ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Ромб та його властивості. Площа ромба. Теорема Піфагора.

Це завдання перевіряє вміння знаходити довжину висоти та площу ромба. Для розв’язання завдання потрібно знати означення ромба та його властивості, формулу його площі та вміти використовувати теорему Піфагора для знаходження невідомих елементів прямокутного трикутника.

Нехай \(ABCD\) – заданий ромб, \(DK\) – висота ромба (див. рисунок).

Оскільки точка \(K\) лежить на стороні ромба, то її довжина дорівнює сумі довжин відрізків \(BK\) та \(KC{:}\)

1. У прямокутному трикутнику \(DKC\) катет \(KC = 6\) см, гіпотенуза \(DC = 10\) см. За теоремою Піфагора визначаємо довжину перпендикуляра \(DK{:}\)

2. Площу ромба можна обчислити за формулою $$ S = a \cdot h, $$ де \(a\) – сторона ромба, \(h\) – висота ромба. Обчислимо площу ромба \(ABCD{:}\)

Відповідь: 1. \(8.\)
                   2. \(80.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Мода, медіана, розмах ряду даних.

Це завдання перевіряє вміння визначати характеристики ряду даних (моду, медіану, середнє значення і розмах) за наданою таблицею частот.

Визначимо об’єм ряду даних \((n)\) – кількість усіх його елементів: елемент \(5\) зустрічається тричі, елемент \(7\) – \(4\) рази, елемент \(9\) – двічі, елемент \(10\) – один раз, елемент \(12\) – \(5\) разів, елемент \(15\) – тричі, елемент \(16\) – один раз, елемент \(18\) – один раз, тому

1. Розмахом \((R)\) ряду даних називається різниця між найбільшим та найменшим елементами ряду даних: $$ R=18-5=13. $$ Отже, 1 – Д.

2. Модою \((M_o)\) називається значення ряду даних, яке має найбільшу частоту, тобто зустрічається найчастіше. З таблиці видно, що найчастіше зустрічається у ряді даних елемент \(12\), тому мода \(M_o=12.\) Отже, 2 – Г.

3. Медіаною \((M_e)\) упорядкованого ряду даних, що має парну кількість елементів, називається середнє арифметичне двох чисел, що стоять посередині цього ряду. У нашому випадку медіана – це середнє арифметичне \(10\text{-го}\) і \(11\text{-го}\) елементів ряду даних: $$ M_e=\frac{10+12}{2}=11. $$ Отже, 3 – Б.

4. Середнім значенням ряду даних \(\overline{x}\) називається середнє арифметичне всіх його елементів:

Отже, 4 – А.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – Б, 4 – A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції. Основні властивості функції: парність, періодичність, монотонність. Область визначення функції.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою, зокрема, визначати належність точки графіку заданої функції, знаходити область визначення функції, визначати найменше значення функції. Для розв’язання завдання потрібно також знати властивості симетрії графіків парних та непарних функцій.

Розглянемо кожну з функцій A – Д окремо.

А. Функція $$ y=\frac{2}{x-2} $$ визначена для всіх значень \(x\), при яких знаменник \(x-2\) відмінний від нуля, тобто при \(x\ne 2.\) Тому областю визначення цієї функції є об’єднання інтервалів \((-\infty; 2)\cup (2; +\infty).\)
Отже, 3 – А.

Б. Графіком квадратичної функції \(y=(x+2)^2\), або $$ y=x^2+4x+4 $$ є парабола, яку можна отримати перенесенням параболи, заданої рівнянням \(y=x^2\), на \(2\) одиниці ліворуч (див. рисунок).

З рисунка видно, що графік функції \(y=(x+2)^2\) не є симетричним відносно осі \(y\), а найменшого значення ця функція набуває в точці \(x=-2\), яка є абсцисою вершини параболи. Можна міркувати інакше. Оскільки вираз \((x+2)^2\), який є повним квадратом, набуває лише невід’ємних значень, точніше, \((x+2)^2=0\), якщо \(x=-2\), і \((x+2)^2\gt 0\), якщо \(x\ne -2\), то він набуває найменшого значення, якщо \(x=-2.\) Отже, 2 – Б.

