ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції.

Це завдання перевіряє вміння знаходити значення функції в точці за її графіком.

Щоб знайти значення функції \(y=f(x)\) в точці \(x=2\), потрібно через точку \(2\) на осі \(x\) провести пряму, паралельну осі \(y\), до перетину з графіком, після чого опустити перпендикуляр на вісь \(y\) (див. рисунок).

Отримана точка \(5\) і буде значенням функції в точці \(x=2.\) Отже, \(f(2)=5.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Тіла і поверхні обертання. Комбінації тіл.

Це завдання перевіряє вміння визначати твірну конуса за заданими його об’ємом та радіусом його основи.

Для розв’язання завдання потрібно знати властивості рівнобедреного трикутника, означення та властивості конуса, формулу об’єму конуса, теорему Піфагора.

Нехай \(ABC\) – рівнобедрений трикутник, у якому \(AB = CB\) (див. рисунок).

Висота \(BO\) є одночасно його медіаною та бісектрисою. Результатом обертання трикутника \(ABC\) навколо висоти \(BO\) (або прямокутного трикутника \(ABO\) навколо катета \(BO\)) є конус з висотою \(BO\) та радіусом основи \(AO.\) Трикутник \(ABC\) – осьовий переріз конуса. Бічна сторона трикутника \(ABC\) – твірна конуса.

За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника \(ABO\) виконується рівність $$ AB^{2} = AO^{2} + BO^{2}. $$ Оскільки точка \(O\) є серединою відрізка \(AC\), то $$ AO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8\ \text{см}. $$

Для визначення висоти конуса запишемо формулу об’єму конуса: $$ V = \frac{1}{3}\pi AO^{2} \cdot BO. $$ Оскільки \(AO = 8\ \text{см}\), а \(V = 320\pi\ \text{см}^3\), то \begin{gather*} 320\pi = \frac{1}{3}\pi \cdot 8^{2} \cdot BO,\\[6pt] 320\cdot 3=64\cdot BO,\\[6pt] BO = \frac{320 \cdot 3}{64} = 5\cdot 3=15\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, $$ AB^{2} = 8^{2} + 15^{2} = 289, $$ звідси $$ AB = \sqrt{289} = 17\ \text{см}. $$

Відповідь: \(17.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Ірраціональні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних числових виразів.

Щоб розв’язати завдання, потрібно знати формулу скороченого множення: $$ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, $$ а також властивості коренів, зокрема \begin{gather*} \sqrt{a}\cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab},\\[7pt] (\sqrt{a})^2 = a. \end{gather*}

Спростимо заданий вираз. Спочатку врахуємо, що $$ \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}. $$ Тоді

Отже,

Відповідь: \(-83.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Логарифмічні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

Перший спосіб. Оскільки $$ \lg \frac{4}{2x - 3} = \lg 4 - \lg (2x - 3), $$ то перепишемо нерівність у вигляді \begin{gather*} \lg 4 - \lg (2x - 3) \ge 0,\ \text{або}\\[7pt] \lg (2x - 3) \le \lg 4. \end{gather*} Ураховуючи, що логарифмічна функція \(y = \lg x\) (тут основа дорівнює \(10 \gt 1\)) є зростаючою, то задана нерівність рівносильна системі нерівностей $$ \left\{\begin{array}{l} 2x - 3 \le 4,\\ 2x-3\gt 0, \end{array}\right. $$ звідки отримуємо: \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 2x \le 7,\\ 2x \gt 3, \end{array}\right.\\[7pt] x \in (1{,}5; 3{,}5]. \end{gather*} Отже, найбільший розв’язок цієї нерівності – це число \(x = 3{,}5.\)

Другий спосіб. Ураховуючи, що \(0 = \lg 1\), перепишемо нерівність у вигляді $$ \lg \frac{4}{2x - 3} \ge \lg 1, $$ після чого переходимо до рівносильної нерівності

звідки \(x \in (1{,}5; 3{,}5].\)

Відповідь: \(3{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Арифметична прогресія.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати практичні задачі на арифметичну прогресію.

