ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Кут між мимобіжними прямими.

Це завдання перевіряє знання аксіом стереометрії та означення кута між мимобіжними прямими у просторі.

Щоб визначити кут між мимобіжними прямими \(a\) і \(b\) у просторі, проведемо пряму \(c\), яка паралельна прямій \(b\) і перетинає пряму \(a\). Кут між прямими \(a\) і \(c\), що лежать в одній площині, і буде шуканим кутом між прямими \(a\) і \(b\).

Прямі \(AA_{1}\) і \(DD_{1}\) паралельні (як прямі, що проходять через паралельні ребра куба). Отже, кут між прямими \(AB_{1}\) і \(DD_{1}\) дорівнює куту між прямими \(AB_{1}\) і \(AA_{1}\) і становить \(45^\circ\), оскільки діагональ \(AB_{1}\) квадрата \(AA_{1}B_{1}B\) утворює зі стороною \(AA_{1}\) кут \(45^\circ.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Логарифмічні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє знання основної логарифмічної тотожності та вміння використовувати її та властивості степенів для перетворення логарифмічних виразів.

Подамо \(36\) у вигляді степеня з основою \(6\mathord{:}\) \(36 = 6^{2}.\) Підставимо в заданий вираз: $$ 36^{\log_{6} 5} = \left(6^{2}\right)^{\log_{6} 5}. $$ Використовуючи властивість степеня: $$ (a^{x})^{y} = a^{xy} = (a^{y})^{x}, $$ одержимо: $$ \left(6^{2}\right)^{\log_{6} 5} = \left(6^{\log_{6} 5}\right)^{2}. $$

Врахувавши основну логарифмічну тотожність $$ a^{\log_{a} b} = b, $$ отримуємо: $$ 6^{\log_{6} 5} = 5. $$ Отже, $$ 36^{\log_{6} 5} = \left(6^{\log_{6} 5}\right)^{2} = 5^{2} = 25. $$

Такий же результат отримаємо, якщо виконаємо такі перетворення:

Використавши логарифмічну тотожність: \begin{gather*} \log_a b^n=n\cdot \log_a b. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Тригонометричні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння досліджувати найпростіші тригонометричні рівняння \(\sin x = a\), \(\cos x = a\), \(\mathrm{tg}\ x = a\) і \(\mathrm{ctg}\ x = a.\)

Потрібно знати, що рівняння \(\sin x = a\) і \(\cos x = a\) мають безліч коренів, якщо \(a \in [-1; 1]\), і не мають коренів, якщо \(|a| \gt 1\), тобто \(a \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty).\) Тригонометричні рівняння \(\mathrm{tg}\ x = a\) і \(\mathrm{ctg}\ x = a\) мають безліч коренів при будь-яких значеннях \(a.\)

Отже, рівняння, наведені у варіантах Б, В і Г, мають корені.
Розглянемо А: $$ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}. $$

Оскільки $$ \frac{\sqrt{3}}{2} \in [-1; 1] $$ (нагадаємо, що \(\sqrt{3} \approx 1{,}73\)), то рівняння $$ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ має корені.

Д: $$ \cos x = \frac{2}{\sqrt{3}}. $$ Оскільки $$ \frac{2}{\sqrt{3}} \gt 1, $$ то рівняння $$ \cos x = \frac{2}{\sqrt{3}} $$ не має коренів.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати графік функції, заданої формулою.

Щоб розв’язати завдання, потрібно знати властивості показникової функції \(y = a^{x}\), яка визначена на всій дійсній осі, на всій області визначення зростає, якщо \(a \gt 1\), і спадає, якщо \(0 \lt a \lt 1\), не перетинає вісь \(x\), набуває лише додатних значень і перетинає вісь \(y\) у точці \((0; 1).\)

Зазначені властивості мають лише функції, графіки яких зображено на рисунках Б і Г. Показникова функція \(y = 2^{-x}\), або \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\), є спадною (більшому значенню \(x\) відповідає менше значення функції). Тому відповіддю є варіант Б.

Зазначимо, що відповідь можна отримати просто. Для цього обчислимо значення заданої функції, наприклад, в точці \(x = 1\mathord{:}\) $$ 2^{-1} = \frac{1}{2} = 0{,}5. $$ Отже, точка \((1; 0{,}5)\), що міститься у першій координатній чверті, належить графіку шуканої функції. Із запропонованих варіантів лише у варіанті Б графік містить точку, що належить першій координатній чверті, тому відповіддю може бути лише варіант Б.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Ймовірність випадкової події. Класичне означення ймовірності події. Ймовірність суми подій.

