ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Кути при паралельних прямих. Бісектриса кута.

Це завдання перевіряє знання властивостей кутів, що утворюються при перетині двох паралельних прямих січною та означення бісектриси кута.

Кути \(\angle BAC\) та \(\angle ACK\) – внутрішні односторонні кути при паралельних прямих \(AB\) i \(CK\) та січній \(AC.\) Сума внутрішніх односторонніх кутів при паралельних прямих дорівнює \(180^\circ.\) Отже, $$ \angle BAC+\angle ACK=180^\circ, $$ звідки

Оскільки \(BC\) є бісектрисою кута \(\angle ACK\), то за означенням бісектриси, вона ділить цей кут навпіл, отже,

Кути \(\angle BCK\) i \(\angle ABC\) – внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих \(AB\) i \(CK\) та січній \(BC\), тому вони рівні. Отже, \(\angle ABC=64^\circ.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Ймовірність випадкової події. Класичне означення ймовірності події.

Це завдання перевіряє вміння знаходити ймовірність події.

Всього у числі \(8\) цифр, серед них дві цифри \(5.\) Тоді імовірність того, що комп'ютерна програма навмання видалить цифру \(5\), за класичним означенням ймовірності дорівнює відношенню кількості цифр \(5\) у числі до загальної кількості цифр у цьому числі:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Означення розв'язку системи рівнянь з двома змінними та методи їх розв'язування.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь.

Додамо почленно обидва рівняння системи:

Звівши подібні доданки, отримаємо:

Пiдставимо отримане значення \(x=1\) в будь-яке з рівнянь системи, наприклад, в друге рівняння:

Отже, пара чисел \((1; -4)\) є розв'язком \((x_0; y_0)\) системи рівнянь. Визначимо суму:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання основних аксіом стереометрії та їх наслідків і вміння їх використовувати до розв'язування задач.

Через точку \(A\) в просторі можна провести єдину пряму \(c\), паралельну прямій \(b.\) Але через пряму \(c\) можна провести безліч площин, паралельних прямій \(b\) і лише одну площину, що містить пряму \(b.\) Тобто існує безліч площин, паралельних прямій \(b\), які проходять через точку \(A.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції.

Це завдання перевіряє вміння визначати аналітичний вираз функції за фрагментом її графіка.

Фрагмент графіка, зображений на рисунку, проходить через початок координат, тому має виконуватись рівність \(y(0)=0.\) Оскільки \(\cos 0=1\), то відповіді \(y=2\cos x\), \(y=\cos x\) не задовольняють цю умову. Для функцій \(y=2\sin x\), \(y=-2\sin x\) та \(y=\sin 2x\) вказана рівність виконується.

За рисунком функція досягає значення \(2\) в точці \(x=\frac{\pi}{2}\), тобто \(y\left(\frac{\pi}{2}\right)=2.\) Ця рівність виконується для функції \(y=2\sin x\mathord{:}\) $$ 2\cdot \sin \frac{\pi}{2}=2\cdot 1=2, $$ а для функцій \(y=\sin 2x\) i \(y=-2\sin x\) – ні:

Отже, на рисунку зображено фрагмент графіка функції \(y=2\sin x.\)

Зазначимо, що зображений на рисунку фрагмент графіка можна отримати з фрагмента графіка \(y=\sin x\) шляхом розтягнення його в два рази вздовж осі ординат, тоді кожна точка \((x_0; \sin x_0)\), що належить фрагменту графіка \(y=\sin x\) перейде у точку \((x_0; 2\sin x_0)\), що належить фрагменту графіка \(y=2\sin x\) (див. рисунок).

Тому для розв'язання цього завдання важливо вміти будувати графіки функцій \(y=\sin x\) та \(y=\cos x\) та виконувати перетворення графіків функцій, зокрема, будувати графік функції \(y=kf(x)\) за графіком функції \(y=f(x).\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Показникові рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

Запишемо число \(125\) як степінь з основою \(5\mathord{:}\ 125=5^3.\) Тоді рівння набуде вигляду \(5^{x+1}=5^3.\) Оскільки степеневі вирази з однаковою основою рівні лише тоді, коли рівні показники степенів, то отримане рівняння рівносильне рівнянню \(x+1=3,\) звідки \(x=2.\) Число \(2\) належить проміжку \([0; 3).\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Відношення і пропорції. Подільність чисел.

Це завдання перевіряє вміння використовувати відношення для розв'язування текстових задач і знання означення подільності числа на \(9.\)

Введемо коефіцієнт пропорційності \(n\), тоді для оформлення зали було закуплено \(4n\) та \(5n\) повітряних кульок кожного кольору. Загальна кількість повітряних кульок, закуплених для оформлення зали, складає \(4n+5n=9n\) кульок. Оскілько \(n\) має бути натуральним числом, то загальна кількість кульок повинна бути кратною \(9.\)

Число ділиться на \(9\) націло, якщо сума всіх його цифр ділиться на \(9\) націло.

Перевіримо кожну із запропонованих відповідей:

А. \(1+0+0=1\) – не ділиться на \(9\), тому й число \(100\) не ділиться на \(9.\)

Б. \(1+1+5=7\) – не ділиться на \(9\), тому й число \(115\) не ділиться на \(9.\)

В. \(1+1+7=9\) – ділиться на \(9\), отже, число \(117\) ділиться на \(9.\)

Г. \(1+2+0=3\) – не ділиться на \(9\), отже, і \(120\) не ділиться на \(9.\)

Д. \(1+4+5=10\) – не ділиться на \(9\), отже і \(145\) не ділиться на \(9.\)

Отже, загальна кількість кульок із наведених чисел може дорівнювати лише \(117.\)

Відповідь: В.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Паралелограм та його властивості. Периметр паралелограма.

Це завдання перевіряє вміння визначати невідому сторону паралелограма за його периметром і відомою стороною.

За означенням периметром паралелограма (як і будь-якого многокутника) називають суму довжин всіх його сторін. Оскільки у паралелограма \(ABCD\) протилежні сторони попарно рівні: \(AB=CD\) i \(AD=BC\), то його периметр визначається за формулою: $$ P_{ABCD}=2(AB+BC). $$

Підставимо дані з умови: $$ 60=2(10+BC), $$ звідки отримуємо: \begin{gather*} 30=10+BC,\\[7pt] BC=30-10=20\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Арифметичні дії з дробами.

Це завдання перевіряє вміння виконувати додавання двох дробів із різними знаменниками.

Щоб додати два дроби із різними знаменниками, треба звести їх до спільного знаменника. Знайдемо спільний знаменник дробів \(\frac{5}{12}\) i \(\frac 78\), він є найменшим спільним кратним знаменників цих дробів: НСК \((8; 12)=24\) – це найменше число, що кратне числам \(8\) і \(12.\) Тоді

Відповідь: Д.