Оскільки вартість підійому меблів на кожен наступний поверх перевищує вартість підійому на попередній на одну й ту саму величину, тоді й повна вартість підійому меблів на кожен наступний поверх перевищує повну вартість їх підйому на попередній на одну й ту саму величину, тобто утворює арифметичну прогресію. Позначимо через \(a_n\) повну вартість підійому меблів на \(n\text{-й}\) поверх. За умовою \(a_4 = 142\ \text{грн}\), \(a_7 = 154\ \text{грн}\). Потрібно визначити \(a_{11}.\)

Оскільки $$ a_n = a_1 + d(n-1), $$ де \(d\) – різниця арифметичної прогресії, то \begin{gather*} a_1 + 3d = 142,\\[7pt] a_1 + 6d = 154. \end{gather*} Звідси отримуємо \begin{gather*} 3d = 154 - 142 = 12,\\[7pt] d = 4. \end{gather*} Тоді

Відповідь: \(170.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Ромб та його властивості. Рівносторонній трикутник та його властивості. Коло, вписане в ромб. Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати довжини відрізків, які є складовими рівностороннього та прямокутного трикутників.

З умови випливає, що сторона ромба дорівнює \(48 : 4 = 12\ \text{см}.\)

1. Проведемо діагональ \(BD\) і розглянемо трикутник \(ABD\) (див. рисунок).

Оскільки \(AB = AD\) і \(\angle A = 60^\circ\), то цей трикутник є рівностороннім. Тоді $$ BD = AB = AD = 12\ \text{см}. $$ Проведемо радіуси \(OK\) та \(OM\) і розглянемо трикутники \(OKB\) та \(OMD\). Оскільки \(OK\ \perp\ AB\) і \(OM\ \perp\ AD\) (дотична до кола перпендикулярна до радіуса, який сполучає центр кола з точкою дотику), \(OK = OM\) (як радіуси вписаного кола). \(\angle ABD = \angle ADB = 60^\circ\), то ці прямокутні трикутники рівні (за стороною та двома кутами). Тому $$ OB = OD = \frac{1}{2}BD = 6\ \text{см}. $$

2. Доведемо спочатку, що трикутник \(AKM\) є рівностороннім. З рівності трикутників \(OKB\) та \(OMD\) випливає, що \(KB = MD.\) Оскільки \(AB = AD\) i \(AK+KB=AB\), \(AM+MD=AD\), то \(AK=AM\). Оскільки \(\angle A = 60^\circ\), то трикутник \(AKM\) є рівностороннім. У прямокутному трикутнику \(OKB\) \(\angle KBO = 60^\circ\), тоді \(\angle KOB = 30^\circ.\) Отже, катет \(KB\) удвічі менший за гіпотенузу \(OB\mathord{:}\) $$ KB = \frac{1}{2}OB = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3\ \text{см}. $$ Тоді

Відповідь: 1. \(6.\)
                   2. \(9.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі.

1. Позначимо через \(x\) швидкість пішохода, тоді \(x + 12\) – швидкість велосипедиста. Оскільки відстань між двома містами велосипедист долає за \(2\ \text{год}\), а пішохід – за \(6\ \text{год}\), то виконується рівність $$ 2(x + 12) = 6x, $$ звідси отримуємо \begin{gather*} x + 12 = 3x,\\[7pt] x = 6\ \text{ км/год}. \end{gather*} Тоді відстань між містами становить $$ 6 \cdot 6 = 36\ \text{км}. $$

2. Оскільки швидкість пішохода дорівнює \(6\ \text{км/год}\), а швидкість велосипедиста на \(12\ \text{км/год}\) більша, тобто дорівнює \(18\ \text{км/год}\), то за одну годину пішохід подолає \(6\ \text{км}\), а велосипедист – \(18\ \text{км}\). Тому через одну годину відстань між ними зменшиться на $$ 6 + 18 = 24\ \text{км}. $$ Щоб визначити через скільки годин після початку руху вони зустрінуться, потрібно відстань між містами, а вона дорівнює \(36\ \text{км}\), розділити на \(24\ \text{км}\). Отримаємо $$ 36 : 24 = 1{,}5\ \text{год}. $$

Відповідь: 1. \(36.\)
                   2. \(1{,}5.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі. Формула для обчислення відстані між двома точками.

Це завдання перевіряє розуміння декартової системи координат у просторі, а також уміння визначати відстань від заданої точки до геометричних об’єктів (точки, прямої та площини).

