(a-1)x+2a^2-3a=0$.

Розв'яжемо квадратне рівняння: \begin{gather*} D=\left(-3(a-1)\right)^2-4(2a^2-3a)=\\[7pt] =9(a^2-2a+1)-8a^2+12a=(a-3)^2\\[6pt] x_1=\frac{3(a-1)+(a-3)}{2}=2a-3;\\[6pt] x_2=\frac{3(a-1)-(a-3)}{2}=a. \end{gather*}

Знайдемо значення переметра $a$, при яких $x_1=2a-3$ належить ОДЗ: \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} 2a-3\lt -0,5 & \\ -0,5\lt 2a-3\lt 1,5& \end{array}\right. \left[ \begin{array}{l l} a\lt 1,25 & \\ 1,25\lt a\lt 2,25& \end{array}\right. \\[7pt] a\in (-\infty;\ 1,25)\cup (1,25;\ 2,25). \end{gather*} Для кореня $x_2=a$ \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} a\lt -0,5 & \\ a\in (-0,5;\ 1,5)& \end{array}\right. \\[7pt] a\in (-\infty;\ -0,5)\cup (-0,5;\ 1,5). \end{gather*}

Відповідь:
якщо

$a\in(-\infty;\ -0,5)\cup (-0,5;\ 1,25)\cup (1,25;\ 1,5)\ x\in \left\{a;\ 2a-3\right\}$,

якщо $a\in \left\{-0,5\right\}\cup [1,5;\ 2,25)\ x=2a-3$,
якщо $a=1,25\ x=a$,
якщо $a\in [2,25;\ +\infty)\ x\in \varnothing$.

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1246 з 2309

Установіть відповідність між початком речення (1 3) і його закінченням (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Графік функції $y=-x^3$

2Графік функції $y=\sqrt{x}$

3Графік функції $y=\cos x$

Закінчення речення

Арозміщено лише в першій і другій координатних чвертях.

Бмає з графіком рівняння $x^2+y^2=9$ лише одну спільну точку.

Всиметричний відносно осі $y$.

Гсиметричний відносно початку координат.

Дне має спільних точок із графіком рівняння $x=0$.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1247 з 2309

Установіть відповідність між початком речення (1–3) і його закінченням (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Трикутник, у якого центри вписаного й описаного кіл збігаються, зображено на

2Трикутник, один із внутрішніх кутів якого дорівнює 30°, зображено на

3Трикутник, у якого радіус описаного кола більший за 5 см, зображено на

Закінчення речення

Арис. 1.

Брис. 2.

Врис. 3.

Грис. 4.

Дрис. 5.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1248 з 2309

Установіть відповідність між виразом (1–3) і проміжком (А – Д), якому належить значення цього виразу, якщо $a=4,5$.

Вираз

1$a-2,7$

2$\sqrt[3]{3,5-a}$

3$\log_5 a$

Проміжок

А$(-2; 0)$

Б$(0; 1)$

В$(1; 2)$

Г$(2; 3)$

Д$(3; 5)$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1249 з 2309

Довжина кола основи конуса дорівнює $36\mathbf{\pi}$, твірна нахилена до площини основи під кутом 30°. Установіть відповідність між відрізком (1–3) і його довжиною (А – Д).

Відрізок

1радіус основи конуса

2висота конуса

3радіус сектора, що є розгорткою бічної поверхні конуса

Довжина відрізка

А$6\sqrt{3}$

Б$18$

В$12\sqrt{3}$

Г$6$

Д$36$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1250 з 2309

За 6 однакових конвертів заплатили 3 грн. Скільки всього таких конвертів можна купити за 12 грн?

А6

Б24

В30

Г36

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Знайшли помилку? Пишіть на

\(x\)	\(y\)
\(0\)
	\(0\)
\(9\)

\(x\)	\(y\)
\(0\)	\(8\)
\(-4\)	\(0\)
\(9\)	\(26\)