Це завдання перевіряє вміння знаходити ймовірність події, використовуючи класичне означення ймовірності та формулу ймовірності суми несумісних подій.

Оскільки майстер обслуговує в певний момент часу лише один верстат, то ймовірності того, що в цей момент часу він обслуговує I, II або III верстат, дорівнюють \(0{,}2\), \(0{,}3\) і \(0{,}5\) відповідно.

Оскільки події \(A =\) «майстер обслуговує I верстат» і \(B =\) «майстер обслуговує III верстат» несумісні (тобто поява однієї з цих подій виключає появу другої), то ймовірність суми цих подій \(A + B =\) «майстер обслуговує I верстат або III верстат» дорівнює сумі ймовірностей подій \(A\) і \(B\), тобто

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Означення розв’язку системи рівнянь з двома змінними та методи їх розв’язування.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати систему рівнянь з двома змінними.

Запишемо задані рівності у вигляді системи: $$ \left\{\begin{array}{l} \sqrt{x} + y = 5,\\ 2\sqrt{x} - y = 7. \end{array}\right. $$ Ця система є лінійною відносно \(\sqrt{x}\) та \(y.\)

Перший спосіб. Додамо почленно обидва рівняння системи: $$ \sqrt{x} + y + 2\sqrt{x} - y = 5 + 7. $$ Звівши подібні доданки, отримаємо рівняння \(3\sqrt{x} = 12\), або \(\sqrt{x} = 4.\) Підставивши у перше рівняння системи замість \(\sqrt{x}\), його значення \(4\), отримаємо \(4 + y = 5\), звідки \(y = 1.\)

Другий спосіб. З першого рівняння системи виразимо \(\sqrt{x}\) через \(y\mathord{:}\) \(\sqrt{x} = 5 - y\) і підставимо в друге рівняння замість \(\sqrt{x}\) значення \(5 - y.\) Отримаємо:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Вектори. Сума векторів. Теорема Піфагора.

Це завдання перевіряє вміння визначати довжину вектора, що є сумою зображених на рисунку векторів.

Для розв’язання завдання необхідно вміти виконувати операцію додавання двох векторів, використовувати теорему Піфагора для знаходження невідомих елементів прямокутних трикутників.

Для визначення суми зображених на рисунку векторів скористаємося правилом паралелограма. Побудуємо паралелограм \(ABCD\), причому \(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{b} = \overrightarrow{AD}.\) Тоді сумою векторів \(\overrightarrow{a}\) і \(\overrightarrow{b}\) є вектор \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{AC}\mathord{:}\) $$ \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b},\ \text{або} $$ $$ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} $$ (див. рисунок).

Оскільки за умовою вектори \(\overrightarrow{a}\) і \(\overrightarrow{b}\) перпендикулярні, то паралелограм \(ABCD\) є прямокутником, довжина вектора \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) дорівнює довжині гіпотенузи \(AC\) прямокутного трикутника \(ADC\) з катетами \(AD = 8\) та \(DC = 6\) (див. рисунок).

За теоремою Піфагора

Отже, довжина вектора \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) дорівнює \(10.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла і поверхні обертання. Площа сфери.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати площу сфери за заданим діаметром сфери.

Якщо діаметр \(d\) сфери дорівнює \(12\) см, то радіус сфери $$ R = \frac{1}{2} d, $$ тобто \(R = 6\) см.

Площа сфери радіуса \(R\) обчислюється за формулою $$ S = 4\pi R^2. $$ Підставивши у цю формулу замість \(R\) його довжину, отримаємо

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Логарифмічні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші логарифмічні рівняння.

За означенням логарифмом числа \(b\) за основою \(a\) (позначають \(\log_a b\)) називають показник степеня, до якого треба піднести основу \(a\), щоб одержати число \(b.\) Отже, якщо \(\log_a b = t\), то \(b = a^t.\) Зазначимо, що \(a \gt 0\), \(a \ne 1\), \(b \gt 0.\)

Звідси випливає, що коренем рівняння \(\log_3 x = -1\) є число \(x = 3^{-1} = \frac{1}{3}.\)

Відповідь: A.