ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, прямокутного трикутника, уміння визначати площу трапеції.

Нехай \(x\) – коефіцієнт пропорційності.

\(BC=2x\), \(AD=5x=b\), \(x=\frac b5.\)

Побудуймо висоти \(BH\) i \(CK.\) \(HBCK\) – прямокутник, тому

Точка \(O\) – середина \(AD\), а тому \(HO=OK=x.\)

У \(\Delta BHO\ (\angle H=90^\circ)\), \(O=45^\circ.\) Отже, \(\Delta BHO\) – рівнобедрений. \(HO=BH=x.\)

Площу трапеції визначмо за формулою: $$ S=\frac{a+b}{2}\cdot h, $$ де \(a\), \(b\) – основи, \(h\) – висота

Якщо $$ x=\frac b5, $$ то

Відповідь: Г.

ТЕМА: Тригонометричні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів, обчислення їхнього значення за заданих значень змінних.

Застосуймо формулу подвійного аргумента $$ \sin 2\mathbf{\alpha}=2\sin \mathbf{\alpha}\cos \mathbf{\alpha} $$ для спрощення виразу:

Значення виразу належить проміжку \([1; 2).\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Похідна функції. Таблиця похідних і правила диференціювання.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати похідні функцій, похідну суми двох функцій.

Перетворення виразу \(\frac 3x\) за властивістю степенів \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\mathord{:}\) $$ \frac 3x=3\cdot \frac 1x=3x^{-1}. $$

За правилом визначення похідних \((u+v)'=u'+v'\) визначимо похідну функції:

За таблицею похідних

Відповідь: A.

ТЕМА: Лінійні і раціональні рівняння та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати лінійні і раціональні рівняння.

Розв'яжімо систему рівнянь методом додавання:

Підставмо значення \(y=0\mathord{,}5\) у перше рівняння:

Розв'язком системи є пара чисел \((9; 0\mathord{,}5)\mathord{:}\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з дійсними числами, тотожні перетворення ірраціональних і логарифмічних виразів.

1. \(\ln\frac 1e=\ln e^{-1}=-1\cdot \ln e=-1\) є від'ємним цілим числом.

Застосували формули:

Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(e+1\approx 2\mathord{,}7+1\approx 3\mathord{,}7\) є ірраціональним числом. Отже, правильна відповідь – Д.

Вираз \((e-1)^2\) спростили за формулою квадрата різниці: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2.\)

Відповідь: 1 – Б, 2 – Д, 3 – А.

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіками, використовувати перетворення графіків функцій.

1. На проміжку \([-4; 0]\) зображено графік функції \(y=\sqrt{-x}.\)

Елементарним перетворенням \(f(x)\rightarrow f(-x)\) графік відображено симетрично відносно осі \(Oy.\) Отже, правильна відповідь – Д.

2. На проміжку \((0; 2]\) зображено графік функції \(y=x^3.\) Отже, правильна відповідь – A.

3. На проміжку \((2; 6)\) зображено графік лінійної функції \(y=12-2x.\) Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – А, 3 – Б.

ТЕМА: Коло та круг. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей чотирикутників, зокрема прямокутника, кола, прямокутного трикутника, уміння застосовувати теорему Піфагора для розв’язування прямокутного трикутника.

1. Коло дотикається до сторін \(BC\) i \(AD\), тому діаметр кола дорівнює стороні \(AB.\) Отже, довжина радіуса \(OK=\frac 12AB=6\) см.

Правильна відповідь – А.

2. У \(\Delta ABK\ (\angle K=90^\circ)\), \(BK=AK.\) За теоремою Піфагора:

Правильна відповідь – B.

3. У \(\Delta ABK\ KH\ \perp\ AB\) і є медіаною. За властивістю медіани проведеної до гіпотенузи:

У \(\Delta AOM\ (\angle M=90^\circ)\), \(OM=6\) см, \(AM=OH=12\) см. За теоремою Піфагора:

Правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – A, 2 – B, 3 – Г.

ТЕМА: Функціональна залежність. Похідна функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою, похідну функції, числове значення похідної функції в точці для заданого значення аргумента.

Якщо \(x\lt -2\ f(x)=10.\) Отже, \(f(-4)=10.\)

Якщо \(x\ge -2\), \(f(x)=4x^2+3x.\)

Обчислімо

Відповідь: \(-9.\)

ТЕМА: Імовірність випадкової події.

Завдання скеровано на перевірку вміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

Всього в салоні літака \(n\) рядів по \(6\) місць у кожному. Отже, всього в літаку \(6n\) місць.

Місць біля проходу в першому або останньому ряду \(4.\) Імовірність того, що пасажиру дістанеться таке місце – \(\frac{1}{45}.\)

За означенням імовірність – це відношення кількості результатів, що сприяють цій події (\(4\) місця біля проходу), до загальної кількості всіх можливих рівноймовірних результатів (\(6n\) – загальна кількість місць). Тому

Відповідь: \(30.\)