В. Графік показникової функції \(y=3^x\) проходить через точку \((0; 1)\), оскільки \(3^0=1.\) Ця функція є зростаючою на всій області визначення – проміжку \((-\infty; +\infty).\) Отже, більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції. Тому графік функції \(y=3^x\) не є симетричним відносно осі \(y.\) Можна також скористатися твердженням про те, що симетрією відносно осі ординат володіє лише графік парної функції. Функція \(y=3^x\) не є парною, оскільки умова \(y(-x)=y(x)\), тобто \(3^{-x}=3^x\) виконується лише в одній точці \(x=0.\) Для всіх \(x\ne 0\) ця рівність не виконується. Отже, 1 – В.

Г. Функція \(y=|x|\) є парною, оскільки для всіх \(x\in (-\infty; +\infty)\) виконується умова $$ y(x)=y(-x):|-x|=|x|. $$ Тому її графік симетричний відносно осі \(y.\) Отже, 4 – Г.

Д. Функція \(y=x^3\) визначена на всій дійсній осі, зростає на всій області визначення, тому не існує жодної точки, у якій вона набуває найменшого значення. Точка \((0; 1)\) не належить графіку функції, оскільки її координати не задовольняють рівняння функції: \(1\ne 0^3.\) Функція \(y=x^3\) для будь-якого дійсного значення \(x\) задовольняє умову $$ y(-x)=-y(x):(-x)^3=-x^3, $$ тобто є непарною, тому її графік симетричний відносно початку координат, а не відносно осі \(y.\) Отже, жодне з наведених тверджень не є правильним для функції \(y=x^3.\)

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – А, 4 – Г.

22

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Квадрат та його властивості. Прямокутник та його властивості. Середня лінія трапеції. Коло, описане навколо чотирикутника.

Це завдання перевіряє вміння знаходити довжини відрізків геометричних фігур. Щоб розв’язати завдання, потрібно знати означення й властивості квадрата, прямокутника, прямокутного рівнобедреного трикутника, теорему про середню лінію трапеції, означення бісектриси кута, теорему Піфагора.

Оскільки точка \(O\) належить відрізку \(LN\), то $$ LN=LO+ON=8+2=10. $$ За умовою \(LN\ ||\ CD\), тому \(\angle BLN=\angle LCD=90^\circ\), отже, чотирикутник \(DCLN\) – прямокутник. Тоді $$ CD=LN=10. $$ Оскільки \(ABCD\) – квадрат, то $$ BC=CD=10. $$

1. За умовою \(KM\ ||\ AD\), тому \(\angle KMD=\angle MDA=90^\circ\), отже, чотирикутник \(KMDA\) – прямокутник. Тоді $$ KM=AD=10. $$ Оскільки точка \(O\) належить відрізку \(KM\), то $$ OK=KM-OM=10-6=4. $$ Отже, 1 – А.

2. За теоремою Піфагора, діагональ прямокутника \(OLCM\) дорівнює

Оскільки радіус кола, описаного навколо прямокутника, дорівнює половині його діагоналі, то радіус кола, описаного навколо прямокутника \(OLCM\), дорівнює $$ 10:2=5. $$ Отже, 2 – Б.

3. Довжина середньої лінії трапеції дорівнює півсумі її основ. У трапеції \(OBCM\) основи \(BC\) і \(OM\) дорівнюють відповідно \(10\) і \(6\), отже, довжина середньої лінії трапеції дорівнює $$ \frac{BC+OM}{2}=\frac{10+6}{2}=8. $$ Отже, 3 – Г.

4. Оскільки \(OP\) – бісектриса кута \(NOM\), то вона ділить цей кут навпіл, тому $$ \angle NOP=\angle POM=\frac{90^\circ}{2}=45^\circ. $$ Оскільки \(\angle ONP=90^\circ\), то

Тоді трикутник \(NOP\) є рівнобедреним і $$ NP=ON=2. $$ Довжина відрізка \(AP\) дорівнює $$ AN+NP=OK+NP=4+2=6. $$ Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – A, 2 – Б, 3 – Г, 4 – В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, логарифмічні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати перетворення ірраціональних, степеневих, показникових та логарифмічних виразів. Перетворимо кожен вираз.

