Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 1280

Завдання 1281 з 2375

Осьовим перерізом циліндра є прямокутник $ABCD$, сторона $AD$ якого лежить у нижній основі циліндра. Діагональ $AC$ перерізу дорівнює $d$ й утворює з площиною нижньої основи циліндра кут $\mathbf{\beta}$. На колі нижньої основи вибрано точку $K$ так, що градусна міра дуги $\overset{\smile}{AK}$ дорівнює 90°.

1. Зобразіть на рисунку заданий циліндр і вкажіть кут $\mathbf{\gamma}$ між площиною $(KBD)$ і площиною нижньої основи циліндра. Обґрунтуйте його положення.

2. Визначте кут $\mathbf{\gamma}$.

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 2.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Прямі та площини у просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити кути у просторі, знання про двогранний кут, лінійний кут двогранного кута.

1. Прямокутник $ABCD$ - осьовий переріз циліндра.

$AC=BD=d$. Точка $K$ лежить на колі нижньої основи циліндра $\overset{\smile}{AK}=90^\circ$, тому $\angle AOK=90^\circ$.

Пряма $KD$ – пряма перетину площини $(KBD)$ з площиною нижньої основи.

$\angle AKD=90^\circ$ (як вписаний кут, що спирається на діаметр), то $AK\perp KD$.

\begin{gather*} \left. \begin{array}{ c c c} AB\perp (AKD) & \\ BK\ -\ \text{похила на площину}\ (AKD) & \\ AK\ -\ \text{проекція похилої}\ BK &\\ AK\perp KD,\ KD \subset\ (AKD) & \end{array}\right| \rightarrow \text{за теоремою про три перпендикуляри}\ BK \perp KD. \end{gather*}

Таким чином, $\angle AKB=\mathbf{\gamma}$ – лінійний кут двогранного кута між площинами ($BKD)$ і площиною основи циліндра.

2. $\triangle AKD$ – рівнобедрений ($KO$ – медіана та висота) $AD=d\cos\mathbf{\beta}$, тому за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AD^2=AK^2+KD^2=2AK^2,\\[6pt] AK^2=\frac{AD^2}{2}=\frac{d^2\cos^2\mathbf{\beta}}{2},\\[6pt] AK=\sqrt{\frac{d^2\cos^2\mathbf{\beta}}{2}}=\frac{d\cos\mathbf{\beta}}{\sqrt{2}}.\\[6pt] AB=d\sin\mathbf{\beta}.\\[6pt] \text{У}\ \triangle ABK\ (\angle A=90^\circ)\ \operatorname{tg}\mathbf{\gamma}=\frac{AB}{AK}, \operatorname{tg}\mathbf{\gamma}=\frac{d\sin\mathbf{\beta}\cdot \sqrt{2}}{d\cos\mathbf{\beta}}=\sqrt{2}\operatorname{tg}\mathbf{\beta}. \end{gather*}

Отже, $\mathbf{\gamma}=\mathrm{arctg}\left(\sqrt{2}\operatorname{tg}\mathbf{\beta}\right)$.

Відповідь: 2. $\mathbf{\gamma}=\mathrm{arctg}\left(\sqrt{2}\operatorname{tg}\mathbf{\beta}\right)$.

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1282 з 2375

Доведіть тотожність
$$ \frac{2a^2+5a-3}{a+3}=\frac{1-2a}{2\cos 240^\circ}. $$

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 3.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1283 з 2375

Задано систему рівнянь $$ \left\{ \begin{array}{l} ax^2+3ax+4^{1+\sqrt{y}}=8,\\ x+2\cdot 4^{\sqrt{y}}=1, \end{array} \right. $$ де $x,\ y$ – зміннi, $a$ – довільна стала.

1. Розв'яжіть систему, якщо $a=0$.

2. Визначте всі розв'язки заданої системи залежно від значень $a$.

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 6.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові, квадратні рівняння та рівняння з параметрами.

1. Розв'яжемо систему, якщо $a=0$.

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l l} 4^{1+\sqrt{y}}=8, & \\ x+2\cdot 4^{\sqrt{y}}=1; & \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{ l l} 4\cdot 4^{\sqrt{y}}=8, & \\ x+2\cdot 4^{\sqrt{y}}=1; & \end{array}\right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{ l l} 4^{\sqrt{y}}=2, & \\ x+2\cdot 4^{\sqrt{y}}=1. & \end{array}\right. \end{gather*}

Підставимо у друге рівняння замість $4^{\sqrt{y}}$ число 2.

\begin{gather*} x+2\cdot 2=1,\ \ x+4=1,\ \ x=-3.\\[6pt] 4^{\sqrt{y}}=2,\ \ 2^{2\sqrt{y}}=2^1,\ \ 2\sqrt{y}=1,\ \ \sqrt{y}=\frac 12,\ \ y=\frac 14. \end{gather*}

Отже, за $a=0$ розв'язком системи є $(-3;\ 0,25)$.

2. Нехай $a\ne 0$.

