Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 1850

Завдання 1851 з 2155

Три прямі, що розміщені в одній площині, перетинаються в одній точці (див. рисунок). Визначте градусну міру кута \(\alpha\).

А\(101^\circ\)

Б\(99^\circ\)

В\(81^\circ\)

Г\(79^\circ\)

Д\(69^\circ\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1852 з 2155

Укажіть розмах ряду даних \(3\), \(5\), \(5\), \(13\), \(18\), \(15\), \(12\).

А\(18\)

Б\(15\)

В\(12\)

Г\(9\)

Д\(3\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1853 з 2155

\((0{,}3)^2\cdot10^4=\)

А\(600\)

Б\(900\)

В\(6000\)

Г\(9000\)

Д\(3^6\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1854 з 2155

Знайдіть найменше ціле значення параметра \(a\), при якому рівняння \(\sqrt{x^2-5x}+\sqrt{x^2-9x+20}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{x-5}\) має два корені.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння з параметрами.

\begin{gather*} \sqrt{x(x - 5)} + \sqrt{x^2 - 9x + 20} = \sqrt{a}\sqrt{x - 5},\\[7pt] \sqrt{x(x - 5)} + \sqrt{(x - 4)(x - 5)} = \sqrt{a}\sqrt{x - 5}. \end{gather*}

ОДЗ:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x(x - 5) \ge 0, \\ (x - 4)(x - 5) \ge 0, \\ x - 5 \ge 0, \\ a \ge 0, \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} x \ge 5, \\ a \ge 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Використаємо властивість коренів:

\begin{gather*} \sqrt{x}\sqrt{x - 5} + \sqrt{x - 4}\sqrt{x - 5} = \sqrt{a}\sqrt{x - 5},\\[7pt] \sqrt{x - 5}(\sqrt{x} + \sqrt{x - 4} - \sqrt{a}) = 0,\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x-5=0, \\ \sqrt{x}+\sqrt{x-4}-\sqrt{a}=0. \end{array}\right. \end{gather*}

\(x = 5\) – корінь рівняння незалежно від параметра \(a.\)

Для того, щоб рівняння мало два корені, необхідно, щоб \(\sqrt{x} + \sqrt{x - 4} = \sqrt{a}\) мало один корінь, який не збігається з \(x = 5.\)

\(\sqrt{x} + \sqrt{x - 4} = \sqrt{a}\) піднесемо до квадрата обидві частини рівняння: \begin{gather*} x + x - 4 + 2\sqrt{x(x - 4)} = a,\\[7pt] 2\sqrt{x(x - 4)} = a + 4 - 2x. \end{gather*}

Ліва частина рівняння невід'ємна, тому й права частина повинна бути невід'ємною. Отже,

\begin{gather*} a + 4 - 2x,\\[7pt] 2x \le a + 4,\\[7pt] x \le \frac{a + 4}{2}. \end{gather*}

З урахуванням ОДЗ:

\begin{gather*} 5 \le x \le \frac{a + 4}{2},\\[6pt] \frac{a + 4}{2} \ge 5,\\[6pt] a + 4 \ge 10,\\[7pt] a \ge 6,\\[7pt] (2\sqrt{x^2 - 4x})^2 = (a + 4 - 2x)^2,\\[7pt] 4(x^2 - 4x) = a^2 + 16 + 4x^2 + 8a - 4ax - 16x,\\[7pt] 4x^2 - 16x = a^2 + 16 + 4x^2 + 8a - 4ax - 16x,\\[7pt] a^2 + 16 + 8a - 4ax = 0,\\[6pt] x = \frac{(a + 4)^2}{4a},\\[6pt] \frac{(a + 4)^2}{4a}\gt 5,\\[6pt] \frac{(a + 4)^2 - 20a}{4a} \ge 0,\\[6pt] \frac{a^2 - 12a + 16}{4a} \gt 0,\\[6pt] a^2 - 12a + 16 = 0,\\[7pt] D = 144 - 4 \cdot 16 = 80,\\[6pt] a_1 = \frac{12 + 4\sqrt{5}}{2} = 6 + 2\sqrt{5},\\[6pt] a_2 = 6 - 2\sqrt{5},\\[6pt] \frac{(a - (6 + 2\sqrt{5}))(a - (6 - 2\sqrt{5}))}{4a} \gt 0. \end{gather*}

Найменше ціле значення параметра \(a\), при якому початкове рівняння має два корені при \(a \gt 6 + 2\sqrt{5}\)
\(6 + 2\sqrt{5} \approx 10{,}5.\) Отже, \(a = 11.\)

