Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 1280

Завдання 1281 з 2067

Основою правильної призми $ABCA_1B_1C_1$ є рівносторонній трикутник $ABC.$ Точка $K$ – середина ребра $BC.$ Площина, що проходить через точки $A$, $K$ та $B_1$, утворює з площиною основи призми кут $\mathbf{\alpha}.$ Визначте об'єм призми $ABCA_1B_1C_1$, якщо відстань від вершини $A$ до грані $BB_1C_1C$ дорівнює $d.$

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 4.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення, ознаки та властивості перпендикулярних прямих і площин до розв'язування стереометричних задач; знання формул для обчислення об'ємів многогранників, уміння використовувати пряму та обернену теорему про три перпендикуляри для знаходження кута між площинами.

Нехай $ABCA_1B_1C_1$ – дана правильна призма. $\Delta ABC$ – рівносторонній, висота призми – бічне ребро.

Площина $(AB_1K)$ перетинає $(B_1BC)$ по прямій $B_1K$, $(AB_1K)\cap (ABC)=AK$, $(A_1B_1K)\cap (AB_1B)=AB_1.$

$BB_1\ \perp\ (ABC)$, $B_1K$ – похила, $BK$ – проекція похилої $B_1K$ на площину $ABC.$

$AK$ – медіана та висота $\Delta ABC$, тому $AK\ \perp\ BK.$ За теоремою оберненою до теореми про три перпендикуляри $B_1K\ \perp\ AK.$

За ознакою перпендикулярності прямої та площини $(BCB_1)\ \perp\ AK.$

$(B_1KA)\cap (ABC)=AK\Rightarrow \angle B_1KB=\mathbf{\alpha}$ – лінійний кут відповідного двогранного при ребрі $AK.$

$AK=d.$ У $\Delta ABK\ (\angle K=90^\circ)$, $\angle B=60^\circ$,

\begin{gather*} BK=\frac 12AB=\frac{AK}{2\sin 60^\circ}=\frac{2d}{2\sqrt{3}}=\frac{d}{\sqrt{3}}\cdot AB=\frac{2d}{\sqrt{3}},\\[6pt] S_{\Delta ABC}=\frac 12BC\cdot AK=BK\cdot AK=\frac{d}{\sqrt{3}}\cdot d=\frac{d^2}{\sqrt{3}},\\[6pt] \Delta BB_1K\ (\angle B=90^\circ),\ \angle K=\mathbf{\alpha},\\[6pt] BB_1=BK\cdot \operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}=\frac{d\cdot \operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}}{\sqrt{3}},\\[6pt] V_\text{призми}=S_{ABC}\cdot BB_1=\frac{d^2}{\sqrt{3}}\cdot \frac{d\cdot \operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}}{\sqrt{3}}=\frac{d^3}{3}\operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}. \end{gather*}

Відповідь: $\frac{d^3}{3}\operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}.$

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1282 з 2067

Задано функції $f(x)=x^2-6x+9.$

1. Визначте координати точок перетину графіка функції $f$ з осями координат.

2. Побудуйте графік функції $f.$

3. Запишіть загальний вигляд первісних для функції $f.$

4. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіками функції $f$ та осями $x$ i $y.$

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 4.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1283 з 2067

У прямокутній системі координат на площині задано взаємно перпендикулярні вектори $\overrightarrow{AB}$ та $\overrightarrow{a}(4; 3).$ Визначте абсцису точки $B$, якщо $A(-2; 0)$, а точка $B$ лежить на прямій $y=2x.$

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1284 з 2067

У торбинці лежать $3$ цукерки з молочного шоколаду та $m$ цукерок з чорного шоколаду. Усі цукерки – однакової форми й розміру. Якого найменшого значення може набувати $m$, якщо ймовірність навмання витягнути з торбинки цукерку з молочного шоколаду менша за $0\mathord{,}25$?

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1285 з 2067

Автобус вирушив з міста $A$ до міста $B$, відстань між якими становить $150$ км. Через $30$ хв із міста $A$ до міста $B$ тією самою дорогою вирушив автомобіль, швидкість якого в $1\frac 15$ раза більша за швидкість автобуса. Скільки часу (у год) витратив на дорогу з міста $A$ до міста $B$ автомобіль, якщо він прибув до міста $B$ одночасно з автобусом? Уважайте, що автобус та автомобіль рухалися зі сталими швидкостями.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1286 з 2067

Знайдіть область визначення функції $$ y=\frac{1}{\sqrt{56-4x}}. $$ У відповіді запишіть найбільше ціле двоцифрове число, що належить області визначення цієї функції.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1287 з 2067

На рисунку зображено рівнобічну трапецію $ABCD$ та квадрат $KBCM.$ Точки $K$ i $M$ – середини діагоналей $AC$ і $BD$ трапеції відповідно. Площа квадрата $KBCM$ дорівнює $18$ см$^2.$

1. Визначте довжину діагоналі $AC$ (у см).

2. Обчисліть площу трапеції $ABCD$ (у см$^2$).

Впишіть відповіді:

1.			2.
	12			72

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми Фалеса, властивостей середньої лінії трикутника, трапеції, теореми Піфагора, уміння застосовувати властивості геометричних фігур до розв'язання планіметричних задач.

1. Оскільки площа квадрата $KBCM\ 18$ см$^2$, то

$$ BC=CM=KM=BK=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\ \textit{см}. $$

$KM$ з'єднує середини діагоналей $AC$ та $BD$, належить середній лінії $LN.$

$\Delta ACE\ (\angle E=90^\circ)\ CE\ \perp\ AD$, $KM$ – середня лінія $KM=\frac 12AE$, $AE=2KM=2\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$ см.

