ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє знання поняття вектора, вміння множити вектор на число, виконувати додавання векторів.

За правилом паралелограма

Отже, \begin{gather*} \overrightarrow{CO} = -\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}). \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати лінійні рівняння.

Помножимо обидві частини рівняння на \(6{:}\) \begin{gather*} 2(2x - 3) = x + 1,\\[7pt] 4x - 6 = x + 1,\\[7pt] 3x = 7,\\[6pt] x = \frac{7}{3}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми про суму кутів трикутника, властивостей суміжних та вертикальних кутів.

\(\angle DAC + \angle CAB = 180^\circ\) як суміжні.

\(\angle DAC = 146^\circ\), \(\angle CAB = 180^\circ - 146^\circ = 34^\circ.\)

У \(\Delta ABC\) \((\angle B = 90^\circ).\) \(\angle A + \angle C = 90^\circ\), \(\angle C = 90^\circ - 34^\circ = 56^\circ.\) \(\angle ACB = \alpha = 56^\circ\) (як вертикальні).

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функції, заданої графіком.

Область значень функції – множина всіх значень, які може приймати змінна \(y.\)

Отже, \(E(y) = [-1; 2].\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Аксіоми і теореми стереометрії. Взаємне розміщення прямих у просторі, прямої та площини у просторі, площин у просторі.

Це завдання перевіряє знання взаємного розміщення прямих та площин у просторі, ознаки паралельності прямої та площини.

Через дві точки \(B\) і \(C\) можна провести пряму, і до того ж тільки одну.

Через одну пряму можна провести безліч площин.

\(a\ ||\ BC.\) За ознакою паралельності прямої та площини, кожна з площин, яка містить пряму \(BC\), буде паралельна прямій \(a.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми подання статистичної інформації.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, подану у вигляді діаграми.

За даними діаграми, цифрових фотоапаратів продано \(200\), а мобільних телефонів приблизно \(600.\) Більше ніж фотоапаратів, але менше ніж телефонів, продано телевізорів та ноутбуків.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні), їх порівняння та дії з ними. Числові множини та співвідношення між ними.

Це завдання перевіряє вміння порівнювати звичайні дроби.

Запишемо дроби з однаковим чисельником

Використаємо правило: з двох дробів з однаковими чисельниками більший той, у якого знаменник менше.

Отже, в порядку зростання буде:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Показникові рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння і нерівності, що містять показникові вирази, рівняння з параметрами, застосовувати властивості функцій у процесі розв'язування рівнянь.

Розглянемо ліву частину рівняння.

Оцінимо область значень функції

Розглянемо праву частину рівняння:

Отже, рівність досягається при

Корінь рівняння буде додатним при \begin{gather*} \frac{n}{2}-\frac{5}{8},\\[6pt] n\gt \frac{5}{4},\\[6pt] n\gt 1\frac{1}{4},\ n\in Z. \end{gather*}

Отже, при \(n=2\), \(3\), \(4\text{...}\)

Найменше значення параметра \(a{:}\ n=2.\)

Відповідь: \(-2{,}625.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати ознаки та властивості паралельних прямих і площин до розв'язування стереометричних задач, означення та властивості піраміди.

\((SBC)\ \perp\ (ABC)\), тому висота піраміди \(SO\) належить цій грані.

\(AD\ ||\ BC\) (основи трапеції) \((SBC)\) проходить через пряму \(BC\ ||\ DA.\)

За ознакою паралельності прямої і площини \(AD\ ||\ (SBC).\)

Площина \((AMD)\) проходить через \(AD\ ||\ (SBC)\), тому \((AMD)\cap (SBC)=MN\ ||\ AD.\)

\(AD\ ||\ BC\), \(AD\ ||\ MN\rightarrow MN\ ||\ BC\),
\((SAB)\cap (MAD)=AM\), \((SCD)\cap (MAD)=ND.\)

\(AMND\) – переріз піраміди (трапеція).

У \(\Delta SBC\) \(MN\) – середня лінія (за умовою \(SM=MB\)), \(MN\ ||\ BC.\) За властивістю середньої лінії трикутника:

Відповідь: \(3{,}05.\)