Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 1310

Завдання 1311 з 2375

Розв'яжіть нерівність $|x-9|\leq 3$. У відповіді запишіть суму всіх її цілих розв'язків на проміжку $[–15;\ 15]$.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1312 з 2375

Олег пише смс-повідомлення з трьох речень. У кінці кожного з них він прикріпить один із п'ятнадцяти веселих смайликів. Скільки всього є способів вибору таких смайликів для прикріплення, якщо всі смайлики в повідомленні мають бути різними?

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1313 з 2375

Задано функцію $y=x^3-12x$.

1. Для наведених у таблиці значень аргумента $x$ визначте відповідні їм значення $y$.

2. Визначте й запишіть координати точок перетину графіка функції $y=x^3-12x$ із віссю $x$.

3. Знайдіть похідну $f'$ функції $f(x)=x^3-12x$.

4. Визначте нулі функції $f'$.

5. Визначте проміжки зростання i спадання, точки екстремуму й екстремуми функції $f$.

6. Побудуйте ескіз графіка функції $f$.

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 6.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Дослідження функції за допомогою похідної. Побудова графіків функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити похідну функції, нулів функції, екстремумів функції, будувати графіки функцій; знання достатньої умови зростання (спадання) функції.

Задано функцію $y=x^3-12x$

1.

\begin{gather*} x=-1,\ \ y=(-1)^3-12\cdot (-1)=-1+12=11;\\[7pt] x=0,\ \ y=0^3-12\cdot 0=0\\[7pt] x=2,\ \ y=2^3-12\cdot 2=8-24=-16. \end{gather*}

x	y
–1	11
0	0
2	–16

2. Точки перетину графіка $y=x^3-12x$ із віссю $x$:

\begin{gather*} y=0,\ \ x^3-12x=0,\ \ x(x^2-12)=0,\\[7pt] \left [ \begin{array}{l l} x=0 & \\ x^2-12=0,& \end{array}\right. \left [ \begin{array}{l l} x=0 & \\ x=\sqrt{12}& \\ x=-\sqrt{12}& \end{array}\right. \left [ \begin{array}{l l} x=0 & \\ x=2\sqrt{3}& \\ x=-2\sqrt{3}& \end{array}\right. \end{gather*} $(0;\ 0),\ (2\sqrt{3};\ 0),\ (-2\sqrt{3};\ 0)$ – точки перетину з віссю $x$.

3.

\begin{gather*} f'(x)=3x^2-12 \end{gather*}

Використали правило знаходження похідної степеневої функції $$ (x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha -1}. $$

4. Нулі функції $f'$ \begin{gather*} f'=3x^2-12=0,\ \ 3(x^2-4)=0,\\[7pt] x^2-4=0,\ \ x_1=2\ \text{або}\ x_2=-2. \end{gather*}

5. Знайдемо знаки похідної функції.

$f'=0$ при $x_1=2$ та $x_2=-2$

Точки екстремуму: $x_{max}=-2$ (знак похідної змінюється з "+" на "–"),
$x_{min}=2$ (знак похідної змінюється з "–" на "+").
$f(x)$ зростає при $x\in (-\infty;\ -2]$ та $[2;\ +\infty)$
$f(x)$ спадає при $x\in [-2;\ 2]$.

Знайдемо екстремуми функції:

\begin{gather*} f_{max}=f(-2)=(-2)^3-12(-2)=-8+24=16,\\[7pt] f_{min}=f(2)=2^3-12\cdot 2=8-24=-16. \end{gather*}

6.

Відповідь:

1. $x=-1,\ \ y=11,$
$x=0,\ \ y=0,$
$x=2,\ \ y=-16$.
2. $(0;\ 0),\ (-2\sqrt{3};\ 0),\ (2\sqrt{3};\ 0)$.
3. $f'(x)=3x^2-12$.
4. $x_1=2;\ \ x_2=-2$.
5. Проміжки зростання: $(-\infty;\ -2],\ [2;\ +\infty)$
проміжок спадання: $[-2;\ 2]$
точки екстремуму: $x_{max}=-2;\ \ x_{min}=2$.
екстремуми: $f_{max}=16;\ \ f_{min}=-16$.

