ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Логарифмічні, тригонометричні нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи нерівностей, що містять логарифмічні та тригонометричні вирази, розв'язувати нерівності та системи з параметрами.

1. \(\mathbf{\pi}^2-x^2\ge 0\),

\(x^2-\mathbf{\pi}^2\le 0\),

\(x\in [-\mathbf{\pi}; \mathbf{\pi}].\)

2. \(\log_3a(2\sin^2x-(2a-1)\sin x-a)\ge 0\),

\(\log_3a(\sin x+0\mathord{,}5)(\sin x-a)\ge 0.\)

Розглянемо випадки:

I. \(a=1\), тоді \(\log_3a=0\) і нерівність набуває вигляду \(0\cdot (\sin x+0\mathord{,}5)(\sin x-a)\ge 0\), тобто \(0\ge 0.\) Її розв'язками є множина \(x\in (-\infty; +\infty).\)

II. \(a\in (0; 1)\), тоді \(\log_3a\lt 0.\) Одержуємо:

\((\sin x+0\mathord{,}5)(\sin x-a)\le 0\),

\(-0\mathord{,}5\le \sin x\le a\),

\(x\in\left[-\frac{\mathbf{\pi}}{6}+2\mathbf{\pi}k; \mathrm{arcsin}\ a+2\mathbf{\pi}k\right]\cup \left[\mathbf{\pi}-\mathrm{arcsin}\ a+2\mathbf{\pi}k; \frac{7\mathbf{\pi}}{6}+2\mathbf{\pi}k\right].\)

III. \(a\in (1; +\infty)\), тоді \(\log_3a\gt 0.\)

Розв'язуємо нерівність \((\sin x+0\mathord{,}5)(\sin x-a)\ge 0.\)

Перша система розв'язків не має, друга система еквівалентна нерівності \(\sin x\le -0\mathord{,}5\), звідки
\(x\in \left[-\frac{5\mathbf{\pi}}{6}+2\mathbf{\pi}k;\ -\frac{\mathbf{\pi}}{6}+2\mathbf{\pi}k\right].\)

3. Множиною розв'язків заданої системи для кожного значення \(a\) є всі ті значення \(x\), які одночасно належать множинам розв'язків і першої, і другої нерівностей системи для цього значення \(a.\)

Відповідь:  \(a=1\), тоді \(x\in [-\mathbf{\pi}; \mathbf{\pi}].\)
                   \(a\in (0; 1)\), тоді \(x\in \left[-\mathbf{\pi}; -\frac{5\mathbf{\pi}}{6}\right]\cup \left[-\frac{\mathbf{\pi}}{6}; \arcsin\ a\right]\cup [\mathbf{\pi}-\arcsin\ a; \mathbf{\pi}].\)
                   \(a\in (1; +\infty)\), тоді \(x\in \left[-\frac{5\mathbf{\pi}}{6}; -\frac{\mathbf{\pi}}{6}\right].\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Тіла та поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння знаходити зазначені відстані та величини кутів у просторі, перерізи тіл обертання площиною, затосовувати властивості тіл та поверхонь обертання до розв'язування стереометричних задач.

1. Перерізом кулі площиною \(\mathbf{\beta}\), що проходить через точку \(A\), є круг, якому належить точка \(A\) (див. рисунок). \(O_1\) – центр цього круга, \(OO_1\ \perp\ \mathbf{\beta}\), отже, \(OO_1=d.\)

2. \(OA\) – радіус кулі, проведений в точку \(A\), \(O_1A\) – проекція \(OA\) на площину \(\mathbf{\beta}\), отже, \(\angle OAO_1=\mathbf{\alpha}.\)

3. \(O_1A=d\operatorname{ctg}\ \mathbf{\alpha}\), \(S_\text{перерізу}=\mathbf{\pi}(O_1A)^2=\mathbf{\pi}d^2\operatorname{ctg}^2\ \mathbf{\alpha}.\)

Відповідь: 3. \(\mathbf{\pi}d^2\operatorname{ctg}^2\ \mathbf{\alpha}.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Степеневі функції. Похідна функції, її геометричний зміст.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком, знаходити похідні елементарних функцій, знаходити числове значення похідної функції в точці, складати рівняння дотичної до графіка функції в точці.

1. Графік функції \(f\) зобразимо на рисунку.

2. Координати точки \((x_0; y_0)\) перетину графіка функції \(f\) з прямою \(y=3\) є розв'язком системи

Одержуємо \(\sqrt{x}+2=3\), \(\sqrt{x}=1\), \(x_0=1\), \(y_0=3.\)

3. \(f'(x)=(\sqrt{x}+2)'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\), \(f'(1)=\frac{1}{2\sqrt{1}}=0\mathord{,}5.\)

4. Рівняння дотичної, проведеної до графіка функції \(f\) у точці з абсцисою \(x_0\), має вигляд \(y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).\) Ураховуємо, що \(x_0=1\), \(f(x_0)=y_0=3\), \(f'(x_0)=f'(1)=0\mathord{,}5.\) Одержуємо: \(y=0\mathord{,}5(x-1)+3\), \(y=0\mathord{,}5x+2\mathord{,}5\) – шукане рівняння дотичної.

