ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові та раціональні нерівності та їхні системи.

Функція \(y = 0{,}5^x\) спадна, тому

\begin{gather*} x \in \left(-2\frac{1}{3};\ 5\right). \end{gather*}

Цілі розв'язки: \(-2\); \(-1\); \(0\); \(1\); \(2\); \(3\); \(4.\)

Отже, кількість цілих розв'язків – \(7.\)

Відповідь: \(7.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою.

Функція \(y = 4 - |20x + 7|\) набуває найбільшого значення при \begin{gather*} 20x + 7 = 0,\\[7pt] 20x = -7,\\[6pt] x = -\frac{7}{20},\\[6pt] x = -0{,}35. \end{gather*}

\(|20x + 7| \ge 0\), тому найбільше значення різниці \(4 - |20x + 7|\) при найменшому значенні \(|20x + 7|.\)

Відповідь: \(-0{,}35.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі за допомогою складання рівнянь та їх систем.

Нехай пострілів у «десятку» було \(x\), а у «дев'ятку» – \(y.\)

Усього пострілів зроблено \(10.\) Отже, \(x + y = 10.\)

Усього спортсмен набрав \(94\) очки, отже, \(10x + 9y = 94.\)

Розв'яжемо систему рівнянь методом додавання:

Отже, у «дев'ятку» спортсмен влучив \(6\) разів.

Відповідь: \(6.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Многокутники. Геометричні величини та їх вимірювання.

Це завдання перевіряє знання про коло, вписане у правильні многокутники, у трикутники.

За формулою для радіуса вписаного кола для правильних многокутників \begin{gather*} r_n = \frac{a_n}{2\mathrm{tg}\left(180/n\right)} \end{gather*} знайдемо

1. \begin{gather*} r_3 = \frac{3\sqrt{3}}{2\mathrm{tg}(180/3)} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 1{,}5\ \text{см}. \end{gather*} Отже, 1 – Б.

2. \begin{gather*} r_4 = \frac{2}{2\mathrm{tg}45^\circ} = 1\ \text{см}. \end{gather*} Отже, 2 – А.

3. \begin{gather*} r = \frac{a + b - c}{2} \end{gather*} – формула для прямокутного трикутника.

Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – А, 3 – Г, 4 – B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Координати у просторі.

Це завдання перевіряє знання координат точки у просторі.

1. \(K(0; 0; 12)\) збігається з \(B_1.\) Отже, 1 – Д.

2. \(M(1; 8; 0)\) належить ребру \(CD.\) Отже, 2 – Б.

3. \(P(4; 4; 4)\) належить грані \(AA_1D_1D.\) Отже, 3 – А.

4. \(Q(0; 4; 6)\) належить діагоналі \(BC_1,\ CC_1.\)

\(OQ = \dfrac{1}{2}CC_1 = 6.\) Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – A, 4 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1. Лише I, II, III.

Отже, 1 – В.

2. Лише I, III.

Отже, 2 – Б.

3. Лише I, II.

Отже, 3 – А.

4. I, II, III, IV.

Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – В, 2 – Б, 3 – А, 4 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Це завдання перевіряє вміння застосувати рівняння до розв’язування текстових задач, розв'язувати задачі на відсотки.

1. \(50 \cdot 0{,}1 = 5\) кг. Отже, 1 – А.

2. \(50 \cdot 0{,}1 + 100 \cdot 0{,}25 = 5 + 25 = 30\) кг. Отже, 2 – Д.

3. \(\dfrac{30}{150} \cdot 100\,\% = \dfrac{1}{5} \cdot 100\,\% = 20\,\%.\) Отже, 3 – В.

4. Нехай II сплаву взяли \(x\) кг. Міді в I сплаві \(5\) кг, у II сплаві – \(0{,}25x\) кг. Всього \((5 + 0{,}25x)\) кг міді у сплаві масою \((50 + x)\) кг.

Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – А, 2 – Д, 3 – В, 4 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні нерівності.

Квадратична функція \(y = f(x)\) має від'ємний коефіцієнт \(a\) у формулі \begin{gather*} y = ax^2 + bx + c. \end{gather*}

Розкладемо на множники \begin{gather*} x \cdot f(x) \lt 0,\\[7pt] -x(x - 1)(x - 4) \lt 0,\\[7pt] x(x - 1)(x - 4) \gt 0. \end{gather*} Розв'яжемо методом інтервалів

\begin{gather*} x \in (0; 1) \cup (4; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати тригонометричні рівняння.

При \(n = 1\) \begin{gather*} x = -\frac{\pi}{3} + \pi= \frac{2\pi}{3} \end{gather*} найменший додатний корінь.

Відповідь: B.