Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 1470

Завдання 1471 з 2155

На рисунку зображено коло з центром у точці $O$, радіус якого дорівнює $6.$ Хорду $BC$ видно з центра кола під кутом $60^\circ$, $BK$ – діаметр. Через точку $A$ до кола проведено дотичну $AB$, причому $AO=2AB.$ Установіть відповідність між відрізком (1–4) та його довжиною (А – Д).

Відрізок

1$BK$

2$AB$

3$BC$

4$CK$

Довжина відрізка

А$6$

Б$2\sqrt{3}$

В$12$

Г$6\sqrt{3}$

Д$3\sqrt{3}$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Описане коло, дотична до кола та її властивості. Трикутники (рівносторонній та прямокутний трикутники). Тригонометричні співвідношення в прямокутному трикутнику.

Це завдання перевіряє вміння визначати довжини відрізків, використовуючи властивості дотичної до кола, елементів кола, вписаних у коло кутів та співвідношень у прямокутному трикутнику.

Обчислимо довжини відрізків (1 – 4).

1. Оскільки діаметр кола вдвічі більший за його радіус, то згідно умови $$ BK=2\cdot 6=12. $$ Отже, 1 – B.

2. Розглянемо трикутник $ABO.$ Оскільки пряма $AB$ є дотичною до кола, то $\angle ABO=90^\circ.$ У прямокутному трикутнику $ABO$ катет $BO=6$, а гіпотенуза $AO=2AB.$ За теоремою Піфагора отримаємо

\begin{gather*} 6^2+AB^2=(2AB)^2,\\[7pt] 36+AB^2=4AB^2,\\[7pt] 36=3AB^2,\\[7pt] AB^2=12,\\[7pt] AB=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}. \end{gather*}

Такий же результат отримаємо, якщо скористаємось тим фактом, що у прямокутному трикутнику $ABO\ \angle AOB=30^\circ$ (оскільки вказано, що гіпотенуза вдвічі більша за протилежний до цього кута катет). Тоді

$$ AB=BO\mathrm{tg}\ 30^\circ=6\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}. $$

Отже, 2 – Б.

3. Відрізок $BC$ є стороною рівностороннього трикутника $BOC$ $(BO=CO$ як радіуси, $\angle BOC=60^\circ$, $\angle BCO=\angle CBO=\frac 12(180^\circ-60^\circ)=60^\circ)$, тому $BC=6.$

Отже, 3 – A.

4. Розглянмо вписаний у коло трикутник $BCK.$ Оскільки вписаний кут $BCK$ спирається на діаметр кола, то $\angle BCK=90^\circ$, тобто трикутник $BCK$ є прямокутним. У цьому трикутнику $BK=12$, $\angle CBK=60^\circ$, тоді

$$ CK=BK\sin 60^\circ=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}. $$

Або за теоремою Піфагора отримуємо:

$$ CK=\sqrt{BK^2-BC^2}=\sqrt{12^2-6^2}=\sqrt{144-36}=\sqrt{108}=\sqrt{36\cdot 3}=6\sqrt{3}. $$

Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – A, 4 – Г.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1472 з 2155

Установіть відповідність між числовим виразом (1–4) та його значенням (А – Д), якщо $a=\frac{25}{4}.$

Вираз

1$\frac{2a}{3}$

2$\frac 1a$

3$|9-2a|$

4$a^{\frac 12}$

Значення виразу

А$\frac{4}{25}$

Б$2\frac{1}{2}$

В$-3\frac{1}{2}$

Г$3\frac{1}{2}$

Д$4\frac{1}{6}$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні числа та дії з ними. Означення степеня з раціональним показником. Модуль дійсного числа.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами, записаними у вигляді звичайних дробів, знаходити значення степеневого виразу, виразу, що містить знак модуля.

Для розв'язання завдання потрібно знати правила дій із звичайними дробами, означення степеня з раціональним показником та правила дій зі степенями, а саме:

\begin{gather*} x^{-p}=\frac{1}{x^p},\\[6pt] \left(\frac ab\right)^p=\frac{a^p}{b^p},\\[6pt] (a^p)^q=a^{pq},\\[7pt] a^{\frac pq}=\sqrt[q]{a^p} \end{gather*}

то значення модуля дійсного числа.

