Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 1200

Завдання 1201 з 2155

Розв’яжіть нерівність $$ \frac{\log_ax}{x^2+(a-4)x+4-2a}\le 0 $$ залежно від значень параметра $a.$

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 6.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра. Рівняння, нерівності та їхні системи. Лінійні, квадратні, раціональні, логарифмічні рівняння, нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати логарифмічні нерівності, розв'язувати рівняння, нерівності з параметрами.

Знаходимо ОДЗ: $$ \left\{\begin{array}{l} x\gt 0,\\ x^2+(a-4)x+4-2a\ne 0, \end{array}\right. $$ крім того, для параметра a є також обмеження: a > 0 та a ≠ 1 (a є основою логарифма).

Розв'яжемо квадратне рівняння

\begin{gather*} x^2+(a-4)x+4-2a=0,\\[7pt] D=(a-4)^2-4(4-2a)=a^2-8a+16-16+8a=a^2. \end{gather*}

За умови $a\gt 0$, $D\gt 0$ при будь-якому значенні $a.$

\begin{gather*} x_1=\frac{-1+4+a}{2}=2,\\[6pt] x_2=\frac{-a+4-a}{2}=\frac{4-2a}{2}=2-a. \end{gather*}

Отримали ОДЗ:

$$ \left\{\begin{array}{l} x\gt 0,\\ x\ne 2,\\ x\ne 2-a. \end{array}\right. $$

Знайдемо нулі функції, яка знаходиться в лівій частині нерівності.

\begin{gather*} \log_ax=0,\\[7pt] x=a^0=1. \end{gather*}

Розглянемо для кожного проміжку з області допустимих значень розв'язок нерівності.

I.

\begin{gather*} 2-a\gt 0,\\[7pt] -a\gt 0,\\[7pt] a\lt 0. \end{gather*}

При $a\lt 0$ нерівність не має змісту, тому розв'язків немає.

II. \begin{gather*} 2-a=2,\\[7pt] a=0 \end{gather*} не має розв'язків.

III.

\begin{gather*} 1\lt 2-a\lt 2,\\[7pt] -1\lt -a\lt 0,\\[7pt] 0\lt a\lt 1. \end{gather*}

$x\in [1; 2-a)\cup (2; +\infty).$

IV.

\begin{gather*} 2-a=1,\\[7pt] -a=-1,\\[7pt] a=1. \end{gather*}

V.

\begin{gather*} 0\lt 2-a\lt 1,\\[7pt] 1\lt a\lt 2. \end{gather*}

$x\in (0; 2-a)\cup [1; 2).$

VI.

\begin{gather*} 2-a=0,\\[7pt] a=2. \end{gather*}

$x\in [1; 2).$

VII.

\begin{gather*} 2-a\lt 0,\\[7pt] a\gt 2. \end{gather*}

$x\in [1; 2).$

Відповідь: при $a\in (0; 1)\ x\in [1; 2-a)\cup (2; +\infty)$;
при $a\in (1; 2)\ x\in (0; 2-a)\cup [1; 2)$;
при $a\in [2; +\infty)\ x\in [1; 2).$

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1202 з 2155

У правильній чотирикутній піраміді $SABCD$ сторона основи $ABCD$ дорівнює $c$, a бічне ребро $SA$ утворює з площиною основи кут $\mathbf{\alpha}.$ Через основу висоти піраміди паралельно грані $ASD$ проведено площину $\mathbf{\beta}.$

1. Побудуйте переріз піраміди $SABCD$ площиною $\mathbf{\beta}.$

2. Обґрунтуйте вид перерізу.

3. Визначте периметр перерізу.

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 4.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Стереометрія. Многогранники. Піраміда. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання ознак паралельності прямої та площини, властивостей паралельних площин, кута між прямою та площиною, уміння будувати перерізи многогранників, властивостей правильної піраміди.

1. $SABCD$ – правильна піраміда, тому в основі лежить квадрат $ABCD$ і основа висоти є центром квадрата, тобто точкою перетину діагоналей.

Бічне ребро $SA$ утворює з площиною основи кут $\mathbf{\alpha}.$ $SO\ \perp\ (ABC)$, $SA$ – похила, $OA$ – проекція $SA$ на площину основи, тому

$\angle (SA, (ABC))=\angle SAO=\mathbf{\alpha}.$

Побудуємо переріз піраміди площиною $\mathbf{\beta}\ || (SAD).$ За властивістю паралельних площин паралельні площини $\mathbf{\beta}$ та $SAD$ перетинаються третьою, площиною $ABC$ по паралельних прямих, тому будуємо $EF\ ||\ AD$ через точку $O.$

$\mathbf{\beta}\ ||\ (ASD)$ та перетинаються площиною $(ASB)$ по паралельним прямим, тому будуємо $KE\ || SA$ (слід січної площини на $(ASB).$

$\mathbf{\beta}\ ||\ (ASD)$ перетинаються $(SCD)$ по $MF\ || SD.$ З'єднаємо точку $K$ та точку $M$, що належать $(BSC).$ $KMFE$ – шуканий переріз.