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1314 з 2375

Осьовим перерізом циліндра є прямокутник $ABCD$, сторона $AD$ якого лежить у нижній основі циліндра. Діагональ $AC$ перерізу утворює з площиною верхньої основи циліндра кут $\mathbf{\beta}$. Діаметр основи циліндра дорівнює $d$.

1. Зобразіть на рисунку заданий циліндр i його осьовий переріз $ABCD$.

2. Укажіть кут $\mathbf{\beta}$, що утворює пряма $AC$ із площиною верхньої основи циліндра.

3. Визначте об’єм циліндра.

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 4.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1315 з 2375

Осьовим перерізом циліндра є прямокутник $ABCD$, сторона $AD$ якого лежить у нижній основі циліндра. Діагональ $AC$ перерізу утворює з площиною верхньої основи циліндра кут $\mathbf{\beta}$. Діаметр основи циліндра дорівнює $d$. На колі нижньої основи вибрано точку $K$ так, що відрізок $AK$ видно з точки $D$ під кутом 30°.

1. Зобразіть на рисунку заданий циліндр і вкажіть кут $\mathbf{\gamma}$ між площиною $(CKA)$ і площиною нижньої основи. Обґрунтуйте його положення.

2. Визначте кут $\mathbf{\gamma}$.

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 2.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Прямі та площини у просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити кути у просторі, знання про двогранний кут, лінійний кут двогранного кута.

$ABCD$ - прямокутник, $\angle ACB=\mathbf{\beta},\ \ AD=BC=d$. $AK$ видно з точки $D$ під кутом $30^\circ$. Отже, $\angle ADK=30^\circ$.

1. Вписаний кут $AKD$ спирається на діаметр $AD$, тому $\angle AKD=90^\circ$.

$(CKA) \cap (AKD)=KA$. \begin{gather*} \left. \begin{array}{ c c c} CD\perp (AKD) & \\ DK\perp AK & \end{array}\right| \rightarrow \text{за теоремою про три перпендикуляри}\ CK \perp AK. \end{gather*} Отже, $\angle CKD=\mathbf{\gamma}$ – кут між площинами $(CKA)$ i $(AKD)$.

2. У $\triangle AKD\ (\angle K=90^\circ)$. $AD=d,\ \angle D=30^\circ ,$

\begin{gather*} KD=AD\cdot \cos 30^\circ=d\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}d}{2}.\\[6pt] AB=CD=d\operatorname{tg}\mathbf{\beta}\ (\text{з}\ \triangle ABC(\angle B=90^\circ ),\ BC=d,\ \angle BCA=\mathbf{\beta}),\\[6pt] \text{У}\ \triangle CKD\ (\angle D=90^\circ)\ \operatorname{tg}K=\frac{CD}{KD}= \frac{d\operatorname{tg}\mathbf{\beta}\cdot 2}{\sqrt{3}d}=\frac{2\operatorname{tg}\mathbf{\beta}}{\sqrt{3}}.\\[6pt] \operatorname{tg}K=\operatorname{tg}\mathbf{\gamma}=\frac{2\operatorname{tg}\mathbf{\beta}}{\sqrt{3}}\ \ \mathbf{\gamma}=\mathrm{arctg}\left(\frac{2\operatorname{tg}\mathbf{\beta}}{\sqrt{3}}\right). \end{gather*}

Відповідь: 2. $\mathbf{\gamma}=\mathrm{arctg}\left(\frac{2\operatorname{tg}\mathbf{\beta}}{\sqrt{3}}\right)$.

