ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Логарифмічні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші логарифмічні рівняння.

За означенням логарифмом числа \(b\) за основою \(a\) (позначають \(\log_a b\)) називають показник степеня, до якого треба піднести основу \(a\), щоб одержати число \(b.\) Отже, якщо \(\log_a b = t\), то \(b = a^t.\) Зазначимо, що \(a \gt 0\), \(a \ne 1\), \(b \gt 0.\)

Звідси випливає, що коренем рівняння \(\log_3 x = -1\) є число \(x = 3^{-1} = \frac{1}{3}.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Паралелограм та його властивості.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограма. Розглянемо окремо кожне твердження.

I. \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ\) – твердження є правильним, оскільки сума внутрішніх кутів будь-якого опуклого чотирикутника дорівнює \(360^\circ.\)

II. \(\angle B + \angle D = 180^\circ\) – це твердження неправильне. Протилежні кути паралелограма рівні, їх сума може дорівнювати \(180^\circ\) лише тоді, коли ці кути прямі. Але з рисунка видно, що кути \(B\) і \(D\) – тупі (їх градусна міра перевищує \(90^\circ\), отже, їх сума більша за \(180^\circ\)).

III. \(\angle B - \angle A \gt 0^\circ\) – ця нерівність рівносильна нерівності \(\angle B \gt \angle A.\) З рисунка видно, що це твердження є правильним. Отже, правильні твердження I і III.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати належність точки графіку функції.

Точка \((x_{0}; y_{0})\) належить графіку функції \(y = f(x)\), якщо її координати задовольняють умову \(f(x_{0}) = y_{0}\).

Перевіримо кожну з наведених точок:

А. Точка \((2; 7)\) не може належати графіку функції \(y = \frac{5 + x}{x - 2}\), оскільки абсциса цієї точки \(x = 2\) не входить до області визначення функції. При \(x=2\) знаменник дробу перетворюється на нуль, тому вираз не має змісту.

Б. \(\frac{5 + 1}{1 - 2} = -6 \ne 6\), точка \((1; 6)\) не належить графіку функції.

В. \(\frac{5 + (-3)}{-3 - 2} = -0{,}4 \ne 0{,}4\), точка \((-3; 0{,}4)\) не належить графіку функції.

Г. \(\frac{5 + 0}{0 - 2} = -2{,}5 \ne 2{,}5\), точка \((0; 2{,}5)\) не належить графіку функції.

Д. \(\frac{5 + 4}{4 - 2} = 4{,}5\), точка \((4; 4{,}5)\) належить графіку функції.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні дроби.

Це завдання перевіряє вміння спрощувати раціональні дроби, використовуючи основну властивість дробу: якщо чисельник і знаменник дробу домножити або розділити на одне і те ж саме відмінне від нуля число, то значення дробу не зміниться.

Дріб можна скоротити, якщо його чисельник і знаменник мають спільні множники. Оскільки \begin{gather*} 3x^{2}y = 3xy \cdot x,\\[7pt] 9xy^{3} = 3\cdot 3xy \cdot y^{2}=3xy\cdot 3y^2, \end{gather*} то спільним множником чисельника і знаменника є вираз \(3xy.\) Тоді

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Квадратні рівняння. Теорема Вієта.

Це завдання перевіряє вміння знаходити добуток коренів квадратного рівняння.

Перший спосіб. За теоремою Вієта, якщо зведене квадратне рівняння $$ x^{2} + px + q = 0 $$ має корені \(x_{1}, x_{2}\), то \begin{gather*} x_{1} + x_{2} = -p,\\[7pt] x_{1} \cdot x_{2} = q. \end{gather*} Задане рівняння $$ x^{2} + 6x - 55 = 0 $$ має два корені, оскільки його дискримінант

Тоді за теоремою Вієта їх добуток дорівнює \(-55.\)

Другий спосіб. Можна розв’язувати це завдання, не використовуючи теорему Вієта. Знайдемо корені заданого квадратного рівняння:

Тоді \(x_{1}\cdot x_{2} = (-11)\cdot 5 = -55.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші фігури на площині. Довжина відрізка.

Це завдання перевіряє вміння знаходити довжини відрізків, використовуючи основну властивість вимірювання відрізків.

Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які відрізок ділиться будь-якою його точкою.

Розділимо відрізок \(AB\) точками \(K\), \(L\), \(M\) на рівні відрізки \(AK\), \(KL\), \(LM\) та \(MB\) (див. рисунок).

Тоді довжина кожного з цих відрізків дорівнює $$ \frac{1}{4} AB = \frac{1}{4} \cdot 60 = 15\ \text{см}. $$ Нехай точки \(C\) і \(D\) – середини крайніх відрізків \(AK\) і \(MB\) відповідно. Тоді

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відсотки.

Це завдання перевіряє вміння записувати число у вигляді відсотка.

Щоб виразити число у відсотках, треба помножити його на \(100\ \%.\) Тоді $$ \frac{1}{5} \cdot 100\ \% = 20\ \%. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Система рівнянь з параметром.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати системи рівнянь залежно від значень параметра \(a.\)

Перетворимо систему, виконавши рівносильні перетворення

Побудуємо геометричний образ кожного рівняння в прямокутній системі координат.

