ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Арифметична прогресія.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати практичні задачі на арифметичну прогресію.

Оскільки кожного наступного дня, починаючи з другого, студент розв’язував на одну й ту ж саму кількість задач більше, ніж попереднього дня, то кількості задач, які студент розв’язував кожного дня, починаючи з першого, утворюють арифметичну прогресію. Позначимо через \(a_{n}\) кількість задач, які студент розв’язав \(n\text{-го}\) дня, \(n=1; 2; \ldots; 9.\) За умовою \(a_{1}=9\), \(S_{9}=315.\) Потрібно визначити \(a_{9}.\)

Оскільки суму перших \(n\) членів арифметичної прогресії можна визначити за формулою $$ S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n, $$ то згідно умови виконується рівність $$ S_{9}=\frac{a_{1}+a_{9}}{2}\cdot 9, $$ тобто $$ 315=\frac{11+a_{9}}{2}\cdot 9, $$ звідки отримуємо: \begin{gather*} 630=(11+a_{9})\cdot 9,\\[7pt] 70=11+a_{9},\\[7pt] a_{9}=70-11=59. \end{gather*}

Отже, дев’ятого дня студент розв’язав \(59\) задач.

Відповідь: \(59.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Квадрат та його властивості. Прямокутний рівнобедрений трикутник та його властивості. Площа прямокутного трикутника та квадрата.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати площі геометричних фігур, зокрема, квадрата та прямокутного рівнобедреного трикутника.

1. Проведемо у рівнобедреному прямокутному трикутнику \(ABC\) з гіпотенузою \(AC\) висоту \(BO.\) Тоді $$ S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BO. $$ Висота рівнобедреного трикутника, що проведена з його вершини, є також бісектрисою та медіаною. Отже, точка \(O\) є серединою гіпотенузи \(AC\) і

Тоді

2. Упишемо в рівнобедрений прямокутний трикутник \(ABC\) квадрат \(MNKP\), вершини \(M\) і \(N\) якого лежать на гіпотенузі \(AC\) (отже, і сторона \(MN\) лежить на \(AC\)), а інші дві – вершини \(P\) і \(K\) – належать катетам \(AB\) і \(BC\) відповідно (див. рисунок).

Оскільки \(PM\ \perp\ MN\) і \(KN\ \perp\ MN\), а \(MN\) є частиною \(AC\), то \(PM\ \perp\ AC\) і \(KN\ \perp\ AC\). Тоді

аналогічно $$ \angle CKN = 180^\circ - 45^\circ - 90^\circ = 45^\circ. $$ Отже, прямокутні трикутники \(AMP\) і \(KNC\) є рівнобедреними.

Оскільки \(AM = PM\), \(CN = KN\) і \(PM = KN = MN\), то \(AM = MN = NC\) і $$ MN = \frac{1}{3} AC = \frac{1}{3} \cdot 3\mathord{,}6 = 1,2\ \text{м}. $$ Площа квадрата \(MNKP\) дорівнює \(1\mathord{,}2^{2} = 1\mathord{,}44\ \text{м}^{2}.\)

Відповідь: 1. \(3\mathord{,}24.\)
                   2. \(1\mathord{,}44.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі на відношення, пропорції та відсотки.

1. Нехай на фабриці пошито \(n\) пар дитячого взуття, тоді жіночого взуття пошито \(5n\) пар. Складаємо пропорцію: \begin{gather*} n - 100\ \text{%},\\[7pt] 5n - x\ \text{%}. \end{gather*} Тоді \(x = 500\ \text{%}.\)

Отже, жіночого взуття пошито більше, ніж дитячого на \(500 - 100 = 400\ \text{%}.\) Зазначимо, що якщо величина \(b\) більша за величину \(a\) в \(n\) разів, то \(b\) більше за \(a\) на \(100(n - 1)\ \text{%}.\)

2. Складаємо рівняння $$ 5n + n + 2100 = 5340, $$ звідки отримуємо \begin{gather*} 6n = 5340 - 2100,\\[7pt] n = 3240 : 6 = 540. \end{gather*} Отже, дитячого взуття пошито на цій фабриці \(540\) пар.

Відповідь: 1. \(400.\)
                   2. \(540.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Рівносторонній трикутник, ромб, квадрат, правильний шестикутник та їхні властивості. Коло, вписане в трикутник, ромб, квадрат та правильний шестикутник. Формули для обчислення радіуса вписаного кола.

Це завдання перевіряє вміння визначати радіуси кіл, вписаних в рівносторонній трикутник, ромб, квадрат та правильний шестикутник, за заданими довжинами відповідних відрізків.

Визначимо радіус кола, вписаного у кожну з фігур, зображених на рис. 1–4.

Рис. 1. Центр кола, вписаного у будь-який трикутник знаходиться у точці перетину його бісектрис. У рівносторонньому трикутнику бісектриси одночасно є його висотами та медіанами, які діляться точкою перетину на відрізки у відношенні \(2 : 1\), рахуючи від вершини трикутника. Отже, радіус кола, вписаного у рівносторонній трикутник, дорівнює \(\frac{1}{3}\) його висоти. За умовою висота дорівнює \(\sqrt{2}\), тому радіус вписаного кола дорівнює \(\frac{\sqrt{2}}{3}\). Отже, 1 – Д.