За теоремою Фалеса $MK\ ||\ AD$, оскільки середина $AC$, тому точка $M$ – середина $CE.$ $CE=2CM=6\sqrt{2}$ см.

За теоремою Піфагора

\begin{gather*} AC^2=AE^2+CE^2=(6\sqrt{2})^2+(6\sqrt{2})^2=144\ \textit{см}^2,\\[7pt] AC=12\ \textit{см}. \end{gather*}

2. Оскільки $LK$ – середня лінія $\Delta BAC$, $MN$ – середня лінія $\Delta BCD$, то

\begin{gather*} LK=MN=\frac 12BC=\frac{3\sqrt{2}}{2}\ \textit{см},\\[6pt] LN=LK+KM+MN=2\cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}+3\sqrt{2}=6\sqrt{2}\ \textit{см},\\[6pt] S_{ABCD}=LN\cdot CE=6\sqrt{2}\cdot 6\sqrt{2}=72\ \textit{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: 1. $12.$
2. $72.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1288 з 2067

Для поповнення рахунку телефону Андрій уніс певну суму грошей до платіжного термінала. З цієї суми утримано комісійний платіж у розмірі $2$ грн $40$ коп, що становить $3\ \text{%}$ від суми, унесеної до терміналу. У результаті рахунок телефону поповнено на решту внесеної суми.

1. Яку суму грошей (у гривнях) Андрій уніс до платіжного термінала?

2. Мобільний оператор, послугами якого користується Андрій, нараховує $8$ бонусів за кожні $5$ грн, на які поповнено рахунок телефону. На залишок грошей, менший за $5$ грн, бонуси не нараховуються. Скільки бонусів нараховано Андрію за здійснене ним поповнення телефону?

Впишіть відповіді:

1.			2.
	80			120

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1289 з 2067

Радіус основи конуса дорівнює $r$, а твірна – $l.$ До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Якщо площа бічної поверхні конуса втричі більша за площу його основи, то

2Якщо висота конуса дорівнює радіусу його основи, то

3Якщо проекція твірної на площину основи конуса удвічі менша за твірну, то

4Якщо площа повної поверхні конуса дорівнює $5\mathbf{\pi}r^2$, то

Закінчення речення

А$l=2r.$

Б$l=\sqrt{2}r.$

В$l=3r.$

Г$l=4r.$

Д$l=r.$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площ поверхонь, знання формул для обчислення площ поверхонь тіл обертання, знання теореми Піфагора, співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника.

Доберемо до кожного із запитань 1 – 4 правильну відповідь.

1. Якщо $S_\text{б.п.}=3S_\text{осн}$, то $S_\text{б.п.}=\mathbf{\pi}rl$, $S_\text{осн}=\mathbf{\pi}r^2$, $\mathbf{\pi}rl=3\mathbf{\pi}r^2$, $l=3r.$ Отже, 1 – B.

2. Якщо висота конуса дорівнює радіусу основи, то $AO=OB=r$, $\Delta AOB$ – прямокутний рівнобедрений, за теоремою Піфагора $AB^2=OB^2+AO^2$, $l^2=r^2+r^2$, $l=r\sqrt{2}.$ Отже, 2 – Б.

3. Якщо проекція твірної на площину основи конуса удвічі менша за твірну, то $l=2r.$ $OB$ – проекція твірної $AB$ на площину основи. Отже, 3 – А.

4. Якщо площа повної поверхні конуса дорівнює $5\mathbf{\pi}r^2$

\begin{gather*} S_\text{п.п.}=S_\text{б.п.}+S_\text{осн.}=\mathbf{\pi}rl+\mathbf{\pi}r^2=\mathbf{\pi}r(l+r)=5\mathbf{\pi}r^2,\\[7pt] l+r=5r,\\[7pt] l=4r. \end{gather*}

Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – Б, 3 – А, 4 – Г.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1290 з 2067

У трикутнику $ABC:\ AB=c$, $BC=a$, $AC=b.$ До кожного початку речення
(1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Якщо $a=b=c$,

2Якщо $c^2=a^2+b^2$,

3Якщо $a=c=\frac{b}{\sqrt{2}}$,

4Якщо $c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \left(-\frac 12\right)$,

Закінчення речення

Ато $\angle C=30^\circ.$

Бто $\angle C=45^\circ.$

Вто $\angle C=60^\circ.$

Гто $\angle C=90^\circ.$

Дто $\angle C=120^\circ.$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми косинусів, уміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач, співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника.

Доберемо до кожного із запитань 1 – 4 правильну відповідь.

1. Якщо $a=b=c$, то $\Delta ABC$ – рівносторонній.

Усі кути рівностороннього трикутника дорівнюють $60^\circ$, $\angle C=60^\circ.$

Отже, правильна відповідь – B.

2. Якщо $c^2=a^2+b^2$, то $\Delta ABC$ – прямокутний за наслідком з теореми косинусів.

Отже, правильна відповідь – Г.

3. Якщо $a=c=\frac{b}{\sqrt{2}}$, то $\Delta ABC$ – рівнобедрений з бічними сторонами $a=c$ та основою $b.$

$BH\ \perp\ AC.$ Так як $CB=BA$, то $CH=HA=\frac b2$ (висота є медіаною).

У $\Delta BHC\ (\angle H=90^\circ)$, $\cos C=\frac{CH}{CB}$, $\cos C=\frac b2:a=\frac b2:\frac{b}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\angle C=45^\circ.$

Отже, правильна відповідь – Б.

4. Якщо $c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \left(-\frac 12\right)$ за теоремою косинусів $\cos C=-\frac 12$, $\angle C=120^\circ.$

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – B, 2 – Г, 3 – Б, 4 – Д.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на