ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші фігури на площині. Вертикальні кути. Суміжні кути.

Це завдання перевіряє знання основних властивостей вертикальних та суміжних кутів, які відносяться до найпростіших геометричних фігур на площині.

Нагадаємо, що суміжними називають два кути, у яких одна сторона спільна, а інші є доповняльними променями. На рис. 1 кути \(AOC\) та \(COB\) є суміжними.

Вертикальними називаються два кути, в яких сторони одного кута є доповнювальними променями сторін другого. На рис. 2 кути \(AOB\) та \(COD\) є вертикальними. Вертикальними також є кути \(AOD\) та \(BOC.\)

Проаналізуємо наведені твердження.

I. Вертикальні кути є рівними, але їх сума дорівнює \(180^\circ\) лише тоді, коли ці кути прямі. Тому твердження I не є правильним.

II. Суміжні кути в сумі утворюють розгорнутий кут, градусна міра якого дорівнює \(180^\circ.\) Отже, твердження II є правильним.

III. Кут називається гострим, якщо його градусна міра менше \(90^\circ\), і тупим, якщо його градусна міра більше \(90^\circ\) і менше \(180^\circ.\) Їх сума не обов’язково дорівнює \(180^\circ\), а дорівнює \(180^\circ\) лише тоді, коли вони суміжні. Отже, твердження III не є правильним.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Корінь рівняння.

Це завдання перевіряє знання та розуміння означення кореня рівняння.

Число \(a\) є коренем рівняння \(f(x)=g(x)\), якщо при його підстановці у рівняння замість змінної \(x\) отримаємо числову тотожність: \(f(a)=g(a)\), тобто ліва і права частини рівняння набувають однакових значень. Щоб отримати відповідь на запитання завдання, можна розв’язувати окремо кожне з наведених рівнянь, або ж скористатися означенням кореня рівняння. Підставимо число \(2\) у кожне з наведених рівнянь.

А. Дріб \(\frac{a}{b}\) дорівнює нулю лише тоді, коли чисельник \(a=0\) і знаменник \(b\ne 0.\) Чисельник рівняння \(\frac{1}{x-2}=0\) дорівнює \(1\) незалежно від значення \(x.\) Отже, це рівняння коренів не має.

Б. \(2^2+4=4+4=8\ne 0.\) Це означає, що число \(2\) не є коренем рівняння \(x^2+4=0.\) Окрім цього зазначимо, що вираз \(x^2+4\) за будь-яких \(x\) набуває лише додатних значень, точніше, дорівнює \(4\), якщо \(x=0\), та більше \(4\), якщо \(x\ne 0.\)

В. \(5\cdot 2+12=10+12=22\ne 2\) – число \(2\) не є коренем рівняння.

Г. \(\frac{3\cdot 2-6}{2}=\frac{6-6}{2}=0=0\) – число \(2\) є коренем рівняння.

Д. \(2+2=4\ne 2\) – число \(2\) не є коренем рівняння.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Система координат у просторі. Вектори.

Це завдання перевіряє вміння визначати координати вектора, зображеного на рисунку.

Нехай точки \(A(x_1; y_1; z_1)\) та \(B(x_2; y_2; z_2)\) є відповідно початком та кінцем вектора \(\overrightarrow{AB}.\) Тоді вектор \(\overrightarrow{AB}\) має координати \((x_2-x_1; y_2-y_1; z_2-z_1).\) З рисунка видно, що вектор \(\overrightarrow{OA}\) лежить на осі аплікат, його початком є точка \(O(0; 0; 0)\), а кінцем – точка \(A(0; 0; 3).\) Отже, вектор \(\overrightarrow{OA}\) має координати \((0-0; 0-0; 3-0)=(0; 0; 3).\)

Зауважимо, що коли точка \(O\) є початком координат, то координати вектора \(\overrightarrow{OA}\) збігаються з координатами точки \(A.\) Отже, правильна відповідь В.

Також важливо пам’ятати, що якщо вектор паралельний одній з осей координат, то у нього відмінна від нуля лише одна координата, наприклад, якщо у просторі вектор \(\overrightarrow{a}\) паралельний осі ординат, то він має координати \((0; y; 0)\), де \(y\ne 0.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графіки елементарних функцій.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати графік функції, заданої формулою.

Функція \(y=\frac{5}{x}\) визначена для всіх дійсних значень аргументу, крім значення \(x=0\) (на \(0\) ділити не можна), на проміжку \((0; +\infty)\) набуває лише додатних значень, а на проміжку \((-\infty; 0)\) – лише від'ємних. Отже, графік шуканої функції розміщений у першій та третій координатних чвертях і не перетинає вісь ординат. Серед наведених на рисунках графіків ці умови виконуються лише для графіка на рисунку Г. Отже, відповідь – Г.

Охарактеризуємо детальніше функцію \(y=\frac{5}{x}\). Ця функція є окремим випадком оберненої пропорційності \(y=\frac{k}{x}\), де \(k\ne 0\), число \(k=5\) – коефіцієнт оберненої пропорційності. Графік оберненої пропорційності називають гіперболою.

Зазначимо, що графік функції \(y=\frac{5}{x}\) можна отримати з графіка функції \(y=\frac{1}{x}\) (див. рисунок) за допомогою його розтягнення в \(5\) разів уздовж осі \(y.\)

Проаналізуємо решту наведених на рисунках ескізів графіків.

А. Зображена на рисунку лінія може бути ескізом графіка показникової функції \(y=5^x\), адже цій функції притаманні такі властивості: вона є зростаючою та \(R\), набуває лише додатних значень, графік проходить через точки \((0; 1)\) та \((1; 5)\) (\(5^0=1\) та \(5^1=5\)).

Б. Є всі підстави вважати, що на рисунку зображено ескіз графіка логарифмічної функції \(y=\log_5 x\), яка визначена лише для додатних значень аргументу, є зростаючою, графік проходить через точки \((1; 0)\) та \((5; 1)\), оскільки \(\log_5 1=0\) та \(\log_5 5=1.\)

В. На рисунку зображено пряму, яка проходить через точки \((0; 0)\) та \((1; 5)\), її рівняння \(y=5x.\)

Д. На рисунку зображено ескіз графіка функції \(y=\frac{5}{|x|}\). Графік цієї функції симетричний відносно осі ординат і збігається з графіком функції \(y=\frac{5}{x}\) на проміжку \((0; +\infty).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Арифметичні дії.

Це завдання перевіряє вміння виконувати арифметичні дії з буквениими виразами.

Під час виконання завдання важливо правильно розкрити дужки, перед якими стоїть знак «–». Якщо перед дужками стоїть знак «–», то дужки можна прибрати, змінивши знак всіх доданків, що стоять у дужках, на протилежні. Підставимо у вираз \(7-m\) замість \(m\) вираз \(n-1{:}\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь графічним методом, рівняння з параметром.

Розв'яжемо рівняння графічно. Розв'язок системи рівнянь – точки перетину графіків.

1) \(x^2+y^2=81\) коло з центром \((0; 0)\) та радіусом \(9.\)

2) \((x+2)^2+y^2=a^2\) коло з центром \((-2; 0)\) та радіусом \(a.\)

Система має єдиний розв'язок за умови внутрішнього або зовнішнього дотику двох кіл.

Найбільше значення параметра \(a\), за якого система має єдиний розв'язок \(a=11.\)

Відповідь: \(11.\)