2. Точка $E$ – середина $AB$, $KE\ || SA$ за побудовою, тому $KE$ – середня лінія $\Delta SBA\rightarrow BK=KS.$

Точка $F$ середина $DC$, $MF\ || SD$ за побудовою, тому $MF$ – середня лінія $\Delta SDC\rightarrow CM=MS.$

У $\Delta BCS\ KM$ середня лінія, тому $KM\ ||\ BC$, $EF\ ||\ BC$ (за побудовою), $KM\ ||\ BC$ – тому $KM\ ||\ EF$ за ознакою паралельних прямих. Отже, $KMFE$ – трапеція.

$SABCD$ правильна піраміда, тому $\Delta SBA=\Delta SCD$, $KE=MT$ як відповідні середні лінії. Отже, $KMFE$ – рівнобічна трапеція.

3. $AB=c$, то діагональ квадрата $ABCD\ AC=c\sqrt{2}$, $AO=\frac 12AC=\frac{c\sqrt{2}}{2}.$

У $\Delta SOA\ (\angle O=90^\circ).$

\begin{gather*} \angle A =\mathbf{\alpha}\\[6pt] SA=\frac{OA}{\cos\mathbf{\alpha}}=\frac{c\sqrt{2}}{2\cos \mathbf{\alpha}}\\[6pt] KE=\frac 12SA=\frac{c\sqrt{2}}{4\cos \mathbf{\alpha}}=MF.\\[6pt] EF=AD=c,\\[6pt] KM=\frac 12BC=\frac 12c. \end{gather*}

Знаходимо периметр трапеції:

\begin{gather*} P=EF+KM+2\cdot KE=c+\frac c2+2\cdot \frac{c\sqrt{2}}{4\cos\mathbf{\alpha}}=c+\frac c2+\frac{c\sqrt{2}}{2\cos \mathbf{\alpha}}=\\[6pt] =\frac{2c\cos \mathbf{\alpha}+c\cos \mathbf{\alpha}+c\sqrt{2}}{2\cos \mathbf{\alpha}}=\frac{c(2\cos \mathbf{\alpha}+\cos \mathbf{\alpha}+c\sqrt{2})}{2\cos \mathbf{\alpha}}=\\[6pt] =\frac{3\cos \mathbf{\alpha}+\sqrt{2}}{2\cos \mathbf{\alpha}}\cdot c. \end{gather*}

Відповідь: 3. $\frac{3\cos \mathbf{\alpha}+\sqrt{2}}{2\cos \mathbf{\alpha}}\cdot c.$

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1203 з 2155

Задано функції $f(x)=x^3$ i $g(x)=4|x|.$

1. Побудуйте графік функції $f.$

2. Побудуйте графік функції $g.$

3. Визначте абсциси точок перетину графіків функцій $f$ i $g.$

4. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіками функцій $f$ i $g.$

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 4.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра. Функції. Степенева та лінійна функції, їхні основні властивості. Визначений інтеграл.

Це завдання перевіряє знання основних властивостей та графіків функцій, уміння будувати графіки елементарних функцій, застосовувати формулу Ньютона-Лейбниця для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

1. Побудуємо графік функції $f(x)=x^3.$

$x$	$0$	$1$	$2$	$-1$	$-2$
$y$	$0$	$1$	$8$	$-1$	$-8$

2. Побудуємо графік функції $g(x)=4|x|.$
при $x\ge 0$ будуємо $g(x)=4x.$

$x$	$0$	$3$
$y$	$0$	$12$

при $x\lt 0$ будуємо $g(x)=-4x.$

$x$	$0$	$-3$
$y$	$0$	$12$

3. Абсциси точок перетину графіків $f$ i $g$ знаходимо графічно $x=0$ та $x=2$, або як розв'язки рівняння $x^3=4|x|.$ При $x\ge 0$

\begin{gather*} x^3=4x,\\[7pt] x^3-4x=0,\\[7pt] x(x^2-4)=0,\\[7pt] x(x-2)(x+2)=0,\\[7pt] x=0\ \text{або}\ x=2\ \text{або}\ x=-2. \end{gather*}

Проміжку $x\in [0; +\infty)$ належать корені $x=0$ та $x=2.$

При $x\lt 0$

\begin{gather*} x^3=-4x,\\[7pt] x^3+4x=0,\\[7pt] x(x^2+4)=0,\\[7pt] x=0\ \text{або}\ x^2+4=0\ \text{немає коренів}. \end{gather*}

Отже, абсциси точок перетину графіків $f$ i $g$ $x_1=0$, $x_2=2.$

4. Площу фігури, обмеженої графіками функцій f i g знаходимо за допомогою визначеного інтеграла:

\begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_{0}^2(4x-x^3) dx=\left.\left(\frac{4x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right)\right|_0^2=\\[6pt] =\left.\left(2x^2-\frac{x^4}{4}\right)\right|_0^2=2\cdot 2^2-\frac{2^4}{4}-0=8-4=4\ \text{кв. од.} \end{gather*}

Відповідь: 3. $x_1=0$, $x_2=2.$
4. $4$ кв. од.