1. З рівняння \(2|y-2|+3|x|=11-y\) виразимо \(y\) через \(x\), розкривши модуль \(|y-2|.\)

Якщо \(y\in(-\infty; 2)\), то \(2(-y+2)+3|x|=11-y\), звідки \(y=3|x|-7.\)

Якщо \(y\in[2; +\infty)\), то \(2(y-2)+3|x|=11-y\), звідки \(y=-|x|+5.\)

Таким чином, графіком рівняння \(2|y-2|+3|x|=11-y\) є об’єднання частин графіків двох функцій: \(y=3|x|-7\), якщо \(y\in(-\infty; 2)\), і \(y=-|x|+5\), якщо \(y\in[2; +\infty)\) (див. рисунок).

2. Геометричним образом рівняння \(|5x-2a|=|y|\) є сукупність двох прямих: \(y=5x-2a\) і \(y=-5x+2a.\) На рисунку зображено геометричні образи цього рівняння для певних значень параметра \(a.\) Зазначимо, що графік цього рівняння при кожному фіксованому значенні параметра \(a\) симетричний відносно прямої \(x=\frac{2}{5}a.\)

Після геометричної інтерпретації рівнянь системи $$ \left\{\begin{array}{l} 2\sqrt{y^2-4y+4}+3|x|=11-y,\\ 25x^2-20ax=y^2-4a^2, \end{array}\right. $$ зрозуміло, що єдине від’ємне значення параметра \(a\), при якому ця система матиме єдиний розв’язок буде лише у випадку, зображеному на рисунку.

В цьому випадку пряма \(y=5x-2a\) має пройти через точку \((-3; 2).\) З цієї умови і знаходимо значення параметра \(a{:}\) \(2=5\cdot(-3)-2a\), звідки \(a=-8{,}5.\)

Відповідь: \(-8{,}5.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла і поверхні обертання. Циліндр. Площа бічної поверхні циліндра.

Це завдання перевіряє знання формули площі бічної поверхні циліндра, вміння будувати переріз циліндра та знаходити зазначені відстані.

На рисунку зображено циліндр, точки \(A\) і \(B\), що лежать відповідно на колах верхньої та нижньої його основи, вісь циліндра \(OO_1.\)

Перерізом циліндра площиною, паралельною осі циліндра \(OO_1\), є прямокутник \(ALBC.\)

Відстань від точки \(O\) – центра нижньої основи – до заданої площини дорівнює довжині відрізка \(OK\), \(OK\ \perp\ BL\), де точка \(K\) – середина відрізка \(BL\) (оскільки радіус, перпендикулярний до хорди, ділить її навпіл), за умовою \(OK=2\) см. Для зручності введемо позначення: \(R\) – радіус основи циліндра, \(H\) – висота циліндра, \(BK=\frac{1}{2}BL=a.\) Шуканий відрізок \(AB\) є гіпотенузою прямокутного трикутника \(BLA.\) За теоремою Піфагора: $$ AB^2=4a^2+H^2. $$

Отже, щоб знайти довжину відрізка \(AB\), потрібно визначити висоту \(H\) і довжину відрізка \(BK.\) За умовою, площа утвореного перерізу дорівнює \(60\sqrt{2}\). Врахувавши, що площа прямокутника дорівнює добутку двох його суміжних сторін, записуємо рівняння: $$ 2aH=60\sqrt{2}, $$ тобто $$ aH=30\sqrt{2}. $$ Площа бічної поверхні циліндра радіуса \(R\) і висоти \(H\) дорівнює $$ S=2\pi RH, $$ отже, записуємо рівняння: $$ 2\pi RH=20\sqrt{30}\pi, $$ звідки $$ RH=10\sqrt{30}. $$ Розглянемо прямокутний трикутник \(BKO\), в якому відрізок \(OK\) є катетом. За теоремою Піфагора запишемо співвідношення: $$ a^2+4=R^2. $$ Отже, маємо систему трьох рівнянь з трьома невідомими:

У формулі для знаходження довжини відрізка \(AB\) радіус \(R\) не фігурує. Тому спочатку виключимо із системи змінну \(R.\) Поділивши перше рівняння на друге, дістанемо $$ \frac{R}{a}=\frac{1}{3}\sqrt{15}, $$ звідки $$ R=\frac{a}{3}\sqrt{15}. $$ Підставимо це значення в останнє рівняння системи: $$ a^2+4=\left(\frac{a}{3}\sqrt{15}\right)^2, $$ звідки \begin{gather*} a^2+4=\frac{5}{3}a^2,\\[6pt] a^2=6. \end{gather*} Ураховуючи друге рівняння, дістаємо \begin{gather*} H=\frac{30\sqrt{2}}{a},\\[6pt] H^2=\frac{1800}{a^2}=\frac{1800}{6}=300. \end{gather*} Таким чином,

Відповідь: \(18.\)