1. Використаємо властивість логарифма: $$ k\cdot \log_c b=\log_c b^k, $$ тоді $$ 2\log_2 b=\log_2 b^2 $$ і рівність $$ \log_2 a=2\log_2 b $$ набуває вигляду $$ \log_2 a=\log_2 b^2. $$ Оскільки логарифми виразів рівні лише тоді, коли рівні самі вирази, то \(a=b^2.\) Отже, 1 – Г.

2. Запишемо рівність \(a^3=8b^3\) у вигляді \begin{gather*} a^3=2^3\cdot b^3,\\[7pt] a^3=(2b)^3. \end{gather*} Куби двох виразів рівні, якщо рівні самі вирази, тому \(a=2b.\) Отже, 2 – А.

3. Піднесемо обидві частини рівності \(\sqrt{a}=2\sqrt{b}\) до квадрата: $$ (\sqrt{a})^2=(2\sqrt{b})^2. $$ За означенням арифметичного квадратного кореня \begin{gather*} (\sqrt{a})^2=a,\\[7pt] (2\sqrt{b})^2=2^2\cdot(\sqrt{b})^2=4b. \end{gather*} Отримаємо рівність \(a=4b\). Отже, 3 – В.

4. Подамо число \(4\) у вигляді степеня з основою два: \(4=2^2\), тоді $$ 2^a=2^2\cdot 2^b. $$ Використовуючи формулу $$ a^x\cdot a^y=a^{x+y}, $$ отримаємо рівність $$ 2^a=2^{2+b}. $$ Степені \(a^x\) і \(a^y\), де \(a\gt 0\) і \(a\ne 1\), з однаковими основами рівні тоді і тільки тоді, коли рівні показники \(x\) і \(y\) цих степенів. Тому рівність $$ 2^a=2^{2+b} $$ рівносильна рівності \(a=2+b\). Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – А, 3 – B, 4 – Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Прямокутний трикутник. Теорема Піфагора.

Це завдання перевіряє вміння використовувати теорему Піфагора для розв’язування задач із практичним змістом.

Спочатку знайдемо довжину відрізка \(LO\), при якій стулка \(LM\) під час відкривання воріт доторкнеться до автомобіля (зробить невеликий подряпину на бампері). Це станеться тоді, коли довжина відрізка \(LQ\) дорівнюватиме довжині стулки \(LM\), тобто \(2\) м. Розглянемо прямокутний трикутник \(LOQ\) (див. рисунок). За теоремою Піфагора:

Запишемо дані альтернативи у вигляді

А \(1{,}6=\sqrt{2{,}56}\) м.

Б \(1{,}7=\sqrt{2{,}89}\) м.

В \(1{,}8=\sqrt{3{,}24}\) м.

Г \(1{,}9=\sqrt{3{,}61}\) м.

Д \(2=\sqrt{4}\) м.

Далі міркуємо так. Щоб стулка \(LM\) під час відкривання воріт НЕ торкнулася автомобіля, потрібно, щоб довжина відрізка \(LQ\) (гіпотенузи прямокутного трикутника \(LOQ\)) була більша за розмах стулки, що дорівнює \(2\) м. Це виконуватиметься тоді, коли довжина катета \(LO\) буде більша за \(\sqrt{3}\) м. Найменшою із наведених у відповідях відстаней, що задовольняють цю умову, є \(1{,}8\) м.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Визначений інтеграл. Геометричний зміст визначеного інтеграла.

Це завдання перевіряє вміння використовувати геометричний зміст визначеного інтеграла у задачах на обчислення площ плоских фігур.

