Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 1310

Завдання 1311 з 2067

Розв'яжіть рівняння $$ \frac{\left(\sqrt{x+2a}-\sqrt{4-x}\right)\sin \frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}x}{7}}{|x+6|-|x|+6}=0 $$ залежно від значень параметра $a.$

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 4.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння, нерівності з параметрами; рівняння, що містять змінну під знаком модуля.

Знайдемо область допустимих значень: $$ \left\{\begin{array}{l} |x+6|-|x|+6\ne 0,\ \ (1)\\ x+2a\ge 0,\\ 4-x\ge 0. \end{array}\right. $$

Розв'яжемо рівняння (1): $$ |x+6|-|x|+6\ne 0 $$

I) при $x\in (-\infty; -6]$ \begin{gather*} -x-6+x+6=0,\\[7pt] 0=0 \end{gather*} при будь-якому значенні $x$ знаменник дорівнює нулю, тому на даному проміжку коренів немає.

II) при $x\in (-6; 0)$ \begin{gather*} x+6+x+6=0,\\[7pt] x=-6 \end{gather*} на даному проміжку немає значень $x$ при яких знаменник дорівнює нулю.

III) при $x\in [0; +\infty)$ \begin{gather*} x+6-x+6=0,\\[7pt] 12\ne 0 \end{gather*} на даному проміжку немає значень $x$ при яких знаменник дорівнює нулю.

$$ \left\{\begin{array}{l} x\in (-6; +\infty),\\ x\ge -2a,\\ x\le 4. \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} x\in (-6; 4],\\ x\ge -2a. \end{array}\right. $$

Якщо $-2a\gt 4$, то $a\lt -2$ розв'язків немає.

Розглянемо випадок $-2a\le 4$, $a\ge -2.$

\begin{gather*} (\sqrt{x+2a}-\sqrt{4-x})\sin \frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}x}{7}=0,\\[6pt] \left[\begin{array}{l} \sqrt{x+2a}-\sqrt{4-x}=0,\\ \sin \frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}x}{7}=0, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} \sqrt{x+2a}=\sqrt{4-x},\\ \frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}x}{7}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}n,\ n\in Z, \end{array}\right.\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x+2a=4-x,\\ x=7n,\ n\in Z, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} x_1=2-a,\\ x_2=7n,\ n\in Z. \end{array}\right. \end{gather*}

На області допустимих значень $x_2=7n,\ n\in Z$ має $x=0$ корінь.

$x_1=2-a$ – корінь за умови

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} -2a\le 2-a\le 4,\\ 2-a\gt -6, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} a\ge -2,\\ a\lt 8, \end{array}\right. \end{gather*}

при $a\in [-2; 8)$

при $x_1=x_2=0$, $\ 2-a=0$, $\ a=2.$

Відповідь: при $a\in (-\infty; -2)$ немає коренів;
                   при $a\in [-2; 0)\ x=2-a$;
                   при $a\in [0; 2]\cup (2; 8)\ x_1=2-a$; $x_2=0$;
                   при $a\in [8; +\infty)\cup \left\{2\right\}\ x=0.$

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1312 з 2067

Побудуйте графік функції $y=2^{\log_2(5x-x^2)}.$ Користуючись графіком, визначте область значень цієї функції.

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 4.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Показникові, логарифмічні, квадратичні функції.

Це завдання перевіряє вміння знаходити область значень та визначення функцій, будувати графіки елементарних функцій.

Знайдемо область допустимих значень:

\begin{gather*} 5x-x^2\gt 0,\\[7pt] x(5-x)\gt 0,\\[7pt] -x(x-5)\gt 0,\\[7pt] x(x-5)\lt 0. \end{gather*}

Розв'яжемо методом інтервалів:

Область визначення даної функції $D(y)=(0; 5).$

Використаємо основну логарифмічну тотожність: $a^{\log_ab}=b$, тоді $y=5x-x^2.$

Отже, побудувати необхідно графік квадратичної функції.

$a=-1$, гілки параболи напрямлені вниз.

