ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа та вирази. Логарифмічні вирази та їх перетворення. Функції. Основні властивості логарифмічної функції.

Це завдання перевіряє вміння виконувати перетворення логарифмічних виразів, знання властивостей логарифмічної функції.

Функція \(y=\log_2x\) зростаюча, тому

Тому \(x\in (3; 4).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання означення арифметичної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена та вміння розв'язувати задачі на арифметичну прогресію.

З означення арифметичної прогресії \(a_{n+1}=a_n+d.\) Так як \(a_5=a_4+3\), то \(d=3.\)

За формулою \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії $$ a_n=a_1+(n-1)d, $$ знаходимо:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє знання основних тригонометричних тотожностей та вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Паралельність і перпендикулярність прямої і площини. Паралельність площин.

Це завдання перевіряє знання можливого взаємного розташування прямих та площин у просторі.

I. Твердження є правильним, достатньо щоб пряма \(a\) була перпендикулярна до кожної з двох прямих \(c\) та \(b.\)

II. Твердження є правильним, через точку \(A\) можна провести безліч перпендикулярних площин до площини \(\mathbf{\alpha}.\) Достатньо, щоб побудована перпендикулярна площина проходила через пряму \(a\) з п. I.

III. Твердження є неправильним. Згідно з аксіомою стереометрії: якщо дві площини мають спільну точку, то вони або збігаються, або перетинаються по прямій, яка проходить через цю точку. Тобто якщо провести через точку \(A\) паралельну площину \(\mathbf{\beta}\) – то вона збігатиметься з площиною \(\mathbf{\alpha}.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Ірраціональні рівняння. Функції.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння, знаходити область визначення функції, знання методів розв’язування ірраціональних рівнянь.

Підносимо обидві частини рівняння до квадрата. Отримали рівняння, яке є наслідком даного:

Перевірка показує, що \(x=-2\mathord{,}5\) є коренем даного рівняння:

Корінь рівняння належить проміжку \([-3; -1).\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їх властивості.

Це завдання перевіряє знання аксіом стереометрії, властивостей паралельних прямих, уміння застосовувати властивості найпростіших геометричних фігур до розв’язування планіметричних задач.

\(\angle ABC+\angle CBD+\angle DBE=180^\circ\), \(\angle CBD=\angle BDE=70^\circ\), як внутрішні різносторонні при \(m\ ||\ n\) та січною \(BD.\) Кут \(\mathbf{\alpha}=180^\circ-60^\circ-70^\circ=50^\circ.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання формул скороченого множення.

Оскільки обидва дроби мають однаковий знаменник, перетворимо заданий вираз у такій послідовності:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє знання основних властивостей функцій, уміння розв’язувати рівняння першого степеня.

Точка перетину графіка функції \(y=2x-2\) з віссю абсцис має ординату нуль \((y=0).\) Абсцису точки знаходимо з рівняння:

Точка перетину графіка з віссю абсцис \((1; 0).\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Це завдання перевіряє вміння знаходити відстань між двома точками в просторі, знання рівняння сфери.

Рівняння сфери $$ (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2. $$ Центр сфери \((0; 0; 0).\)

Точка \(A(0; 0; -5)\) належить сфері, тому радіус сфери \(R=5.\) Рівняння даної сфери $$ x^2+y^2+z^2=25. $$

Координати точки \(N(0; 0; 5)\) задовольняють даному рівнянню.

Відповідь: Г.