ТЕМА: Чотирикутники. Коло та круг.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей кола, круга та їхніх елементів, властивостей прямокутника.

Площа круга із центром у точці \(O_1\) дорівнює \(625\mathbf{\pi}\) см\(^2.\)

1. Відстань від \(O_2\) до сторони \(BC{:}\) $$ O_2K=\frac 12BA=\frac 12\cdot 30=15\ \text{см}. $$

\(O_2K\ \perp\ BC\), а \(KP\) – діаметр кола.

Правильна відповідь – B.

2. Центр кола \(O_1\), описаного навколо прямокутника \(ABCD\), лежить на середині діагоналі \(BD.\)

У \(\Delta ABD\) \((\angle A=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Правильна відповідь – Д.

3. Відстань $$ O_1O_2=FO_1-FO_2, $$ де \(FO_2\) – радіус кола із центром у точці \(O_2.\)

Правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – B, 2 – Д, 3 – A.

ТЕМА: Первісна й визначений інтеграл.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати формулу Ньютона – Лейбница для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Площу зафарбованої фігури можна обчислити за допомогою визначеного інтеграла: $$ S=\mathop{\int}\limits_a^b \left(f(x)-g(x)\right) dx, $$ де \(f(x)\) – це функція, графік якої обмежує фігуру згори, а \(g(x)\) – функція, графік якої обмежує фігуру знизу.

Відповідь: \(5\mathord{,}1.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи комбінації та комбінаторні правила добутку для розв’язку комбінаторних задач.

На ринку є \(10\) моделей кольорових принтерів. Вибрати \(2\) з них можна \(\mathrm{C}_{10}^2\) варіантами.

Вибрати \(3\) принтери з \(8\) монохромних моделей можна \(\mathrm{C}_8^3\) варіантами.

Підприємство планує купити і \(2\) кольорові, і \(3\) монохромні. Кількість варіантів такого вибору визначають за комбінаторним правилом добутку:

Відповідь: \(2520.\)

ТЕМА: Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей конуса та сфери, формул для обчислення площі поверхні сфери й об’єму конуса.

Радіус основи конуса \(O_1B=CO\) – радіусу сфери: $$ O_1B=5\sqrt{3}\ \text{см}. $$

У \(\Delta AO_1B\ (\angle O_1=90^\circ)\).

Об'єм конуса визначмо за формулою $$ V=\frac 13S_\text{осн}H=\frac 13\mathbf{\pi}R^2H, $$ де

Відповідь: \(125.\)

ТЕМА: Лінійні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати лінійні рівняння з параметром.

Розв'яжімо лінійне рівняння:

Якщо \(a=2\), рівняння не має коренів \((x\cdot 0=7).\)

Якщо \(a\ne 2\), корінь є. Його визначають так: $$ x=\frac{a+5}{a-2}. $$

Корінь рівняння буде додатним, якщо $$ \frac{a+5}{a-2}\gt 0. $$

Розв'яжімо методом інтервалів:

На проміжку \(a\in [-9; 9]\) рівняння має розв'язок, якщо \(a\in [-9; -5)\cup (2; 9].\)

Цілі значення \(a\) із цього проміжку: \(-9\), \(-8\), \(-7\), \(-6\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\), \(9.\) Тобто цілих значень \(a\) \(11.\)

Відповідь: \(11.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Квадратні, показникові, степеневі, логарифмічні функції.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

На рисунку Д зображено графік функції \(y=\sqrt{x}.\)

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Степеневі функції та їхні властивості.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

Функція \(y=\frac 1x\) – обернена пропорційність, графік якої – гіпербола.

Загальний вигляд функції \(y=\frac kx.\)

При \(k\lt 0\) графік функції лежить у ІІ та IV координатних чвертях.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання про центральні та вписані кути та їхні властивості.

1. У коло вписано чотирикутник, тому сума протилежних кутів \(180^\circ.\) \(\angle D=100^\circ\), тому \(\angle C=80^\circ.\)

Отже, 1 – B.

2. \(\angle AOB=100^\circ\) – центральний, \(\angle ACB\) – відповідний вписаний. За властивістю вписаного кута

Отже, 2 – Д.

3. \(\angle ACB=90^\circ\) тому, що вписаний кут, який спирається на діаметр – прямий.

Отже, 3 – Б.

4. \(\angle ADB=\angle ACB=100^\circ\), тому, що вписані кути, які спираються на одну хорду – рівні.

Отже, 4 – A.

Відповідь: 1 – B, 2 – Д, 3 – Б, 4 – A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції.

Це завдання перевіряє вміння визначати графік аналітично заданої функції.

Графіком квадратичної функції $$ y=ax^2+bx+c $$ є парабола, вітки якої напрямлені вгору при \(a\gt 0\) і вниз при \(a\lt 0.\) Оскільки \(a=1\gt 0\), то вітки графіка функції $$ y=x^2+px+q $$ напрямлені вгору.

З наведених рисунків цю умову задовольняють варіанти А, В і Д. Оскільки за умовою рівняння $$ x^2+px+q=0 $$ не має дійсних коренів, то не існує дійсних значень аргумента \(x\), при яких функція $$ y=x^2+px+q $$ дорівнювала б \(0\), тобто функція $$ y=x^2+px+q $$ не має нулів. Тому графіік цієї функції не перетинає вісь абсцис. Цю умову з варіантів А, В і Д задовольняє лише варіант Д.

Відповідь: Д.