ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Відсотки. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на відсоткові розрахунки та пропорції.

1. Перший автомат за \(2\) хвилини, що дорівнює \(120\) секундам, наповнює гелієм \(3\) кульки, а другий – на \(100\text{%}\), тобто в два рази більше, кульок.

Якщо за \(120\) секунд автомат наповнить \(6\) кульок, то одну він наповнить за: $$ 120:6=20\ \text{секунд}. $$

2. За \(10\) хвилин перший автомат наповнить $$ 3\cdot 5=15\ \text{кульок}, $$ а другий – $$ 6\cdot 5=30\ \text{кульок}. $$

Обидва автомати за \(10\) хвилин наповнять $$ 30+15=45\ \text{кульок}. $$

Відповідь: 1. \(20.\)
                   2. \(45.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення і властивості циліндра та піраміди до розв'язування стереометричних задач.

1. Площа основи циліндра дорівнює \(9\pi.\) Отже,

Отже, 1 – Б.

2. \(\angle AOB=90^\circ\), \(AO=OB=3\) як радіуси, тому \(\Delta AOB\) – прямокутний, рівнобедрений. За теоремою Піфагора:

Отже, 2 – Г.

3. Висоту циліндра \(OO_1\) знаходимо з \(\Delta OO_1B\) \((\angle O=90^\circ).\) \(\angle B=60^\circ\), тому

Отже, 3 – Д.

4. Об'єм піраміди \(O_1AOB\) знаходимо за формулою:

Отже, 4 – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Г, 3 – Д, 4 – A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів та знаходити їхнє числове значення.

1. \(\cos^2 15^\circ+\sin^2 15^\circ=1\) за основною тригонометричною тотожністю. Отже, 1 – Г.

2.

Отже, 2 – Д.

3.

за формулою $$ \sin 2\alpha=2\sin \alpha\cdot \cos \alpha. $$ Отже, 3 – B.

4.

Отже, 4 – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Д, 3 – B, 4 – A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність. Лінійні, квадратичні, тригонометричні, степеневі функції, їхні основні властивості.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою.

1.

\(y=2x-7\) лінійна функція, зростаюча, тому найбільше значення на проміжку \([0; 5]\) буде при більшому значенні аргументу: $$ y(5)=2\cdot 5-7=3. $$ Отже, 1 – B.

2.

\(y=-x^2+2\) графік – парабола з гілками вниз. На проміжку \([0; 5]\) спадає. Найбільше значення функції буде при найменшому значенні аргументу $$ y(0)=-1\cdot 0^2+2=2. $$ Отже, 2 – Б.

3. 

\(y=\sin 2x\) найбільше значення \(y=1.\) Отже, 3 – A.

4. 

\(y=\sqrt{x-1}+3\) – зростає, тому при \(x=5\)

Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – A, 4 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Квадратні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні нерівності.

Знайдемо нулі функції \(x^2+x-6=0:\)

Зобразимо схематично графік функції.

$$ x\in (-\infty; -3)\cup (2; +\infty). $$

Отже, правильна відповідь – В.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна. Визначений інтеграл.

Це завдання перевіряє вміння знаходити первісну, використовуючи її основні властивості.

Задана функція \(y=3x.\) Її первісна

Графік первісної – параболи, які переміщуються паралельно, вздовж осі \(y.\)

Отже, не будь-який графік первісної проходить через точку \(O(0; 0)\) та не будь-який графік перетинає вісь \(x\), але будь-яка первісна цієї функції є парною.

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє знання модуля дійсного числа та його властивостей.

За означенням модуля числа \begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0,\\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0, \end{array}\right.\\[7pt] |x|=-x\ \text{якщо}\ x\lt 0. \end{gather*}

З наведених виразів тільки

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла та поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення об'ємів геометричних тіл, застосовувати властивості тіл обертання до розв'язування стереометричних задач практичного змісту.

\(50\) суцільних півкуль – це \(25\) куль з радіусом \(0\mathord{,}3\) м.

Об'єм однієї кулі знаходимо за формулою: $$ V=\frac 43 \pi R^3, $$ де \(R\) – радіус кулі.

Об'єм однієї кулі $$ V=\frac 43 \pi\cdot 0\mathord{,}3^3\ \text{м}^3. $$

Відповідь, найближча до точної – \(2\mathord{,}9\) м\(^3.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє вміння використовувати перетворення графіків функцій.

Використовуючи перетворення графіків \(y=f(x)\Rightarrow y=f(x)+A\) переміщуємо вздовж осі \(y\) на \(A\) одиниць.

Отже, \(y=f(x)-2\) переносимo на \(2\) одиниці вниз i точка перетину з віссю \(y\) – \((0; 2).\)

Відповідь: A.