Відповідь: \(11.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1855 з 2155

Основою прямої призми \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) є ромб \(ABCD\), у якому більша діагональ \(AC=17\) см. Об'єм призми дорівнює \(1020\) см\(^3\). Через діагональ \(AC\) та вершину \(B_1\) тупого кута верхньої основи призми проведено площину, яка утворює з площиною основи призми кут \(\alpha.\) Знайдіть площу утвореного перерізу призми (у см\(^2\)), якщо \(\mathrm{tg}\ \alpha=2{,}4.\)

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення об’ємів многогранників, уміння знаходити зазначені відстані та величини кутів у просторі.

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – призма, \(BB_1\) – висота призми. \(AC = 17\) см.

1. \((AB_1C) \cap (AA_1B_1) = AB_1\), \((AB_1C) \cap (BCC_1) = B_1C\). Отже, \(\Delta AB_1C\) – даний переріз.

2. \(BO\!\perp\!AC\) (властивість діагоналей ромба). \(B_1O\!\perp\!AC\) (за теоремою про три перпендикуляри). \((BOB_1)\!\perp\!AC.\) Отже, \(\angle B_1OB = \alpha\) – лінійний кут відповідного двогранного кута між площинами \((AB_1C)\) і \((ABC).\)

3. \(\Delta B_1BO\) \((\angle B = 90^\circ)\),

\begin{gather*} BB_1 = BO \cdot \mathrm{tg}\ \alpha= \frac{1}{2}BD\mathrm{tg}\ \alpha= \frac{1}{2} \cdot 2{,}4 \cdot BD = 1{,}2BD. \end{gather*}

4.

\begin{gather*} V = S_{основи} \cdot H = S_{ABCD} \cdot BB_1,\\[6pt] S_{ABCD} = \frac{1}{2}AC \cdot BD = \frac{17}{2}BD,\\[6pt] BB_1 = 1{,}2BD. \end{gather*}

За умовою, \(V = 1020\ \text{см}^3.\) Отже,

\begin{gather*} \frac{17}{2}BD \cdot 1{,}2BD = 1020,\\[6pt] BD^2 = 100,\\[7pt] BD = 10\ \text{см},\\[6pt] BO = \frac{1}{2}BD = 5\ \text{см}. \end{gather*}

5. \(BB_1 = 1{,}2BD = 1{,}2 \cdot 10 = 12\) см.

6. \(\Delta B_1BO\) \((\angle B = 90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} B_1O^2 = BB_1^2 + BO^2 = 12^2 + 5^2 = 169,\\[7pt] B_1O = 13\ \text{см}. \end{gather*}

7. \(S_{перерізу} = S_{AB_1C} = \dfrac{1}{2}AC \cdot B_1O = \dfrac{1}{2} \cdot 17 \cdot 13 = 110{,}5\ \text{см}^2.\)

Відповідь: \(110{,}5.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1856 з 2155

У прямокутній системі координат зображено ескіз графіка функції \(y=\dfrac{x^3}{2}+x\) і пряму, задану рівнянням \(x=a\) (див. рисунок). При якому додатному значенні \(a\) площа заштрихованої фігури дорівнюватиме \(40\) кв. од.?

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1857 з 2155

У прямокутній трапеції \(ABCD\) \((AD\!\parallel\!BC)\) діагональ \(AC\) перпендикулярна до бічної сторони \(CD.\) Знайдіть довжину цієї діагоналі (у см), якщо \(AD=18\) см, \(BC=8\) см.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1858 з 2155

Студенти двох груп (у першій – \(20\) студентів, у другій – \(25\) студентів) обирають по одному представнику з кожної групи для участі в студентському заході. Знайдіть ймовірність того, що учасниками заходу будуть обрані старости цих груп. Уважайте, що всі студенти кожної групи мають однакові шанси стати учасниками заходу, і в кожній групі є один староста.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1859 з 2155

Обчисліть \(\log_b a\), якщо \(\log_3 a=8\), \(\log_3 b=5.\)

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1860 з 2155

Розв'яжіть систему нерівностей \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} (0{,}5)^{1-2x}\gt (0{,}5)^{8+x},\\ \dfrac{4}{x-5}\lt 0. \end{array}\right. \end{gather*} У відповіді запишіть кількість усіх цілих розв'язків цієї системи.

Якщо система має безліч цілих розв'язків, то у відповіді запишіть число \(100.\)

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на