Нагадаємо, що плоску фігуру, обмежену графіком неперервної та невід’ємної функції \(y=f(x)\), віссю \(x\) і прямими \(x=a\) та \(x=b\), де \(a\lt b\), називають криволінійною трапецією. Площу цієї трапеції можна обчислити за формулою $$ S=\mathop{\int}\limits_a^b f(x)dx. $$

Якщо для всіх \(x\in [a; b]\) виконується нерівність \(f(x)\le 0\), то площа \(S\) фігури, обмеженої графіком функції \(y=f(x)\), відрізком \([a; b]\) осі \(x\) і прямими \(x=a\) та \(x=b\), обчислюється за формулою

Якщо відрізок \([a; b]\) розбити точкою \(c\) на два відрізки, то

З рисунка видно, що графік функції \(y=f(x)\) на проміжку \([-1; 0]\) розміщений над віссю абсцис, а на проміжку \([0; 1]\) – під віссю абсцис.

Зображена фігура на проміжку \([-1; 0]\) обмежена зверху графіком функції \(y=f(x)\), а знизу – графіком функції \(y=0\), тому площу цієї криволінійної трапеції обчислюємо за формулою $$ S_1=\mathop{\int}\limits_{-1}^0 f(x)dx. $$ На проміжку \([0; 1]\) зверху фігура обмежена графіком функції \(y=0\), а знизу – графіком функції \(y=f(x)\), тому площу цієї фігури (зазначимо, що згідно означення ця фігура не є криволінійною трапецією) обчислюємо за формулою $$ S_2=-\mathop{\int}\limits_0^1 f(x)dx. $$ Отже, площу зафарбованої фігури обчислюємо як суму двох площ (інтегралів):

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Метод інтервалів.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні нерівності.

Перший спосіб. Розв’яжемо нерівність методом інтервалів. Для цього перенесемо всі доданки у ліву частину нерівності: $$ x^3-x^2\ge 0 $$ і винесемо за дужки спільний множник: $$ x^2(x-1)\ge 0. $$

Визначимо нулі функції $$ y=x^2(x-1), $$ тобто корені рівняння $$ x^2(x-1)=0, $$ \(x_1=0\) і \(x_2=1\). Зазначимо, що корінь \(x_1=0\) має кратність \(2.\)

Позначимо на числовій осі \(x\) нулі \(x_1=0\) і \(x_2=1\) та визначимо знаки виразу $$ x^2(x-1) $$ на кожному з отриманих проміжків (див. діаграму).

Отже, \(x\in\{0\}\cup [1; +\infty)\) – множина розв’язків заданої нерівності.

Другий спосіб. При \(x=0\) нерівність \(x^3\ge x^2\) є правильною: \(0\ge 0.\) Отже, \(x=0\) – один з розв’язків нерівності. Нехай \(x\ne 0\). Тоді \(x^2\gt 0\), тому, поділивши обидві частини нерівності \(x^3\ge x^2\) на \(x^2\), отримаємо нерівність \(x\ge 1\), рівносильну заданій. Об’єднавши множини \(x\in\{0\}\) та \(x\in [1; +\infty)\), отримаємо відповідь: \(x\in\{0\}\cup [1; +\infty).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Пряма трикутна призма. Площа бічної поверхні призми.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати площу бічної поверхні призми. Для виконання завдання потрібно знати формули площі бічної поверхні призми та площі прямокутника.

Нехай \(ABCA_1B_1C_1\) задана пряма трикутна призма, основою якої є трикутник \(ABC.\) Введемо коефіцієнт пропорційності \(x.\) Тоді \(AC=2x\) см, \(BC=3x\) см, \(AB=4x\) см. Нехай \(BB_1=h\) см – висота призми (див. рисунок).

Бічну поверхню призми утворюють грані (прямокутники) \(AA_1B_1B\), \(AA_1C_1C\) та \(BB_1C_1C\), у яких $$ AA_1=BB_1=CC_1=h. $$ Найменшою бічною гранню є грань \(AA_1C_1C\), оскільки найменшою стороною основи є \(AC.\) Її площа обчислюється за формулою $$ S=2xh=12, $$ звідки \(xh=6\).

Площа \(S_\text{б}\) бічної поверхні призми \(ABCA_1B_1C_1\) дорівнює сумі площ бічних граней:

Відповідь: Б.