ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння перетворювати вирази, що містять тригонометричні функції.

Для розв’язання завдання потрібно знати основну тригонометричну тотожність: $$ \sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1 $$ та формули синуса та косинуса подвійного кута: \begin{gather*} \sin 2\alpha = 2\sin\alpha \cos\alpha, \\[7pt] \cos 2\alpha = \cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha. \end{gather*}

Тоді $$ 1 - \cos^{2}\alpha = \sin^{2}\alpha. $$ Отже, 1 – Д.

$$ 2\sin\alpha \cos\alpha= \sin 2\alpha. $$ Отже, 2 – В.

$$ \cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha = \cos 2\alpha. $$ Отже, 3 – Б.

Перетворимо вираз 4:

Отже, 4 – А.

Відповідь: 1 – Д, 2 – В, 3 – Б, 4 – А.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямокутний паралелепіпед. Розгортка прямокутного паралелепіпеда. Об’єм прямокутного паралелепіпеда.

Це завдання перевіряє вміння за розгорткою многогранника визначати його об’єм.

Основою прямокутного паралелепіпеда, розгортка якого зображена на рисунку, є прямокутник із сторонами \(3\ \text{см}\) і \(4\ \text{см}.\) Сума довжин бічного ребра паралелепіпеда і більшої сторони його основи дорівнює \(12\ \text{см}\), тому довжина бічного ребра дорівнює $$ 12 - 4 = 8\ \text{см}. $$ Отже, висота паралелепіпеда дорівнює \(8\ \text{см}.\)

Об’єм паралелепіпеда визначається за формулою: $$ V = abc, $$ де \(a, b, c\) – виміри прямокутного паралелепіпеда, тобто довжина і ширина його основи та висота. Тоді

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна.

Це завдання перевіряє вміння знаходити первісну раціональної функції, графік якої проходить через задану точку.

Нагадаємо, що функція \(F(x)\) називається первісною для функції \(f(x)\) на проміжку \((a; b)\), якщо для будь-якого \(x \in (a; b)\) виконується рівність \(F'(x) = f(x).\)

Якщо \(F(x)\) – первісна для функції \(f(x)\), то для цієї функції існує безліч первісних і всі ці первісні мають вигляд \(F(x) + C\), де \(C \in R\) – довільна стала.

Правило знаходження первісних. Якщо \(F_{1}(x)\) – первісна для функції \(f_{1}(x)\), а \(F_{2}(x)\) – первісна для функції \(f_{2}(x)\), то \(F_{1}(x) + F_{2}(x)\) є первісною для \(f_{1}(x) + f_{2}(x).\)

У нашому випадку \(f_{1}(x) = 2x\), \(f_{2}(x) = 2\), тоді \(F_{1}(x) = x^{2}\), оскільки \((x^{2})' = 2x\), \(F_{2}(x) = 2x\), оскільки \((2x)' = 2.\)

Отже,

загальний вигляд первісної для функції $$ f(x) = 2x + 2, $$ де \(C\) – довільна стала.

Якщо графік первісної \(y = F(x)\) проходить через точку \((1; 4)\), то виконується умова \(4 = F(1).\) Підставивши у рівняння первісної $$ F(x) = x^{2} + 2x + C $$ значення \(x = 1\) і \(F(1) = 4\), отримаємо: $$ 4 = 1 + 2 + C, $$ звідки \(C = 1\). Отже, первісна функції \(y = 2x + 2\), що проходить через точку \((1; 4)\), має вигляд $$ F(x) = x^{2} + 2x + 1. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Показникові нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові нерівності.

Поділимо обидві частини нерівності на \(2\mathord{:}\) $$ (0{,}3)^{x} \lt 0{,}09 $$ (оскільки \(2 \gt 0\), то знак нерівності не змінюється). Запишемо число \(0{,}09\) як степінь з основою \(0{,}3\mathord{:}\) $$ 0{,}09 = 0{,}3^{2}. $$ Отримаємо нерівність: $$ (0{,}3)^{x} \lt (0{,}3)^{2}. $$

Оскільки \(0{,}3 \lt 1\), то функція \(y = (0{,}3)^{x}\) є спадною на всій області визначення, і нерівність $$ (0{,}3)^{x} \lt (0{,}3)^{2} $$ рівносильна нерівності \(x \gt 2\), тобто \(x \in (2; +\infty).\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Модуль числа. Раціональні нерівності.

Це завдання перевіряє знання означення модуля числа та вміння розкривати модуль буквенного виразу.

