Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 1520

Завдання 1521 з 2199

Обчисліть значення виразу $4\sin^2 \alpha$, якщо $4\cos^2 \alpha=1.$

А$3$

Б$\frac 34$

В$\frac 14$

Г$4$

Д$0$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і почати аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє знання основної тригонометричної тотожності та вміння її застосовувати до перетворення тригонометричних виразів.

Для будь-якого кута $\alpha$ виконується рівність: $$ \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1. $$

I спосіб. Домножимо обідві частини цієї рівності на $4\mathord{:}$

$$ 4\sin^2 \alpha+4\cos^2 \alpha=4, $$

звідси

$$ 4\sin^2 \alpha=4-4\cos^2 \alpha. $$

Оскільки за умовою

$$ 4\cos^2 \alpha=1, $$

то отримаємо:

$$ 4\sin^2 \alpha=4-4\cos^2 \alpha=4-1=3. $$

II спосіб. Виразимо з основної тригонометричної тотожності $\sin^2 \alpha\mathord{:}$ $$ \sin^2 \alpha=1-\cos^2 \alpha. $$ Оскільки за умовою $$ 4\cos^2 \alpha=1, $$ то $$ \cos^2 \alpha=\frac 14, $$ тоді $$ \sin^2 \alpha=1-\cos^2 \alpha=1-\frac 14=\frac 34. $$ Звідки $$ 4\sin^2 \alpha=4\cdot\frac 34=3. $$

Зауваження. Правильну відповідь до завдання можна отримати, якщо навіть не знати (чи не пам'ятати) основної тригонометричної тотожності. Якщо знати, що $$ \cos 60^\circ=\frac 12, $$ тобто $\alpha=60^\circ$ задовольняє умову $$ 4\cos^2 \alpha=1, $$ а $$ \sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, $$ тоді $$ 4\sin^2 \alpha=4\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=3. $$

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1522 з 2199

Екрани телевізорів, зображених на рис. 1 i 2, мають форму прямокутників, відповідні сторони яких пропорційні. Діагоналі екранів цих телевізорів дорівнюють відповідно $32$ дюйма і $48$ дюймів. Визначте, у скільки разів площа екрана телевізора, зображеного на рис. 2, більша за площу екрана телевізора, зображеного на рис. 1.

Ав $1\mathord{,}5$ раза

Бу $16$ разів

Ву $2\mathord{,}56$ раза

Гу $4$ рази

Ду $2\mathord{,}25$ раза

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1523 з 2199

$\log_2 5+\log_2 1\mathord{,}6=$

А$3$

Б$3\mathord{,}3$

В$0\mathord{,}25$

Г$4$

Д$\log_2 6\mathord{,}6$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1524 з 2199

Якому проміжку належить число $\sqrt[3]{18}$?

А$[0; 1)$

Б$[1; 2)$

В$[2; 3)$

Г$[3; 4)$

Д$[4; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1525 з 2199

Прямі $a$ та $b$ мимобіжні. Які з наведених тверджень є правильними?

I. Прямі $a$ та $b$ перетинаються.

II. Прямі $a$ та $b$ лежать в одній площині.

III. Існує пряма, паралельна прямій $a$, що перетинає пряму $b.$

Алише І

Блише ІI

Влише І та ІІ

Глише ІII

ДI, II та ІII

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1526 з 2199

На рисунку жирними точками позначено річні мінімуми площі поверхні арктичного льоду, що спостерігалися в період з 2004 р. по 2014 р. (для наочності точки з'єднано відрізками). По горізонталі відмічено роки, а по вертикалі – площу поверхні льоду (у млн км$^2$). Користуючись наведеною інформацєю, визначте із вказаного періоду рік, у якому величина річного мінімуму площі поверхні льоду змінилась найбільше порівняно з поперденім роком.

А$2006$ р.

Б$2007$ р.

В$2009$ р.

Г$2012$ р.

Д$2013$ р.

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Графічне подання статистичної інформації.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, наведену у вигляді графіків або діаграм.

Щоб відповідсти на запитання, потрібно визначити на осі "роки" рік, в якому точка, що йому відповідає, віддалена від точки, що відповідає попередньому року, по вертикалі на найбільшу відстань.

