ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання про прямокутник та його властивості, середню лінію трикутника та її властивості.

1. У \(\Delta ABC\ KM\) – середня лінія, тому точка \(E\) – середина \(KM.\) \(EE_1\ \perp\ BC\), \(EE_1\ ||\ BK\), тому \(EE_1\) – середня лінія \(\Delta BKM.\)

(за властивістю середньої лінії).

Отже, 1 – A.

2. \(AC\cap BD=O.\) \(KO\) – середня лінія \(\Delta ABD\), тому

Отже, 2 – B.

3. У \(\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ)\) за теоремою Піфагора

\(KM\) – середня лінія \(\Delta ABC\) $$ KM=\frac 12AC=\frac 12\cdot 10=5. $$

Отже, 3 – Б.

4. Нехай \(\angle BKM=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\), тоді

\(\Delta KBM\) подібний \(\Delta NAK\) (за двома кутами).

Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – A, 2 – B, 3 – Б, 4 – Г.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логаримфічні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних, степеневих, логарифмічних виразів, використовувати властивості модуля до розв'язування задач.

1. Щоб розв'язати це завдання, достатньо скористатися формулою: \begin{gather*} \sqrt{a^2}=|a|,\\[6pt] \sqrt{\left(-\frac 12\right)^2}=\left|-\frac 12\right|=\frac 12=0\mathord{,}5\\[6pt] 0\mathord{,}5\in [0; 1). \end{gather*} Отже, 1 – B.

2. Щоб розв'язати це завдання, достатньо скористатися формулою: \begin{gather*} (a^x)^y=a^{x\cdot y},\\[6pt] 8^{\frac 23}=(2^3)^{\frac 23}=2^2=4,\\[6pt] 4\in [3; +\infty). \end{gather*} Отже, 2 – Д.

3. Щоб розв'язати це завдання, достатньо скористатися формулами: \begin{gather*} \log_a b^n=n\cdot \log_a b,\\[7pt] \log_{a^k} b=\frac 1k\cdot \log_a b. \end{gather*}

\(\log_{\frac 12} 10\lt \log_{\frac 12} 8\)
\(\log_{\frac 12} x\) – спадна функція, тому більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції. $$ \log_{\frac 12} 8=-3, $$ тому $$ \log_{\frac 12}10\lt -3\ \ (-\infty; -3). $$ Отже, 3 – A.

4.За означенням модуля числа: \begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right.\\[6pt] \left|\frac 12-2\right|=\left|-1\frac 12\right|=1\frac 12=1\mathord{,}5\\[6pt] 1\mathord{,}5\in [1; 3). \end{gather*} Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – Д, 3 – A, 4 – Г.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Лінійні, степеневі, показникові функції, їхні основні властивості.

Це завдання перевіряє вміння будувати графіки елементарних функцій, встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком, використовувати перетворення графіків функцій.

Дано графік функції \(y=f(x)\) $$ y=\left[\begin{array}{l} x+3,\ x\in [-3; 1],\\ 4,\ x\in (1; 4]. \end{array}\right. $$

1. \begin{gather*} y=x+1,\\[7pt] x+1=4,\\[7pt] x=3. \end{gather*} Отже, 1 – Д.

2. \begin{gather*} y=\frac 4x,\\[6pt] \frac 4x=4,\\[6pt] x=1. \end{gather*} Отже, 2 – Г.

3. \begin{gather*} y=\left(\frac 12\right)^x - \text{спадна},\\[6pt] y=x+3 - \text{зростаюча}. \end{gather*} Рівняння $$ \left(\frac 12\right)^x=x+3 $$ має не більше одного кореня.

При

тому абсциса точки перетину \(x=-1.\)

Отже, 3 – Б.

4. \begin{gather*} y=3-x^3,\\[7pt] 3-x^3=x+3,\\[7pt] x=-x^3,\\[7pt] x+x^3=0,\\[7pt] x(1+x^2)=0,\\[7pt] x=0. \end{gather*} Отже, 4 – B.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – Б, 4 – В.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Зафарбована фігура обмежена графіками функцій \(y=g(x)\) та \(y=f(x).\)

Площу фігури знаходимо за допомогою визначеного інтегралу. Абсциси точок перетину графіків \(x=2\) та \(x=7\) – межі інтегрування.

Функція \(y=f(x)\) приймає більші значення на заданому проміжку (обмежує фігуру згори), а \(y=g(x)\) – менші значення (обмежує знизу).

Тому,

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Раціональні нерівності.

Це завдання перевіряє знання методів розв'язування раціональних нерівностей.

$$ \frac{x+3}{x-2}\gt 0 $$ розв'яжемо методом інтервалів:

Отже, \(x\in (-\infty; -3)\cup (2; +\infty).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Тригонометричні функції.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком, використовувати перетворення графіків функцій.

Графік \(y=\sin x\) можна отримати паралельним перенесенням графіка функції \(y=\cos x\) уздовж осі \(x\) вправо на \(\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{2}\) одиниць.

Отже, правильна відповідь – А.

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення площі поверхні призми, уміння встановлювати за розгорткою поверхні вид геометричного тіла.

Фрагмент розгортки правильної чотирикутної призми утворений з двох її сусідніх граней.

Основа призми – квадрат зі стороною \(AF=3\) см.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів і знаходити їхне числове значення при заданих значеннях виразу.

Використаємо тотожність:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові нерівності.

Функція $$ y=\left(\frac 37\right)^x $$ спадна, тому

Отже, \(x\in (-\infty; 6).\)

Відповідь: Б.