Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 1410

Завдання 1411 з 2199

Скоротіть дріб $$ \frac{10ab^3}{5a^2b}. $$

А$\frac{2b^2}{a}$

Б$\frac{b^4}{2a^3}$

В$50a^3b^4$

Г$\frac{2b^4}{a^3}$

Д$\frac{b^2}{2a}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1412 з 2199

Розв'яжіть систему рівнянь $$ \left\{\begin{array}{l} |x-y|=|x-a|,\\ \mathrm{lg}(y-a)=\lg(4a^2+x-x^2) \end{array}\right. $$ залежно від значень параметра $a.$

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 6.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння, що містять змінну під знаком модуля; розв'язувати рівняння з параметрами, рівняння, що містять логарифмічні вирази, вміння знаходити область визначення функцій.

Знайдемо ОДЗ: $$ \left\{\begin{array}{l} y-a\gt 0,\\ 4a^2+x-x^2\gt 0. \end{array}\right. $$

Розкриємо модулі:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} x-y=x-a,\\ x-y=a-x, \end{array}\right.\\ y-a=4a^2+x-x^2, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} y=a,\\ y=2x-a\ \ \not\in\ \text{ОДЗ}, \end{array}\right.\\ y-a=4a^2+x-x^2, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} y=2x-a,\\ y=4a^2+a+x-x^2. \end{array}\right. \end{gather*}

Розв'яжемо методом підстановки:

\begin{gather*} 2x-a=4a^2+a+x-x^2,\\[7pt] x^2+x-4a^2-2a=0,\\[7pt] D=1-4(-4a^2-2a)=1+16a^2+8a=(4a+1)^2.\ D\ge 0\ \text{при будь-якому значенні}\ a. \end{gather*}

Розглянемо 2 випадки:

1) $D=0.$

\begin{gather*} (4a+1)^2=0,\\[7pt] 4a+1=0,\\[6pt] a=-\frac 14,\\[6pt] x=-\frac{1}{2},\\[6pt] y=2\cdot \left(-\frac 12\right)-\left(-\frac 14\right)=-1+\frac 14=-\frac{3}{4},\\[6pt] \left(-\frac 12; -\frac 34\right). \end{gather*}

Перевірка:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \left|-\frac 12+\frac 34\right|=\left|-\frac 12+\frac 14\right|,\\ \lg\left(-\frac 34+\frac 14\right)=\lg\left(4\cdot \frac{1}{16}-\frac 12-\frac 14\right). \end{array}\right. \end{gather*}

вирази під знаком логарифма від'ємні, тому не належать ОДЗ.

Висновок: пара чисел $\left(-\frac 12; -\frac 34\right)$ не є розв'язком.

2) $D\gt 0$, тобто $a\ne -\frac 14$

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} x_1=\frac{-1+4a+1}{2}=2a,\\ x_2=\frac{-1-4a-1}{2}=-2a-1. \end{array}\right. \end{gather*}

Відповідні значення $y$

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} y_1=3a,\\ y_2=-5a-2. \end{array}\right. \end{gather*}

Зробимо перевірку:

1) $(2a; 3a)$

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} |2a-3a|=|2a-a|,\\ \lg(3a-a)=\lg(4^2+2a-4a^2), \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} |-a|=|a| - \text{виконується при будь-якому значенні}\ a,\\ \lg 2a=\lg 2a - \text{виконується при}\ 2a\gt 0,\ a\gt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

При $a\gt 0$ розв'язок $(2a; 3a).$

2) $(-2a-1; -5a-2)$

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} |-2a-1+5a+2|=|-2a-1-a|,\\ \lg(5a-2-a)=\lg(4a^2-2a-1-(-2a-1)^2), \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} |3a+1|=|-3a-1| - \text{правильно при будь-яких значеннях}\ a,\\ \lg(-6a-2)=\lg(-6a-2) - \text{правильно при}\ -6a-2\gt 0,\ -6a\gt 2;\ a\lt -\frac 13. \end{array}\right. \end{gather*}

При $a\lt -\frac 13$ розв'язок $(-2a-1; -5a-2).$

При інших значеннях $a$ система немає розв'язків.

