ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Логарифмічні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

Область допустимих значень (ОДЗ) цього рівняння визначається системою

(враховуємо, що логарифмічна функція визначена лише для додатних значень аргументу). Задане рівняння на ОДЗ рівносильне рівнянню: \begin{gather*} 5x^2-8=-3x,\\[7pt] 5x^2+3x-8=0, \end{gather*} звідки \begin{gather*} x_1=1,\\[7pt] x_2=-1{,}6. \end{gather*}

Значення \(x_1=1\), що не задовольняє ОДЗ рівняння, не є коренем заданого рівняння; значення \(x_2=-1{,}6\) задовольняє ОДЗ, отже, є єдиним коренем заданого рівняння.

Відповідь: \(-1{,}6.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Це завдання з практичним змістом перевіряє вміння знаходити значення кусково-заданої функції.

Формула обчислення вартості поїздки на таксі передбачає врахування декількох параметрів, а саме: довжини маршруту, вартості замовлення таксі та час, протягом якого таксі рухається (наприклад, очікує на пасажира) або рухається дуже повільно (затори на дорогах або аварійна ситуація). Під час розв’язування завдання потрібно з’ясувати, довжина маршруту \(S\) більше чи менше за \(6\) км. Якщо довжина маршруту менша за \(6\) км, то вартість поїздки є мінімальною. Якщо ж довжина маршруту більша за \(6\) км, то вартість поїздки потрібно визначати за першою формулою кусково-заданої функції.

За умовою, $$ S=10{,}5\gt 6, $$ тоді обчислюємо значення функції (вартість поїздки на таксі) за формулою $$ P=P_{min}+2{,}4\cdot(S-6)+0{,}5t. $$ Підставляємо дані, наведені в умові: \begin{gather*} P_{min}=28,\\[7pt] t=12,\\[7pt] S=10{,}5 \end{gather*} та отримуємо:

Відповідь: \(44{,}8.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення двох чисел.

Це завдання перевіряє знання основної властивості пропорції та вміння її застосовувати до перетворення дробової рівності.

Виразимо з рівності $$ \frac{y-x}{2x}=\frac{3}{4} $$ змінну \(y\) через \(x\), скориставшись основною властивістю пропорції: добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку середніх: \begin{gather*} 4(y-x)=6x,\\[7pt] 4y=10x,\\[7pt] y=2{,}5x. \end{gather*} Тоді $$ \frac{y}{x}=\frac{2{,}5x}{x}=2{,}5. $$ Таким чином \(y\) більше за \(x\) у \(2{,}5\) рази.

Відповідь: \(2{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Мода, медіана, розмах ряду даних.

Це завдання перевіряє вміння визначати характеристики ряду даних (моду, медіану і розмах) за полігоном частот, зображеним на рисунку.

Визначимо характеристики ряду даних:

1. З діаграми видно, що елемент \(6\) зустрічається у ряді даних тричі, \(12\) – \(5\) разів, \(18\) – \(1\) раз, \(24\) – тричі, \(30\) – двічі і \(36\) – \(4\) рази. Тому кількість елементів цього ряду даних:

Отже, 1 – Б.

2. Розмахом \((R)\) ряду даних називається різниця між найбільшим та найменшим елементами ряду даних: $$ R=36-6=30. $$ Отже, 2 – Г.

3. Модою \((Mo)\) називається значення ряду даних, яке має найбільшу частоту, тобто зустрічається найчастіше. Найбільшу частоту, що дорівнює \(5\), має елемент \(12\), тому мода \(Mo=12.\) Отже, 3 – А.

4. Медіаною \((Me)\) впорядкованого ряду даних, що має парну кількість елементів, називається середнє арифметичне двох чисел, що стоять посередині цього ряду. У нашому випадку медіана – це середнє арифметичне \(9\text{-го}\) і \(10\text{-го}\) елементів ряду даних: $$ Me=\frac{18+24}{2}=21. $$ Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Г, 3 – A, 4 – B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Квадрат. Теорема Піфагора.

Це завдання перевіряє вміння знаходити невідомі елементи прямокутного трикутника, відстань від точки до прямої.

Знайдемо довжини елементів (1 – 4).

1. У прямокутному трикутнику \(CDF\) (\(\angle D=90^\circ\)) відомі катет та гіпотенуза: \(CD=1\) см, \(CF=\sqrt{5}\) см. Довжину катета \(FD\) обчислимо за теоремою Піфагора:

Отже, 1 – Г.

2. Довжина радіуса кола, описаного навколо квадрата \(ABCD\), дорівнює половині довжини діагоналі цього квадрата. Оскільки діагональ квадрата зі стороною \(1\) дорівнює \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\), то радіус описаного кола дорівнює $$ \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}. $$ Отже, 2 – Б.

3. Відстань від точки \(F\) до прямої \(BC\) дорівнює довжині перпендикуляра \(h\), опущеного з точки \(F\) на пряму \(BC\) (див. рисунок). Оскільки прямі \(AF\) і \(BC\) паралельні, то відстань від точки \(F\) та від будь-якої іншої точки прямої \(AF\) до прямої \(BC\) рівні. Оскільки \(CD\ \perp\ BC\), то \(h=CD=1.\) Отже, 3 – А.