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1316 з 2375

Доведіть тотожність
$$ \frac{6a^2+20a-16}{a+4}=\frac{2-3a}{\sin 330^\circ}. $$

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 3.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1317 з 2375

Задано систему рівнянь $$ \left\{ \begin{array}{l} ax^2+ax+3^{2+y^2}=27,\\ x+3^{1+y^2}=8, \end{array} \right. $$ де $x,\ y$ – зміннi, $a$ – стала.

1. Розв'яжіть цю систему, якщо $a=0$.

2. Визначте всі розв'язки заданої системи залежно від значень $a$.

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 6.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові, квадратні рівняння та рівняння з параметрами.

1. Розв'яжемо систему, якщо $a=0$.

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l l} 0\cdot x^2+0\cdot x+3^{2+y^2}=27, & \\ x+3^{1+y^2}=8, & \end{array}\right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{ l l} 3^{2+y^2}=27, & \\ x+3^{1+y^2}=8, & \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{ l l} 3^2\cdot 3^{y^2}=27, & \\ x+3^1\cdot 3^{y^2}=8, & \end{array}\right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{ l l} 3^{y^2}=3^1, & \\ x+3\cdot 3=8, & \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{ l l} y^2=1, & \\ x=-1 & \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{ l l} \left [\begin{array}{l l} y_1=1,& \\ y_2=-1, & \end{array}\right. & \\ x=-1& \end{array}\right. \\[7pt] (-1;\ 1),\ \ (-1;\ -1). \end{gather*}

2. Визначимо всі розв'язки системи:

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l l} ax^2+ax+9\cdot 3^{y^2}=27, & \\ x+3\cdot 3^{y^2}=8, & \end{array}\right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{ l l} ax^2+ax+3(8-x)=27, & \\ 3\cdot 3^{y^2}=8-x, & \end{array}\right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{ l l} ax^2+x(a-3)-3=0, & \\ 3^{y^2}=\frac{8-x}{3}, & \end{array}\right. \end{gather*}

Розв'яжемо квадратне рівняння:

\begin{gather*} ax^2+x(a-3)-3=0\\[7pt] D=(a-3)^2-4\cdot a\cdot (-3)=a^2-6a+9+12a=\\[7pt] =a^2+6a+9=(a+3)^2. \end{gather*}

$D\geq 0$ при будь-якому значенні $a$.

\begin{gather*} x_1=\frac{-(a-3)+a+3}{2a}=\frac{-a+3+a+3}{2a}=\frac 3a\\[6pt] x_2=\frac{-(a-3)-a-3}{2a}=\frac{-a+3-a-3}{2a}=-1. \end{gather*}

Знайдемо значення $y$: \begin{gather*} \text{якщо}\ x_2=-1,\ \text{то}\ 3^{y^2}=\frac{8-(-1)}{3}=3\\[6pt] y^2=1,\ \ y=1\ \text{або}\ y=-1. \end{gather*}

Отже, $(-1;\ 1),\ (-1;\ -1)$ – розв'язки системи при всіх значеннях $a$.

якщо $x_1=\frac 3a$, то

\begin{gather*} 3^{y^2}=\frac{8-\frac 3a}{3}\\[6pt] 3^{y^2}=\frac{8a-3}{3a}\\[6pt] y^2=\log_3\frac{8a-3}{3a}\\[6pt] y_1=\sqrt{\log_3\frac{8a-3}{3a}}\\[6pt] y_2=-\sqrt{\log_3\frac{8a-3}{3a}} \end{gather*}

Якщо $y^2\geq 0$, то $3^{y^2}\geq 1$.