Знаходимо координати вершини параболи:

\begin{gather*} x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-5}{2\cdot (-1)}=2\mathord{,}5\\[6pt] y_0=5\cdot 2\mathord{,}5-2\mathord{,}5^2=12\mathord{,}5-6\mathord{,}25=6\mathord{,}25. \end{gather*}

$(2\mathord{,}5; 6{,}25)$ – вершина.

Точки перетину параболи з осями координат:

\begin{gather*} y=0,\ \ 5x-x^2=0,\ \ x=0,\ \ x=5,\ \ (0; 0),\ (5; 0)\\[7pt] x=0,\ \ y=0. \end{gather*}

Побудуємо графік функції на області визначення:

Область значень: $E(y)=(0; 6\mathord{,}25].$

Відповідь: $(0; 6\mathord{,}25].$

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1313 з 2067

У прямокутній системі координат на площині задано трапецію $ABCD$, основа якої $AD$ вдвічі більша за основу $BC.$ Обчисліть скалярний добуток векторів $\overrightarrow{BD}$ та $\overrightarrow{AC}$, якщо $\overrightarrow{AB}(2; 9)$ i $\overrightarrow{BC}(-4; 3).$

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1314 з 2067

У магазині в наявності є $10$ видів тортів та $15$ видів пачок печива. Скільки всього є способів вибору в цьому магазині або одного торта, або трьох різних пачок печива для святкового вечора?

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1315 з 2067

Фабрика виготовляє комплекти пластикових меблів, кожен з яких складається зі стола, дивана та двох крісел. На виготовлення дивана витрачається на $1$ кг пластику більше, ніж на виготовлення стола, та на $3$ кг більше, ніж на виготовлення одного крісла. Відомо, що на виготовлення $10$ крісел витрачається пластику стільки ж, як і на виготовлення $2$ столів та $4$ диванів разом. Скільки кілограмів пластику витрачається на виготовлення одного комплекту пластикових меблів?

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1316 з 2067

Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом $s(t)=4t^2+9t+8$ (шлях $s$ вимірюється в метрах, час $t$ – у секундах). Визначте швидкість
(у м/с) цієї точки в момент часу $t=4$ с.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1317 з 2067

На рисунку зображено ромб $ABCD$ та коло, побудоване на мешій діагоналі $BD$ як на діаметрі. Довжина кола дорівнює $12\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}.$ Це коло ділить діагональ $AC$ на три відрізки $AK$, $KM$ та $MC$, довжини яких відносяться як $1 : 6 : 1.$

1. Обчисліть довжину діагоналі $BD.$

2. Обчисліть площу ромба $ABCD.$

Впишіть відповіді:

1.			2.
	12			96

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1318 з 2067

Для $80$ учнів $9\text{-х}$ класів вирішено закупити зошити в клітинку та в лінійку для контрольних робіт. Кожному учневі потрібно $9$ зошитів у клітинку, а в лінійку – у три рази менше. Вартість одного зошита (у клітинку або в лінійку) становить $3$ грн. При купівлі зошитів в упаковках по $10$ штук у кожній надається знижка $5\text{%}.$

1. Визначте загальну кількість $N$ зошитів у клітинку та в лінійку, які потрібно закупити для $80$ учнів.

2. Скільки гривень коштуватимуть усі $N$ зошитів, якщо купувати їх в упаковках по $10$ штук (з урахуванням знижки)?

Впишіть відповіді:

1.			2.
	960			2736

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1319 з 2067

На рисунку зображено циліндр, радіус основи якого дорівнює $6$, а висота – $h.$ Чотирикутник $ABCD$ – осьовий переріз цього циліндра. До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Периметр чотирикутника $ABCD$ дорівнює $36$, якщо

2Площа чотирикутника $ABCD$ дорівнює $42$, якщо

3Об'єм циліндра дорівнює $108\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}$, якщо

4Площа бічної поверхні циліндра дорівнює $48\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}$, якщо

Закінчення речення

А$h=3.$

Б$h=3\mathord{,}5.$

В$h=4.$

Г$h=4\mathord{,}5.$

Д$h=6.$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості тіл і поверхонь обертання до розв'язування стереометричних задач; знання формул для обчислення площ поверхонь та об'ємів тіл обертання.

