ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини ву просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, задачі на обчислення об’єму призми.

1. Визначмо більшу діагональ основи \((AC).\)

Діагональний переріз прямої призми – це прямокутник, сторонами якого є діагональ основи та висота призми \((H=AA_1=8\sqrt{3}).\) Оскільки переріз більший, він проходить через більшу діагональ ромба \((AC).\)

Формула площі перерізу: \(S_{AA_1C_1C}=AC\cdot AA_1.\)

Звідси визначмо більшу діагональ:

2. Визначмо меншу діагональ ромба \((BD).\)

У ромбі з гострим кутом \(60^\circ\) діагоналі розбивають його на чотири прямокутні трикутники, або менша діагональ ділить ромб на два рівносторонні трикутники. Сторона ромба дорівнює меншій діагоналі \(CD=BD\) (бо трикутник \(\Delta BCD\) рівносторонній). Визначмо сторону \(CD\) ромба:

3. Обчислімо площу основи \((S_\text{осн}).\)

Обчислімо площу ромба через його діагоналі: \begin{gather*} S=\frac 12d_1d_2, \end{gather*} \(d_1\), \(d_2\) – діагоналі ромба.

4. Обчислімо об'єм \((V)\) призми за формулою:

Відповідь: \(3600.\)

ТЕМА: Показникові. Раціональні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові та квадратні рівняння, рівняння з параметром.

Замінімо змінну. Нехай \(3^x=t.\) Оскільки показникова функція завжди набуває лише додатних значень: \(t\gt 0.\) Рівняння набуває вигляду:

Помножмо все на \(t\ (t\ne 0){:}\)

Оскільки \(D\gt 0\), маємо два корені:

Щоб рівняння не мало коренів, необхідно, щоб \(t_1\le 0\) i \(t_2\le 0{:}\)

Спільна умова: \(a\le -2{,}5.\)

Найбільше значення \(a\) з проміжку \((-\infty; -2{,}5]\) це \(-2{,}5.\)

Відповідь: \(-2{,}5.\)

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній і текстовій формі.

\begin{gather*} 18-12=6\ \text{год}. \end{gather*} Отже, густина пилу перевищувала рівень \(25\) мкг/м\(^3\) протягом \(6\) годин.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Коло та круг.

Завдання скеровано на перевірку знань про коло та його елементи.

Якщо точки \(A\), \(B\), \(C\) поділяють коло на три рівні частини, то

Звідси

Відповідь: Г.

ТЕМА: Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей ромба та його елементів.

Ромб – це чотирикутник, у якого всі сторони рівні.

Периметр ромба – це сума довжин усіх його сторін:

За умовою, довжина сторони \((a)\) є цілим числом (наприклад \(1\), \(2\), \(3\), \(4\ \text{...}\)). Тому, периметр \((P)\) буде завжди добутком цілого числа на \(4\), що дає числа, які кратні \(4{:}\)

З запропонованих чисел лише \(56\) – кратне \(4.\)

Відповідь: В.

ТЕМА: Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння використовувати ознаки подільності чисел, розв’язувати текстові задачі.

Сирні кульки фасують по \(4\) штуки в коробку. Щоб усі вони були повністю розфасовані по таких коробках, кількість кульок повинна бути кратна \(4.\)

З наведених варіантів чисел – це \(112.\)

Відповідь: В.

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

За \(x_0=-2\), \(x_0=-1\), \(x_0=5\) та \(x_0=4\) функція набуває додатного значення.

І лише за \(x_0=3\) від'ємного: \(f(3)=-1.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання взаємного розміщення прямих і площин у просторі, властивостей піраміди.

Висота піраміди \(SO\) перпендикулярна до основи \(ABCD.\) За властивістю перпендикулярності прямої і площини, якщо \(SO\ \perp\ (ABC)\), то \(SO\) перпендикулярна до будь-якої прямої в площині \((ABC)\), а площина \((ABC)\) містить безліч прямих.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей степенів та коренів, дії з ними.

Застосуймо властивості степенів:

Відповідь: B.