Отже, розв'язки $\left(\frac 3a;\ \sqrt{\log_3\frac{8a-3}{3a}}\right)$ та $\left(\frac 3a;\ -\sqrt{\log_3\frac{8a-3}{3a}}\right)$ будуть розв'язками системи за умови \begin{gather*} \frac{8a-3}{3a}\geq 1,\ \ \frac{8a-3-3a}{3a}\geq 0,\\[6pt] \frac{5a-3}{3a}\geq 0,\ \ \frac{5(a-0,6)}{3a}\geq 0 \end{gather*}

розв'яжемо методом інтервалів:

$$ a\in (-\infty;\ 0)\cup [0,6;\ +\infty). $$

Відповідь:
1. $(-1;\ -1)\ (-1;\ 1)$
2. якщо $a\in [0;\ 0,6)$, то розв'язком є $(-1;\ 1)$ i $(-1;\ 1)$
якщо $a\in (-\infty;\ 0)\cup [0,6;\ +\infty)$, то розв'язками системи є $(-1;\ 1);\ (-1;\ -1); \left(\frac 3a;\ \sqrt{\log_3\frac{8a-3}{3a}}\right);$ $\left(\frac 3a;\ -\sqrt{\log_3\frac{8a-3}{3a}}\right)$.

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1318 з 2375

Радіус основи конуса $R$, твірна нахилена до площини основи під кутом $\alpha$. Через вершину конуса проведено площину під кутом $\varphi$ до його висоти. Ця площина перетинає основу конуса по хорді. Знайдіть площу утвореного перерізу.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей конуса, вміння знаходити кути та відстані у просторі.

$CA$ – твірна, $CO\!\perp\!(AOB)$, $CA$ – похила, $AO$ – проекція похилої. Отже, $\angle(CA, (AOB)) = \alpha.$

$CD\!\perp\!AB$, $OD\!\perp\!AB$ (за теоремою про три перпендикуляри). Отже, $(COD)\!\perp\!AB.$

$OH\!\perp\!CD$, $OH \in (COD)$ звідси $OH\!\perp\!(ABC)$, $CO$ – похила, $CH$ – проекція похилої. $\angle(CO, (ABC)) = \angle OCD = \varphi.$

У $\Delta COA\ (\angle O = 90^\circ)$, $CO = OA\mathrm{tg}\ A = R\mathrm{tg}\ \alpha.$

У $\Delta COD\ (\angle O = 90^\circ)$, $OD = CO\mathrm{tg}\ C = R\mathrm{tg}\ \alpha \cdot \mathrm{tg}\ \varphi.$

\begin{gather*} CD = \frac{CO}{\cos O} = \frac{R\mathrm{tg}\ \alpha}{\cos\ \varphi}. \end{gather*}

$\Delta DOA\ (\angle D = 90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} DA = \sqrt{OA^2 - DO^2} = \sqrt{R^2 - R^2\mathrm{tg}^2\ \alpha \cdot \mathrm{tg}^2\ \varphi}. \end{gather*}

Площа перерізу

\begin{gather*} S_{ABC} = \frac 12 \cdot AB \cdot CD = DA \cdot CD = \\[6pt] =\frac{R\mathrm{tg}\ \alpha}{\cos\ \varphi}\sqrt{R^2 - R^2\mathrm{tg}^2\ \alpha \cdot \mathrm{tg}^2\ \varphi} = \frac{R^2\mathrm{tg}\ \alpha\sqrt{1 - \mathrm{tg}^2\ \alpha \cdot \mathrm{tg}^2\ \varphi}}{\cos\ \varphi}. \end{gather*}

Відповідь: $\dfrac{R^2\mathrm{tg}\ \alpha\sqrt{1 - \mathrm{tg}^2\ \alpha \cdot \mathrm{tg}^2\ \varphi}}{\cos\ \varphi}.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1319 з 2375

Задано функції $f(x)=x^2+1$ i $g(x)=7-x$.

1. Знайдіть абсциси точок перетину графіків функцій $f(x)$ і $g(x)$. У прямокутній системі координат зобразіть фігуру, обмежену цими графіками.
2. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіками функцій $f(x)$ і $g(x)$.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1320 з 2375

Розв’яжіть нерівність $2\cdot\sqrt{x^2-6x+9}-\sqrt{(x-1)^2+4x}\le x$.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Знайшли помилку? Пишіть на