ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Теорема про три перпендикуляра.

Це завдання перевіряє знання аксіом та теорем стереометрії, означення перпендикулярних прямих у просторі.

Розглянемо кожне з тверджень.

I. За умовою пряма \(SB\) перпендикулярна до площини квадрата \(ABCD\), тому вона перпендикулярна до будь-якої прямої в цій площині. Отже, \(SB\ \perp\ AB\) і \(\angle SBA=90^\circ.\) Це твердження правильне.

II, III. Оскільки \(SB\ \perp\ AD\) і \(AB\ \perp\ AD\) (\(ABCD\) – квадрат), то за теоремою про три перпендикуляри \(\angle SAD=90^\circ.\) Отже, твердження III правильне.
Оскільки в трикутнику \(SAD\) не може бути двох прямих кутів, то \(\angle SAD\ne \angle SDA.\) Тому твердження II є неправильним.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Послідовності. Геометрична прогресія.

Це завдання перевіряє вміння знаходити невідомий член і знаменник геометричної прогресії, використовуючи означення та формулу загального члена.

Геометричною прогресією називають числову послідовність \((b_n)\) відмінних від нуля чисел, у якій частка від ділення будь-якого члена, починаючи з другого, на попередній є сталою величиною, яку позначають буквою \(q\) і називають знаменником геометричної прогресії. Отже, за означенням $$ \frac{b_{n+1}}{b_n}=q, $$ де \(n\in N\), \(q\ne 0.\) Звідси випливає рівність $$ b_{n+1}=b_nq. $$

Знаючи перший член \(b_1\) та знаменник \(q\), можна визначити будь-який член геометричної прогресії за формулою $$ b_n=b_1q^{n-1}. $$

Один з варіантів розв’язання завдання такий. Знайдемо знаменник прогресії:

Тоді \begin{gather*} b_3=b_2\cdot q=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8},\\[6pt] b_4=b_3\cdot q=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{16}. \end{gather*}

Можна також скористатися формулами: \(b_4=b_1\cdot q^3\) або \(b_4=b_2\cdot q^2.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графіки функцій. Періодичність функцій.

Це завдання перевіряє знання графіків тригонометричних функцій і вміння використовувати періодичність функції для розв’язування задач.

Функція \(y=f(x)\) називається періодичною з періодом \(T\), якщо для будь-якого \(x\) з області визначення цієї функції виконується тотожність \(f(x)=f(x+T).\)

Оскільки функція \(y=\cos x\) періодична з найменшим додатним періодом \(2\pi\), то $$ \cos(x+2\pi)=\cos x. $$ Графік функції \(y=\cos x\) має вигляд:

Отже, фрагмент графіка функції \(y=\cos x\) на проміжку \(\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]\) зображений на рисунку Б.

Завдання ще можна розв’язати так. Обчислимо значення функції $$ y=\cos(x+2\pi) $$ в «зручній» точці \(x=0\), що належить проміжку \(\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]{:}\)

Отже, точка \((0; 1)\) належить графіку заданої функції. Лише на рисунку Б точка \((0; 1)\) належить графіку функції. Тому лише цей рисунок і може бути відповіддю до завдання.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Щоб спростити заданий вираз, потрібно знати формули скороченого множення (різниці квадратів), вміти зводити дроби до спільного знаменника і ділити дробові вирази. Перетворимо заданий вираз у такій послідовності:

1) зведемо вираз \(1-\dfrac{1}{a}\) до спільного знаменника: $$ 1-\dfrac{1}{a}=\dfrac{a-1}{a}. $$

2) подамо вираз \(a^2-1\) у вигляді добутку за формулою різниці квадратів: $$ a^2-1=(a-1)(a+1). $$

3) поділимо отриманий добуток на \(\dfrac{a-1}{a}{:}\)

Це завдання можна розв’язувати ще так. Домноживши чисельник і знаменник заданого дробу на \(a\), одержимо:

$$ \dfrac{a^2-1}{1-\dfrac{1}{a}}=\dfrac{a(a^2-1)}{a\left(1-\dfrac{1}{a}\right)}=\dfrac{a(a-1)(a+1)}{a-1}=a(a+1). $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Вирази із коренями.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати значення числових виразів із коренями.

За означенням арифметичного квадратного кореня \(\sqrt{a^2}=|a|\), оскільки арифметичний квадратний корінь завжди є числом невід’ємним. Геометрично модуль числа – це відстань на координатній прямій від точки, що зображує це число, до початку відліку, тому $$ \sqrt{(-2)^2}=|-2|=2. $$ За означенням, \(\sqrt[\scriptstyle 3]{a^3}=a\), оскільки корінь кубічний існує з будь-якого числа. Тоді

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Означення розв’язку системи рівнянь з двома змінними та методи їх розв’язування.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати системи рівнянь.