Відповідь: 3. \(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1}}=0\mathord{,}5.\)
                   4. \(y=0\mathord{,}5x+2\mathord{,}5.\)

ТЕМА: Планіметрія. Координати і вектори на площині.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами, знаходити скалярний добуток, координати вектора.

Коло із центром в точці \(O\) задано рівнянням \(x^2+y^2=80.\)

\(M(x_0; y_0)\) лежить на колі, тому \(x_0^2+y_0^2=80.\)

\(O(0; 0)\), \(M(x_0; y_0)\) отже, \(\overline{OM}(x_0; y_0).\)

За умовою \(\overline{a}\ \perp\ \overline{OM}\), тому \(\overline{a}\cdot \overline{OM}=0\), \(\overline{a}(-2; 1)\), \(-2x_0+1\cdot y_0=0.\)

Складемо систему рівнянь:

За умовою \(x_0\lt 0\), а отже, \(x_0=-4.\)

Відповідь: \(-4.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Перестановки, комбінації, розміщення.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі комбінаторного характеру, знання комбінаторного правила добутку.

Для оформлення салону замовили \(2\) орхідеї з \(10\) та \(5\) хризантем з \(8.\)

Оскільки всі квіти різного кольору, то кількість способів формування замовлення знаходимо за формулою комбінацій та комбінаторним правилом добутку:

Відповідь: \(2520.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом.

За течією річки човен проходить \(32\ \textit{км}\) за \(1\ \textit{год}\ 20\ \textit{хв}=1\frac 13=\frac 43\ \textit{год}.\)

Проти течії річки човен проходить \(48\ \textit{км}\) за \(3\ \textit{год}\), тому

Власна швидкість човна:

Відповідь: \(20.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули n-го члена геометричної прогресії, означення геометричної прогресії.

Використаємо формулу \(n\text{-го}\) члена: \begin{gather*} b_n=b_1q^{n-1},\\[7pt] b_4=b_1q^3,\ \ b_3=b_1q^2,\\[7pt] b_1q^3=8b_1,\ \ q^3=8,\ \ q=2,\\[7pt] b_1q^2+b_1q^3=b_1q^2\cdot b_1q^3-14,\\[7pt] 4b_1+8b_1=b_1^2\cdot 32-14,\\[7pt] 32b_1^2-12b_1-14=0,\\[7pt] 16b_1^2-6b_1-7=0,\\[7pt] D=36+4\cdot 16\cdot 7=484,\\[7pt] \left[\begin{array}{l} b_1=\frac{6+22}{32}=\frac 78=0\mathord{,}875,\\ b_1=\frac{6-22}{32}=-0\mathord{,}5. \end{array}\right. \end{gather*}

За умовою всі члени прогресії додатні числа, тому \(b_1=0\mathord{,}875.\)

Відповідь: \(0\mathord{,}875.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання про центральні та вписані кути, прямокутник, формули для обчислення площі трикутників.

1. \(\angle AMD\) – вписаний, який спирається на діаметр. \(\angle AMD=90^\circ.\) \(ME\ \perp\ AD.\)

За властивістю висоти до гіпотенузи:

\(ME^2=AE\cdot ED.\)

Нехай \(BK=MC=x\ \textit{см}\), \(KM=3x\ \textit{см}\), \(ME=AB=4\ \textit{см}\), \(AE=BM=4x\ \textit{см}\), \(DE=MC=x\ \textit{см}.\)

\(16=4x\cdot x\), \(x=2\ \textit{см}.\)

\(AD=5x=5\cdot 2=10\ \textit{см}\) – діаметр.

\(R=5\ \textit{см}.\)

2. \(OF\ \perp\ KM\), \(\Delta OFM\ (\angle F=90^\circ)\), \(OM=R=5\ \textit{см}\), \(OF=AB=4\ \textit{см}\), \(FM=3\ \textit{см}\) (єгипетський).

\(S_{OKM}=\frac 12KM\cdot OF=FM\cdot OF=3\cdot 4=12\ \textit{см}^2.\)

Відповідь: 1. \(5.\)
                   2. \(12.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Відсотки. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на відсоткові розрахунки, розв'язувати задачі арифметичним способом.

За \(1\) м\(^2\) ковроліну необхідно заплатити \(200\) грн.

1. Якщо покупець купить \(50\) м\(^2\) та скористається акційною пропозицією (знижка \(8\text{%}\) від вартості купленого ковроліну), то заплатить:

\(50\cdot 200\cdot 0\mathord{,}92=9200\) грн.

2. Найбільш економний варіант покупки – \(7\mathord{,}5\cdot 2=15\ \textit{м}\) шириною \(3\ \textit{м}.\) Вартість покупки:

\(15\cdot 3\cdot 200=9000\ \textit{грн}.\)

Покупець заплатить на \(200\) грн менше.

Відповідь: 1. \(9200.\)
                   2. \(200.\)