ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє знання формул зведення та властивостей функції \(y = \sin x\).

Спочатку спростимо заданий вираз. Оскільки $$ 415^\circ = 360^\circ + 55^\circ, $$ а \(360^\circ\) є періодом функції \(y = \sin x\), то $$ \sin 415^\circ = \sin(360^\circ + 55^\circ) = \sin 55^\circ. $$

Оцінимо значення виразу \(\sin 55^\circ.\) Оскільки функція \(y = \sin x\) зростає на проміжку \((-90^\circ; 90^\circ)\), то $$ \sin 45^\circ \lt \sin 55^\circ \lt \sin 60^\circ, $$ тобто $$ \frac{\sqrt{2}}{2} \lt \sin 55^\circ \lt \frac{\sqrt{3}}{2}. $$

Отже, значення виразу \(\sin 415^\circ\) належить проміжку \(\left( \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє знання формул скороченого множення, а саме різниці квадратів: $$ a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b). $$

Скориставшись цією формулою, отримуємо:

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Показникові нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові нерівності.

Запишемо число \(\frac{1}{36}\) як степінь з основою \(6\mathord{:}\) $$ \frac{1}{36} = \frac{1}{6^{2}} = 6^{-2}. $$ Отримуємо нерівність: \(6^{x} \lt 6^{-2}\).

Оскільки основа \(6 \gt 1\), то задана нерівність рівносильна нерівності \(x \lt -2\). Запишемо множину розв’язків нерівності у вигляді інтервалу: \(x \in (-\infty; -2).\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання аксіом та теорем стереометрії, означення перпендикулярних прямих у просторі.

Через пряму \(a\) та точку \(M\), що не належить цій прямій, можна провести єдину площину (позначимо її через \(\alpha\)), а в площині \(\alpha\) через точку \(M\) можна провести єдину пряму, перпендикулярну до прямої \(a.\)

Отже, через точку \(M\), що не належить прямій \(a\), можна провести лише одну пряму, яка перетинає пряму \(a\) і перпендикулярна до неї.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші текстові задачі арифметичним способом.

Розв’язання завдання зводиться до знаходження чисел за відомим відношенням між ними. Оскільки перший фахівець отримав четверту частину всіх грошей, то він отримав $$ 3000 \cdot \frac{1}{4} = 750\ \text{грн}. $$ Тоді другий фахівець, що отримав решту, отримав $$ 3000 - 750 = 2250\ \text{грн}. $$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Лінійні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння: щоб вказати проміжок, якому належить корінь заданого лінійного рівняння, потрібно спочатку його знайти.

Розділимо обидві частини рівняння на \(0{,}5\mathord{:}\) \begin{gather*} 0{,}5(x - 4) = 1{,}5,\\[6pt] x - 4 = \frac{1{,}5}{0{,}5},\\[6pt] x - 4 = 3. \end{gather*}

Перенесемо \(-4\) в праву частину рівняння, змінивши знак на протилежний: $$ x = 3 + 4, $$ \(x = 7\) – корінь рівняння, він належить проміжку \((4; 8]\).

Зазначимо, що розділити вираз на \(0{,}5\) – це рівносильно множенню його на \(2\), тому обидві частини заданого рівняння можна спочатку не розділити на \(0{,}5\), а помножити на \(2\mathord{:}\) $$ 2 \cdot 0{,}5(x - 4) = 2 \cdot 1{,}5, $$ звідки \begin{gather*} x - 4 = 3, \\[7pt] x = 7. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Вертикальні кути. Трикутники. Теорема про суму кутів трикутника.

Це завдання перевіряє знання властивостей вертикальних кутів та вміння користуватися теоремою про суму кутів трикутника.

Катет \(CB\) і гіпотенуза \(AB\) лежать на прямих, що перетинаються під кутом \(55^\circ\) (див. рисунок). Зазначений на рисунку кут, градусна міра якого дорівнює \(55^\circ\), та \(\angle ABC\) є вертикальними. Оскільки вертикальні кути рівні, то \(\angle ABC = 55^\circ\).

Сума кутів трикутника дорівнює \(180^\circ\), тобто $$ \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ. $$ За умовою трикутник \(ABC\) є прямокутним: \(\angle ACB = 90^\circ\). Отже, $$ \angle BAC = 180^\circ - (90^\circ + 55^\circ) = 35^\circ. $$

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Комбінації геометричних тіл.

Це завдання перевіряє вміння будувати комбінацію двох геометричних тіл і використовуючи їх властивості, знаходити об’єм конуса.

На рисунку зображено конус, навколо якого описано трикутну піраміду \(SABC.\) Точка \(O\) – центр кола основи конуса – одночасно є основою висоти конуса і висоти описаної навколо нього піраміди. Коло основи конуса є колом, вписаним у трикутник \(ABC\) (за означенням конуса, вписаного в піраміду). Твірна \(SK = 4\), \(S_{\Delta ABC} = 50\sqrt{3}\), периметр трикутника \(ABC\) дорівнює \(50.\)

Для обчислення об’єму \(V\) конуса потрібно знати його радіус \(OK\) та висоту \(SO\): $$ V = \frac{1}{3}\pi OK^{2} \cdot SO. $$ Використаємо формулу $$ S_{\Delta ABC} = pr, $$ де \(p\) – півпериметр трикутника \(ABC\), \(r = OK.\) Радіус \(OK\) визначаємо за цією формулою:

У прямокутному трикутнику \(SOK\) відома гіпотенуза \(SK\) та катет \(OK.\) За теоремою Піфагора визначаємо висоту конуса:

Тоді

Відповідь: \(8.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Формули скороченого множення.

Це завдання перевіряє вміння спрощувати буквений вираз, використовуючи формули скороченого множення, винесення спільного множника за дужки, зведення дробів до спільного знаменника і скорочення дробів.

Щоб спростити вираз, застосуймо формули скороченого множення:

Підставляємо значення \(a = 0{,}25\), \(b = 4{,}5\) в отриманий вираз: $$ \frac{3}{4{,}5 - 2 \cdot 0{,}25} = 0{,}75. $$

Відповідь: \(0{,}75.\)