$ABCD$ осьовий переріз циліндра $R=OB=6$, $OO_1=h.$

1.

\begin{gather*} P_{ABCD}=36,\\[7pt] AB=2OB=12,\\[7pt] CB=OO_1=h.\\[7pt] P_{ABCD}=2(AB+BC)=2(12+h)=36,\\[7pt] 24+2h=36,\\[7pt] 2h=12,\\[7pt] h=6. \end{gather*}

Отже, 1 – Д.

2.

\begin{gather*} S_{ABCD}=AB\cdot CB=12\cdot h=42,\\[7pt] h=42:12=3\mathord{,}5. \end{gather*}

Отже, 2 – Б.

3.

\begin{gather*} V=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2h=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\cdot 6^2\cdot h=108\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi},\\[7pt] 36h=108,\\[7pt] h=3. \end{gather*}

Отже, 3 – A.

4.

\begin{gather*} S_\text{б}=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}Rh=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\cdot 6\cdot h=48\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi},\\[7pt] 12h=48,\\[7pt] h=4. \end{gather*}

Отже, 4 – B.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – А, 4 – В.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1320 з 2067

У прямокутнику $ABCD\mathord{:}\ AB=6$ см, $BC=8$ см (див. рисунок). На сторонах $AB$, $BC$ і $AD$ цього прямокутника вибрано точки $K$, $M$ і $N$ так, що $AK=KB$, $BM=MC$, $NK\ \perp\ KM.$ До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Відстань від середини відрізка $KM$ до сторони $AD$ дорівнює

2Відстань від точки перетину діагоналей прямокутника $ABCD$ до точки $K$ дорівнює

3Довжина відрізка $KM$ дорівнює

4Довжина відрізка $KN$ дорівнює

Закінчення речення

А$4\mathord{,}5$ см.

Б$5$ см.

В$4$ см.

Г$3\mathord{,}75$ см.

Д$3\mathord{,}5$ см.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання про прямокутник та його властивості, середню лінію трикутника та її властивості.

1. У $\Delta ABC\ KM$ – середня лінія, тому точка $E$ – середина $KM.$ $EE_1\ \perp\ BC$, $EE_1\ ||\ BK$, тому $EE_1$ – середня лінія $\Delta BKM.$

$$ EE_1=\frac 12BK=\frac 12\cdot 3=1\mathord{,}5 $$

(за властивістю середньої лінії).

$$ p(E, AD)=AB-EE_1=6-1\mathord{,}5=4\mathord{,}5. $$

Отже, 1 – A.

2. $AC\cap BD=O.$ $KO$ – середня лінія $\Delta ABD$, тому

$$ KO=\frac 12AD=\frac 12\cdot 8=4. $$

Отже, 2 – B.

3. У $\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ)$ за теоремою Піфагора

\begin{gather*} AC^2=AB^2+BC^2=6^2+8^2=36+64=100,\\[7pt] AC=10. \end{gather*}

$KM$ – середня лінія $\Delta ABC$ $$ KM=\frac 12AC=\frac 12\cdot 10=5. $$

Отже, 3 – Б.

4. Нехай $\angle BKM=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}$, тоді

\begin{gather*} \angle BMK=90^\circ-\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\ (\text{у}\ \Delta BKM)\\[7pt] \angle AKN=90^\circ-\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha},\\[7pt] \angle ANK=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}. \end{gather*}

$\Delta KBM$ подібний $\Delta NAK$ (за двома кутами).

\begin{gather*} \frac{KN}{KM}=\frac{AK}{MB},\\[6pt] KN=\frac{KM\cdot AK}{MB}=\frac{5\cdot 3}{4}=\frac{15}{4}=3\mathord{,}75. \end{gather*}

Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – A, 2 – B, 3 – Б, 4 – Г.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на