ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання теореми Піфагора, кола, круга та їхніх елементів; вміння застосовувати властивості різних видів трикутників до розв’язування планіметричних задач практичного змісту.

\(\Delta ABO\) – рівнобедрений, \(OA = OB\) як радіуси. Медіана \(ON\) є висотою (за властивістю рівнобедреного трикутника). \(AB = 12\) м, \(AN = NB = 6\) м.

Нехай \(OA = OB = OM = x\) м (радіуси кола). \begin{gather*} MN + NO = MO,\\[7pt] NO = MO - MN = (x - 3)\ \text{м}. \end{gather*}

У \(\Delta ONB\) (\(\angle N = 90^\circ\)) за теоремою Піфагора: $$ OB^2 = ON^2 + NB^2. $$

Складемо рівняння: \begin{gather*} 6^2 + (x - 3)^2 = x^2,\\[7pt] 36 + x^2 - 6x + 9 = x^2,\\[7pt] 6x = 45,\\[7pt] x = 45 : 6,\\[7pt] x = 7{,}5. \end{gather*}

\(OB = 7{,}5\) м.

Відповідь: \(7{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Лінійні, ірраціональні рівняння, та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні, лінійні та квадратні рівняння та їхні системи.

Піднесемо до квадрату обидві частини першого рівняння.

Перевіримо, чи належить ОДЗ \((4; 11).\)

Нерівність виконується. Отже, \((4; 11)\) – розв’язок системи.

Відповідь: \(44.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Це завдання перевіряє знання означення кореня \(n\)-го степеня, властивостей коренів, формули скороченого множення.

Використаємо формулу "різниці квадратів":

Відповідь: \(-7.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Раціональні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нерівності методом інтервалів, застосовувати методи та прийоми у процесі розв'язування нерівностей.

Розкладемо на множники квадратний тричлен за формулою:

де \(x_1\), \(x_2\) – корені тричлена.

Отже,

Розв'яжемо методом інтервалів. Нулі функції: \(x=-9\), \(x=-3\), \(x=-5.\)

Сума цілих розв'язків: $$ -5+(-4)+(-3)+(-9)=-21. $$

Відповідь: \(-21.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл.

Це завдання перевіряє вміння знаходити первісну, використовуючи її основні властивості, застосовувати формулу Ньютона – Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла.

Відповідь: \(2{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Лінійна функція.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1.

Отже, 1 – А.

2.

Отже, 2 – Г.

3.

Отже, 3 – Д.

4.

Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – A, 2 – Г, 3 – Д, 4 – B.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа та вирази. Початки теорії ймовірностей.

Це завдання перевіряє знання ознак подільності на \(5\), \(3\), класичного означення ймовірності події.

Дано натуральні числа \(9 \lt n \lt 20.\)

1. На даному проміжку прості числа: \(11\), \(13\), \(17\) та \(19.\) Всього натуральних чисел \(10.\) Отже, ймовірність того, що вибране число буде простим $$ P=\frac{4}{10}=0{,}4. $$

Отже, 1 – Г.

2. На даному проміжку всі числа двоцифрові, тому ймовірність того, що вибране число буде двоцифровим \(P=1.\) Отже, 2 – Д.

3. Серед даних чисел немає дільників числа \(5\), тому \(P=0.\) Отже, 3 – А.

4. Сума цифр вибраного числа буде ділитися на \(3\) у таких чисел: \(12\), \(15\) та \(18.\) $$ P=\frac{3}{10}=0{,}3. $$

Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Д, 3 – A, 4 – B.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа та вирази. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання формул скороченого множення.

1.

Отже, 1 – А.

2.

Отже, 2 – Б.

3.

Отже, 3 – В.

4.

Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – A, 2 – Б, 3 – B, 4 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектор на площині. Геометричні перетворення.

Це завдання перевіряє знання прямокутної системи координат на площині, основних видів та змісту геометричних перетворень на площині (симетрія, поворот).

1. Симетрія відносно осі \(x\)

Отже, 1 – Б.

2. Симетрія відносно осі \(y\)

Отже, 2 – Г.

3. Симетрія відносно точки \(O\)

Отже, 3 – А.

4. Поворот відносно точки \(O\) на \(90^\circ\) проти годинникової стрілки.

Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Г, 3 – А, 4 – Д.