ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло. Трикутник. Подібність трикутників.

Це завдання перевіряє вміння визначати відстань між центрами заданих кіл, використовуючи подібність відповідних трикутників.

Нехай точка \(O\) – центр більшого кола, а точки \(O_1\) і \(O_2\) – центри двох рівних менших кіл (див. рисунок).

Центри кіл, що мають внутрішній дотик, та точка їх дотику лежать на одній прямій, тоді

Рівнобедрені трикутники \(AOB\) (\(AO=BO\)) і \(O_1OO_2\) (\(OO_1=OO_2\)), що мають спільний \(\angle O\), є подібними. Тому маємо

звідки \(O_1O_2=7{,}5\) см.

Відповідь: \(7{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Метод інтервалів. Основна логарифмічна тотожність.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати основну логарифмічну тотожність для спрощення виразів, що містять логарифмічну функцію, та розв’язувати нерівності, що зводяться до раціональних.

Враховуючи, що аргументом логарифмічної функції може бути лише додатне число, запишемо ОДЗ цієї нерівності: \(-2x\gt 0\), звідки \(x\lt 0.\) Скористаємося основною тригонометричною тотожністю: $$ 2^{\log_2(-2x)}=-2x, $$ тоді нерівність набуває вигляду $$ x^2-2x-15\lt 0. $$ Розв’яжемо отриману нерівність методом інтервалів.

Знайдемо нулі функції \begin{gather*} y=x^2-2x-15{:}\\[7pt] x_1=-3,\\[7pt] x_2=5. \end{gather*} Тоді нерівність можна записати у вигляді $$ (x+3)(x-5)\lt 0. $$ Визначимо знаки функції $$ y=x^2-2x-15 $$ на проміжках \((-\infty; -3)\), \((-3; 5)\) та \((5; +\infty)\) (див. діаграму), звідки \(x\in(-3; 5).\)

Зауважимо, що на діаграмі точки \(x=-3\) та \(x=5\) не зафарбовані з тих міркувань, що ці точки не є розв’язками строгої нерівності $$ x^2-2x-15\lt 0. $$ Ураховуючи ОДЗ початкової нерівності, тобто нерівність \(x\lt 0\), отримаємо множину її розв’язків \((-3; 0).\) Ця множина містить два цілі розв’язки \(x=-2\) та \(x=-1.\) Тому сума всіх цілих розв’язків заданої нерівності дорівнює $$ -2-1=-3. $$

Відповідь: \(-3.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє знання тригонометричних формул: основної тригонометричної тотожності, формули синуса подвійного кута та вміння їх застосовувати для розв’язування задач.

1 спосіб. Піднесемо ліву і праву частини рівності $$ \sin\alpha +\cos\alpha=1{,}2 $$ до квадрата: \begin{gather*} (\sin\alpha+\cos\alpha)^2=1{,}2^2,\\[7pt] \sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha=1{,}44. \end{gather*} За основною тригонометричною тотожністю $$ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1, $$ тоді \begin{gather*} 2\sin\alpha\cos\alpha+1=1{,}44,\\[6pt] 2\sin\alpha\cos\alpha=1{,}44-1=0{,}44. \end{gather*}

2 спосіб. Із початкового рівняння виражаємо, наприклад, \(\sin\alpha\) через \(\cos\alpha{:}\) $$ \sin\alpha=1{,}2-\cos\alpha, $$ та підставляємо в основну тригонометричну тотожність: $$ (1{,}2-\cos\alpha)^2+\cos^2\alpha=1. $$ Після піднесення до квадрата та зведення подібних доданків отримаємо квадратне рівняння відносно \(\cos\alpha{:}\) $$ 2\cos^2\alpha-2{,}4\cos\alpha+0{,}44=0. $$

Розв’язавши його, знаходимо $$ \cos\alpha=0{,}6\pm\sqrt{0{,}14}. $$ Звідки $$ \sin\alpha=0{,}6\mp\sqrt{0{,}14}. $$ Тоді

Відповідь: \(0{,}44.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції.

Це завдання перевіряє вміння знаходити координати точки, що належить графіку функції.