Відповідь: при $a\in (0; +\infty)\ (2a; 3a)$;
при $a\in \left(-\infty; -\frac 13\right)\ (-2a-1; -5a-2)$;
при $a\in \left[-\frac 13; 0\right]$ немає розв'язків.

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1413 з 2199

Основою правильної призми $ABCA_1B_1C_1$ є рівносторонній трикутник $ABC.$ Точка $K$ – середина ребра $BC.$ Площина, що проходить через точки $A$, $K$ та $B_1$, утворює з площиною основи призми кут $\mathbf{\alpha}.$ Визначте об'єм призми $ABCA_1B_1C_1$, якщо відстань від вершини $A$ до грані $BB_1C_1C$ дорівнює $d.$

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 4.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення, ознаки та властивості перпендикулярних прямих і площин до розв'язування стереометричних задач; знання формул для обчислення об'ємів многогранників, уміння використовувати пряму та обернену теорему про три перпендикуляри для знаходження кута між площинами.

Нехай $ABCA_1B_1C_1$ – дана правильна призма. $\Delta ABC$ – рівносторонній, висота призми – бічне ребро.

Площина $(AB_1K)$ перетинає $(B_1BC)$ по прямій $B_1K$, $(AB_1K)\cap (ABC)=AK$, $(A_1B_1K)\cap (AB_1B)=AB_1.$

$BB_1\ \perp\ (ABC)$, $B_1K$ – похила, $BK$ – проекція похилої $B_1K$ на площину $ABC.$

$AK$ – медіана та висота $\Delta ABC$, тому $AK\ \perp\ BK.$ За теоремою оберненою до теореми про три перпендикуляри $B_1K\ \perp\ AK.$

За ознакою перпендикулярності прямої та площини $(BCB_1)\ \perp\ AK.$

$(B_1KA)\cap (ABC)=AK\Rightarrow \angle B_1KB=\mathbf{\alpha}$ – лінійний кут відповідного двогранного при ребрі $AK.$

$AK=d.$ У $\Delta ABK\ (\angle K=90^\circ)$, $\angle B=60^\circ$,

\begin{gather*} BK=\frac 12AB=\frac{AK}{2\sin 60^\circ}=\frac{2d}{2\sqrt{3}}=\frac{d}{\sqrt{3}}\cdot AB=\frac{2d}{\sqrt{3}},\\[6pt] S_{\Delta ABC}=\frac 12BC\cdot AK=BK\cdot AK=\frac{d}{\sqrt{3}}\cdot d=\frac{d^2}{\sqrt{3}},\\[6pt] \Delta BB_1K\ (\angle B=90^\circ),\ \angle K=\mathbf{\alpha},\\[6pt] BB_1=BK\cdot \operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}=\frac{d\cdot \operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}}{\sqrt{3}},\\[6pt] V_\text{призми}=S_{ABC}\cdot BB_1=\frac{d^2}{\sqrt{3}}\cdot \frac{d\cdot \operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}}{\sqrt{3}}=\frac{d^3}{3}\operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}. \end{gather*}

Відповідь: $\frac{d^3}{3}\operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}.$

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1414 з 2199

Задано функції $f(x)=x^2-6x+9.$

1. Визначте координати точок перетину графіка функції $f$ з осями координат.

2. Побудуйте графік функції $f.$

3. Запишіть загальний вигляд первісних для функції $f.$

4. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіками функції $f$ та осями $x$ i $y.$

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 4.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1415 з 2199

У прямокутній системі координат на площині задано взаємно перпендикулярні вектори $\overrightarrow{AB}$ та $\overrightarrow{a}(4; 3).$ Визначте абсцису точки $B$, якщо $A(-2; 0)$, а точка $B$ лежить на прямій $y=2x.$

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1416 з 2199

У торбинці лежать $3$ цукерки з молочного шоколаду та $m$ цукерок з чорного шоколаду. Усі цукерки – однакової форми й розміру. Якого найменшого значення може набувати $m$, якщо ймовірність навмання витягнути з торбинки цукерку з молочного шоколаду менша за $0\mathord{,}25$?

