ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Означення розв'язку системи рівнянь з двома змінними та методи їх розв'язування.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь.

Додамо почленно обидва рівняння системи:

Звівши подібні доданки, отримаємо:

Пiдставимо отримане значення \(x=1\) в будь-яке з рівнянь системи, наприклад, в друге рівняння:

Отже, пара чисел \((1; -4)\) є розв'язком \((x_0; y_0)\) системи рівнянь. Визначимо суму:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання основних аксіом стереометрії та їх наслідків і вміння їх використовувати до розв'язування задач.

Через точку \(A\) в просторі можна провести єдину пряму \(c\), паралельну прямій \(b.\) Але через пряму \(c\) можна провести безліч площин, паралельних прямій \(b\) і лише одну площину, що містить пряму \(b.\) Тобто існує безліч площин, паралельних прямій \(b\), які проходять через точку \(A.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції.

Це завдання перевіряє вміння визначати аналітичний вираз функції за фрагментом її графіка.

Фрагмент графіка, зображений на рисунку, проходить через початок координат, тому має виконуватись рівність \(y(0)=0.\) Оскільки \(\cos 0=1\), то відповіді \(y=2\cos x\), \(y=\cos x\) не задовольняють цю умову. Для функцій \(y=2\sin x\), \(y=-2\sin x\) та \(y=\sin 2x\) вказана рівність виконується.

За рисунком функція досягає значення \(2\) в точці \(x=\frac{\pi}{2}\), тобто \(y\left(\frac{\pi}{2}\right)=2.\) Ця рівність виконується для функції \(y=2\sin x\mathord{:}\) $$ 2\cdot \sin \frac{\pi}{2}=2\cdot 1=2, $$ а для функцій \(y=\sin 2x\) i \(y=-2\sin x\) – ні:

Отже, на рисунку зображено фрагмент графіка функції \(y=2\sin x.\)

Зазначимо, що зображений на рисунку фрагмент графіка можна отримати з фрагмента графіка \(y=\sin x\) шляхом розтягнення його в два рази вздовж осі ординат, тоді кожна точка \((x_0; \sin x_0)\), що належить фрагменту графіка \(y=\sin x\) перейде у точку \((x_0; 2\sin x_0)\), що належить фрагменту графіка \(y=2\sin x\) (див. рисунок).

Тому для розв'язання цього завдання важливо вміти будувати графіки функцій \(y=\sin x\) та \(y=\cos x\) та виконувати перетворення графіків функцій, зокрема, будувати графік функції \(y=kf(x)\) за графіком функції \(y=f(x).\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Показникові рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

Запишемо число \(125\) як степінь з основою \(5\mathord{:}\ 125=5^3.\) Тоді рівння набуде вигляду \(5^{x+1}=5^3.\) Оскільки степеневі вирази з однаковою основою рівні лише тоді, коли рівні показники степенів, то отримане рівняння рівносильне рівнянню \(x+1=3,\) звідки \(x=2.\) Число \(2\) належить проміжку \([0; 3).\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Відношення і пропорції. Подільність чисел.

Це завдання перевіряє вміння використовувати відношення для розв'язування текстових задач і знання означення подільності числа на \(9.\)

Введемо коефіцієнт пропорційності \(n\), тоді для оформлення зали було закуплено \(4n\) та \(5n\) повітряних кульок кожного кольору. Загальна кількість повітряних кульок, закуплених для оформлення зали, складає \(4n+5n=9n\) кульок. Оскілько \(n\) має бути натуральним числом, то загальна кількість кульок повинна бути кратною \(9.\)

Число ділиться на \(9\) націло, якщо сума всіх його цифр ділиться на \(9\) націло.