З діаграми видно, що найбільші по вертикалі відстані спостерігаються між точками, що відповідають $2006$ р. $(5\mathord{,}8$ млн. км$^2)$ i $2007$ р. $(4\mathord{,}3$ млн. км$^2)$ та точками, що відповідають $2012$ р. $(3\mathord{,}4$ млн. км$^2)$ і $2013$ р. $(5\mathord{,}1$ млн. км$^2).$

Знайдемо різниці між річними мінімумами: $$ 5\mathord{,}8-4\mathord{,}3=1\mathord{,}5 $$ (зменшення у $2007$ р. порівняно з $2006$ р.) та $$ 5\mathord{,}1-4\mathord{,}3=1\mathord{,}8 $$ (збільшення у $2013$ р. порівняно з $2012$ р.)

Оскільки $1\mathord{,}8\gt 1\mathord{,}5$, то величина річного мінімуму площі поверхні льоду найбільше змінилася у $2013$ р. порівняно з $2012$ р. Отже, правильна відповідь $2013$ р.

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1527 з 2199

Задано арифметичну прогресію $(a_n)$, у якій різниця $d=0\mathord{,}5$, п'ятнадцятий член $a_{15}=12.$ Визначте перший член прогресії $a_1.$

А$24$

Б$12\mathord{,}5$

В$6$

Г$5$

Д$4\mathord{,}5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1528 з 2199

У прямокутній декартовій системі координат у просторі на осі $z$ вибрано точку $M$ (див. рисунок). Серед наведених варіантів укажіть можливі координати цієї точки.

А$(1; 0; 0)$

Б$(1; 1; 0)$

В$(0; 0; 1)$

Г$(0; 0; -1)$

Д$(0; 1; 0)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1529 з 2199

Спростіть вираз $$ \frac{a}{b(a-b)}-\frac{b}{a(a-b)}. $$

А$\frac{a+b}{ab}$

Б$\frac{1}{ab}$

В$\frac{1}{b-a}$

Г$\frac{a-b}{ab}$

Д$0$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Вирази з коренями. Формули скороченого множення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати арифметичні дії з дробовими виразами.

Щоб спростити вираз, зведемо дроби до спільного знаменника. На практиці дроби з різними знаменниками зводять до найпростішого (найменшого) спільного знаменника. Найпростішим спільним знаменником дробів є вираз $ab(a-b)$, який ділиться і на $b(a-b)$, і на $a(a-b).$ Зазначимо, що, наприклад, вираз

\begin{gather*} a(a-b)\cdot b(a-b)=ab(a-b)^2 \end{gather*}

також є спільним знаменником, проте він ділиться на спільний знаменник $ab(a-b)$, тому не є найпростішим.

Скористаємось основною властивістю дробів: дріб не зміниться, якщо його чисельник і знаменник домножити на один і той самий ненульовий вираз. Тоді чисельник і знаменник першого дробу домножимо на $a$, а другого – на $b\mathord{:}$

\begin{gather*} \frac{a}{b(a-b)}\cdot \frac aa=\frac{a^2}{ab(a-b)},\\[6pt] \frac{b}{a(a-b)}\cdot \frac bb=\frac{b^2}{ab(a-b)}. \end{gather*}

Тоді

$$ \frac{a}{b(a-b)}-\frac{b}{a(a-b)}=\frac{a^2-b^2}{ab(a-b)}. $$

Розкладемо чисельник на множники, скориставшись формулою різниці квадратів, і скоротимо отриманий дріб:

$$ \frac{a^2-b^2}{ab(a-b)}=\frac{(a+b)(a-b)}{ab(a-b)}=\frac{a+b}{ab}. $$

Запропонований спосіб розв'язання не є єдиноможливим. Вираз можна спростити, виконавши ще такі перетворення:

\begin{gather*} \frac{a}{b(a-b)}=\frac{(a-b)+b}{b(a-b)}=\frac{(a-b)}{b(a-b)}+\frac{b}{b(a-b)}=\frac 1b+\frac{1}{a-b},\\[6pt] \frac{b}{a(a-b)}=\frac{b-a+a}{a(a-b)}=\frac{-(a-b)+a}{a(a-b)}=-\frac 1a+\frac{1}{a-b}. \end{gather*}

Тоді

$$ \frac{a}{b(a-b)}-\frac{b}{a(a-b)}=\frac 1b+\frac{1}{a-b}-\left(-\frac 1a+\frac{1}{a-b}\right)=\frac 1b+\frac 1a=\frac{a+b}{ab}. $$

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1530 з 2199

Якому значенню серед наведених може дорівнювати довжина сторони $AC$ трикутника $ABC$, якщо $AB=3$ см, $BC=10$ см?

А$3$ см

Б$5$ см

В$7$ см

Г$11$ см

Д$15$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на