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l l} ax^2+3ax+4\cdot 4^{\sqrt{y}}=8, & \\ x+2\cdot 4^{\sqrt{y}}-1=0\ |\cdot (-2); & \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{ l l} ax^2+3ax+4\cdot 4^{\sqrt{y}}=8,& \\ -2x-4\cdot 4^{\sqrt{y}}+2=0. & \end{array}\right. \end{gather*}

Почленно додамо рівняння \begin{gather*} ax^2+3ax+4\cdot 4^{\sqrt{y}}-2x-4\cdot 4^{\sqrt{y}}+2=8\\[7pt] ax^2+3ax-2x-6=0,\\[7pt] ax^2+(3a-2)x-6=0. \end{gather*}

Отримаємо квадратне рівняння.

\begin{gather*} D=(3a-2)^2-4a\cdot (-6)=9a^2-12a+4+24a=(3a+2)^2\\[7pt] x_1=\frac{-3a+2+3a+2}{2a}=\frac{2}{a};\\[7pt] x_2=\frac{-3a+2-3a-2}{2a}=-3. \end{gather*}

Система рівносильна сукупності систем:

\begin{gather*} \left[ \begin{array}{ l l} \left\{ \begin{array}{l l} x=\frac 2a, & \\ x+2\cdot 4^{\sqrt{y}}=1; & \end{array}\right. &\\ & \\ \left\{ \begin{array}{l l} x=-3, & \\ x+2\cdot 4^{\sqrt{y}}=1; & \end{array}\right. &\\ \end{array}\right. \left[ \begin{array}{ l l} \left\{ \begin{array}{l l} x=\frac 2a, & \\ \frac 2a+2\cdot 4^{\sqrt{y}}=1; & \end{array}\right. &\\ & \\ \left\{ \begin{array}{l l} x=-3, & \\ -3+2\cdot 4^{\sqrt{y}}=1; & \end{array}\right. &\\ \end{array}\right. \left[ \begin{array}{ l l} \left\{ \begin{array}{l l} x=\frac 2a, & \\ 4^{\sqrt{y}}=\frac{a-2}{2a}; & \end{array}\right. &\\ & \\ \left\{ \begin{array}{l l} x=-3, & \\ y=\frac 14. & \end{array}\right. &\\ \end{array}\right. \ \ \ (1) \end{gather*}

Оскільки $4^{\sqrt{y}}\geq 1\ \left(y\geq 0,\ \sqrt{y}\geq 0,\ 4^{\sqrt{y}}\geq 4^0\right)$, отримуємо

\begin{gather*} \frac{a-2}{2a}\geq 1,\ \ \frac{a-2}{2a}-1\geq 0,\ \ \frac{a-2-2a}{2a}\geq 0,\\[6pt] \frac{-a-2}{2a}\geq 0,\ \ \frac{a+2}{2a}\leq 0. \end{gather*}

Тоді \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l l} x=\frac 2a, & \\ \sqrt{y}=\log_4\frac{a-2}{2a}, & \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{l l} x=\frac 2a, & \\ y=\log^2_4\frac{a-2}{2a}. & \end{array}\right. \end{gather*}

Відповідь:
1. $(-3;\ 0,25)$
2. якщо $a\in (-\infty;\ -2)\cup [0;\ +\infty)$, то розв'язком є $(-3;\ 0,25)$
якщо $a\in [-2;\ 0)$, то розв'язками є $(-3;\ 0,25)$ та $\left(\frac 2a;\ \log^2_4\frac{a-2}{2a}\right)$.

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1284 з 2375

У під'їзді шістнадцятиповерхового будинку на першому поверсі розташовано 6 квартир, а на кожному з решти поверхів – по 8. На якому поверсі квартира № 31, якщо квартири від № 1 і далі пронумеровано послідовно від першого до останнього поверху?

А3

Б4

В5

Г6

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1285 з 2375

Кількість відвідувачів ботанічного саду протягом червня становила чверть від їхньої сумарної кількості в травні й червні. На якій із діаграм правильно зображено розподіл відвідувачів цього ботанічного саду впродовж цих двох місяців?

	– кількість відвідувачів у травні
	– кількість відвідувачів у червні

А

Б

В

Г

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1286 з 2375

Точки $A$ та $B$ лежать на сфері радіуса 10 см. Укажіть найбільше можливе значення довжини відрізка $AB$.

А20 см

Б100π см

В10 см

Г20π см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1287 з 2375

Обчисліть суму коренів рівняння $x^2+3x-4=0$.

А-4

Б-3

В3

Г4

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1288 з 2375

У рівнобедреному трикутнику $ABC$ з основою $AC\ \angle B=40^\circ$. Визначте градусну міру кута $A$.

А80°

Б70°

В60°

Г50°

Д40°

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1289 з 2375

Укажіть функцію, графік якої проходить через початок координат.

А$y=x-1$

Б$y=1-x$

В$y=1$

Г$x=-1$

Д$y=x$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1290 з 2375

Спростіть вираз $2(x+5y)-(4y-7x)$.

А$9x+y$

Б$9x+14y$

В$-5x+6y$

Г$9x+6y$

Д$16x+2y$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Знайшли помилку? Пишіть на

Поверхи	Номери квартир
1	1–6
2	7–14
3	15–22
4	23–30
5	31–38