Нагадаємо, що за означенням модулем числа $x$ називають саме це число, якщо воно є невід'ємним, і протилежне до $x$ число, якщо воно є від'ємним, тобто

$$ |x|=\left\{\begin{array}{l} x,\ \text{якщо}\ x\ge 0, \\ -x,\ \text{якщо}\ x\lt 0. \end{array}\right. $$

Обчислимо значення виразів (1 – 4).

1.

\begin{gather*} \frac{2a}{3}=\frac 23\cdot \frac{25}{4}=\frac 13\cdot \frac{25}{2}=\frac{25}{6}=\frac{24+1}{6}=4+\frac 16=4\frac 16. \end{gather*}

Отже, 1 – Д.

2. $$ \frac 1a=\frac{1}{\frac{25}{4}}=\frac{4}{25}. $$ Отже, 2 – A.

3.

\begin{gather*} |9-2a|=\left|9-2\cdot \frac{25}{4}\right|=\left|9-\frac{25}{2}\right|=\left|9-12-\frac 12\right|=\left|-3-\frac 12\right|=\left|-3\frac 12\right|=3\frac 12. \end{gather*}

Отже, 3 – Г.

4.

\begin{gather*} a^{\frac 12}=\left(\frac{25}{4}\right)^{\frac 12}=\left(\left(\frac 52\right)^2\right)^{\frac 12}=\left(\frac 52\right)^{2\cdot \frac 12}=\left(\frac 52\right)^1=\frac 52=2\frac 12. \end{gather*}

Або

$$ \left(\frac{25}{4}\right)^{\frac 12}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}=\frac 52=2\frac 12. $$

Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – А, 3 – Г, 4 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1473 з 2155

Розв'яжіть нерівність $\log_3 x\lt -1.$

А$\left(\frac 13; +\infty\right)$

Б$\left(-\infty; \frac 13\right)$

В$\left(-\frac 13; 0\right)$

Г$\left(0; \frac 13\right)$

Д$\left(-\infty; -3\right)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1474 з 2155

Розв'яжіть рівняння $$ 3\cdot \frac{\sin x}{\cos x}=\sqrt{3}. $$

А$\frac{\pi}{6}+\pi n$, $n\in Z$

Б$\frac{\pi}{3}+\pi n$, $n\in Z$

В$\frac{\pi}{6}+2\pi n$, $n\in Z$

Г$\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n$, $n\in Z$

Д$\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3}$, $n\in Z$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1475 з 2155

Визначте об'єм правильної трикутної призми, бічні грані якої є квадратами, а периметр основи дорівнює $12.$

А$16\sqrt{3}$

Б$64$

В$48$

Г$64\sqrt{3}$

Д$576$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Пряма трикутна призма. Об'єм призми.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати об'єм призми. Для виконання завдання потрібно знати формули об'єму призми, площі рівностороннього трикутника, означення квадрата та периметра рівностороннього трикутника.

Нехай $ABCA_1B_1C_1$ – задана правильна трикутна призма, основою якої є рівносторонній трикутник $ABC$, $AB=BC=AC=a.$

Оскільки периметр правильного трикутника зі стороною $a$ дрівнює $3a$, то $3a=12$ (за умовою), звідки $a=4.$

Оскільки бічні грані призми за умовою є квадратами, то $AA_1=AB=4.$

Об'єм призми визначається за формулою $$ V=S_\text{осн}\cdot h, $$ де $S_\text{осн}$ – площа основи призми, $h$ – висота призми.

Площа правильного трикутника зі стороною $a$ визначається за формулою $$ S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}. $$ Тоді

$$ S_\text{осн}=\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}. $$

Оскільки $ABCA_1B_1C_1$ – пряма призма, то її висота дорівнює бічному ребру: $$ h=AA_1=4. $$ Тоді $$ V=4\sqrt{3}\cdot 4=16\sqrt{3}. $$

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1476 з 2155

Використовуючи формулу Ньютона - Лейбніца, обчисліть $\mathop{\int}\limits_1^2 6x^2dx.$

А$12$

Б$14$

В$18$

Г$22$

Д$42$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл. Формула Ньютона - Лейбніца.

Це завдання перевіряє знання таблиці первісних основних елементарних функцій та вміння застосовувати формулу Ньютона - Лейбніца для знаходження визначеного інтеграла.