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1417 з 2199

Автобус вирушив з міста $A$ до міста $B$, відстань між якими становить $150$ км. Через $30$ хв із міста $A$ до міста $B$ тією самою дорогою вирушив автомобіль, швидкість якого в $1\frac 15$ раза більша за швидкість автобуса. Скільки часу (у год) витратив на дорогу з міста $A$ до міста $B$ автомобіль, якщо він прибув до міста $B$ одночасно з автобусом? Уважайте, що автобус та автомобіль рухалися зі сталими швидкостями.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1418 з 2199

Знайдіть область визначення функції $$ y=\frac{1}{\sqrt{56-4x}}. $$ У відповіді запишіть найбільше ціле двоцифрове число, що належить області визначення цієї функції.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1419 з 2199

На рисунку зображено рівнобічну трапецію $ABCD$ та квадрат $KBCM.$ Точки $K$ i $M$ – середини діагоналей $AC$ і $BD$ трапеції відповідно. Площа квадрата $KBCM$ дорівнює $18$ см$^2.$

1. Визначте довжину діагоналі $AC$ (у см).

2. Обчисліть площу трапеції $ABCD$ (у см$^2$).

Впишіть відповіді:

1.			2.
	12			72

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми Фалеса, властивостей середньої лінії трикутника, трапеції, теореми Піфагора, уміння застосовувати властивості геометричних фігур до розв'язання планіметричних задач.

1. Оскільки площа квадрата $KBCM\ 18$ см$^2$, то

$$ BC=CM=KM=BK=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\ \textit{см}. $$

$KM$ з'єднує середини діагоналей $AC$ та $BD$, належить середній лінії $LN.$

$\Delta ACE\ (\angle E=90^\circ)\ CE\ \perp\ AD$, $KM$ – середня лінія $KM=\frac 12AE$, $AE=2KM=2\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$ см.

За теоремою Фалеса $MK\ ||\ AD$, оскільки середина $AC$, тому точка $M$ – середина $CE.$ $CE=2CM=6\sqrt{2}$ см.

За теоремою Піфагора

\begin{gather*} AC^2=AE^2+CE^2=(6\sqrt{2})^2+(6\sqrt{2})^2=144\ \textit{см}^2,\\[7pt] AC=12\ \textit{см}. \end{gather*}

2. Оскільки $LK$ – середня лінія $\Delta BAC$, $MN$ – середня лінія $\Delta BCD$, то

\begin{gather*} LK=MN=\frac 12BC=\frac{3\sqrt{2}}{2}\ \textit{см},\\[6pt] LN=LK+KM+MN=2\cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}+3\sqrt{2}=6\sqrt{2}\ \textit{см},\\[6pt] S_{ABCD}=LN\cdot CE=6\sqrt{2}\cdot 6\sqrt{2}=72\ \textit{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: 1. $12.$
2. $72.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1420 з 2199

Для поповнення рахунку телефону Андрій уніс певну суму грошей до платіжного термінала. З цієї суми утримано комісійний платіж у розмірі $2$ грн $40$ коп, що становить $3\ \text{%}$ від суми, унесеної до терміналу. У результаті рахунок телефону поповнено на решту внесеної суми.

1. Яку суму грошей (у гривнях) Андрій уніс до платіжного термінала?

2. Мобільний оператор, послугами якого користується Андрій, нараховує $8$ бонусів за кожні $5$ грн, на які поповнено рахунок телефону. На залишок грошей, менший за $5$ грн, бонуси не нараховуються. Скільки бонусів нараховано Андрію за здійснене ним поповнення телефону?

Впишіть відповіді:

1.			2.
	80			120

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на