Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 1360

Завдання 1361 з 2155

Яке з наведених чисел є розв'язком подвійної нерівності $5\le 3^x\le 15$?

А$5$

Б$4$

В$3$

Г$2$

Д$1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1362 з 2155

У прямокутній системі координат у просторі задано сферу з центром у точці $M.$ Відрізок $AB$ – діаметр цієї сфери. Визначте координати точки $M$, якщо $A(2; -1; 0)$, $B(8; 3; 2).$

А$(10; 2; 2)$

Б$(6; 4; 2)$

В$(3; 2; 1)$

Г$(5; 1; 2)$

Д$(5; 1; 1)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1363 з 2155

Розташуйте в порядку зростання числа $\frac{5}{17}$; $\frac{5}{18}$; $\frac{6}{17}.$

А$\frac{5}{17}$; $\frac{5}{18}$; $\frac{6}{17}.$

Б$\frac{5}{18}$; $\frac{5}{17}$; $\frac{6}{17}.$

В$\frac{6}{17}$; $\frac{5}{17}$; $\frac{5}{18}.$

Г$\frac{5}{18}$; $\frac{6}{17}$; $\frac{5}{17}.$

Д$\frac{5}{17}$; $\frac{6}{17}$; $\frac{5}{18}.$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1364 з 2155

Точка $B$ належить відрізку $AC.$ Визначте відстань між серединами відрізків $AB$ і $BC$, якщо $AB=10\ \textit{см}$, $BC=5\mathord{,}2\ \textit{см}.$

А$2\mathord{,}4$ см

Б$2\mathord{,}6$ см

В$5\mathord{,}0$ см

Г$7\mathord{,}6$ см

Д$10\mathord{,}2$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1365 з 2155

Функція $y=f(x)$ визначена й зростає на проміжку $[-3; 2].$ На рисунку зображено графік цієї функції на проміжку $[-3; 0].$ Яка з наведених точок може належати графіку цієї функції?

А$K$

Б$L$

В$O$

Г$M$

Д$N$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1366 з 2155

Розв'яжіть рівняння $x^2-10=5x+14.$

А$-8; 3$

Б$-4; -1$

В$-3; 8$

Г$1; 4$

Д$0; 5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1367 з 2155

Скоротіть дріб $$ \frac{10ab^3}{5a^2b}. $$

А$\frac{2b^2}{a}$

Б$\frac{b^4}{2a^3}$

В$50a^3b^4$

Г$\frac{2b^4}{a^3}$

Д$\frac{b^2}{2a}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1368 з 2155

Розв'яжіть систему рівнянь $$ \left\{\begin{array}{l} |x-y|=|x-a|,\\ \mathrm{lg}(y-a)=\lg(4a^2+x-x^2) \end{array}\right. $$ залежно від значень параметра $a.$

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 6.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння, що містять змінну під знаком модуля; розв'язувати рівняння з параметрами, рівняння, що містять логарифмічні вирази, вміння знаходити область визначення функцій.

Знайдемо ОДЗ: $$ \left\{\begin{array}{l} y-a\gt 0,\\ 4a^2+x-x^2\gt 0. \end{array}\right. $$

Розкриємо модулі:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} x-y=x-a,\\ x-y=a-x, \end{array}\right.\\ y-a=4a^2+x-x^2, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} y=a,\\ y=2x-a\ \ \not\in\ \text{ОДЗ}, \end{array}\right.\\ y-a=4a^2+x-x^2, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} y=2x-a,\\ y=4a^2+a+x-x^2. \end{array}\right. \end{gather*}

Розв'яжемо методом підстановки:

\begin{gather*} 2x-a=4a^2+a+x-x^2,\\[7pt] x^2+x-4a^2-2a=0,\\[7pt] D=1-4(-4a^2-2a)=1+16a^2+8a=(4a+1)^2.\ D\ge 0\ \text{при будь-якому значенні}\ a. \end{gather*}

Розглянемо 2 випадки:

1) $D=0.$

\begin{gather*} (4a+1)^2=0,\\[7pt] 4a+1=0,\\[6pt] a=-\frac 14,\\[6pt] x=-\frac{1}{2},\\[6pt] y=2\cdot \left(-\frac 12\right)-\left(-\frac 14\right)=-1+\frac 14=-\frac{3}{4},\\[6pt] \left(-\frac 12; -\frac 34\right). \end{gather*}

Перевірка:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \left|-\frac 12+\frac 34\right|=\left|-\frac 12+\frac 14\right|,\\ \lg\left(-\frac 34+\frac 14\right)=\lg\left(4\cdot \frac{1}{16}-\frac 12-\frac 14\right). \end{array}\right. \end{gather*}

вирази під знаком логарифма від'ємні, тому не належать ОДЗ.

Висновок: пара чисел $\left(-\frac 12; -\frac 34\right)$ не є розв'язком.