За формулою Ньютона - Лейбніца:

$$ \mathop{\int}\limits_a^b f(x)dx=\left.F(x)\right|_a^b=F(b)-F(a), $$

де $F(x)$ – будь-яка первісна функції $f(x)$ на відрізку $[a; b].$

Нагадаємо, що функція $F(x)$ називається первісною для функції $f(x)$ на проміжку $(a; b)$, якщо для будь-якого $x\in (a; b)$ виконується рівність $F'(x)=f(x).$

Визначимо одну з первісних функції $y=6x^2.$

Правило знаходження первісних. Якщо $F_1(x)$ – первісна функції $f_1(x)$, а $\mathrm{C}$ – довільна стала, то $$ F(x)=\mathrm{C}F_1(x) $$ є первісною функції $$ f(x)=\mathrm{C}f_1(x). $$

Отже, $$ F(x)=6F_1(x) $$ є первісною функції $$ f(x)=6x^2, $$ де $F_1(x)$ – первісна функції $f_1(x)=x^2.$

Однією з первісних степеневої функції $x^n$, причому $n\ne -1$, є $$ \frac{x^{n+1}}{n+1}. $$ Тому $$ F_1(x)=\frac{x^{2+1}}{2+1}=\frac{x^3}{3}. $$ Отже, $$ F(x)=6\cdot \frac{x^3}{3}=2x^3. $$ Тоді

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_1^2 6x^2dx=\left.2x^3\right|_1^2=2\cdot (2^3-1^3)=14. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1477 з 2155

Обчисліть значення виразу $4\sin^2 \alpha$, якщо $4\cos^2 \alpha=1.$

А$3$

Б$\frac 34$

В$\frac 14$

Г$4$

Д$0$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і почати аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє знання основної тригонометричної тотожності та вміння її застосовувати до перетворення тригонометричних виразів.

Для будь-якого кута $\alpha$ виконується рівність: $$ \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1. $$

I спосіб. Домножимо обідві частини цієї рівності на $4\mathord{:}$

$$ 4\sin^2 \alpha+4\cos^2 \alpha=4, $$

звідси

$$ 4\sin^2 \alpha=4-4\cos^2 \alpha. $$

Оскільки за умовою

$$ 4\cos^2 \alpha=1, $$

то отримаємо:

$$ 4\sin^2 \alpha=4-4\cos^2 \alpha=4-1=3. $$

II спосіб. Виразимо з основної тригонометричної тотожності $\sin^2 \alpha\mathord{:}$ $$ \sin^2 \alpha=1-\cos^2 \alpha. $$ Оскільки за умовою $$ 4\cos^2 \alpha=1, $$ то $$ \cos^2 \alpha=\frac 14, $$ тоді $$ \sin^2 \alpha=1-\cos^2 \alpha=1-\frac 14=\frac 34. $$ Звідки $$ 4\sin^2 \alpha=4\cdot\frac 34=3. $$

Зауваження. Правильну відповідь до завдання можна отримати, якщо навіть не знати (чи не пам'ятати) основної тригонометричної тотожності. Якщо знати, що $$ \cos 60^\circ=\frac 12, $$ тобто $\alpha=60^\circ$ задовольняє умову $$ 4\cos^2 \alpha=1, $$ а $$ \sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, $$ тоді $$ 4\sin^2 \alpha=4\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=3. $$

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1478 з 2155

Екрани телевізорів, зображених на рис. 1 i 2, мають форму прямокутників, відповідні сторони яких пропорційні. Діагоналі екранів цих телевізорів дорівнюють відповідно $32$ дюйма і $48$ дюймів. Визначте, у скільки разів площа екрана телевізора, зображеного на рис. 2, більша за площу екрана телевізора, зображеного на рис. 1.

Ав $1\mathord{,}5$ раза

Бу $16$ разів

Ву $2\mathord{,}56$ раза

Гу $4$ рази

Ду $2\mathord{,}25$ раза

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1479 з 2155

$\log_2 5+\log_2 1\mathord{,}6=$

А$3$

Б$3\mathord{,}3$

В$0\mathord{,}25$

Г$4$

Д$\log_2 6\mathord{,}6$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1480 з 2155

Якому проміжку належить число $\sqrt[3]{18}$?

А$[0; 1)$

Б$[1; 2)$

В$[2; 3)$

Г$[3; 4)$

Д$[4; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на