Перевіримо кожну із запропонованих відповідей:

А. \(1+0+0=1\) – не ділиться на \(9\), тому й число \(100\) не ділиться на \(9.\)

Б. \(1+1+5=7\) – не ділиться на \(9\), тому й число \(115\) не ділиться на \(9.\)

В. \(1+1+7=9\) – ділиться на \(9\), отже, число \(117\) ділиться на \(9.\)

Г. \(1+2+0=3\) – не ділиться на \(9\), отже, і \(120\) не ділиться на \(9.\)

Д. \(1+4+5=10\) – не ділиться на \(9\), отже і \(145\) не ділиться на \(9.\)

Отже, загальна кількість кульок із наведених чисел може дорівнювати лише \(117.\)

Відповідь: В.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Паралелограм та його властивості. Периметр паралелограма.

Це завдання перевіряє вміння визначати невідому сторону паралелограма за його периметром і відомою стороною.

За означенням периметром паралелограма (як і будь-якого многокутника) називають суму довжин всіх його сторін. Оскільки у паралелограма \(ABCD\) протилежні сторони попарно рівні: \(AB=CD\) i \(AD=BC\), то його периметр визначається за формулою: $$ P_{ABCD}=2(AB+BC). $$

Підставимо дані з умови: $$ 60=2(10+BC), $$ звідки отримуємо: \begin{gather*} 30=10+BC,\\[7pt] BC=30-10=20\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Арифметичні дії з дробами.

Це завдання перевіряє вміння виконувати додавання двох дробів із різними знаменниками.

Щоб додати два дроби із різними знаменниками, треба звести їх до спільного знаменника. Знайдемо спільний знаменник дробів \(\frac{5}{12}\) i \(\frac 78\), він є найменшим спільним кратним знаменників цих дробів: НСК \((8; 12)=24\) – це найменше число, що кратне числам \(8\) і \(12.\) Тоді

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Комбінації геометричних тіл.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на комбінації геометричних тіл, зокрема обчислювати об’єм правильної чотирикутної піраміди за відомими радіусом вписаної кулі та кутом нахилу бічної грані до площини основи піраміди.

На рисунку зображено правильну чотирикутну піраміду \(SABCD\), основою якої є квадрат \(ABCD.\) Центр \(O\) вписаної у піраміду кулі належить висоті піраміди – відрізку \(SO_1\) (точка \(O_{1}\) є центром квадрата \(ABCD\), тобто точкою перетину його діагоналей). Позначимо точку, в якій вписана куля дотикається бічної грані \(DSC\), буквою \(K.\) Ця точка лежить на апофемі \(SM.\) Згідно з умовою \(\angle SMO_{1} = 60^\circ\), а \(O_{1}O = OK=3\text{ см}\).

Щоб обчислити об’єм піраміди \(SABCD\), потрібно знати площу \(S_{осн}\) її основи та висоту \(SO_{1}{:}\) $$ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot SO_{1}. $$

З рівності прямокутних трикутників \(OO_{1}M\) та \(OKM\) (за гіпотенузою та катетом: \(OO_{1} = OK\), \(OM\) – спільна гіпотенуза) випливає, що

У прямокутному трикутнику \(OO_{1}M\) відомо: катет \(OO_{1} = 3\text{ см}\), \(\angle OMO_{1} = 30^\circ.\) Визначаємо другий катет цього трикутника: $$ O_1M = OO_{1}\mathrm{ctg}\ 30^\circ = 3\sqrt{3}\ \text{см}. $$

Висоту \(SO_{1}\) визначаємо з прямокутного трикутника \(SO_1M{:}\)

Ураховуючи співвідношення \(AD = 2O_{1}M\), визначаємо площу основи піраміди (квадрата \(ABCD\)):

Отже, шуканий об’єм піраміди \(SABCD{:}\)

Відповідь: \(324.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Формули скороченого множення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення дробово-раціонального виразу, використовуючи формули скороченого множення, правила виконання дій з раціональними дробами, та знаходити числове значення виразу при заданих значеннях змінних.

Спочатку спростимо заданий вираз:

Тепер підставимо в отриманий вираз значення \(a = 0{,}1\), \(b = 3{,}7{:}\)

Відповідь: \(-22.\)