ТЕМА: Лінійні нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати найпростіші лінійні нерівності.

$$ x\in [0\mathord{,}5; +\infty). $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Похідна функції. Таблиця похідних і правила диференціювання.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати похідні функцій і похідну суми двох функцій.

За правилом визначення похідної суми:

і похідної степеневої функції:

визначаємо похідну функції \(y=x^3-5.\)

Похідна сталої функції \(\mathrm{c}'=0.\) Отже, \(5'=0.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Коло та круг.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості кола для розв’язування планіметричних задач практичного змісту.

Градусна міра повного кута дорівнює \(360^\circ.\) Якщо поділити його на \(12\) рівних частин, то кожна з них дорівнюватиме \(30^\circ.\)

Кут між хвилинною і годинниковою стрілками на циферблаті містить \(5\) таких кутів $$30^\circ\cdot 5=150^\circ.$$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Прямі та площини в просторі.

Завдання скеровано на перевірку знання аксіом стереометрії, взаємного розміщення прямих у просторі.

Скористаймося аксіомою паралельності: через точку, що не лежить на прямій, можна провести лише одну пряму, паралельну даній. Отже, через точку \(S\), яка не лежить на прямій \(AB\), можна провести лише одну пряму, паралельну даній.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку знання формул скороченого множення, уміння розкладати багаточлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Для скорочення дробу розкладімо чисельник і знаменник на множники:

за формулою різниці квадратів.

У виразі

винесімо спільний множник за дужки:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Логарифмічні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку знання означення та властивостей логарифма, модуля числа.

За означенням логарифма: $$ 2=\lg 100. $$

За властивістю логарифмів:

Відповідь: A.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей чотирикутників, зокрема квадрата, прямокутного трикутника, а також теореми Піфагора.

У квадраті \(ABCD\) \(AB=BC=CD=DA=24\) см.

\(AM:MD=1:2\), \(KC=6\) см.

Нехай \(AM=x\) см, \(MD=2x\) см. \(AD=AM+MD\), \(x+2x=24\) см, \(x=8\) см.

Отже, \(AM=8\) см, \(MD=16\) см.

Побудуймо \(KH\ \perp\ AD.\) \(KCDH\) – прямокутник, тому \(KC=HD=6\) см, \(CD=KH=24\) см. \(MH=MD-HD=16\ \textit{см}-6\ \textit{см}=10\) см.

Розгляньмо \(\Delta KHM\ (\angle H=90^\circ).\) Катети \(KH=24\) см і \(MH=10\) см. За теоремою Піфагора: \(a^2+b^2=c^2.\)

Визначмо довжину гіпотенузи:

Відповідь: В.

ТЕМА: Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей чотирикутників, зокрема ромба.

I. Ромб – паралелограм, тому всі властивості паралелограма є властивостями ромба.

Отже, у будь-якому ромбі діагоналі точкою перетину діляться навпіл.

II. Периметр ромба не дорівнює сумі його діагоналей. Якби це твердження було правильним, то в \(\Delta ABC\) сума довжин двох сторін \((AB+BC)\) дорівнювала б довжині третьої сторони \(AC.\) А це суперечить нерівності трикутника.

III. Твердження правильне. Висота ромба \(BH\) удвічі більша за радіус \(OK\) вписаного кола.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Лінійні, показникові та раціональні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові та раціональні рівняння та їх системи.

Рівняння \(5^x=\sqrt{5}\) містить одну змінну. Розв'яжімо його, зводячи до однакової основи:

Підставмо значення \(x\) у друге рівняння:

За основною властивістю пропорції: $$ \frac ab=\frac cd \rightarrow a\cdot d=b\cdot c. $$ Тому запишімо:

Маємо розв'язок \((x_0; y_0)\) як \(\left(\frac 12; -3\right).\)

Підставмо його у вираз:

Відповідь: А.