ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі. Рівняння, нерівності та їхні системи. Раціональні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння, що зводиться до квадратного, розв'язувати текстові задачі.

Нехай порожній басейн заповнюється з другої труби за \(x\) хвилин, тоді з першої труби – за \((x-40)\) хвилин.

За \(1\) хвилину працюючи разом вони заповнять \(1/21\) частину басейну. Складемо рівняння:

Корені рівняння

Отже, друга труба наповнює басейн за \(70\) хвилин, а перша – за $$ 70-40=30\ \text{хв.} $$

Відповідь: \(30.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання означення геометричної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена геометричної прогресії, вміння розв'язувати задачі на арифметичну та геометричну прогресії.

За умовою \((b_n)\) – геометрична зростаюча прогресія. Складемо систему рівнянь:

Розв'яжемо методом підстановки:

Отже, \(b_2=36\), або \(b_2=9.\)

При \(b_2=36\), \(b_4=9.\)

При \(b_2=9\), \(b_4=36.\)

За умовою прогресія зростаюча, тому \(b_2=9\), \(b_4=36\ (q\gt 1).\)

Знаменник зростаючої геометричної прогресії завжди додатній \((q \gt 1).\) Отже, \(q=2.\)

Відповідь: \(4\mathord{,}5.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники. Геометричні перетворення.

Це завдання перевіряє знання співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника, ознаки та властивості подібних фігур; уміння застосовувати властивості трикутників та чотирикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. \(\Delta APB\ (\angle P=90^\circ)\) \(\angle A=60^\circ\), \(\angle B=30^\circ.\)

За властивостю катета, який лежить напроти кута \(30^\circ\) $$ AP=\frac 12AB=\frac 12\cdot 12=6. $$

2. \(\angle KAP=\angle BCK\) як внутнішні різнсторонні при \(BC\ ||\ AP\) та січної \(AC.\)

\(\Delta AKP\) подібний \(\Delta CKP\) (за гострим кутом), тому відповідні сторони пропорційні

Відповідь: 1. \(6.\)
                   2. \(72.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Відсотки. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння знаходити відношення чисел у вигляді відсотка, розв'язувати задачі на відсоткові розрахунки.

1. Нехай на виставці представлено \(x\) скульптур, тоді картин – \(4x.\) Загальна кількість робіт на виставці – \(5x.\)

Кількість картин від загальної кількості робіт становить $$ \frac{4x}{5x}\cdot 100\text{%}=80\text{%}. $$

2. Якщо вважати, що кількість скульптур складає \(100\text{%}\), то кількість картин – \(400\text{%}.\) Картин на $$ 400\text{%}-100\text{%} = 300\text{%} $$ більше за кількість скульптур.

Відповідь: 1. \(80.\)
                   2. \(300.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей дотичної до кола, центральних та вписаних кутів, видів трикутників та їхніх основних властивостей.

1. За властивістю дотичної до кола \(OC\ \perp\ MP\), тому \(\angle OCM=90^\circ.\)

Отже, 1 – В.

2. \(\angle BAC=80^\circ\), \(AK\) – діаметр, тому \(AK\) – бісектриса \(\angle BAC\), \(\angle BAK=\angle KAC=40^\circ.\)

\(\Delta AOC\) рівнобедрений (\(OA=OC\) як радіуси) \(\angle A=\angle C=40^\circ.\)

Отже, 2 – A.

3. Градусна міра дуги \(\overset{\smile}{AB}\) дорівнює градусній мірі центрального кута \(\angle AOB.\)

\(\Delta AOB=\Delta AOC\) (за трьома сторонами).

У \(\Delta AOB\ \angle A=\angle B=40^\circ\), \(\angle O=180^\circ-80^\circ=100^\circ.\)

Градусна міра дуги \(\overset{\smile}{AB}=100^\circ.\)

Отже, 3 – Г.

4. За властивістю вписаного кута: \(\angle CAK=\frac 12\) дуги \(KC\), дуга \(KC=2\angle CAK=2\cdot 40^\circ=80^\circ.\)

Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – В, 2 – A, 3 – Г, 4 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні).

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами, використовувати ознаки подільності, знаходити найменше спільне кратне кількох чисел, розрізняти види чисел.

1. \(32+18=50\) є числом, що ділиться націло на \(10.\)

Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(32\cdot 18=16\cdot 2\cdot 2\cdot 9=16\cdot 4\cdot 9\) є квадратом натурального числа.

Отже, правильна відповідь – A.

3. \(32:18=\frac{32}{18}=\frac{16}{9}\) є раціональним числом, яке не є цілим.

Отже, правильна відповідь – Г.

4. \(32-18=14\) є дільником числа \(84\ (84:14=6).\)

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – Б, 2 – А, 3 – Г, 4 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність. Квадратична, показникова, логарифмічна та степенева функції, їхні основні властивості.

Це завдання перевіряє вміння знаходити область значень функцій.

Область значень функції — це множина всіх можливих значень, які приймає функція при всіх допустимих значеннях аргументу.

Зобразимо схематично графіки функцій та визначимо область значень кожної з них.

1. \(y=\log_2x\)

$$ E(y)=(-\infty; +\infty). $$

Отже, 1 – Д.

2. \(y=2^x\)

$$ E(y)=(0; +\infty). $$

Отже, 2 – Г.

3. \(y=2\sqrt{x}\)

$$ E(y)=[0; +\infty). $$

Отже, 3 – B.

4. \(y=2-x^2\)

$$ E(y)=(-\infty; 2]. $$

Отже, 4 – A.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – В, 4 – А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати формулу Ньютона-Лейбнiца для обчислення визначеного інтеграла.

Використали формулу Ньютона-Лейбніца:

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

Дано \(SABC\) i \(S_1A_1B_1C_1\) – правильні трикутні піраміди. Отже, кожна бічна грань є рівностороннім трикутником.

\(\Delta SAB\) подібний \(\Delta S_1A_1B_1\) (за трьома сторонами).

Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату відношення відповідних сторін:

\(AB=2A_1B_1\), \(k=2\) коефіцієнт подібності \(k^2=4.\)

\(S_{S_1A_1B_1}=8\) см\(^2\), тому \(S_{SAB}=8\cdot 4=32\) см\(^2.\)

Площа бічної поверхні піраміди \(SABC\) дорівнює \(3\cdot S_{SAB}=3\cdot 32=96\) см\(^2.\)

Відповідь: Д.