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1204 з 2155

У прямокутній системі координат нa площині задано колінеарні вектори $\overrightarrow{AB}$ тa $\overrightarrow{a}(3; -5).$ Визначте абсцису точки $B$, якщо $A(-4; 1)$, a точка $B$ лежить нa прямій $y=3.$

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1205 з 2155

B Оленки є $8$ різних фотографій з її зображенням тa $6$ різних фотографій її класу. Скільки всього в неї є способів вибрати з них $3$ фотографії зі своїм зображенням для персональної сторінки в соціальній мережі тa $2$ фотографії свого класу для сайту школи?

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1206 з 2155

У майстерні мали виготовити $240$ стільців за $n$ днів, причому щодня планували виробляти однакову кількість стільців. Однак, на прохання замовника, завдання виконали на $2$ дні раніше запланованого терміну. Для цього довелося денну норму виготовлення збільшити на $4$ стільці. Визначте $n.$

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1207 з 2155

Знаменник геометричної прогресії дорівнює $\frac 23$ а сума чотирьох перших її членів дорівнює $65.$ Знайдіть перший член цієї прогресії.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1208 з 2155

У прямокутному трикутнику $ABC\ (\angle C=90^\circ)$ відстані від середини медіани $BM$ до катетів $AC$ і $BC$ дорівнюють $5$ см і $6$ см відповідно.

1. Визначте довжину катета $AC$ (y см).

2. Визначте радіус (у см) кола, описаного навколо трикутника $ABC.$

Впишіть відповіді:

1.			2.
	24			13

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей медіани, середньої лінії трикутника, уміння застосовувати властивості різних видів трикутників до розв'язання планіметричних задач.

$BM$ – медіана, точка $K$ – середина медіани.

1. Відстань від точки $K$ до $AC$ – це $KF=5$ см, $KF\ \perp\ AC.$

Відповідно, $KE\ \perp\ BC,$ $KE=6$ см.

$KE\ \perp \ BC$, $AC\ \perp\ BC\rightarrow\ KE\ ||\ AC.$

За теоремою Фалеса, точка $E$ – середина $BC$, тому $KE$ – середня лінія $\Delta MBC.$

За властивістю середньої лінії, \begin{gather*} KE=\frac 12MC,\\[6pt] MC=2KE=2\cdot 6=12\ \textit{см}. \end{gather*} Оскільки $BM$ – медіана, то $AC=2MC=24$ см.

Отже, довжина катета $AC=24$ см.

2. Аналогічно, $KF$ – середня лінія $\Delta CMB$, тому $BC=2KF=10$ см.

За теоремою Піфагора, у $\Delta ABC\ (\angle C=90^\circ)$

\begin{gather*} AB^2=AC^2+CB^2=24^2+10^2=576+100=676,\\[7pt] AB=\sqrt{676}=26\ \textit{см}. \end{gather*}

За властивістю прямокутного трикутника, радіус описаного кола дорівнює половині гіпотенузи. Отже, радіус кола $$ 26 : 2 = 13\ \textit{см}. $$

Відповідь: 1. $24$ см.
2. $13$ см.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1209 з 2155

Для визначення ширини автомагістралі $h_\text{маг}$ (y м), що має по $4$ однакові смуги руху транспорту в обох напрямках (див. рисунок), використовують формулу $h_\text{маг}=8b+r+2\Delta$, де
$b$ – ширина однієї смуги руху транспорту;
$r$ – ширина розділювальної смуги між напрямками руху транспорту;
$\Delta$ – ширина запобіжної смуги між крайньою смугою руху й бордюром.

1. Визначте ширину $b$ (y м) однієї смуги, якщо $h_\text{маг}=40\mathrm{,}2$ м, $r=10$ м, $\Delta=1\mathord{,}5$ м.

2. Заплановано збільшити ширину $b$ кожної смуги руху транспорту на $10\ \text{%}$ за рахунок лише зменшення ширини $r$ розділювальної смуги. На скільки метрів потрібно зменшити ширину $r$ розділювальної смуги?

Впишіть відповіді:

1.			2.
	3.4			2.72

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1210 з 2155

Циліндр і конус мають рівні об’єми та рівні радіуси основ. Площа основи циліндра дорівнює $25\mathbf{\pi}$ см$^2$, а його об’єм – $100\mathbf{\pi}$ см$^3.$ До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Висота циліндра дорівнює

2Висота конуса дорівнює

3Радіус основи циліндра дорівнює

4Твірна конуса дорівнює

Закінчення речення

А$4$ см

Б$5$ см

В$8$ см

Г$12$ см

Д$13$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

\(x\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(-1\)	\(-2\)
\(y\)	\(0\)	\(1\)	\(8\)	\(-1\)	\(-8\)

\(x\)	\(0\)	\(3\)
\(y\)	\(0\)	\(12\)

\(x\)	\(0\)	\(-3\)
\(y\)	\(0\)	\(12\)