2) $D\gt 0$, тобто $a\ne -\frac 14$

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} x_1=\frac{-1+4a+1}{2}=2a,\\ x_2=\frac{-1-4a-1}{2}=-2a-1. \end{array}\right. \end{gather*}

Відповідні значення $y$

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} y_1=3a,\\ y_2=-5a-2. \end{array}\right. \end{gather*}

Зробимо перевірку:

1) $(2a; 3a)$

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} |2a-3a|=|2a-a|,\\ \lg(3a-a)=\lg(4^2+2a-4a^2), \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} |-a|=|a| - \text{виконується при будь-якому значенні}\ a,\\ \lg 2a=\lg 2a - \text{виконується при}\ 2a\gt 0,\ a\gt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

При $a\gt 0$ розв'язок $(2a; 3a).$

2) $(-2a-1; -5a-2)$

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} |-2a-1+5a+2|=|-2a-1-a|,\\ \lg(5a-2-a)=\lg(4a^2-2a-1-(-2a-1)^2), \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} |3a+1|=|-3a-1| - \text{правильно при будь-яких значеннях}\ a,\\ \lg(-6a-2)=\lg(-6a-2) - \text{правильно при}\ -6a-2\gt 0,\ -6a\gt 2;\ a\lt -\frac 13. \end{array}\right. \end{gather*}

При $a\lt -\frac 13$ розв'язок $(-2a-1; -5a-2).$

При інших значеннях $a$ система немає розв'язків.

Відповідь: при $a\in (0; +\infty)\ (2a; 3a)$;
при $a\in \left(-\infty; -\frac 13\right)\ (-2a-1; -5a-2)$;
при $a\in \left[-\frac 13; 0\right]$ немає розв'язків.

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1369 з 2155

Основою правильної призми $ABCA_1B_1C_1$ є рівносторонній трикутник $ABC.$ Точка $K$ – середина ребра $BC.$ Площина, що проходить через точки $A$, $K$ та $B_1$, утворює з площиною основи призми кут $\mathbf{\alpha}.$ Визначте об'єм призми $ABCA_1B_1C_1$, якщо відстань від вершини $A$ до грані $BB_1C_1C$ дорівнює $d.$

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 4.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення, ознаки та властивості перпендикулярних прямих і площин до розв'язування стереометричних задач; знання формул для обчислення об'ємів многогранників, уміння використовувати пряму та обернену теорему про три перпендикуляри для знаходження кута між площинами.

Нехай $ABCA_1B_1C_1$ – дана правильна призма. $\Delta ABC$ – рівносторонній, висота призми – бічне ребро.

Площина $(AB_1K)$ перетинає $(B_1BC)$ по прямій $B_1K$, $(AB_1K)\cap (ABC)=AK$, $(A_1B_1K)\cap (AB_1B)=AB_1.$

$BB_1\ \perp\ (ABC)$, $B_1K$ – похила, $BK$ – проекція похилої $B_1K$ на площину $ABC.$

$AK$ – медіана та висота $\Delta ABC$, тому $AK\ \perp\ BK.$ За теоремою оберненою до теореми про три перпендикуляри $B_1K\ \perp\ AK.$

За ознакою перпендикулярності прямої та площини $(BCB_1)\ \perp\ AK.$

$(B_1KA)\cap (ABC)=AK\Rightarrow \angle B_1KB=\mathbf{\alpha}$ – лінійний кут відповідного двогранного при ребрі $AK.$

$AK=d.$ У $\Delta ABK\ (\angle K=90^\circ)$, $\angle B=60^\circ$,

\begin{gather*} BK=\frac 12AB=\frac{AK}{2\sin 60^\circ}=\frac{2d}{2\sqrt{3}}=\frac{d}{\sqrt{3}}\cdot AB=\frac{2d}{\sqrt{3}},\\[6pt] S_{\Delta ABC}=\frac 12BC\cdot AK=BK\cdot AK=\frac{d}{\sqrt{3}}\cdot d=\frac{d^2}{\sqrt{3}},\\[6pt] \Delta BB_1K\ (\angle B=90^\circ),\ \angle K=\mathbf{\alpha},\\[6pt] BB_1=BK\cdot \operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}=\frac{d\cdot \operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}}{\sqrt{3}},\\[6pt] V_\text{призми}=S_{ABC}\cdot BB_1=\frac{d^2}{\sqrt{3}}\cdot \frac{d\cdot \operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}}{\sqrt{3}}=\frac{d^3}{3}\operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}. \end{gather*}

Відповідь: $\frac{d^3}{3}\operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}.$

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1370 з 2155

Задано функції $f(x)=x^2-6x+9.$

1. Визначте координати точок перетину графіка функції $f$ з осями координат.

2. Побудуйте графік функції $f.$

3. Запишіть загальний вигляд первісних для функції $f.$

4. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіками функції $f$ та осями $x$ i $y.$

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 4.

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на