ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Вирази з коренями. Формули скороченого множення.

Це завдання перевіряє знання формули різниці квадратів двох виразів і вміння виконувати арифметичні дії з дробовими виразами.

Скористаємось означенням частки двох дробів: $$ \frac ab:\frac cd=\frac ab\cdot \frac dc. $$ Тоді отримаємо:

Винесемо у чисельнику другого дробу за дужки спільний множник \(2\mathord{:}\) $$ 2\sqrt{a}-6=2(\sqrt{a}-3). $$ Тоді одержимо:

Врахувавши, що \((\sqrt{a})^2=a\), розкладемо вираз \(a-9\) на множники за формулою різниці квадратів:

Тоді

Другий спосіб. Виконаємо заміну \(\sqrt{a}=b\), \(a=b^2.\) Отримаємо:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє знання основних тригонометричних формул та вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Зберемо в лівій частині заданої рівності доданки, що містять \(\sin \alpha\), а в правій частині – доданки, що містять \(\cos \alpha.\) Отримаємо: $$ 4\sin \alpha+\sin \alpha=2\cos \alpha+\cos \alpha, $$ звідки $$ 5\sin \alpha=3\cos \alpha. $$

Виразимо з отриманої рівності \(\sin \alpha\) через \(\cos \alpha\mathord{:}\) $$ \sin \alpha=\frac 35\cos \alpha. $$ За означенням $$ \mathrm{tg} \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{\frac 35\cos \alpha}{\cos \alpha}=\frac 35. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Подібність трикутників.

Це завдання перевіряє вміння знаходити подібні трикутники та використовувати пропорційність їх сторін для знаходження невідомих елементів трикутників.

Оскільки за умовою \(KM\ ||\ BC\), то \(\angle AKM=\angle ABC\) як відповідні кути при паралельних прямих \(KM\), \(BC\) і січній \(AK.\) Тоді трикутники \(AKM\) i \(ABC\) подібні за двома кутами (\(\angle A\) – спільний). Якщо трикутники подібні, то їх віповідні сторони пропорційні, отже $$ \frac{AK}{AB}=\frac{KM}{BC}, $$ де

звідки

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Значення функції в точці. Перетворення логарифмічних виразів.

Це завдання перевіряє вміння знаходити значення функції в точці за її аналітичним виразом та вміння використовувати властивості логарифма для розв'язування задач.

Підставимо значення \(x_0=4\) у аналітичний вираз для функції замість змінної \(x\mathord{:}\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Кути при паралельних прямих. Бісектриса кута.

Це завдання перевіряє знання властивостей кутів, що утворюються при перетині двох паралельних прямих січною та означення бісектриси кута.

Кути \(\angle BAC\) та \(\angle ACK\) – внутрішні односторонні кути при паралельних прямих \(AB\) i \(CK\) та січній \(AC.\) Сума внутрішніх односторонніх кутів при паралельних прямих дорівнює \(180^\circ.\) Отже, $$ \angle BAC+\angle ACK=180^\circ, $$ звідки

Оскільки \(BC\) є бісектрисою кута \(\angle ACK\), то за означенням бісектриси, вона ділить цей кут навпіл, отже,

Кути \(\angle BCK\) i \(\angle ABC\) – внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих \(AB\) i \(CK\) та січній \(BC\), тому вони рівні. Отже, \(\angle ABC=64^\circ.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Ймовірність випадкової події. Класичне означення ймовірності події.

Це завдання перевіряє вміння знаходити ймовірність події.

Всього у числі \(8\) цифр, серед них дві цифри \(5.\) Тоді імовірність того, що комп'ютерна програма навмання видалить цифру \(5\), за класичним означенням ймовірності дорівнює відношенню кількості цифр \(5\) у числі до загальної кількості цифр у цьому числі:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Означення розв'язку системи рівнянь з двома змінними та методи їх розв'язування.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь.

Додамо почленно обидва рівняння системи:

Звівши подібні доданки, отримаємо:

Пiдставимо отримане значення \(x=1\) в будь-яке з рівнянь системи, наприклад, в друге рівняння:

Отже, пара чисел \((1; -4)\) є розв'язком \((x_0; y_0)\) системи рівнянь. Визначимо суму:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання основних аксіом стереометрії та їх наслідків і вміння їх використовувати до розв'язування задач.

Через точку \(A\) в просторі можна провести єдину пряму \(c\), паралельну прямій \(b.\) Але через пряму \(c\) можна провести безліч площин, паралельних прямій \(b\) і лише одну площину, що містить пряму \(b.\) Тобто існує безліч площин, паралельних прямій \(b\), які проходять через точку \(A.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції.

Це завдання перевіряє вміння визначати аналітичний вираз функції за фрагментом її графіка.

Фрагмент графіка, зображений на рисунку, проходить через початок координат, тому має виконуватись рівність \(y(0)=0.\) Оскільки \(\cos 0=1\), то відповіді \(y=2\cos x\), \(y=\cos x\) не задовольняють цю умову. Для функцій \(y=2\sin x\), \(y=-2\sin x\) та \(y=\sin 2x\) вказана рівність виконується.

За рисунком функція досягає значення \(2\) в точці \(x=\frac{\pi}{2}\), тобто \(y\left(\frac{\pi}{2}\right)=2.\) Ця рівність виконується для функції \(y=2\sin x\mathord{:}\) $$ 2\cdot \sin \frac{\pi}{2}=2\cdot 1=2, $$ а для функцій \(y=\sin 2x\) i \(y=-2\sin x\) – ні:

Отже, на рисунку зображено фрагмент графіка функції \(y=2\sin x.\)

Зазначимо, що зображений на рисунку фрагмент графіка можна отримати з фрагмента графіка \(y=\sin x\) шляхом розтягнення його в два рази вздовж осі ординат, тоді кожна точка \((x_0; \sin x_0)\), що належить фрагменту графіка \(y=\sin x\) перейде у точку \((x_0; 2\sin x_0)\), що належить фрагменту графіка \(y=2\sin x\) (див. рисунок).

Тому для розв'язання цього завдання важливо вміти будувати графіки функцій \(y=\sin x\) та \(y=\cos x\) та виконувати перетворення графіків функцій, зокрема, будувати графік функції \(y=kf(x)\) за графіком функції \(y=f(x).\)

Відповідь: A.