Точка \((x_0; y_0)\) належить графіку функції \(y=f(x)\), якщо її координати задовольняють умову \(y_0=f(x_0).\)

Якщо точка \((x_0; 4)\) належить графіку функції $$ y=\sqrt{2x^2+x+1}, $$ то має виконуватися рівність: $$ 4=\sqrt{2x_0^2+x_0+1}. $$

Звідси після піднесення лівої і правої частин до квадрата дістанемо: \begin{gather*} 2x_0^2+x_0+1=16,\\[7pt] 2x_0^2+x_0-15=0,\\[7pt] x_0=2{,}5\ \text{або}\ x_0=-3. \end{gather*}

Оскільки за умовою \(x_0\gt 0\), то \(x_0=2{,}5.\)

Відповідь: \(2{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі з практичним змістом на відсоткові розрахунки.

За наданою квитанцією, всього користувачем спожито \(115\ \text{кВт}\cdot \text{год}\), з них \(75\ \text{кВт}\cdot \text{год}\) є пільговими. Обчислимо вартість \(75\ \text{кВт}\cdot \text{год}\) за звичайним тарифом \(0{,}28\) грн: $$ 75\cdot 0{,}28=21\ \text{грн}. $$ Оскільки за умовою на \(75\ \text{кВт}\cdot \text{год}\) надається пільга, то він має сплатити \(75\ \%\) від їхньої вартості.

Складаємо пропорцію: \begin{gather*} 21\ \text{грн}\ —\ 100\ \%,\\[7pt] x\ \text{грн}\ —\ 75\ \%. \end{gather*}

Тоді $$ x=\frac{21\cdot 75}{100}=15{,}75\ \text{грн}. $$

На залишок $$ 115-75=40\ \text{кВт}\cdot \text{год} $$ пільга не надається. Тому їх вартість складає $$ 40\cdot 0{,}28=11{,}2\ \text{грн}. $$

Обчислимо загальну вартість спожитої електроенергії: $$ 15{,}75+11{,}2=26{,}95\ \text{грн}. $$

Відповідь: \(26{,}95.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їх перетворення. Логарифмічні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати перетворення логарифмічних та раціональних виразів.

1. Запишемо дріб $$ \frac{x+y}{y} $$ у вигляді суми двох доданків: $$ \frac{x+y}{y}=\frac{x}{y}+\frac{y}{y}=\frac{x}{y}+1. $$

Оскільки за умовою \(\dfrac{x}{y}=\dfrac{1}{4}\), то

2. Оскільки різниця логарифмів з однією основою дорівнює логарифму частки їх аргументів, то

$$ \log_2 x-\log_2 y=\log_2\frac{x}{y}. $$

Підставимо в отриманий вираз замість \(\frac{x}{y}\) значення \(\frac{1}{4}\) і виконаємо перетворення:

$$ \log_2\frac{x}{y}=\log_2\frac{1}{4}=\log_2 2^{-2}=-2\cdot\log_2 2=-2. $$

Відповідь: 1. \(1{,}25.\)
                   2. \(-2.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Ромб та його властивості. Площа ромба. Теорема Піфагора.

Це завдання перевіряє вміння знаходити довжину висоти та площу ромба. Для розв’язання завдання потрібно знати означення ромба та його властивості, формулу його площі та вміти використовувати теорему Піфагора для знаходження невідомих елементів прямокутного трикутника.

Нехай \(ABCD\) – заданий ромб, \(DK\) – висота ромба (див. рисунок).

Оскільки точка \(K\) лежить на стороні ромба, то її довжина дорівнює сумі довжин відрізків \(BK\) та \(KC{:}\)

1. У прямокутному трикутнику \(DKC\) катет \(KC = 6\) см, гіпотенуза \(DC = 10\) см. За теоремою Піфагора визначаємо довжину перпендикуляра \(DK{:}\)

2. Площу ромба можна обчислити за формулою $$ S = a \cdot h, $$ де \(a\) – сторона ромба, \(h\) – висота ромба. Обчислимо площу ромба \(ABCD{:}\)

Відповідь: 1. \(8.\)
                   2. \(80.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Мода, медіана, розмах ряду даних.

Це завдання перевіряє вміння визначати характеристики ряду даних (моду, медіану, середнє значення і розмах) за наданою таблицею частот.

