ТЕМА: Алгебра. Числа і вирази. Степеневі вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення степеневих виразів та знаходити їхнє числове значення при заданих значеннях змінних.

Якщо \(2^{\mathbf{\alpha}}\), то

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Геометричні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення паралелограма, ознак подібності трикутників до розв'язування планіметричних задач.

Розглянемо \(\Delta AOK\) та \(\Delta COB.\)

\(\angle KAO=\angle BCO\) як внутрішні різносторонні при \(BC\ ||\ AD\) та січної \(AC.\)

\(\angle BOC=\angle KOA\) як вертикальні.

Отже, \(\Delta BOC\) подібний \(\Delta KOA\) за двома кутами. У подібних трикутниках відповідні сторони пропорційні:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра. Числа і вирази. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів та знаходити їхнє числове значення при заданих значеннях змінних.

\(x^2-y^2=7\), \(3x+3y=63.\)

\((x-y)(x+y)=7\) – розклали на множники за формулою різниці квадратів.

\(3(x+y)=63\), отже, \(x+y=21.\)

Підставимо у перше рівняння замість суми \((x-y)\cdot 21=7\), отримаємо $$ x-y=\frac 13. $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Елементи статистики. Вибіркові характеристики.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати та аналізувати вибіркові характеристики рядів даних (середнє значення).

Для того, щоб знайти скільки часу на день у середньому учень користується Інтернетом, необхідно знайти середнє арифметичне значень

Відповідь: A.

ТЕМА: Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє знання формул зведення, означення котангенса числового аргументу.

За формулою зведення $$ \cos(90^\circ+\mathbf{\alpha})=-\sin \mathbf{\alpha}. $$

Отримаємо,

Відповідь: A.

ТЕМА: Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання взаємного розміщення прямої та площини у просторі.

За наслідками з аксіом стереометрії: через пряму і точку, яка їй належить, проходить площина, і до того ж тільки одна.

Через точку \(A\) можна провести безліч площин, паралельних прямій \(m\), але лише одну, перпендикулярну до прямої \(m.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Рівняння, нерівності та їхні системи. Логарифмічні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння, що містять логарифмічні вирази, знання властивостей логарифма.

Застосуємо означення логарифма

Відповідь: Г.

ТЕМА: Стереометрія. Поверхні обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей кулі та сфери та вміння розв'язувати стереометричні задачі.

Площа великого круга дорівнює \(S.\) За формулою \(S=\mathbf{\pi}R^2\) знаходимо $$ R^2=\frac{S}{\mathbf{\pi}}. $$

Площа сфери визначається за формулою: \(S=4\mathbf{\pi}R^2.\) Підставимо у формулу замість \(R^2\) вираз \(\frac{S}{\mathbf{\pi}}.\)

Отримаємо: $$ S=4\mathbf{\pi}\cdot \frac{S}{\mathbf{\pi}}=4S. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Рівняння, нерівності та їхні системи. Лінійні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати лінійні рівняння.

\begin{gather*} 2x-3=4,\\[7pt] 2x=4+3,\\[7pt] 2x=7,\\[7pt] x=7:2,\\[7pt] x=3\mathord{,}5. \end{gather*}

Значення \(x\) належить проміжку \([2; 4).\)

Відповідь: Г.