За означенням модулем числа \(x\) називають саме це число, якщо воно є невід’ємним, і протилежне до \(x\) число, якщо воно є від’ємним, тобто

Отже,

Визначимо проміжки знакосталості виразу \(a^{2}-a-6.\) Для цього визначимо нулі цього тричлена, прирівнявши його до нуля: \(a^{2}-a-6=0\), звідки \(a_{1}=-2\), \(a_{2}=3.\) Визначимо знак виразу \(a^{2}-a-6\) на проміжках \((-\infty; -2)\), \((-2; 3)\) і \((3; +\infty) \) (див. рисунок).

Оскільки на проміжку \((-2; 3)\) вираз \(a^{2}-a-6\) набуває лише від’ємних значень, то на цьому проміжку

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Область визначення функції.

Це завдання перевіряє вміння знаходити область визначення функції, заданої аналітично.

Функція $$ y = \frac{4 - x}{5} $$ є лінійною:

Отже, ця функція визначена на всій дійсній осі, тобто область визначення є проміжок \((-\infty; +\infty).\)

Можна не акцентувати увагу на тому, що задана функція є лінійною. Достатньо зауважити, що знаменник дробового виразу $$ \frac{4 - x}{5}, $$ тобто число \(5\), не залежить від \(x\) і не дорівнює нулю, а чисельник \(4 - x\) має сенс за будь-якого значення \(x.\) Отже, функція $$ y = \frac{4 - x}{5} $$ визначена для всіх \(x \in (-\infty; +\infty).\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Кут між мимобіжними прямими.

Це завдання перевіряє знання аксіом стереометрії та означення кута між мимобіжними прямими у просторі.

Щоб визначити кут між мимобіжними прямими \(a\) і \(b\) у просторі, проведемо пряму \(c\), яка паралельна прямій \(b\) і перетинає пряму \(a\). Кут між прямими \(a\) і \(c\), що лежать в одній площині, і буде шуканим кутом між прямими \(a\) і \(b\).

Прямі \(AA_{1}\) і \(DD_{1}\) паралельні (як прямі, що проходять через паралельні ребра куба). Отже, кут між прямими \(AB_{1}\) і \(DD_{1}\) дорівнює куту між прямими \(AB_{1}\) і \(AA_{1}\) і становить \(45^\circ\), оскільки діагональ \(AB_{1}\) квадрата \(AA_{1}B_{1}B\) утворює зі стороною \(AA_{1}\) кут \(45^\circ.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Логарифмічні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє знання основної логарифмічної тотожності та вміння використовувати її та властивості степенів для перетворення логарифмічних виразів.

Подамо \(36\) у вигляді степеня з основою \(6\mathord{:}\) \(36 = 6^{2}.\) Підставимо в заданий вираз: $$ 36^{\log_{6} 5} = \left(6^{2}\right)^{\log_{6} 5}. $$ Використовуючи властивість степеня: $$ (a^{x})^{y} = a^{xy} = (a^{y})^{x}, $$ одержимо: $$ \left(6^{2}\right)^{\log_{6} 5} = \left(6^{\log_{6} 5}\right)^{2}. $$

Врахувавши основну логарифмічну тотожність $$ a^{\log_{a} b} = b, $$ отримуємо: $$ 6^{\log_{6} 5} = 5. $$ Отже, $$ 36^{\log_{6} 5} = \left(6^{\log_{6} 5}\right)^{2} = 5^{2} = 25. $$

Такий же результат отримаємо, якщо виконаємо такі перетворення:

Використавши логарифмічну тотожність: \begin{gather*} \log_a b^n=n\cdot \log_a b. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Тригонометричні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння досліджувати найпростіші тригонометричні рівняння \(\sin x = a\), \(\cos x = a\), \(\mathrm{tg}\ x = a\) і \(\mathrm{ctg}\ x = a.\)

Потрібно знати, що рівняння \(\sin x = a\) і \(\cos x = a\) мають безліч коренів, якщо \(a \in [-1; 1]\), і не мають коренів, якщо \(|a| \gt 1\), тобто \(a \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty).\) Тригонометричні рівняння \(\mathrm{tg}\ x = a\) і \(\mathrm{ctg}\ x = a\) мають безліч коренів при будь-яких значеннях \(a.\)

Отже, рівняння, наведені у варіантах Б, В і Г, мають корені.
Розглянемо А: $$ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}. $$

Оскільки $$ \frac{\sqrt{3}}{2} \in [-1; 1] $$ (нагадаємо, що \(\sqrt{3} \approx 1{,}73\)), то рівняння $$ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ має корені.

Д: $$ \cos x = \frac{2}{\sqrt{3}}. $$ Оскільки $$ \frac{2}{\sqrt{3}} \gt 1, $$ то рівняння $$ \cos x = \frac{2}{\sqrt{3}} $$ не має коренів.

Відповідь: Д.