Рис. 2. Радіус \(r\) кола, вписаного в ромб, дорівнює половині висоти \(h\) цього ромба (див. рисунок 2) і дорівнює \(\frac{\sqrt{2}}{2}.\) Отже, 2 – Г.

Рис. 3. Радіус \(r\) кола, вписаного в квадрат зі стороною \(a\), дорівнює половині його сторони: \(r = \frac{a}{2}\). Якщо діагональ квадрата дорівнює \(\sqrt{2}\), то \(a = 1\). Тоді \(r = \frac{1}{2}\). Отже, 3 – В.

Рис. 4. У правильному шестикутнику три його діагоналі, що сполучають протилежні вершини, ділять шестикутник на шість рівних рівносторонніх трикутників. Тоді радіус вписаного у шестикутник кола дорівнює висоті рівностороннього трикутника. Якщо сторона шестикутника дорівнює \(a\), то радіус вписаного кола \(r = \frac{\sqrt{3}}{2} a\). Оскільки діагональ правильного шестикутника, яка з'єднує протилежні його вершини удвічі більша за сторону цього шестикутника, то виконується рівність \(2a = 2\sqrt{2}\). Отже, сторона шестикутника дорівнює \begin{gather*} a = \frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2},\ \text{а}\\[6pt] r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}. \end{gather*} Отже, 4 – А.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – В, 4 – A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі. Формула для обчислення відстані між двома точками.

Це завдання перевіряє розуміння декартової системи координат у просторі, а також вміння визначати координати точки, вектора за заданими його початковою та кінцевою точками, середини відрізка.

У прямокутному паралелепіпеді \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) вершина \(B\) розміщена у початку координат, тому \(B(0; 0; 0)\). Оскільки паралелепіпед розміщений так, що його ребра \(BA\), \(BC\) та \(BB_{1}\) належать осям \(x\), \(y\) та \(z\) відповідно, то грані паралелепіпеда, отже, і площини, що містять ці грані, перпендикулярні до відповідних осей координат. За координатами вершини \(D_{1}(4; 8; 12)\) можна визначити координати всіх інших вершин паралелепіпеда \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\).

Оскільки точка \(A\) є перетином площини, яка проходить через точку \(D_{1}(4; 8; 12)\) перпендикулярно до осі \(x\), то координата \(x\) точки \(A\) збігається з координатою \(x\) точки \(D_{1}\), тобто дорівнює \(4.\) А оскільки точка \(A\) лежить на осі \(x\), то її координати \(y\) і \(z\) дорівнюють \(0.\) Тому \(A(4; 0; 0)\). Аналогічно встановлюємо, що \(C (0; 8; 0)\).

1. Нагадаємо, що координати точки \(M (x_{M}; y_{M}; z_{M})\), яка є серединою відрізка \(BC\), кінцеві точки якого \(B(x_{B}; y_{B}; z_{B})\) та \(C(x_{C}; y_{C}; z_{C})\), визначають за формулами \begin{gather*} x_{M}=\frac{x_{B}+x_{C}}{2},\\[6pt] y_{M}=\frac{y_{B}+y_{C}}{2},\\[6pt] z_{M}=\frac{z_{B}+z_{C}}{2}. \end{gather*} Координати середини відрізка \(BC\mathord{:}\)

Отже, 1 – Г.

2. Щоб знайти координати вектора \(\overrightarrow{BA}\) потрібно від координат його кінцевої точки \(A\) відняти відповідні координати його початкової точки \(B\): \(\overrightarrow{BA}(x_{A}-x_{B}; y_{A}-y_{B}; z_{A}-z_{B}).\) Отримуємо: \(\overrightarrow{BA}(4-0; 0-0; 0-0)=(4; 0; 0).\) Отже, 2 – Б.

Зазначимо, що якщо початок вектора збігається з початком координат, то його координати збігаються з координатами кінцевої точки.

3. Оскільки ребро \(DD_{1}\) паралельне осі \(z\), то координати будь-якої точки, яка належить цьому ребру, мають вигляд \(D_{1}(4; 8; z)\), де \(z\in[0; 12].\) Точка, яка лежить на ребрі \(DD_{1}\) і віддалена від вершини \(D\) на \(4\) одиниці, має координати \((4; 8; 4)\). Отже, 3 – Д.

4. Точку \(C_{1}\) можна розглядати як проєкцію точки \(D_{1}\) на координатну площину \(yz\), рівняння якої \(x=0\). Отже, \(C_{1}(0; 8; 12)\). Отже, 4 – А.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – Д, 4 – A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Степеневі вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння перетворювати степеневі вирази та знаходити їхні значення. Для розв'язання завдання потрібно знати означення степеня з натуральним, цілим, раціональним показниками та правила дій зі степенями, а саме:

Обчислимо значення виразів (1–4).

1.

Отже, 1 – A.

2.

Отже, 2 – B.

3.

Отже, 3 – Д.

