З натуральних чисел від \(1\) до \(30\) учень навмання називає одне. Яка ймовірність того, що це число є дільником числа \(30\)?

Банк сплачує своїм вкладникам \(8\ \text{%}\) річних. Визначте, скільки грошей треба покласти на рахунок, щоб через рік отримати \(60\) грн прибутку.

Розташуйте у порядку спадання числа \(\sqrt{5}\); \(2^{\log_2 5}\); \(\dfrac{5}{2}\).

Задано функцію \(f(x)=3x^4-4x^3-12x^2\).

1. Знайдіть проміжки зростання та спадання функції, екстремуми функції.
2. Побудуйте ескіз графіка функції \(f(x)\).
3. Знайдіть кількість коренів рівняння \(f(x)=a\), де \(a\in R\), залежно від значення параметра \(a\).

Розв’яжіть систему нерівностей

\(\begin{cases}\dfrac{(x+3)(x-2)}{x^2-1}\le 1, \\[0,5ex] 4^\sqrt{9-x^2}\le 0{,}25^{x-3}.\end{cases}\)

У правильній трикутній піраміді \(SABC\) з основою \(ABC\) бічне ребро вдвічі більше за сторону основи. Точки \(K\) і \(L\) є серединами ребер \(AC\) і \(BC\) відповідно. Через пряму \(KL\), паралельно до ребра \(SC\), проведено площину \(\alpha\). Знайдіть кут \(\varphi\) між площиною \(\alpha\) і площиною \((ABC)\).

На рисунку зображено розгортку конуса. Визначте відношення площі повної поверхні цього конуса до площі його бічної поверхні.

Визначте кут між векторами \(\vec{a}\) і \(\vec{b}+\vec{c}\) у градусах, якщо відомо, що \(\vec{a}(2;2)\), \(\vec{b}(2;4)\) і \(\vec{c}(-2;-6)\).

Використовуючи графік рівняння \(|y|=1-|x-12|\) (див. рисунок), знайдіть усі значення параметра \(a\), при яких система

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} |x-12|+|y|=1,\\ (x-a)^2+y^2=4 \end{array}\right. \end{gather*}

має єдиний розв'язок. У відповідь запишіть їхню суму.