ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей ромба.

І. Протилежні кути ромба рівні (властивість будь-якого паралелограма).

ІІ. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні (властивість ромба).

ІІІ. У будь-який ромб можна вписати коло (сума довжин протилежних сторін рівна).

Усі твердження є правильними.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння з параметрами.

ОДЗ:

Використаємо властивість коренів:

\(x = 5\) – корінь рівняння незалежно від параметра \(a.\)

Для того, щоб рівняння мало два корені, необхідно, щоб \(\sqrt{x} + \sqrt{x - 4} = \sqrt{a}\) мало один корінь, який не збігається з \(x = 5.\)

\(\sqrt{x} + \sqrt{x - 4} = \sqrt{a}\) піднесемо до квадрата обидві частини рівняння: \begin{gather*} x + x - 4 + 2\sqrt{x(x - 4)} = a,\\[7pt] 2\sqrt{x(x - 4)} = a + 4 - 2x. \end{gather*}

Ліва частина рівняння невід'ємна, тому й права частина повинна бути невід'ємною. Отже,

З урахуванням ОДЗ:

Найменше ціле значення параметра \(a\), при якому початкове рівняння має два корені при \(a \gt 6 + 2\sqrt{5}\)
\(6 + 2\sqrt{5} \approx 10{,}5.\) Отже, \(a = 11.\)

Відповідь: \(11.\)