З першого рівняння системи виразимо змінну \(y\) через змінну \(x{:}\) $$ y=\frac{3x}{2}. $$

Підставимо цей вираз замість змінної \(y\) у друге рівняння системи: $$ x-\frac{3x}{2}=12. $$

Розв’яжемо отримане рівняння: \begin{gather*} 2x-3x=24,\\[7pt] -x=24,\\[7pt] x=-24. \end{gather*} Тоді $$ y=\frac{3}{2}\cdot(-24)=-36. $$ Отже, пара \((-24; -36)\) є розв’язком заданої системи. Тому \(x_0=-24.\)

Зазначимо, що для отримання правильної відповіді не обов’язково систему розв’язувати повністю, достатньо лише виразити з першого (другого) рівняння змінну \(y\) через змінну \(x\), отриманий вираз підставити замість змінної \(y\) у друге (перше) рівняння системи, після чого розв’язати отримане рівняння. Його корінь \(x=x_0\) і буде відповіддю до завдання.

Другий спосіб. Спочатку помножимо обидві частини другого рівняння на \(4{:}\) $$ 4x-4y=48, $$ після чого додамо рівняння $$ 4y=6x $$ та $$ 4x-4y=48. $$ Одержимо: \begin{gather*} 4x=6x+48,\\[7pt] -2x=48,\\[7pt] x=-24. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Раціональні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні рівняння зі змінною у знаменнику дробу.

При розв’язанні таких рівнянь треба враховувати ОДЗ (область допустимих значень) рівняння: $$ 2x\ne 0{,}2-3x\ne 0. $$ Два дроби з однаковими чисельниками є рівними, якщо рівні їхні знаменники. Отже, початкове рівняння на його ОДЗ еквівалентне рівнянню $$ 2-3x=2x, $$ звідки \begin{gather*} 5x=2,\\[6pt] x=\frac{2}{5}=0{,}4. \end{gather*} Цей корінь задовольняє ОДЗ, отже є коренем початкового рівняння.

Зауважимо, що задане рівняння можна розглядати як пропорцію. Враховуючи, що добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку її середніх членів, отримаємо: $$ 1\cdot (2-3x)=2x\cdot 1, $$ тобто $$ 2-3x=2x. $$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Суміжні кути. Трикутники. Зовнішній кут трикутника. Теорема про суму кутів трикутника.

Це завдання перевіряє вміння знаходити градусні міри кутів.

Для розв’язання завдання потрібно знати такі теореми.

Теорема 1. Сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює \(180^\circ.\)

Теорема 2. Сума суміжних кутів дорівнює \(180^\circ.\)

Наведемо декілька способів розв’язання цього завдання.

Перший спосіб. Розглянемо трикутник \(ABC\) (див. рисунок), у якого \(\angle B=85^\circ\), \(\angle MAB\) – зовнішній кут трикутника, суміжний з кутом \(A\), тоді $$ \angle A=180^\circ-\angle MAB=40^\circ. $$ Знаючи два внутрішніх кути трикутника \(ABC\), можемо визначити градусну міру його третього кута: $$ \angle C=180^\circ-(40^\circ+85^\circ)=55^\circ. $$ Оскільки за умовою \(\angle ACN=90^\circ\), то $$ 55^\circ+\alpha=90^\circ, $$ звідки \(\alpha=35^\circ.\)

Другий спосіб. Опустимо з вершини \(B\) трикутника \(ABC\) на сторону \(AC\) перпендикуляр \(AD\) (див. рисунок). З паралельності прямих \(BD\) і \(CN\) випливає, що \(\angle DBC=\angle BCN\) як внутрішні різносторонні. Тому шуканий кут \(\alpha\) дорівнює куту \(DBC.\) Маємо:

Третій спосіб. Скористаємось теоремою. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх, не суміжних з ним. Отже, \(\angle BCP=\angle A+\angle B\) (див. рисунок). Оскільки

то

Звідки одержуємо:

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Декартова система координат на площині. Коло.

Це завдання перевіряє знання прямокутної системи координат на площині, координати точки та вміння визначати координати центра кола.

Оскільки прямі \(x=2\) і \(x=6\), що паралельні осі ординат, є дотичними до кола, то діаметр кола дорівнює відстані між цими прямими, тобто дорівнює \(6-2=4\), відповідно радіус кола дорівнює \(2\) (див. рисунок). Тому абсциса центра кола дорівнює $$ x_0=2+2=6-2=\frac{2+6}{2}=4. $$ Оскільки коло дотикається осі абсцис, а саме коло розміщене над віссю \(x\), то ордината центра кола дорівнює його радіусу, тобто \(y_0=2.\)

Отже, координати центра кола дорівнюють \((4; 2).\)

Відповідь: Д.