4. Відстань від точки \(F\) до прямої \(BD\) дорівнює довжині перпендикуляра \(FL\), опущеного з точки \(F\) на пряму \(BD\) (див. рисунок). \(\angle ABD=\angle ADB=45^\circ\) як кути між діагоналлю квадрата і його стороною. \(\angle FDL=\angle ADB=45^\circ\) як вертикальні. Оскільки \(\angle DLF=90^\circ\), то \(\angle DFL=45^\circ.\) Таким чином прямокутний трикутник \(DLF\) рівнобедрений з гіпотенузою \(FD=2.\) Катет такого трикутника дорівнює $$ \frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}. $$ Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – A, 4 – В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції.

Це завдання перевіряє вміння будувати графіки елементарних функцій та аналізувати їх взаємне розташування.

Побудуємо в одній системі координат графіки всіх заданих функцій. Графіком функції \(y=\frac{x}{5}\) є пряма. Щоб побудувати цю пряму, достатньо задати дві точки, що їй належать, наприклад, \((0; 0)\), \((5; 1).\)

1. Графіком функції \(y=x+5\) є пряма, яка перетинає осі координат у точках \((-5; 0)\) та \((0; 5)\). З рисунка видно, що графіки функцій \(y=\frac{x}{5}\) і \(y=x+5\) перетинаються в одній точці. Можна міркувати по- іншому: кутові коефіцієнти двох прямих \(y=\frac{x}{5}\) і \(y=x+5\) не рівні \(\left(\frac{1}{5}\ne 1\right)\), тому ці прямі не є паралельними, тобто перетинаються. Отже, 1 – Б.

2. З рисунка видно, що графіки функцій \(y=\frac{x}{5}\) і \(y=5^x\) не перетинаються. Отже, 2 – А.

3. Спочатку зазначимо, що графік функції \(y=\sqrt{x}\) симетричний графіку квадратичної функції \(y=x^2\), де \(x\in[0; +\infty)\), відносно прямої \(y=x.\) Графіком функції \(y=\frac{x}{5}\) є пряма, що проходить через початок координат. Пряма і парабола можуть мати дві, одну або жодної спільної точки. З рисунка видно, що \((0; 0)\) – спільна точка графіків функцій \(y=\frac{x}{5}\) і \(y=\sqrt{x}.\) Окрім цієї точки, графіки мають ще одну спільну точку.

Обчислимо значення цих функцій, наприклад, у точках \(x=16\); \(25\); \(36{:}\) \begin{gather*} \sqrt{16}=4\gt \frac{16}{5}=3\frac{1}{5},\\[6pt] \sqrt{25}=5=\frac{25}{5},\\[6pt] \sqrt{36}=6\lt \frac{36}{5}=7\frac{1}{5}. \end{gather*} Точка \((25; 5)\) є другою спільною точкою графіків функцій \(y=\frac{x}{5}\) і \(y=\sqrt{x}.\) Інших спільних точок немає. Можна ще міркувати так: оскільки кількість спільних точок графіків функцій \(y=f(x)\) та \(y=g(x)\) дорівнює кількості коренів рівняння \(f(x)=g(x)\), то, розв’язуючи рівняння $$ \frac{x}{5}=\sqrt{x}, $$ дістанемо: \begin{gather*} \frac{x}{5}=\sqrt{x},\\[6pt] \frac{x^2}{25}=x,\\[6pt] x^2=25x,\\[7pt] x(x-25)=0, \end{gather*} звідки \(x_1=0\), \(x_2=25\) – корені. Отже, 3 – В.

4. З рисунка видно, що графіки функцій \(y=\frac{x}{5}\) і \(y=\sin x\), кожна з яких є непарною, перетинаються тричі – у точці \((0; 0)\) та ще у двох точках, які симетричні відносно початку координат. Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – B, 4 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, тригонометричні, логарифмічні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє знання формул скороченого множення, основних тригонометричних та логарифмічних співвідношень.

Перетворимо кожен з наведених виразів:

3. \(100^{\lg m}=10^{2\lg m}=10^{\lg m^2}=m^2.\) Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – Г, 4 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Геометричний зміст похідної.

Це завдання перевіряє знання формули дотичної, проведеної до графіка функції, та вміння використовувати геометричний зміст похідної до розв’язування задач.

Похідна функції \(y=f(x)\) в точці \(x_0\) дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної \(y=kx+b\), проведеної до графіка функції \(y=f(x)\) у точці з абсцисою \(x_0{:}\) \(f'(x_0)=k.\)

Рівняння дотичної, проведеної до графіка функції \(y=f(x)\) у точці з абсцисою \(x_0\), має вигляд $$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0). $$ Підставляємо дані з умови та отримуємо $$ y=2(x-1)+5. $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Об’єм прямокутного паралелепіпеда.

Це завдання практичного змісту перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі з використанням формули об’єму прямокутного паралелепіпеда.

Зображена на рисунку ємність для квітів є прямокутним паралелепіпедом, з якого вирізаний менший паралелепіпед. Отже, об’єм цієї ємності шукатимемо як різницю об’ємів двох паралелепіпедів. Об’єм паралелепіпеда знаходиться за формулою $$ V=abc, $$ де \(a\), \(b\) і \(c\)   виміри паралелепіпеда. Виміри першого паралелепіпеда задані: \(40\) см, \(40\) см, \(50\) см, а виміри другого паралелепіпеда (порожня частина) знаходимо:

Об’єм однієї ємності:

Тоді об’єм \(10\) таких ємностей дорівнює \(440000\) см\(^3\) або \(0{,}44\) м\(^3.\)

Тут враховано, що \(1\) м\(=100\) см, \(1\) м\(^3=1000000\) см\(^3.\)

Відповідь: Г.