Нагадаємо, що відстань \(d\) між точками \(M_1(x_1; y_1; z_1)\) та \(M_2(x_2; y_2; z_2)\) можна обчислити за формулою:

1. Відстань від точки \(M(1; -4; 8)\) до площини \(xy\) дорівнює відстані від точки \(M\) до її проєкції на цю площину, тобто до точки \((1; -4; 0)\). Ця відстань дорівнює \(8.\) Отже, 1 – Г.

У загальному випадку відстань від точки \(M_1(x_1; y_1; z_1)\) до площини \(xy\) дорівнює \(|z_1|\), до площини \(xz\) — \(|y_1|\), до площини \(yz\) — \(|x_1|\).

2. Відстань від точки \(M\) до початку координат – це відстань від проекції точки \(M\) до точки \((0; 0; 0)\) і дорівнює

Отже, 2 – Д.

3. Відстань від точки \(M\) до осі \(z\) – це відстань від проєкції точки \(M\) на площину \(xy\) до початку координат, тобто точки \((0; 0; 0)\). Отже, шуканa відстань – це відстань між точками \((1; -4; 0)\) та \((0; 0; 0)\) і дорівнює

Отже, 3 – В.

4. Відстань від точки \(M\) до точки \(N(1; 0; 8)\) дорівнює

Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Д, 3 – В, 4 – Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Рівносторонній трикутник та його властивості. Коло, описане навколо трикутника, і коло, вписане в трикутник. Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника. Формули для обчислення площі трикутника. Теорема синусів. Теорема Піфагора.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв’язування планіметричних задач.

Дамо характеристику трикутникам, зображеним на рисунках 1–5.

А. Трикутник, у якого дві сторони рівні, є рівнобедреним. Оскільки кут між ними, тобто кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює \(60^\circ\), то кут при основі цього трикутника дорівнює $$ \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ. $$ Отже, всі кути трикутника рівні, тому він є рівностороннім. А в рівносторонньому трикутнику центри описаного та вписаного кіл збігаються. Тому 1 – А.

Б. На цьому рисунку зображено прямокутний рівнобедрений трикутник, катети якого дорівнюють \(5\ \text{см}\). Гіпотенуза цього трикутника дорівнює \(5\sqrt{2}\ \text{см}\). Центр кола, описаного навколо цього трикутника, є серединою гіпотенузи. Тому діаметр описаного кола дорівнює довжині гіпотенузи, тобто \(5\sqrt{2}\ \text{см}\). Внутрішні кути дорівнюють \(45^\circ\), \(45^\circ\) та \(90^\circ\), а площа: $$ \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = 12{,}5\ \text{см}^2. $$ Отже, трикутник, зображений на рис. Б, не може бути відповіддю на жодне із запитань 1–4.

В. У прямокутному трикутнику, один з катетів якого удвічі менший за гіпотенузу, гострий кут, що є протилежним до меншого катета, дорівнює \(30^\circ.\) Оскільки катет трикутника дорівнює \(5\) см, а гіпотенуза \(10\) см, то гострий кут дорівнює \(30^\circ.\) Отже, 2 – В.

Г. У трикутнику задано два кути та одну сторону, тому можна скористатися теоремою синусів та наслідком з цієї теореми: $$ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R, $$ де \(R\) – радіус кола, описаного навколо трикутника із сторонами \(a\), \(b\), \(c\) та відповідними кутами \(\alpha\), \(\beta\) та \(\gamma.\)

Виконується рівність $$ \frac{10}{\sin 45^\circ} = 2R, $$ звідки отримуємо \begin{gather*} \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2R,\\[6pt] 2R = 10\sqrt{2}. \end{gather*} Отже, діаметр кола, описаного навколо трикутника, зображеного на рис. Г дорівнює \(10\sqrt{2}\). Тому 4 – Г.

Д. Неохопленим залишилося лише запитання 3, якому може відповідати лише рисунок Д. Покажемо, що площа трикутника, зображеного на рис. Д, дорівнює \(10\ \text{см}^2.\) Висота цього трикутника ділить трикутник на два прямокутні трикутники з катетами \(2\ \text{см}\) і \(3\ \text{см}\) та \(2\ \text{см}\) і \(7\ \text{см}.\) Сума площ цих трикутників становить площу заданого трикутника і дорівнює

Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – А, 2 – В, 3 – Д, 4 – Г.