4. \begin{gather*} 2^{3\mathord{,}5}\cdot 2^{1\mathord{,}5}=2^{3\mathord{,}5+1\mathord{,}5}=2^5=32. \end{gather*} Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – А, 2 – В, 3 – Д, 4 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графіки лінійної та квадратичної функцій. Рівняння кола. Властивості лінійної функції.

Це завдання перевіряє вміння будувати графіки лінійних та квадратичних функцій, кола, заданого рівнянням, встановлювати кількість точок перетину прямої з колом та прямої з параболою. Для розв'язання завдання потрібно також знати властивості лінійної функції \(y=kx+b\) та умову паралельності прямих.

1. Побудуємо графік рівняння \(y=5-x\).

Пряма задана рівнянням \(y=5-x\) має від'ємний кутовий коефіцієнт \(k=-1\), тому вона утворює з додатним напрямом осі \(x\) тупий кут, причому цей кут становить \(135^\circ\), оскільки \(\mathrm{tg}\ 135^\circ=-1.\) Отже, 1 – B.

2. Побудуємо графік рівняння \(y=2x+3\) і коло \(x^2+y^2=4.\)

Пряма перетинає коло. Отже, 2 – Д.

3. Графіком рівння \(x=a\) є пряма, що паралельна осі ординат і перетинає вісь абсцис у точці \((a; 0).\) Отже, графіком рівняння \(2x+6=0\), тобто \(x=-3\), є пряма, що паралельна осі ординат і яка проходить через точку \((-3; 0).\) Тому 3 – А.

4. Графік функції \(y=x-4\) і пряма \(y-x=0\), тобто \(y=x\) мають рівні кутові коефіцієнти, кожна з цих прямих утворює з додатним напрямом осі \(x\) кут \(45^\circ.\) Отже, 4 – Г.

Графіком функції \(y=x^2-5\) є парабола з вершиною у точці \((0; -5)\), симетрична відносно осі ординат, вітки параболи напрямлені вгору, вісь абсцис перетинає у точках \((-\sqrt{5}; 0)\) i \((\sqrt{5}; 0)\) (див. рисунок).

Зазначимо, що кожна з прямих, що задані в (1–4), перетинає задану параболу. Отже, варіант Б не може бути закінченням речення для жодного з початків речення (1–4).

Відповідь: 1 – B, 2 – Д, 3 – A, 4 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Раціональні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати раціональні нерівності.

Розв'яжемо нерівність "методом інтервалів". Запишемо нерівність у вигляді \(f(x)\ge 0\), де $$ f(x)=\frac{(5-x)^2}{x^2+x-6}. $$

Знайдемо область визначення функції \(f(x).\) Раціональний дріб існує, якщо його знаменник відмінний від нуля, тому \(x^2+x-6\ne 0.\) Квадратне рівння \(x^2+x-6=0\) має два корені \(x=-3\) та \(x=2.\) Отже, область визначення функції \(f(x)\) містить всі точки числової прямої, крім двох точок \(x=-3\) та \(x=2\), тобто

Знайдемо нулі функції \(f(x)\), тобто корені рівняння $$ \frac{(5-x)^2}{x^2+x-6}=0. $$

Нагадаємо, що дріб дорівнює нулю, якщо його чисельник дорівнює нулю, а знаменник – ні. Рівняння \((5-x)^2=0\) має корінь \(x=5\), який належить \(D(f).\) Оскільки $$ (5-x)^2=(5-x)(5-x), $$ то кажуть, що \(x=5\) є коренем кратності \(2.\)

Відмітимо на числовій прямій нуль \(x=5\) та точки, в яких \(f(x)\) не існує, тобто точки \(x=-3\), \(x=2\) та визначимо знак функції \(f(x)\) на кожному інтервалі:

Зазначимо, що при переході через точку \(x=5\) знак функції \(f(x)\) не змінюється.

Об'єднуючи проміжки \((-\infty; -3)\), \((2; 5)\), \((5; +\infty)\), на яких виконується нерівність \(f(x)\gt 0\), та точку \(x=5\), в якій \(f(x)=0\), записуємо множину розв'язків заданої нерівності: $$ x\in (-\infty; -3)\cup (2; +\infty). $$

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна.

Це завдання перевіряє вміння знаходити первісну раціональної функції.

Нагадаємо, що функція \(F(x)\) називається первісною для функції \(f(x)\) на проміжку \((a; b)\), якщо для будь-якого \(x\in (a; b)\) виконується рівність \(F'(x)=f(x).\)

Правило знаходження первісних. Якщо \(F_1(x)\) – первісна для функції \(f_1(x)\), а \(C\) – довільна стала, то \(F(x)=CF_1(x)\) є первісною для \(Cf_1(x).\)

У нашому випадку $$ f(x)=\frac{1}{2x}=\frac 12\cdot \frac 1x. $$

Оскільки функція \(F_1(x)=\ln|x|\) є первісною для \begin{gather*} f_1(x)=\frac 1x,\ \text{то}\\[6pt] F(x)=\frac 12\ln|x| \end{gather*} є первісною для заданої функції $$ f(x)=\frac 12\cdot \frac 1x. $$

Відповідь: Б.