Визначимо об’єм ряду даних \((n)\) – кількість усіх його елементів: елемент \(5\) зустрічається тричі, елемент \(7\) – \(4\) рази, елемент \(9\) – двічі, елемент \(10\) – один раз, елемент \(12\) – \(5\) разів, елемент \(15\) – тричі, елемент \(16\) – один раз, елемент \(18\) – один раз, тому

1. Розмахом \((R)\) ряду даних називається різниця між найбільшим та найменшим елементами ряду даних: $$ R=18-5=13. $$ Отже, 1 – Д.

2. Модою \((M_o)\) називається значення ряду даних, яке має найбільшу частоту, тобто зустрічається найчастіше. З таблиці видно, що найчастіше зустрічається у ряді даних елемент \(12\), тому мода \(M_o=12.\) Отже, 2 – Г.

3. Медіаною \((M_e)\) упорядкованого ряду даних, що має парну кількість елементів, називається середнє арифметичне двох чисел, що стоять посередині цього ряду. У нашому випадку медіана – це середнє арифметичне \(10\text{-го}\) і \(11\text{-го}\) елементів ряду даних: $$ M_e=\frac{10+12}{2}=11. $$ Отже, 3 – Б.

4. Середнім значенням ряду даних \(\overline{x}\) називається середнє арифметичне всіх його елементів:

Отже, 4 – А.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – Б, 4 – A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції. Основні властивості функції: парність, періодичність, монотонність. Область визначення функції.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою, зокрема, визначати належність точки графіку заданої функції, знаходити область визначення функції, визначати найменше значення функції. Для розв’язання завдання потрібно також знати властивості симетрії графіків парних та непарних функцій.

Розглянемо кожну з функцій A – Д окремо.

А. Функція $$ y=\frac{2}{x-2} $$ визначена для всіх значень \(x\), при яких знаменник \(x-2\) відмінний від нуля, тобто при \(x\ne 2.\) Тому областю визначення цієї функції є об’єднання інтервалів \((-\infty; 2)\cup (2; +\infty).\)
Отже, 3 – А.

Б. Графіком квадратичної функції \(y=(x+2)^2\), або $$ y=x^2+4x+4 $$ є парабола, яку можна отримати перенесенням параболи, заданої рівнянням \(y=x^2\), на \(2\) одиниці ліворуч (див. рисунок).

З рисунка видно, що графік функції \(y=(x+2)^2\) не є симетричним відносно осі \(y\), а найменшого значення ця функція набуває в точці \(x=-2\), яка є абсцисою вершини параболи. Можна міркувати інакше. Оскільки вираз \((x+2)^2\), який є повним квадратом, набуває лише невід’ємних значень, точніше, \((x+2)^2=0\), якщо \(x=-2\), і \((x+2)^2\gt 0\), якщо \(x\ne -2\), то він набуває найменшого значення, якщо \(x=-2.\) Отже, 2 – Б.

В. Графік показникової функції \(y=3^x\) проходить через точку \((0; 1)\), оскільки \(3^0=1.\) Ця функція є зростаючою на всій області визначення – проміжку \((-\infty; +\infty).\) Отже, більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції. Тому графік функції \(y=3^x\) не є симетричним відносно осі \(y.\) Можна також скористатися твердженням про те, що симетрією відносно осі ординат володіє лише графік парної функції. Функція \(y=3^x\) не є парною, оскільки умова \(y(-x)=y(x)\), тобто \(3^{-x}=3^x\) виконується лише в одній точці \(x=0.\) Для всіх \(x\ne 0\) ця рівність не виконується. Отже, 1 – В.

Г. Функція \(y=|x|\) є парною, оскільки для всіх \(x\in (-\infty; +\infty)\) виконується умова $$ y(x)=y(-x):|-x|=|x|. $$ Тому її графік симетричний відносно осі \(y.\) Отже, 4 – Г.

Д. Функція \(y=x^3\) визначена на всій дійсній осі, зростає на всій області визначення, тому не існує жодної точки, у якій вона набуває найменшого значення. Точка \((0; 1)\) не належить графіку функції, оскільки її координати не задовольняють рівняння функції: \(1\ne 0^3.\) Функція \(y=x^3\) для будь-якого дійсного значення \(x\) задовольняє умову $$ y(-x)=-y(x):(-x)^3=-x^3, $$ тобто є непарною, тому її графік симетричний відносно початку координат, а не відносно осі \(y.\) Отже, жодне з наведених тверджень не є правильним для функції \(y=x^3.\)

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – А, 4 – Г.